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2013北京房山高三二模数学试题及答案


房山区 2013 年高考第二次模拟试卷
数 学 (理科)
本试卷共 4 页,150 分。考试时间长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷 上作答无效。考试结束后,将答题卡交回。 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合 题目要求的一项. 1.若﹁p∨q 是假命题,则 A. p∧q 是假命题 C

. p 是假命题 B. p∨q 是假命题 D. ﹁q 是假命题

2.下列四个函数中,既是奇函数又在定义域上单调递增的是 A. y ? x ? 1 B. y ? tan x C. y ? x3 D. y ? log2 x
A O B C E

3.如图, A, B , C , D 是⊙O 上的四个点,过点 B 的切线与 DC 的 延长线交于点 E.若 ?BCD ? 110? ,则 ?DBE ? A. 75? B. 70? C. 60? D. 55?

D

4.设平面向量 a ? (1, 2), A. 4 C. 3 5

b ? (?2, y) ,若 a // b ,则 2a ? b 等于
B. 5 D. 4 5

? x ? 1, ? y ? 1, ? 5.已知 M , N 是不等式组 ? 所表示的平面区域内的两个不同的点,则 | MN | 的 ? x ? y ? 1 ? 0, ?x ? y ? 6 ?
最大值是 A.

34 2

B. D.

17

C. 3 2

17 2

6.已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , a1 ? 1 , 2Sn ? an ?1 ,则 Sn ?

第 1 页

A. 2 n?1

B. 2 n ? 1

C. 3n?1

D. 1 (3n ? 1)

2

7.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体 的表面积为
3

A. 9 ? 18 2 B. 18 ? 9 3 C. 18 ? 3 2 D. 9 8.定义运算 ?

6 正(主视图)

侧(左)视图

3 俯视图

? a c ? ? x ? ? ax ? cy ? ? x? ? ?a c ? ? x ? , ? ??? 称 ?? ? ? ? ? ? ? 为将点 ? x, y ? 映到点 ? x?, y?? 的 ? ?b d ? ? y ? ?bx ? dy ? ? y?? ?b d ? ? y ?
? x? ? ?y ?

一次变换.若 ? ? = ? ?

? 2 ?1? ? x ? 把直线 y ? kx 上的各点映到这点本身,而把直线 p q ? ? y? ? ?? ?

y ? mx 上的各点映到这点关于原点对称的点.则 k , m, p, q 的值依次是
A. k ? 1, m ? ?2, p ? 3, q ? 3 C. k ? ?2, m ? 3, p ? 3, q ? 1 B. k ? 1, m ? 3, p ? 3, q ? ?2 D. k ? ?2, m ? 1, p ? 3, q ? 3

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.在复平面内,复数 i (2 ? i ) 对应的点的坐标为 .

10.直线 l 的参数方程为 ?

? x ? 1 ? 3t (t 为参数) ,则直线 l 的斜率为 ? y ? 1 ? 2t

.

11.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c . a ? 3,b ? 2, A ? 12.若 ( x 2 ? )n 展开式中的二项式系数和为 64 , n 等于 则

? ,则 tan B ? 6

. .

1 x

, 该展开式中的常数项为

13.抛物线 C : y 2 ? 2 px 的焦点坐标为 F ( ,0) ,则抛物线 C 的方程为
C 上运动,点 Q 在直线 x ? y ? 5 ? 0 上运动,则 PQ 的最小值等于

1 2

,若点 P 在抛物线 .

14.在数列 {an } 中, 如果对任意的 n ? N* , 有 都

an ? 2 an ?1 ? ? ? ( ? 为常数) 则称数列 {an } 为 , an ?1 an

比等差数列, ? 称为比公差.现给出以下命题:

第 2 页

①若数列 {Fn } 满足 F1 = 1,F2 = 1,Fn ? Fn?1 ? Fn?2 (n ? 3) ,则该数列不是比等差数列 ; ②若数列 {an } 满足 an ? 3 ? 2
n?1

,则数列 {an } 是比等差数列,且比公差 ? ? 0 ;

③等比数列一定是比等差数列,等差数列一定不是比等差数列; ④若 {an } 是等差数列, {bn } 是等比数列,则数列 {anbn } 是比等差数列. 其中所有真命题的序号是 .

三、解答题: 本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程. 15.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) (? ? 0,0 ? ? ? ?) 的最小正周期为 ? ,且图象过点 ( , ) . (Ⅰ)求 ?,? 的值;

? 1 6 2

? (Ⅱ)设 g ( x) ? f ( x) f ( x ? ) ,求函数 g ( x) 的单调递增区间. 4

16.(本小题满分 14 分) 如图, ABCD 是正方形, DE ? 平面 ABCD , AF // DE , DE ? DA ? 3 AF . (Ⅰ) 求证: AC ? BE ; (Ⅱ) 求二面角 F ? BE ? D 的余弦值; (Ⅲ)设点 M 是线段 BD 上一个动点,试确定点 M 的位置, 使得 AM // 平面 BEF ,证明你的结论.
F

E

A

D

B

C

17.(本小题满分 13 分) 小明从家到学校有两条路线,路线 1 上有三个路口,各路口遇到红灯的概率均为 路线 2 上有两个路口,各路口遇到红灯的概率依次为

1 ; 2

3 4 , . 4 5

(Ⅰ)若小明上学走路线 1,求最多遇到 1 次红灯的概率;

第 3 页

(Ⅱ)若小明上学走路线 2,求遇到红灯次数 X 的数学期望; (Ⅲ)按照“平均遇到红灯次数越少为越好”的标准,请你帮助小明从上述两条路线中 选择一条最好的上学路线,并说明理由.

18.(本小题满分 13 分)
x

已知函数 f ( x) ? ( x 2 ? x ? a)e a ( a ? 0 ). (Ⅰ)当 a ? 1 时,求函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)当 x ? ?5 时, f ( x) 取得极值. ① 若 m ? ?5 ,求函数 f ( x) 在 ?m, m? 1? 上的最小值; ② 求证:对任意 x1 , x2 ?[?2,1] ,都有 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? 2 .

19.(本小题满分 14 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,且过点 A( 2,1) .直线 2 a b 2

2 x ? m 交椭圆 C 于 B , D (不与点 A 重合)两点. 2 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)△ABD 的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明 理由. y?

20.(本小题满分 13 分) 设 m ? 3 ,对于项数为 m 的有穷数列 ?an ? ,令 bk 为 a1 , a2 ,?, ak (k ? m) 中的最大值, 称数列 ?bn ? 为 ?an ? 的“创新数列” .例如数列 3,5,4,7 的创新数列为 3,5,5,7.考 查自然数 1, 2 ,?, m (m ? 3) 的所有排列,将每种排列都视为一个有穷数列 ?cn ? . (Ⅰ)若 m ? 5 ,写出创新数列为 3,5,5,5,5 的所有数列 ?cn ? ; (Ⅱ)是否存在数列 ?cn ? 的创新数列为等比数列?若存在,求出符合条件的创新数列; 若不存在,请说明理由;

第 4 页

(Ⅲ)是否存在数列 ?cn ? ,使它的创新数列为等差数列?若存在,求出所有符合条件 的数列 ?cn ? 的个数;若不存在,请说明理由.

第 5 页

房山区 2013 年高考第二次模拟考试参考答案 数 学 (理科) 2013.05

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 1A 2C 3B 4D 5B 6C 7A 8B

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. (1, 2) 12. 6, 15 10. ?

2 3
9 2 4

11.

2 4

13. y 2 ? 2 x,

14. ①②

三、解答题: 本大题共 6 小题,共 80 分. 15(本小题满分 13 分) (Ⅰ)由最小正周期为 ? 可知 由 f( )?

?

6

1 得 2

又0 ?? ?? ,

?

2? ? 2, T ? 1 sin( ? ? ) ? , 3 2

??

??????2 分

3 5? ?? ? 所以 3 6

?

?

?

3

?? ? ? ?

?

??

?
2

3
, ??????5 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知

f ( x) ? sin(2 x ? ) ? cos 2 x 2

?

所以 g ( x) ? cos 2 x ? sin[2( x ?

?

1 ? ) ? ] ? cos 2 x sin 2 x ? sin 4 x 2 4 2

?????????????????????????9 分 解 2 k? ?

?

2 2 k? ? k? ? ? ?x? ? (k ? Z) 得 ???????????12 分 2 8 2 8 k ? ? k? ? ? , ? ] (k ? Z) . 所以函数 g ( x) 的单调增区间为 [ 2 8 2 8
???????????????????13 分 16(本小题满分 14 分) (Ⅰ)证明: 因为 DE ? 平面 ABCD , 所以 DE ? AC . ????????1 分
z
E

? 4 x ? 2 k? ?

?

因为 ABCD 是正方形, 所以 AC ? BD ,
x
F D A M B C

第 6 页 y

所以 AC ? 平面 BDE , 从而 AC ? BE

???????3 分 ????????4 分

(Ⅱ)解:因为 DA, DC, DE 两两垂直, 所以建立空间直角坐标系 D ? xyz 如图所示. ????5 分 设 AD ? 3 ,可知 DE ? 3, AF ? 1 . ????????6 分 则 D(0,0,0) , A(3, 0, 0) , F (3,0,1) , E (0,0,3) , B(3,3, 0) , C (0,3, 0) , 所以 BF ? (0,?3,1) , EF ? (3,0,?2) , ??????7 分

??? ? ?n ? BF ? 0 ?? 3 y ? z ? 0, ? 设平面 BEF 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,则 ? ??? ,即 ? , ? ? 3x ? 2 z ? 0. ?n ? EF ? 0 ?
令 z ? 3 ,则 n ? (2,1,3) . ???????8 分

因为 AC ? 平面 BDE ,所以 CA 为平面 BDE 的法向量, CA ? (3, ?3,0) ,

??? ?

??? ?

所以 cos ? n, CA ? ?

n ? CA n CA

?

7 14

???????????????9 分

因为二面角为锐角,所以二面角 F ? BE ? D 的余弦值为

7 . ????10 分 14

(Ⅲ)解:点 M 是线段 BD 上一个动点,设 M (t , t ,0) (0 ? t ? 3 2) . 则 AM ? (t ? 3, t ,0) , 因为 AM // 平面 BEF , 所以 AM ? n ? 0 , 即 2(t ? 3) ? t ? 0 ,解得 t ? 2 . 此时,点 M 坐标为 (2, 2, 0) , BM ?

???? ?

???? ?

?????11 分 ?????13 分

1 BD ,符合题意. 3

?????14 分

17(本小题满分 13 分) (Ⅰ)设走路线 1 最多遇到 1 次红灯为 A 事件,则

1 1 1 1 1 P ( A)=C30 ? ( )3 ? C3 ? ? ( ) 2 ? . 2 2 2 2 (Ⅱ)依题意, X 的可能取值为 0,1,2.

??????2 分

第 7 页

3 4 1 P ( X =0)=(1 ? ) ? (1 ? ) ? , 4 5 20 3 4 3 4 7 P( X =1)= ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? ? , 4 5 4 5 20 3 4 3 P ( X =2)= ? ? . ????????????8 分 4 5 5 随机变量 X 的分布列为: 0 1 2 X 7 3 1 P 20 5 20
??????????????????9 分

1 7 3 31 EX ? ? 0 ? ?1 ? ? 2 ? . 20 20 5 20
(Ⅲ)设选择路线 1 遇到红灯次数为 Y ,则 Y ? B (3, ) , 所以 EY ? 3 ?

??????10 分

1 2

1 3 ? . 2 2 因为 EX ? EY ,所以选择路线 1 上学最好.

??????12 分 ??????13 分

18(本小题满分 13 分)
x x x 1 2 1 a a a (Ⅰ) f '( x) ? ( x ? x ? a)e ? (2 x ? 1)e ? x( x ? 1 ? 2a)e a a

????1 分

x 当 a ? 1 时, f '( x) ? x( x ? 3)e

解 f ?( x) ? 0 得 x ? 0 或 x ? ?3 , 解 f ?( x) ? 0 得 ?3 ? x ? 0 ?????2 分 所以 f ( x) 单调增区间为 (??, ?3) 和 (0, ??) ,单调减区间为 (?3, 0) ???3 分
x 1 a (Ⅱ)①当 x ? ?5 时, f ( x) 取得极值, 所以 f '(?5) ? ( ?5)( ?5 ?1 ? 2 a) e ? 0 a

解得 a ? 2 (经检验 a ? 2 符合题意)

?????4 分

f '( x) ?
x

1 x ? x ? 5? e x 2
(??, ?5)
+

?5
0

(?5, 0)
-

0

(0, ??)
+

f ?( x )

0

第 8 页

f ( x)

↗ ,



↗ ??5 分

所以函数 f ( x) 在 ? ??, ?5?

? 0 ? ? ? 递增,在 ? ?5,0? 递减.

当 ?5 ? m ? ?1 时, f ( x) 在 ?m, m? 1? 单调递减,

f min ( x) ? f (m ? 1) ? m(m ? 3)e
当 ?1 ? m ? 0 时

m?1 2

??????6 分

m ? 0 ? m ?1

f ( x) 在 ?m,0? 单调递减,在 ?0, m ? 1? 单调递增,

f min ( x) ? f (0) ? ?2 .
当 m ? 0 时, f ( x) 在 ?m, m? 1? 单调递增,

??????7 分

f min ( x) ? f (m) ? (m ? 2)(m ? 1)e

m 2

????????8 分

综上, f ( x) 在 ?m, m? 1? 上的最小值
m ?1 ? 2 ?5 ? m ? ?1, ? m(m ? 3)e , ? f min ( x) ? ? ?2, ?1 ? m ? 0, ? m ?(m ? 2)(m ? 1)e 2 , m ? 0. ?

????????9 分

②令 f '( x) ? 0 得 x ? 0, x ? ?5 (舍) 因为 f (?2) ? 0, f (0) ? ?2, f (1) ? 0 所以 f max ( x) ? 0,

fmin ( x) ? ?2

?????11 分

所以,对任意 x1 , x2 ?[?2,1] ,都有 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? f max ( x) ? f min ( x) ? 2 ?????13 分 19(本小题满分 14 分) (Ⅰ)? e ?

2 c ? , 2 a

2 1 ? ? 1 , a 2 ? b2 ? c 2 a 2 b2

? a ? 2,b ? 2 ,c ? 2
x2 y 2 ? 1 . ------------------------------------------3 分 ? ? 4 2

第 9 页

(Ⅱ)设 B( x1 ,

y1 ) , D( x2 ,

y2 ) ,

? 2 x +m ? y= ? 2 由? ? x2 ? 2mx ? m2 ? 2 ? 0 2 2 ? x ? y ?1 ? 4 2 ?

? ? ? 8 ? 2m2 ? 0 ? ?2 ? m ? 2

x1 ? x2 ? ? 2m,
? BD ? 1 ? (



x1x2 ? m2 ? 2 ②----------------------5 分

2 2 6 ) x1 ? x2 ? 8 ? 2m2 , --------------------8 分 2 2
2 x +m 的距离, 2
--------------------10 分

设 d 为点 A 到直线 BD: y =

?d ?

2m 6

? S?ABD ?

1 2 BD d ? (4 ? m2 )m2 ? 2 ----------------------13 分 2 2

当且仅当 m ? ? 2 ? (?2, 2) 时等号成立 ∴当 m ? ? 2 时, ?ABD 的面积最大,最大值为 2 ----------------14 分 20(本小题满分 13 分) (Ⅰ)由题意,创新数列为 3,5,5,5,5 的所有数列 ?cn ? 有 6 个, 3,5,1,2,4; ???????????????????????2 分 3,5,1,4,2; 3,5,2,1,4; 3,5,2,4,1; 3,5,4,1,2; 3,5,4,2,1;????????????????????????4 分 (Ⅱ)存在数列 ?cn ? 的创新数列为等比数列. 设数列 ?cn ? 的创新数列为 {en } , 因为 em 为前 m 个自然数中最大的一个,所以 em ? m .若 {en } 为等比数列,

第 10 页

设公比为 q ,因为 ek ?1 ? ek (k ? 1,2,?, m ? 1) ,所以 q ? 1 .?????7 分 当 q ? 1 时, {en } 为常数列满足条件,即为数列 m, m, ? , m 当 q ? 1 时, {en } 为增数列,符合条件的数列只能是 1,2, ?, m , 又 1,2, ?, m 不满足等比数列.综上符合条件的创新数列只有一个. ????????????????????????8 分 (Ⅲ)存在数列 ?cn ? ,使它的创新数列为等差数列, 设数列 ?cn ? 的创新数列为 {en } ,因为 em 为前 m 个自然数中最大的一个, 所以 em ? m .若 {en } 为等差数列,设公差为 d ,
* 因为 ek ?1 ? ek (k ? 1,2,?, m ? 1) ,所以 d ? 0 .且 d ? N

当 d ? 0 时 , {en } 为 常 数 列 满 足 条 件 , 即 为 数 列 m, m, ? , m ( 或 写 通 项 公 式 , en ? m (n ? 1,2,?, m) )
m?1 此时数列 ?cn ? 是首项为 m 的任意一个排列,共有 Am?1 个数列;

???????????????11 分 当 d ? 1 时,符合条件的数列 {en } 只能是 1,2, ?, m ,此时数列 ?cn ? 是 1,2, ?, m , 有 1 个; 当 d ? 2 时,? em ? e1 ? (m ? 1)d ? e1 ? 2(m ? 1) ? e1 ? m ? m ? 2 又 m ? 3

? m ? 2 ? 0 ? em ? m 这与 en ? m 矛盾,所以此时 {en } 不存在.
m?1 综上满足条件的数列 ?cn ? 的个数为 Am?1 ? 1 个(或回答 (m ? 1)!?1 个) .

?????????????????13 分

第 11 页


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