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1.2独立性检验的基本思想及其初步应用--上课用


1.2 独立性检验的基本思想 及其初步应用
第1课时

一.引入新课:
1.两种变量及研究相关关系的方法:
定量变量的取值一定是实数,它们的取值大小有特定 的含义,不同取值之间的运算也有特定的含义。 定量变量 例如:身高、体重、考试成绩,温度等等 研究两个定量变量相关关系的方法:回归分析(画散

点图,相关系

数r,相关指数R2,残差分析等)

变量
分类变量

1)变量的不同“值”表示个体的不同类别的变量 (也叫属性变量或者定性变量) 2)分类变量的取值一定是离散的 3)例如是性别,否吸烟,是否患肺癌,宗教信仰等等 4)研究两个分类变量相关关系的方法: ①通过图形直观判断两个分类变量是否相关; ②独立性检验法.

2.引入:
在日常生活中,我们主要考虑分类变量的之间是否有关系:例如, 吸烟是否与患肺癌有关系?性别是否对于喜欢数学课程有影响?等等。 在统计学中,独立性检验就是检验两个分类变量是否有关系的一种统计方法。 本节研究的是两个分类变量的独立性检验问题。

二.问题:
为了调查吸烟是否对肺癌有影响,某肿瘤研究所随机地调查了 9965人,得到如下结果(单位:人) 吸烟与患肺癌列联表(列出两个分类变量的频数表): 不吸烟 吸烟 总计

不患肺癌 7775 2099 9874

患肺癌 42 49 91

总计 7817 2148 9965
2×2列联表

思考:根据以上表格。能否断定吸烟对患肺癌有影响?
判断的标准是什么?

吸烟与不吸烟,患病的可能性的大小是否有差异?

方法1.用频率估计概率
吸 烟 不吸烟
患 病 2.28% 0.54% 未患病 97.72% 99.46% 合 计(n) 100%(2148) 100%(7817)

由上表可看出,在不吸烟者中患肺癌的比重是 0.54% 在吸烟者中患肺癌的比重是 2.28% 根据统计分析的思想,用频率估计概率可知,吸烟者和不吸烟者患肺癌的可 能性存在差异,吸烟者患肺癌的可能性大

方法2.通过图形直观判断
100% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 0%

等高条形图 患肺癌比例

患肺癌 不患肺癌

不患肺癌比例

注意:与表格相比,图形能 不吸烟 吸烟 更直观地反映出相关数 由上述图形显然可以得到结论是:吸烟与患肺癌有关 据的总体状况。

思考:这种判断可靠吗?你能有多大把握认为“患病与吸烟有关”呢?

思考:通过数据和图表分析,得到结论是:吸烟与患肺癌有关.
这种判断可靠吗?你能有多大把握认为“患病与吸烟有关”呢? 首先,假设结论不成立,即记 H0:吸烟和患肺癌之间没有关系
吸烟与患肺癌列联表

不患肺癌
不吸烟 吸烟 总计 a c a+c

患肺癌
b d b+d

总计
a+b c+d a+b+c+d

c 吸烟的人中不患肺癌的比例: c?d a 不吸烟的人中不患肺癌的比例:

若H0成立,即“吸烟与患肺癌没有关系”,则在吸烟者中不患肺癌的比例 应该与不吸烟中不患肺癌的比例应差不多,即

a?b

|ad-bc|越小,说明吸烟与患肺癌之间关系越弱; |ad-bc|越大,说明吸烟与患肺癌之间关系越强.

1.为了使不同样本容量的数据有统一的评判标准,基于上面的分 2 n(ad bc) 2 析,我们引入一个随机变量 K =
(其中n=a+b+c+d为样本容量) 作为检验在多大程度上可以认为“两个变量有关系”的标准

(a + b)(c + d)(a + c)(b + d)

分析:K2越小,|ad-bc|越小,说明吸烟与患肺癌之间关系越弱; K2越大, |ad-bc|越大,说明吸烟与患肺癌之间关系越强. 在假设H0成立,即“吸烟与患肺癌没有关系”成立的前提下,则K2应该很小. 故,当K2很小时,说明在一定可信程度上假设H0成立,即“吸烟与患肺癌 没有关系”成立 当K2很大时,说明没有充分的证据说明假设H0成立,即没有充分的 证据说明“吸烟与患肺癌没有关系”成立,即“吸烟与患肺癌没有 关系”不成立,即“吸烟与患肺癌有关系”成立,

思考:k2大小的标准是什么呢? 临界值k

0

k2大小的标准是什么呢? 临界值k 临界值表
P( K 2 ? k ) 0.50

0.40

0.5

0.15

0.10

0.05 0.025 0.010 0.005 0.001

k

0.445 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828

例如:对于两个分类变量X与Y
(1)如果k>=10.828,就有99.9%的把握认为“X与Y有关系”; (2)如果k>=6.635,就有99%的把握认为“X与Y有关系”; (3)如果k>=2.706,就有90%的把握认为“X与Y有关系”; (4)如果k<=2.706,就认为没有充分的证据显示“X与Y有关系” 但也不能作出结论“H0成立”,即X与Y没有关系

解:假设H 0 : 吸烟与患肺癌没有关系 K 2的观测值为 9965(7775 ? 49 ? 42 ? 2099) 2 k? ? 56.632 7817 ? 2148 ? 9874 ? 91 根据临界值表可知P ( K 2 ? 10.828) ? 0.001 56.631远大于10.828,所以有理由判断H 0不成立, 所以吸烟与患癌症有关系。

注:1)这种判断可能会犯错误,但是犯错误的不会超过0.001
,这是个小概率事件,即我们有99.9%的把握认为“吸 烟与患癌症有关系”
的 2)用 k 统计量来确定在多大程度上可以认为“两个分类变量有关系” 方法称为这两个分类变量的独立性检验。
2

在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中,下列说法正确的是


系,那么在100个吸烟的人中必有99个患肺病



c

A、若K的观测值为k=6.635,我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关

B、从独立性检验可知有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时,我们说
某人吸烟,那么他有99%的可能患肺病 C、若从统计量中求出有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系,是指有

5%的可能性使得推理出现错误
D、以上三种说法都不对

1、理解分类变量,会作列联表及等高条形图 2、了解独立性检验的思想

3.独立性检验的基本思想:(类似于数学上的反证法,对“两个分 类变量有关系”这一结论成立可信程度的判断):
(1)假设该结论不成立,即假设结论“两个分类变量没有关系”成立. (2)在假设H0成立的条件下,计算构造的随机变量K2, 由于在此假设下随机变量 K2 应该很小,故如果由观测数据计算得到的K2 很大,则在一定程度上说明假设 “两个分类变量没有关系”不合理,即 说 明两个分类变量之间有关系 . (3)根据随机变量 K2的含义,可以通过( 2)式评价假设不合理的程度, 如由实际计算出的k>6.635,说明假设不合理的程度约为99%,即“两个 分类有关系”这一结论成立的可信程度约为99%.

注意:反证法原理与假设检验原理区别: 反证法原理
在一个已知假设下,如果推出一个矛盾,就证明了这个假设不成立。

假设检验原理
在一个已知假设下,如果推出一个小概率事件发生,则推断这个假设不 成立的可能性很大。

1.2 独立性检验的基本思想 及其初步应用
第2课时

1.独立性检验定义:
用 k 统计量来确定在多大程度上可以认为“两个分类变量有关系”的方 法称为这两个分类变量的独立性检验。
2

2.为了使不同样本容量的数据有统一的评判标准,基于上面的分
(其中n=a+b+c+d为样本容量) 作为检验在多大程度上可以认为“两个变量有关系”的标准
2 n(ad bc) 析,我们引入一个随机变量 K2 = (a + b)(c + d)(a + c)(b + d)

注:K2越小,|ad-bc|越小,说明两个分类变量之间关系越弱; K2越大, |ad-bc|越大,说明两个分类变量之间关系越强.

4.k2大小的标准是——临界值k 临界值表
P( K 2 ? k ) 0.50

0.40

0.5

0.15

0.10

0.05 0.025 0.010 0.005 0.001

k

0.445 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828

例如:对于两个分类变量X与Y
(1)如果k>=10.828,就有99.9%的把握认为“X与Y有关系”; (2)如果k>=6.635,就有99%的把握认为“X与Y有关系”; (3)如果k>=2.706,就有90%的把握认为“X与Y有关系”; (4)如果k<=2.706,就认为没有充分的证据显示“X与Y有关系” 但也不能作出结论“H0成立”,即X与Y没有关系

思考:你能从上节课探究过程中总结出拥堵例行检验法判断两个
分类变量有关系的解题步骤吗?

小结:一般地,对于两个分类变量X和Y。

X有两类取值:即类x1 和 x2 (如吸烟与不吸烟); Y也有两类取值:即类y1和y 2(如患病与不患病)。 于是得到下列样本频数的2×2列联表为:

y1

x1 x2
总计

y2
b
d b+d

总计

a
c a+c

a+b
c+d a+b+c+d

要推断“X和Y有关系”,可按下面的步骤进行:
(1)提出假设H0 :X和Y没有关系; (2)根据2×2列联表与公式计算 k 的值; (3)查对临界值,作出判断。 注:由于抽样的随机性,由样本得到的推断有可能正确,也
2 ? 有可能错误。利用 进行独立性检验,可以对推断的

正确性的概率作出估计,样本量n越大,估计越准确。

例1.秃头与患心脏病
在某医院,因为患心脏病而住院的665名男性病人中,有214人 秃顶,而另外772名不是因为患心脏病而住院的男性病人中有 175人秃顶。利用图形判断秃顶与患心脏病是否有关系。能否 在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为秃顶与患心脏病有关系?
解:根据题目所给数据得到如下列联表1-13: 患心脏病 不患心脏病 总计 214 175 389 秃顶 451 597 1048 不秃顶 665 772 1437 总计 根据联表1-13中的数据,得到
2 1437 ? (214 ? 597 ? 175 ? 451) K2 ? ? 16.373 ? 6.635. 389 ? 1048 ? 665 ? 772

所以有99%的把握认为“秃顶患心脏病有关”。

例2.性别与喜欢数学课
为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系,在某 城市的某校高中生中随机抽取300名学生,得到如下列联表:

女 总计 喜欢数学课程 37 35 72 不喜欢数学课程 85 143 228 总计 122 178 300

由表中数据计算K2的观测值k≈4.513。能够有95%的把握认为高 中生的性别与是否喜欢数学课程之间有关系?

?

解:在假设“性别与是否喜欢数学课程之间没有关系”的前提下 K2应该很小, 2 并且 P( K ? 3.841) ? 0.05, 而我们所得到的K2的观测值k≈4.513超过了3.841, 这就意味着“性别与是否喜欢数学课程之间有关系”这一结论错误的可能 性约为 0.05,即有95%的把握认为“性别与是否喜欢数学课程之间有关系”。 ?

思考:例1、2的结论是否适用于普通的对象?
分析:例1这组数据来自住院的病人,因此所得到的结论适合住 院的病人群体.例2的结论只适合被调查的学校。 大家要注意统计结果的适用范围(这由样本的代表性所决定) 在掌握了两个分类变量的独立性检验方法之后,就可以模 仿例1中的计算解决实际问题,而没有必要画相应的图形。 注:图形可帮助向非专业人士解释所得结果; 也可以帮助我们判断所得结果是否合理

规律小结: 用独立性检验法来判断两个变量X与Y有关的一般步骤:
1.确定临界值k0——根据实际问题需要的可信程度确定临界值k0; 2.假设——假设H0:两个变量X与Y没有关系成立 2.列表——设两个变量的值域分别为{x1,x2}{y1.,y2},列2x2列联表 y1 y2 总计 x1 x2 总计 a c a+c b d b+d a+b c+d a+b+c+d

3.计算——利用公式计算变量X与Y的评判标准K2 4.查表——利用统计概率表查找临界值时发生的概率 5.下结论——得出概率结论根据随机变量K2的含义,评价假设不合理的 程度,如由实际计算出的k>6.635,说明假设不合理的程度约为99%, 即“两个分类有关系”这一结论成立的可信程度约为99%, 或说明有99%的把握认为两个分类变量有关系 否则就说由样本观测数据没有充分证据显示“X与Y有关系”.
P( K 2 ? k ) 0.50
k 0.445

0.40
0.708

0.5
1.323

0.15
2.072

0.10
2.706

0.05
3.841

0.025
5.024

0.010
6.635

0.005
7.879

0.001
10.828

在研究某种新措施对猪白痢的防治效果问题时, 得到以下数据:
存活率 对照 114 死亡率 36 合计 150

新措施 合计

132 246

18 54

150 300

试问新措施对防止猪白痢是否有效?

1、能够通过等高条形图粗略估计两个分类变量之间是否有关系 2、利用 K 2 判断两个分类变量之间是否有关系

3、了解独立性检验的思想

1.判断两个分类变量X与Y有关系的方法:
2x2列联表 x1 x2 总计 y1 a c a+c y2 b d b+d 总计 a+b c+d a+b+c+d

设要判断的结论为:H1:“X与Y有关系” 1)、通过三维柱形图和二维条形图,可以粗略地判断两个变量是否有关系。 (1)在三维柱形图中, 主对角线上两个柱形高度的 乘积ad与副对角线上的 乘积bc相差越大,H1成 立的可能性就越大。 (2)在二维条形图中,(x1,y1)个体所占的比例与(x2,y1) 个体所占的比例 ,两个 比例相差越大,H1成立的可能性就越大。 2)、可以利用独立性检验来考察两个分类变量是否有关系,并且能较精确地 a 给出这种判断的可靠程度。具体作法是: a?b c (1)根据实际问题需要的可信程度确定临界值 c ?k d 0; (2)由观测数据计算得到随机变量K2的观测值k; (3)如果k>6.635,就以 1-P(K2≥6.635)×100%的把握认为“X与Y有关 系”;否则就说由样本观测数据没有充分证据显示“X与Y有关系”.
P( K 2 ? k ) 0.50

0.40

0.5

0.15

0.10

0.05 0.025 0.010 0.005 0.001

k

0.445 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828


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