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河北省永年县第二中学2015届高三数学12月月考试题 理


河北省邯郸市永年县第二中学 12 月份月考数学试卷(理科)
注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷、第Ⅱ卷两部分,共 4 页.满分 150 分;考试时间:120 分钟. 2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型用 2B 铅笔涂在答题卡上. 3.用铅笔把第Ⅰ卷的答案涂在答题卡上,用钢笔或圆珠把Ⅱ卷的答案写在答题纸的相应位置 上. 第Ⅰ卷 一、选择题(本大题共

12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的)

a+3i 1、已知复数 1-2i 是纯虚数,则实数 a =(
A.-2 B.4 C.-6

) D.6

2、已知集合 M ? { y | y ? 2x , x ? 0}, N ? {x | y ? lg(2x ? x2 )} ,则 M A. ?1, 2 ? B. ?1, ?? ? C. ? 2, ??? D. ?1, ?? ?

N 等于(



3、已知向量 a ? (1,2 x), b ? (4, ?x) ,则 “ x ? A.充分不必要条件 C.充要条件

2 ”是“ a ? b ”的(



B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

4、在递增的等比数列 ?an ? 中, a1 ? an ? 34, a2an?2 ? 64 ,且前 n 项和 Sn ? 42 ,则项数 n 等 于( ) A.6 B.5 C.4 D.3

5、 函数 f ( x) ? lg x ? A. ? 0,1? C. ? 2,3?

1 的零点所在的区间是( ) x
B. ?1, 2 ? D. ? 3,10?

6、已知实数 x ??1,9? ,执行如右图所示的流程图, 则输出的 x 不小于 55 的概率为( A. ) D.

5 8

B.

3 8

C.

2 3

1 3

7、 已知 f ( x ) 是定义在 (??, ??) 上的偶函数, 且在区间 ( ??, 0] 上是增
?0.6 函数,设 a ? f (log7 ) ,则 a, b, c 的大小 4 ), b ? f (log 1 3), c ? f (0.2 2

-1-

关系是

(

) B. c ? b ? a C. b ? c ? a ,则 D. a ? b ? c

A. c ? a ? b 8、已知函数 f ( x) ? ? A.

? ?( x ? 1) (?1 ? x ? 0)
2 2 ? ? 1 ? x (0 ? x ? 1) 4 ? 3? B. 12

?

1

?1

f ( x)dx ? ( )
D.

3? ? 8 12

C.

4?? 4

?4 ? 3? 12

9、 一个圆锥被过顶点的平面截去了较小的一部分几何体, 余下的几何体的三 视图(如图所示) ,则余下部分的几何体的表面积为( )

3 3? ? 5 +1 2 3 3? ? 5 C. 3? ? 2
A. ? ?

3 2

B. ? ? 3 3? ? 2 5 +1 D. 3? ? 3 3? ? 2 5

3 2

?0 ? x ? 2 ? 10、已知 M ( x, y ) 为由不等式组 ? y ? 2 ,所确定的平面区域上的动点, ? ?x ? 2 y
若点 A

?

2,1 ,
) D. 4 2

?

则 z ? OM ? OA 的最大值为( A.3 B. 3 2 C.4
3

11、对于函数 f(x)= f ? x ? ? x cos3 ? x ?

? ?

??

? ,下列说法正确的是 6?





π π , )上递减 6 6 π C. f(x)是偶函数且在( 0, )上递减 6
A.f(x)是奇函数且在( ?

π π , )上递增 6 6 π D.f(x)是偶函数且在( 0, )上递增 6
B. f(x)是奇函数且在( ?

?5 2 x (0 ? x ? 2) ? ?16 12、已知函数 y ? f ( x) 是定义域为 R 的偶函数. 当 x ? 0 时, f ( x) ? ? ?( 1 ) x ? 1( x ? 2) ? ? 2
2



关于 x 的方程 [ f ( x)] ? af ( x) ? b ? 0 , a, b ? R 有且仅有 6 个不同实数根,则实数 a 的取 值范围是( A. ( ? ) B. ( ?

5 9 ,? ) 2 4

9 , ?1) 4

C. (?

5 9 9 , ? ) (? , ?1) 2 4 4

D. ( ?

5 , ?1) 2

二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分)

-2-

13、在平面直角坐标系 xoy 中,若曲线 y ? ax ?
2

b ( a , b 为常数)过点 P(2, ?5) ,且该曲线 x
.

在点 P 处的切线与直线 7 x ? 2 y ? 3 ? 0 平行,则 a ? b ?

14、直三棱柱 ABC-A1B1C1 的六个顶点都在球 O 的球面上.若 AB=BC=2,∠ABC=90°,AA1 =2 2 ,则球 O 的表面积为____________. 15、 ?ABC 中的内角为 A, B, C ,重心为 G ,若 2sin A?GA ? 3 sin B?GB ? 3sin C ? GC ? 0 , 则 cos B ? 16、 定义函数 f ( x) ? x ? ?x? , 其中 ? x? 表示不小于 x 的最小整数, 如 ?1.5? ? 2 , ??2.5? ? ?2 .
*

当 x ? ? 0, n? , n ? N 时 , 函 数 f ( x ) 的 值 域 为 An , 记 集 合 An 中 元 素 的 个 数 为 an , 则

?

.

?

1 1 ? ? a1 a2
三、解答题

?

1 ? ________. an
已 知 a, b, c 分 别 是 ?ABC 的 内 角 A, B, C 的 对 边 , 且

17 、 ( 本 小 题 满 分 10 分 )

C ? 2 A, cos A ?

3 。 4

(Ⅰ)求 c : a 的值; (Ⅱ)求证: a, b, c 成等差数列。 18、已知向量 a ? (sin x, ) , b ? (cos x, ?1) .

3 4 2 (Ⅰ) 当 a // b 时,求 cos x ? sin 2 x 的值; (Ⅱ) 设函数 f ( x) ? 2(a ? b) ? b , 已知在 ?ABC 中, 内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ,
若 a ? 3 , b ? 2 , sin B ?

f ( x)? 4 c o sA ?( 2 ( x ? ) [0, ] )的取值 6 3
范围.
/ / / ?BAC ? 90 , 19、 如图, 直三棱柱 ABC ? A B C ,

?

?

6 , 求 3

AB ? AC ? 2,
B / C / 的中点.

/ AA′=1,点 M,N 分别为 A B 和

/ / (Ⅰ)证明: MN ∥平面 A ACC ; / (Ⅱ)求三棱锥 A ? MNC 的体积.

-3-

20、 (本小题满分 12 分) 设函数 f ? x ? ? ex (ax2 ? x ?1) ,且 a ? 0 ,求函数 f ? x ? 的单调区间及其极大值。 21 、 已 知 数 列 ?an ? 是 各 项 均 不 为 0 的 等 差 数 列 , 公 差 为 d , Sn 为 前 n 项 和 , 且 满 足
2 an ? S2n?1, n ? N ? ,数列 ?bn ? 满足 bn ?

1 , Tn 为数列 ?bn ? 的前 n 项和。 an an ?1

(Ⅰ)求 a1 , d 和 Tn ; (Ⅱ)如对任意 n ? N ,不等式 ?Tn ? n ? 8 ? (?1)n 恒恒成立,求实数 ? 的取值范围。
?

22、 (本小题满分 12 分) 设函数 f ? x ? ?

ex ?1 x
1 2

(1)求函数 f ? x ? 在 [ , 2] 上的最值; (2)证明:对任意正数 a ,存在正数 x ,使不等式 f ? x ? ?1 ? a 成立。

-4-

1-5DAADC 6-10 BBBAC CC 12.【解析】依题意 f ( x ) 在 (??, ?2) 和 (0, 2) 上递增,在 (?2, 0) 和 (2, ??) 上递减,当 x ? ?2 时,函数取得极大值

5 ;当 x ? 0 时,取得极小值 0 。要使关于 x 4

的方程 [ f ( x)]2 ? af ( x) ? b ? 0 , a, b ? R 有且只有 6 个不同实数 根,设 t ? f ( x) ,则 t ? at ? b ? 0 必有两个根 t1 、 t 2 ,则有两种
2

情况符合题意: (1)t1 ?

5 5 5 9 (, ) , , 且 t2 ? 1 此时 ?a ? t1 ? t2 , 则 a ? (? , ? ) ; (2)t1 ? ? 0,1? , 4 4 2 4 5 9 5 9 9 t2 ? (1, ) ,此时同理可得 a ? ( ? , ?1) ,综上可得 a 的范围是 (? , ? ) (? , ?1) .故选答 4 4 2 4 4
14. 16 π 15.

案 C. 13. -3

1 解析 :设 a, b, c 为 角 A, B, C 所 对 的 边 , 由 正 弦 定 理 得 12

2aGA ? 3bGB ? 3cGC ? 0 , 则 2aGA? 3 bGB ? ?3 cGC ? ?3 ( c? GA ? GB )
即 ? 2a ? 3c ? GA ?

?

3b ? 3c GB ? 0 , 又因为 GA, GB 不共线, 则 2a ? 3c =0 ,

?

3b ? 3c=0 ,

a 2 ? c 2 ? b2 1 3b 3b ? . 即 2a ? 3b ? 3c, 所以 a ? ,? cos B ? ,c ? 2ac 12 2 3
16.

2n 【解析】易知:当 n ? 1 时,因为 x ? ? 0,1? ,所以 ?x? ? 1,所以 ?x ?x?? ? 1,所以 n ?1

A1 ? ?1? , a1 ? 1;
当 n ? 2 时,因为 x ? ?1, 2? ,所以 ? x? ? 2 ,所以 x ?x? ? ? 2,4? ,所以 A2 ? ?1,3, 4? , a2 ? 3 ; 当 n ? 3 时 , 因 为 x ??2 , ? 3, 所 以

?

?

?x? ? 3

,所以

,所以 x? ? 6 ,? 9 ?? ? ?3 ? ?x ? x

A3 ? ?1,3,4,7,8,9?, a3 ? 6 ;
当 n ? 4 时 , 因 为 x ? ?3 , 4 ,所以 x?? 1 2 , 1 ? ? ?4 ? ? , 所 以 ?x? ? 4 , 所 以 x? x ?6

?

?

A4 ? ?1,3,4,7,8,9,13,14,15,16?, a4 ? 10 ;
当 n ? 5 时 , 因 为 x ? ? 4,5? , 所 以 ? x? ? 5 , 所 以 x ? x ,所以 x? ? 2 0 , 2 ? ? ?5 ? ?5

?

?

A5 ? ?1,3,4,7,8,9,13,14,15,16,21,22,23,24,25?, a5 ? 15 ,
由此类推: an ? an?1 ? n ,所以 an ?

n(n ? 1) 1 2 1 ? ?1 ,所以 ? ? 2? ? ? ,所以 2 an n(n ? 1) ? n n ?1 ?

-5-

1 1 ? ? a1 a2

?

1 2n ? an n ? 1

17、 解: (1)∵C=2A,∴sinC=sin2A?????????2 分[K]

sin C 2 sin A cos A 3 c 3 ? ? 2 cos A ? ∴ ? .???????4 分] sin A sin A 2 a 2 9 1 ?1 ? (2)∵ cos C ? cos 2 A ? 2 cos 2 A ? 1 ? 2 ? 16 8
∴ ∴ sin C ? 1 ? cos2 C ?

3 7 ?????????6 分[K] 8

∵cosA=

3 7 ,∴ sin A ? , 4 4

? sin B ? sin( A ? C ) ? sin A cos C ? cos A sin C ?
5 7 ? 2 sin B [K] 8

5 7 ?????8 16

∴ sin A ? sin C ? 即: a ? c ? 2b

∴ a, b, c 成等差数列;
2 18. (1) cos x ? sin 2 x ?

8 3 ?? 1 ? (2) ? 1 ? f ?x ? ? 4 cos? 2 A ? ? ? 2 ? 5 2 6? 2 ? 3 3 解: (1) a // b,? cos x ? sin x ? 0,? tan x ? ? 4 4 2 cos x ? 2sin x cos x 1 ? 2 tan x 8 cos 2 x ? sin 2 x ? ? ? sin x 2 ? cos 2 x 1 ? tan 2 x 5
(2) f ( x) ? 2(a ? b) ? b ?

? 3 2 sin(2 x ? ) + 4 2

由正弦定理得

a b 2 ? ? 可得 sin A ? , 所以A ? , 或 A ? 3? sin A sin B 2 4 4

因为 b

? a ,所以 A ?

?
4
? ? ? 11? ? ? ?? x ? ?0, ? ? 2 x ? ? ? , , 4 ? 4 12 ? ? 3? ?

?? ? 1 ? f ?x ? ? 4 cos? 2 A ? ? ? 2 sin(2 x ? ) ? , 6? 2 4 ?
所以

3 ?? 1 ? ? 1 ? f ?x ? ? 4 cos? 2 A ? ? ? 2 ? 2 6? 2 ?

-6-

19、 (Ⅰ)连结 AB?, AC ? ,由已知 M 为 AB? 的中点,又 N 为 B ?C ? 的中点,所以 MN 为三角形 AB ?C ? 的中位线,故 MN ∥ AC ? ,又 MN ? 平面A?ACC ?,AC ? ? 平面A?ACC ?, 因此 (Ⅱ)连结 BN,由题意, A ?N ⊥
B ?C ? , 平面A?B?C ?

平面B?BCC ? ? B?C ? ,

所以

A?N ? 平面B?BCC ?, 即 A?N ? 平面NBC ,故
A?MC

1 VA?? MNC ? VN ? A?MC ? S 3

?h

S


A?MC

?

1 S 2

A?BC
,所以

1 1 1 1 VA??MNC ? VN ?A?MC ? VN ?A ?BC ? VA ??NBC ? ? ? S NBC ? A?N 2 2 2 3
因为 所以

BC ? B ?C ? ? 2

S

NBC

?

1 1 1 BC ? BB? ? ? 2 ?1 ? 1, A?N ? B?C ? ? 1 2 2 2 ,
NBC ? A?N ?

1 1 VA??MNC ? VN ? A?MC ? ? ? S 2 3 所以

1 6.
3分

x 2 x x 20. 解: f ?( x) ? e (ax ? x ? 1) ? e (2ax ? 1) ? ae ( x ?

1 )( x ? 2) a

当a ?

1 1 x 2 时, f ?( x) ? e ( x ? 2) ? 0 , f ( x) 在 R 上单增,此时无极大值; 2 2 1 1 1 时, f ?( x) ? 0 ? x ? ?2 或 x ? ? , f ?( x) ? 0 ? ? ? x ? ?2 a 2 a

5分

当0 ? a ?

? 1? ? 1 ? f ( x) 在 ? ? ? ?, ? a ? 和 ?? 2, ? ?? 上单调递增,在 ? ? a , ? 2? 上单调递减。???8 分[K] ? ? ?
1 1 ? ? 1 1 1 a 此时极大值为 f (? ) ? e ( ? ? 1) ? e a a a a

9分

当a ?

1 1 时, f ?( x) ? 0 ? x ? ? 或 x ? ?2 , 2 a

f ?( x) ? 0 ? ?2 ? x ? ?

1 a

-7-

? 1? ? 1 ? f ( x) 在 ?? ?, ? 2? 和 ? ? , ? ? ? 上单调递增,在 ? ? 2, ? ? 上单调递减。???11 分[K] ? a? ? a ?
此时极大值为 f (?2) ? e?2 (4a ? 2 ? 1) ? e?2 (4a ?1) 12 分

-8-


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