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数列求和及数列通项公式的基本方法和技巧

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数列求和的基本方法和技巧
关键词:数列求和 通项分式法 错位相减法 反序相加法 分组法 分组法 合并法
数列是高中代数的重要内容,又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一,除了等差数列和等比数列有求和公式外,大部分数列的求和都需要一定 的技巧. 下面,就几个历届高考数学来谈谈数列求和的基本方法和技巧. 一

、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式: S n ?

n(a1 ? an ) n(n ? 1) ? na1 ? d 2 2

(q ? 1) ? na1 ? n 2、 等比数列求和公式: S n ? ? a1 (1 ? q ) a1 ? a n q ? (q ? 1) ? 1? q ? 1? q
自然数方幂和公式: 3、 S n ?
n n

? k ? 2n(n ? 1)
k ?1 n

1

4、 S n ?

?k
k ?1

2

1 ? n(n ? 1)(2n ? 1) 6

5、 S n ?

?k
k ?1

3

1 ? [ n(n ? 1)]2 2

[例] 求和 1+x2+x4+x6+?x2n+4(x≠0)
解: ∵x≠0

∴该数列是首项为 1,公比为 x2 的等比数列而且有 n+3 项 当 x2=1 即 x=±1 时 和为 n+3 评注: (1)利用等比数列求和公式.当公比是用字母表示时,应对其是否为 1 进行讨论,如本 题若为“等比”的形式而并未指明其为等比数列,还应对 x 是否为 0 进行讨论.
(2)要弄清数列共有多少项,末项不一定是第 n 项. 对应高考考题:设数列 1, (1+2) ,?, (1+2+ 2 ? ? 2
2 n?1

) ,??的前顶和为

s

n

,则

s

n

的值。

二、错位相减法求和 错位相减法求和在高考中占有相当重要的位置,近几年来的高考题其中的数列方面都出了这方面的内容。 需要我们的学生认真掌握好这种方法。这种方法是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法,这种方
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法主要用于求数列{an· bn}的前 n 项和,其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列. 求和时一般在

已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比 q ;然后再将得到的新和式和原和式 相减,转化为同倍数的等比数列求和,这种方法就是错位相减法。
[例] 求和: S n ? 1 ? 3x ? 5x 2 ? 7 x 3 ? ? ? ? ? (2n ? 1) x n?1 (

x ? 1)………………………①
n ?1

解:由题可知,{ (2n ? 1) x n?1 }的通项是等差数列{2n-1}的通项与等比数列{ x 设 xSn ? 1x ? 3x 2 ? 5x 3 ? 7 x 4 ? ? ? ? ? (2n ? 1) x n ………………………. ②

}的通项之积

(设制错位) (错位相减)

①-②得 (1 ? x)S n ? 1 ? 2x ? 2x 2 ? 2x 3 ? 2x 4 ? ? ? ? ? 2x n?1 ? (2n ? 1) x n 再利用等比数列的求和公式得: (1 ? x) S n ? 1 ? 2 x ?

1 ? x n ?1 ? (2n ? 1) x n 1? x



Sn ?

(2n ? 1) x n?1 ? (2n ? 1) x n ? (1 ? x) (1 ? x) 2

注意、1 要考虑 当公比 x 为值 1 时为特殊情况 2 错位相减时要注意末项 此类题的特点是所求数列是由一个等差数列与一个等比数列对应项相乘。 对 应 高 考 考 题 : 设 正 项 等 比 数 列 ?an ? 的 首 项 a1 ?

1 , 前 n 项 和 为 Sn , 且 2

(Ⅰ)求 ?an ? 的通项; 210 S30 ? (210 ? 1)S20 ? S10 ? 0 。
三、反序相加法求和

(Ⅱ)求 ?nSn ?的前 n 项和 Tn 。

这是推导等差数列的前 n 项和公式时所用的方法,就是将一个数列倒过来排列(反序) ,再把它与原 数列相加,就可以得到 n 个 (a1 ? an ) .
0 1 2 n [例] 求证: Cn ? 3Cn ? 5Cn ? ? ? ? ? (2n ? 1)Cn ? (n ? 1)2n

证明: 设 S n ? Cn ? 3Cn ? 5Cn ? ? ? ? ? (2n ? 1)Cn ………………………….. ①
0 1 2 n

把①式右边倒转过来得
n n?1 1 0 S n ? (2n ? 1)Cn ? (2n ? 1)Cn ? ? ? ? ? 3Cn ? Cn

(反序)

又由 Cn ? Cn
m

n ?m

可得

0 1 n?1 n …………..…….. ② S n ? (2n ? 1)Cn ? (2n ? 1)Cn ? ? ? ? ? 3Cn ? Cn

①+②得

0 1 n?1 n 2S n ? (2n ? 2)(Cn ? Cn ? ? ? ? ? Cn ? Cn ) ? 2(n ? 1) ? 2n

(反序相加)

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2



S n ? (n ? 1) ? 2 n
四、分组法求和

有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或 常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可.

若数列 ?an ? 的通项公式为 cn ? an ? bn ,其中 ?an ?, ?bn ?中一个是等差数列,另一个是等比 数列,求和时一般用分组结合法。 1 1 1 1 [例]:求数列 1 ,2 ,3 ,4 ? 的前 n 项和; 2 4 8 16 分析:数列的通项公式为 a n ? n ? 和时一般用分组结合法; [解] :因为 a n ? n ?
1 ,所以 2n 1 ?1? ,而数列 ?n?, ? n ? 分别是等差数列、等比数列,求 n 2 ?2 ?

1 1 1 1 s n ? (1 ? ) ? (2 ? ) ? (3 ? ) ? ? ? (n ? n ) 2 4 8 2
1 1 1 1 ? (1 ? 2 ? 3 ? ? ? n) ? ( ? ? ? ? ? n ) (分组) 2 4 8 2

前一个括号内是一个等比数列的和,后一个括号内是一个等差数列的和,因此

1 1 (1 ? n ) 2 n(n ? 1) 2 2 ? n ? n ? 1 ? 1。 ? ? 1 2 2 2n 1? 2
五、裂项法求和 这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解,然后 重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的. 通项分解(裂项)如: (1) an ? f (n ? 1) ? f (n) (2)

sin 1? ? tan(n ? 1)? ? tann? cos n? cos(n ? 1)?

1 1 1 ? ? (3) a n ? n(n ? 1) n n ? 1
(5) an ?

(2n) 2 1 1 1 (4) an ? ? 1? ( ? ) (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

1 1 1 1 ? [ ? ] n(n ? 1)(n ? 2) 2 n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2) 1 , 1 2? 3 ,? ? ?, 1 n ? n ?1 ,? ? ? 的前 n 项和.
3

[例] 求数列

1? 2

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解:设 a n ?

1 n ? n ?1 1 ?

? n ?1 ? n 1 n ? n ?1

(裂项)

则 Sn ?

1 2? 3

1? 2

? ??? ?

(裂项求和)

= ( 2 ? 1) ? ( 3 ? 2 ) ? ? ? ? ? ( n ? 1 ? n ) = n ? 1 ?1 小结:此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后,其中中间的大部分项都互相抵消了。只剩下有限 的几项。 注意: 余下的项具有如下的特点 1 余下的项前后的位置前后是对称的。 2 余下的项前后的正负性是相反的。

[练习] 在数列{an}中, an ? 和。

1 2 n 2 ? ? ??? ? ,又 bn ? ,求数列{bn}的前 n 项的 n ?1 n ?1 n ?1 a n ? a n ?1

六、合并法求和 针对一些特殊的数列,将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质,因此,在求数列的和时,可将这 些项放在一起先求和,然后再求 Sn. [例] 在各项均为正数的等比数列中,若 a5 a6 ? 9, 求 log3 a1 ? log3 a2 ? ? ? ? ? log3 a10 的值. 解:设 S n ? log3 a1 ? log3 a2 ? ? ? ? ? log3 a10 由等比数列的性质 m ? n ? p ? q ? aman ? a p aq 和对数的运算性质 loga M ? loga N ? loga M ? N 得

(找特殊性质项)

S n ? (log3 a1 ? log3 a10 ) ? (log3 a2 ? log3 a9 ) ? ? ? ? ? (log3 a5 ? log3 a6 )
= (log3 a1 ? a10 ) ? (log3 a2 ? a9 ) ? ? ? ? ? (log3 a5 ? a6 ) = log3 9 ? log3 9 ? ? ? ? ? log3 9

(合并求和)

=10 数列的求和方法多种多样,它在高考中的重要性也显而易见。我们的学生在学习中必须要掌握好 几种最基本的方法,在解题中才能比较容易解决数列问题。
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数列通项公式的十种求法
一、公式法 例 1 已知数列 {an } 满足 an?1 ? 2an ? 3? 2n , a1 ? 2 ,求数列 {an } 的通项公式。

an ?1 an 3 a ?1 an 3 a a 2 ? ?1 ? n ? ,则 n ? n ? ,故数列 { n } 是以 1 n ?1 n ?1 n 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a 3 3 ? 1 ? (n ? 1) ,所以数列 {an } 的通项公 为首项,以 为公差的等差数列,由等差数列的通项公式,得 n n 2 2 2 3 1 n 式为 an ? ( n ? )2 。 2 2
解: an?1 ? 2an ? 3? 2n 两边除以 2
n ?1

,得

评注:本题解题的关键是把递推关系式 an?1 ? 2an ? 3? 2n 转化为 列,再直接利用等差数列的通项公式求出 二、累加法

an ?1 an 3 a ? n ? ,说明数列 { n } 是等差数 n ?1 2 2 2 2n

an 3 ? 1 ? (n ? 1) ,进而求出数列 {an } 的通项公式。 n 2 2

例 2 已知数列 {an } 满足 an?1 ? an ? 2n ? 1 ,a1 ? 1 ,求数列 {an } 的通项公式。 解:由 an?1 ? an ? 2n ? 1 得 an?1 ? an ? 2n ? 1 则

an ? (an ? an ?1 ) ? (an ?1 ? an ?2 ) ?

? (a3 ? a2 ) ? (a2 ? a1 ) ? a1

? [2(n ? 1) ? 1] ? [2( n ? 2) ? 1] ? ? (2 ? 2 ? 1) ? (2 ?1 ? 1) ? 1 ? 2[(n ? 1) ? (n ? 2) ? ? 2 ? 1] ? (n ? 1) ? 1 (n ? 1)n ? (n ? 1) ? 1 2 ? (n ? 1)(n ? 1) ? 1 ?2 ? n2
所以数列 {an } 的通项公式为 an ? n2 。 评 注 : 本 题 解 题 的 关 键 是 把 递 推 关 系 式 an?1 ? an ? 2n ? 1 转 化 为 an?1 ? an ? 2n ? 1 , 进 而 求 出

(an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ?

? (a3 ? a2 ) ? (a2 ? a1 ) ? a1 ,即得数列 {an } 的通项公式。

例 3 已知数列 {an } 满足 an?1 ? an ? 2 ? 3n ? 1 ,a1 ? 3 ,求数列 {an } 的通项公式。 解:由 an?1 ? an ? 2 ? 3 ? 1
n

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5

an ? (an ? an ?1 ) ? (an ?1 ? an ? 2 ) ? ? (2 ? 3n ?1 ? 1) ? (2 ? 3n ? 2 ? 1) ? ? 2(3n ?1 ? 3n ? 2 ?
可得: an?1 ? an ? 2 ? 3n ? 1,则

? (a3 ? a2 ) ? (a2 ? a1 ) ? a1 ? (2 ? 32 ? 1) ? (2 ? 31 ? 1) ? 3

? 32 ? 31 ) ? (n ? 1) ? 3

3(1 ? 3n ?1 ) ? (n ? 1) ? 3 1? 3 ? 3n ? 3 ? n ? 1 ? 3 ?2 ? 3n ? n ? 1

所以 an ? 3n ? n ?1. 评 注 : 本 题 解 题 的 关 键是 把 递 推 关 系 式 an?1 ? an ? 2 ? 3n ? 1转 化 为 an?1 ? an ? 2 ? 3n ? 1, 进 而 求 出

an ? ( an ? an?1 ) ? ( an?1 ? an?2 ) ?
例4

,即得数列 ?( a {an } 的通项公式。 3 ?a 2 ) ?( a 2 ?a 1) ?a 1

已知数列 {an } 满足 an?1 ? 3an ? 2 ? 3n ? 1 ,a1 ? 3 ,求数列 {an } 的通项公式。
n ?1

解: an?1 ? 3an ? 2 ? 3n ? 1 两边除以 3 则

,得

an ?1 an 2 1 ? n ? ? n ?1 , n ?1 3 3 3 3

an ?1 an 2 1 ? n ? ? n ?1 ,故 n ?1 3 3 3 3

an an an ?1 a an ? 2 an ? 2 a n ? 3 ?( n ? ) ? ( n ?1 ? n )?( n ? )? n ?2 3 3 an ?1 an ?1 3 3 ? 2 3n ?3

?(

a2 a1 a1 ? )? 32 31 3

2 1 2 1 2 1 2 1 3 ? ( ? n ) ? ( ? n ?1 ) ? ( ? n ? 2 ) ? ? ( ? 2 ) ? 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2(n ? 1) 1 1 1 1 1 ? ? ( n ? n ? n ?1 ? n ? 2 ? ? 2 ) ? 1 3 3 3 3 3 3

1 (1 ? 3n?1 ) an 2(n ? 1) 3n 2n 1 1 因此 n ? , ? ?1 ? ? ? 3 3 1? 3 3 2 2 ? 3n
则 an ?

2 1 1 ? n ? 3n ? ? 3n ? . 3 2 2
n

评注:本题解题的关键是把递推关系式 an?1 ? 3an ? 2 ? 3 ? 1 转化为

an ?1 an 2 1 ? n ? ? n ?1 ,进而求出 n ?1 3 3 3 3

(

an an ?1 an ?1 an ? 2 an ? 2 an ?3 ? n ?1 ) ? ( n ? n?2 ) ? ( n ? )? n ?1 3 3 3 3 3 ? 2 3n ?3

?(

a2 a1 a1 ? an ? ? 1 ) ? ,即得数列 ? n ? 的通项公式,最后再求 2 3 3 3 ?3 ?

数列 {an } 的通项公式。

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6

三、累乘法 例 5 已知数列 {an } 满足 an?1 ? 2(n ? 1)5n ? an,a1 ? 3 ,求数列 {an } 的通项公式。

解:因为 an?1 ? 2(n ? 1)5n ? an,a1 ? 3 ,所以 an ? 0 ,则

an ?1 ? 2(n ? 1)5n ,故 an

an ?

an an ?1 ? ? an ?1 an ? 2

?

a3 a2 ? ? a1 a2 a1 ? [2(2 ? 1) ? 52 ][2(1 ? 1) ? 51 ] ? 3
? 2 ?1

? [2(n ? 1 ? 1)5n ?1 ][2(n ? 2 ? 1)5n ? 2 ] ? ? 2n ?1[n(n ? 1) ? ? 3 ? 2n ?1 ? 5
n ( n ?1) 2

? 3 ? 2] ? 5( n ?1) ? ( n ? 2) ? ? n!

?3

所以数列 {an } 的通项公式为 an ? 3 ? 2n?1 ? 5

n ( n ?1) 2

? n!.
an ?1 ? 2(n ? 1)5n , 进 而 求 出 an

评 注 : 本 题 解 题 的 关 键 是 把 递 推 关 系 an?1 ? 2(n ? 1)5n ? an 转 化 为

an an?1 ? ? an?1 an?2

?

a3 a2 ? ? a1 ,即得数列 {an } 的通项公式。 a2 a1

例 6 (2004 年全国 I 第 15 题,原题是填空题)已知数列 {an } 满足

a1 ? 1 ,an ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ?
解:因为 an ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? 所以 an?1 ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ?

? (n ?1)an?1 (n ? 2) ,求 {an } 的通项公式。 ? (n ?1)an?1 (n ? 2)
② ①

? (n ?1)an?1 ? nan

用②式-①式得 an?1 ? an ? nan . 则 an?1 ? (n ? 1)an (n ? 2)



an ?1 ? n ? 1(n ? 2) an an an?1 ? ? an?1 an?2 ? a3 ? a2 ? [n(n ? 1) ? a2 ? 4 ? 3]a2 ? n! a2 . 2

所以 an ?



由 an ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ?

? (n ?1)an?1 (n ? 2) , 取n ? 2得a2 ? a1 ? 2a2 , 则 a2 ? a1 ,又知 a1 ? 1 ,则
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a2 ? 1 ,代入③得 an ? 1? 3 ? 4 ? 5 ?
所以, {an } 的通项公式为 an ?

?n ?

n! 。 2

n! . 2

评注:本题解题的关键是把递推关系式 an?1 ? (n ? 1)an (n ? 2) 转化为

an ?1 ? n ? 1(n ? 2),进而求出 an

an an?1 ? ? an?1 an?2

?

a3 ? a2 ,从而可得当 n ? 2时,an 的表达式,最后再求出数列 {an } 的通项公式。 a2

四、待定系数法 例 7 已知数列 {an } 满足 an?1 ? 2an ? 3? 5n,a1 ? 6 ,求数列 ?an ? 的通项公式。 解:设 an?1 ? x ? 5n?1 ? 2(an ? x ? 5n ) ④

将 an?1 ? 2an ? 3? 5n 代 入 ④ 式 , 得 2an ? 3? 5n ? x ? 5n?1 ? 2an ? 2x ? 5n , 等 式 两 边 消 去 2an , 得
n n 3 ? 5n ? x ? 5n?1 ? 2 x? 5 ,两边除以 5 ,得 3 ? 5x ? 2 x, 则x ? ?1, 代入④式得 an?1 ? 5n?1 ? 2(an ? 5n )

⑤ 由 a1 ? 51 ? 6 ? 5 ? 1 ? 0 及⑤式得 an ? 5n ? 0 , 则

an?1 ? 5n?1 则数列 {an ? 5n }是以 a1 ? 51 ? 1 为首项, ? 2, n an ? 5

以 2 为公比的等比数列,则 an ? 5n ? 2n?1 ,故 an ? 2n?1 ? 5n 。 评注:本题解题的关键是把递推关系式 an?1 ? 2an ? 3? 5n 转化为 an?1 ? 5n?1 ? 2(an ? 5n ) ,从而可知数列

{an ? 5n }是等比数列,进而求出数列 {an ? 5n }的通项公式,最后再求出数列 {an } 的通项公式。
例 8 已知数列 {an } 满足 an?1 ? 3an ? 5 ? 2 ? 4,a1 ? 1,求数列 {an } 的通项公式。
n

解:设 an?1 ? x ? 2

n?1

? y ? 3(an ? x ? 2n ? y)



将 an?1 ? 3an ? 5 ? 2 ? 4 代入⑥式,得
n

3an ? 5 ? 2n ? 4 ? x ? 2n?1 ? y ? 3(an ? x ? 2n ? y)
整理得 (5 ? 2 x) ? 2 ? 4 ? y ? 3x ? 2 ? 3 y 。
n n

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8

令?

?5 ? 2 x ? 3x ?x ? 5 ,则 ? ,代入⑥式得 ?4 ? y ? 3 y ?y ? 2


an?1 ? 5 ? 2n?1 ? 2 ? 3(an ? 5 ? 2n ? 2)
由 a1 ? 5 ? 21 ? 2 ? 1 ? 12 ? 13 ? 0 及⑦式,

得 an ? 5 ? 2n ? 2 ? 0 ,则

an?1 ? 5 ? 2n?1 ? 2 ? 3, an ? 5 ? 2n ? 2

1 故 数 列 {an ? 5 ? 2n ? 2} 是 以 a1 ? 5 ? 2 ? 2 ? 1 ?1 2 ? 1为 3 首项,以 3 为公比的等比数列,因此

an ? 5 ? 2n ? 2 ? 13? 3n?1 ,则 an ? 13? 3n?1 ? 5 ? 2n ? 2 。
评注:本题解题的关键是把递推关系式 an?1 ? 3an ? 5 ? 2n ? 4 转化为

an?1 ? 5 ? 2n?1 ? 2 ? 3(an ? 5 ? 2n ? 2) ,从而可知数列 {an ? 5 ? 2n ? 2} 是等比数列,进而求出数列 {an ? 5 ? 2n ? 2} 的通项公式,最后再求数列 {an } 的通项公式。
例 9 已知数列 {an } 满足 an?1 ? 2an ? 3n2 ? 4n ? 5,a1 ? 1,求数列 {an } 的通项公式。 解:设 an?1 ? x(n ? 1)2 ? y(n ? 1) ? z ? 2(an ? xn2 ? yn ? z) 将 an?1 ? 2an ? 3n2 ? 4n ? 5 代入⑧式,得 ⑧

2an ? 3n2 ? 4n ? 5 ? x(n ?1)2 ? y(n ?1) ? z ? 2(an ? xn2 ? yn ? z) ,则 2an ? (3 ? x)n2 ? (2x ? y ? 4)n ? ( x ? y ? z ? 5) ? 2an ? 2xn2 ? 2 yn ? 2z
等式两边消去 2an ,得 (3 ? x)n ? (2 x ? y ? 4)n ? ( x ? y ? z ? 5) ? 2xn ? 2 yn ? 2z ,
2 2

?3 ? x ? 2 x ?x ? 3 ? ? 解方程组 ?2 x ? y ? 4 ? 2 y ,则 ? y ? 10 ,代入⑧式,得 ?x ? y ? z ? 5 ? 2z ? z ? 18 ? ?

an?1 ? 3(n ?1)2 ?10(n ?1) ?18 ? 2(an ? 3n2 ?10n ?18)
2


2

由 a1 ? 3?1 ? 10 ?1 ? 18 ? 1 ? 31 ? 32 ? 0 及⑨式,得 an ? 3n ? 10n ? 18 ? 0
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an?1 ? 3(n ? 1)2 ? 10(n ? 1) ? 18 ? 2 ,故数列 {an ? 3n2 ?10n ?18} 为以 2 an ? 3n ? 10n ? 18

以 2 为公比的等比数列, 因此 an ? 3n2 ? 10n ? 18 ? 32 ? 2n?1 , a1 ? 3?12 ? 10 ?1 ? 18 ? 1 ? 31 ? 32 为首项, 则 an ? 2n?4 ? 3n2 ?10n ?18 。 评注:本题解题的关键是把递推关系式 an?1 ? 2an ? 3n2 ? 4n ? 5 转化为

an?1 ? 3(n ?1)2 ?10(n ?1) ?18 ? 2(an ? 3n2 ?10n ?18) ,从而可知数列 {an ? 3n2 ?10n ?18} 是等比数
列,进而求出数列 {an ? 3n2 ? 10n ? 18} 的通项公式,最后再求出数列 {an } 的通项公式。

五、对数变换法
5 例 10 已知数列 {an } 满足 an?1 ? 2 ? 3n ? an , a1 ? 7 ,求数列 {an } 的通项公式。

5 5 解:因为 an?1 ? 2 ? 3n ? an 式两边取常用对数得 ,a1 ? 7 ,所以 an ? 0,an?1 ? 0 。在 an?1 ? 2 ? 3n ? an

lg an?1 ? 5 lgan ? n lg 3 ? lg 2



设 lg an?1 ? x(n ? 1) ? y ? 5(lg an ? xn ? y)

11 ○

将⑩式代入○ 11 式,得 5lg an ? n lg3 ? lg 2 ? x(n ? 1) ? y ? 5(lg an ? xn ? y) ,两边消去 5lg an 并整理,得

(lg3 ? x)n ? x ? y ? lg 2 ? 5xn ? 5 y ,则

lg 3 ? x? ? ?lg 3 ? x ? 5 x ? 4 ,故 ? ? lg x ? y ? lg 2 ? 5 y ? ? y ? 3 ? lg 2 ? 16 4 ?
代入○ 11 式,得 lg an ?1 ? 由 lg a1 ? 得 lg an ?

lg 3 lg 3 lg 2 lg 3 lg 3 lg 2 (n ? 1) ? ? ? 5(lg an ? n? ? ) 4 16 4 4 16 4

12 ○

lg 3 lg 3 lg 2 lg 3 lg 3 lg 2 ?1 ? ? ? lg 7 ? ?1 ? ? ? 0 及○ 12 式, 4 16 4 4 16 4 lg 3 lg 3 lg 2 n? ? ? 0, 4 16 4

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10

lg an ?1 ?


lg 3 lg 3 lg 2 (n ? 1) ? ? 4 16 4 ?5, lg 3 lg 3 lg 2 lg an ? n? ? 4 16 4

所以数列 {lg an ?

lg 3 lg 3 lg 2 lg 3 lg 3 lg 2 n? ? } 是以 lg 7 ? ? ? 为首项,以 5 为公比的等比数列,则 4 16 4 4 16 4 lg 3 lg 3 lg 2 lg 3 lg 3 lg 2 n ?1 lg an ? n? ? ? (lg 7 ? ? ? )5 ,因此 4 16 4 4 16 4

lg an ? (lg 7 ?

lg 3 lg 3 lg 2 n ?1 lg 3 lg 3 lg 2 ? ? )5 ? n? ? 4 16 4 4 6 4
1 1 1 n 1 1

? (lg 7 ? lg 3 4 ? lg 3 6 ? lg 2 4 )5n ?1 ? lg 3 4 ? lg 316 ? lg 2 4 ? [lg(7 ? 3 4 ? 316 ? 2 4 )]5n ?1 ? lg(3 4 ? 316 ? 2 4 ) ? lg(7 ? 3 4 ? 316 ? 2 4 )5n ?1 ? lg(3 4 ? 316 ? 2 4 ) ? lg(7 ? lg(7
则 an ? 7
5n?1
5 n ?1 1 1 1 n 1 1 1 1 1 n 1 1

?3 ?3

5n?1 ? n 4

?3

5n?1 ?1 16 5
n?1

?2
?1

5n?1 ?1 4

)

5 n ?1

5 n ? 4 n ?1 16

?2

4

)

?3

5n?4 n?1 16

?2

5n?1 ?1 4



5 评注:本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式 an?1 ? 2 ? 3n ? an 转化为

lg 3 lg 3 lg 2 lg 3 lg 3 lg 2 (n ? 1) ? ? ? 5(lg an ? n? ? ) ,从而可知数列 4 16 4 4 16 4 lg 3 lg 3 lg 2 lg 3 lg 3 lg 2 {lg an ? n? ? } 是等比数列,进而求出数列 {lg an ? n? ? } 的通项公式,最后再 4 16 4 4 16 4 lg an ?1 ?
求出数列 {an } 的通项公式。

六、迭代法
3( n ?1)2 例 11 已知数列 {an } 满足 an ?1 ? an ,a1 ? 5 ,求数列 {an } 的通项公式。
n

3( n ?1)2 3n?2 解:因为 an?1 ? an ,所以 an ? an ?1

n

n?1

3( n ?1)?2 ? [an ]3n?2 ?2

n? 2

n?1

第 11 页 共 15 页

11

3 ( n ?1)?n?2 ? an ?2

2

( n?2)?( n?1)

3( n ? 2)?2 ? [an ]3 ( n ?1)?n?2 ?3 3 ( n ? 2)( n ?1) n?2 ? an ?3
3

n?3

2

( n?2)?( n?1)

( n?3)?( n?2)?( n?1)

? ? a13 ? a13
n?1

?2?3

( n ? 2)?( n ?1)?n?21?2?
n ( n?1) 2

?( n?3)?( n?2)?( n?1)

n?1

?n!?2

又 a1 ? 5 ,所以数列 {an } 的通项公式为 an ? 53

n?1

?n!?2

n ( n?1) 2


n

3( n ?1)2 评注: 本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。 即先将等式 an?1 ? an 两边取常用对

数 得 l a gn?1 ?

n3 ? (?

n

lg a ? 1 ) an , 2 即l g n?1 ? 3(n ? 1)2n , 再 由 累 乘 法 可 推 知 lg an
n ( n?1) 2

lg an lg an?1 lg an ? ? ? lg an?1 lg an?2

n?1 lg a3 lg a2 ? ? ? lg a1 ? lg 53 ?n!?2 lg a2 lg a1

,从而 an ? 5

3n?1 ?n!?2

n ( n ?1) 2



七、数学归纳法 例 12 已知数列 {an } 满足 an ?1 ? an ?

8(n ? 1) 8 ,a1 ? ,求数列 {an } 的通项公式。 2 2 (2n ? 1) (2n ? 3) 9

解:由 an ?1 ? an ?

8 8(n ? 1) 及 a1 ? ,得 2 2 9 (2n ? 1) (2n ? 3)

8(1 ? 1) 8 8 ? 2 24 ? ? ? 2 2 (2 ?1 ? 1) (2 ?1 ? 3) 9 9 ? 25 25 8(2 ? 1) 24 8?3 48 a3 ? a2 ? ? ? ? 2 2 (2 ? 2 ? 1) (2 ? 2 ? 3) 25 25 ? 49 49 8(3 ? 1) 48 8 ? 4 80 a4 ? a3 ? ? ? ? 2 2 (2 ? 3 ? 1) (2 ? 3 ? 3) 49 49 ? 81 81 a2 ? a1 ?

(2n ? 1)2 ? 1 由此可猜测 an ? ,往下用数学归纳法证明这个结论。 (2n ? 1)2 (2 ?1 ? 1)2 ? 1 8 ? ,所以等式成立。 (2 ?1 ? 1)2 9

(1)当 n ? 1 时, a1 ?

第 12 页 共 15 页

12

(2)假设当 n ? k 时等式成立,即 ak ?

(2k ? 1)2 ? 1 ,则当 n ? k ? 1 时, (2k ? 1)2

ak ?1 ? ak ?

8(k ? 1) (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2

?

(2k ? 1) 2 ? 1 8( k ? 1) ? 2 (2k ? 1) (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2

[(2k ? 1) 2 ? 1](2k ? 3) 2 ? 8(k ? 1) ? (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2 (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2 ? (2k ? 3) 2 ? 8( k ? 1) ? (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2 (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2 ? (2k ? 1) 2 ? (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2 ? ? (2k ? 3) 2 ? 1 (2k ? 3) 2 [2(k ? 1) ? 1]2 ? 1 [2(k ? 1) ? 1]2

由此可知,当 n ? k ? 1 时等式也成立。 根据(1) , (2)可知,等式对任何 n ? N 都成立。
*

评注:本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前 n 项,进而猜出数列的通项公式,最后再 用数学归纳法加以证明。

八、换元法 例 13 已知数列 {an } 满足 an ?1 ?

1 (1 ? 4an ? 1 ? 24an ),a1 ? 1 ,求数列 {an } 的通项公式。 16 1 2 (bn ? 1) 24

解:令 bn ? 1 ? 24an ,则 an ? 故 an ?1 ?

1 2 1 (bn ?1 ? 1) ,代入 an ?1 ? (1 ? 4an ? 1 ? 24an ) 得 24 16

1 2 1 1 2 (bn ?1 ? 1) ? [1 ? 4 (bn ? 1) ? bn ] 24 16 24
即 4bn?1 ? (bn ? 3)
2 2

因为 bn ? 1 ? 24an ? 0 ,故 bn?1 ? 1 ? 24an?1 ? 0

第 13 页 共 15 页

13

则 2bn?1 ? bn ? 3 ,即 bn ?1 ? 可化为 bn ?1 ? 3 ?

1 3 bn ? , 2 2

1 (bn ? 3) , 2
1 为公比的等比数列,因此 2

所 以 {bn ? 3}是 以 b1 ? 3 ? 1 ? 24a1 ? 3 ? 1 ? 24 ?1 ? 3 ? 2 为 首 项 , 以

1 1 1 1 bn ? 3 ? 2( ) n ?1 ? ( ) n ?2 ,则 bn ? ( ) n ? 2 ? 3 ,即 1 ? 24an ? ( ) n ? 2 ? 3 ,得 2 2 2 2 an ? 2 1 n 1 n 1 ( ) ?( ) ? 。 3 4 2 3 1 3 bn ? 形式, 2 2

评注:本题解题的关键是通过将 1 ? 24an 的换元为 bn ,使得所给递推关系式转化 bn ?1 ?

从而可知数列 {bn ? 3} 为等比数列,进而求出数列 {bn ? 3} 的通项公式,最后再求出数列 {an } 的通项公式。

九、不动点法 例 14 已知数列 {an } 满足 an ?1 ?

21an ? 24 ,a1 ? 4 ,求数列 {an } 的通项公式。 4an ? 1

解:令 x ? 因为

21x ? 24 21x ? 24 2 ,得 4 x ? 20 x ? 24 ? 0 ,则 x1 ? 2,x2 ? 3 是函数 f ( x) ? 的两个不动点。 4x ?1 4x ?1

21an ? 24 ?2 an ?1 ? 2 4an ? 1 21an ? 24 ? 2(4an ? 1) 13an ? 26 13 an ? 2 ? ? ? ? 。所以数列 21 a ? 24 an ?1 ? 3 21 a ? 24 ? 3(4 a ? 1) 9 a ? 27 9 an ? 3 n n n n ?3 4an ? 1

? an ? 2 ? ? ? 是以 ? an ? 3 ?

a ?2 a1 ? 2 4 ? 2 13 13 ? ? 2 为首项,以 为公比的等比数列,故 n ? 2( )n?1 ,则 an ? 9 a1 ? 3 4 ? 3 an ? 3 9
评 注 : 本 题 解 题 的 关 键 是 先 求 出 函 数 f ( x) ?

1 ? 3。 13 n?1 2( ) ? 1 9

2 1x ? 2 4 21x ? 24 的不动点,即方程 x ? 的两个根 4x ?1 4x ?1

x1 ? 2,x2 ? 3 ,进而可推出

?a ? 2? an?1 ? 2 13 an ? 2 ,从而可知数列 ? n ? ? ? 为等比数列,再求出数列 an?1 ? 3 9 an ? 3 ? an ? 3 ?

? an ? 2 ? ? ? 的通项公式,最后求出数列 {an } 的通项公式。 ? an ? 3 ?
例 15 已知数列 {an } 满足 an ?1 ?

7an ? 2 ,a1 ? 2 ,求数列 {an } 的通项公式。 2an ? 3
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解:令 x ?

7x ? 2 3x ? 1 2 ,得 2 x ? 4 x ? 2 ? 0 ,则 x ? 1 是函数 f ( x ) ? 的不动点。 2x ? 3 4x ? 7

因为 an ?1 ? 1 ?

7an ? 2 5a ? 5 ,所以 ?1 ? n 2an ? 3 2an ? 3

an ?

2 1 n 1 n 1 ( ) ?( ) ? 。 3 4 2 3 1 3 bn ? 形式, 2 2

评注:本题解题的关键是通过将 1 ? 24an 的换元为 bn ,使得所给递推关系式转化 bn ?1 ?

从而可知数列 {bn ? 3} 为等比数列,进而求出数列 {bn ? 3} 的通项公式,最后再求出数列 {an } 的通项公式。

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