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湖北省黄冈中学2015届高三5月模拟考试数学(理)试卷

时间:2016-02-01


2015 届黄冈中学高三下 5 月模拟考试
1 ? 2i 的共轭复数是 2?i 3i 3i A. B. ? 5 5

数学试题(理)

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每个小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.复数

C. i

D. ?i



2. 设全集 U ? R ,函数 f ( x) ? lg(| x ? 1| ?1) 的定义域为 A ,集合 B ? {x | sin ? x ? 0} ,则
(CU A) ? B 的元素个数为

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

3.下列四种说法中,正确的个数有 ①命题“ ?x ∈R,均有 x 2 ? 3 x ? 2 ≥0”的否定是:“ ?x ∈R,使得 x 2 ? 3 x ? 2 ? 0 ” ②“命题 p ? q 为真”是“命题 p ? q 为真”的必要不充分条件; ③ ? m ? R ,使 f ? x ? ? mx m
2

?2m

是幂函数,且在 ? 0, ?? ? 上是单调递增

④若数据 x1 , x2 , x3 ,?, xn 的方差为 1,则 2 x1 , 2 x2 , 2 x3 , ???, 2 xn 的方差为 2 A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个

?y ? x ? 4.已知 x,y 满足 ? x ? y ? 2,且z ? 2 x ? y 的最大值是最小值的 4 倍,则 a 的值是 ?x ? a ?
A.

3 4

B.

1 4

C.

2 11

D.4

5. 如图所示的茎叶图(图一) 为高三某班 50 名学生的化学考 试成绩,图(二)的算法框图中 输入的 ai 为茎叶图中的学生成绩, 则输出的 m, n 分别是 A. m ? 38, n ? 12 C. m ? 12, n ? 12 B. m ? 26, n ? 12 D. m ? 24, n ? 10
(图一)

6.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为

(图二)

A. 3

B.2

C.

4 3 3

D. 2 3

7.先后掷一枚质地均匀骰子(骰子的六个面上分别标有 1 、2 、3 、4 、5 、6 个点)两次,落 在水平桌面后,记正面朝上的点数分别为 x , y ,设事件 A 为“ x ? y 为偶数”, 事件 B 为
“ x , y 中有偶数且 x

? y ”,则概率 P( B | A) 等于
B.

A.

1 3

1 2

C.

1 6

D.

1 4

sin x 的所有正的零点从小到大依次为 x1 , x 2 , x3 ,..... . 1 ? cos x 设 ? ? x1 ? x2 ? x3 ? .... ? x2015 ,则 cos ? 的值是
8.设函数 f ( x) ? 1 ? A.0 9. 过曲线 C1 : B. ?

3 2

C.

3 2

D.1

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左焦点 F1 作曲线 C2 : x 2 ? y 2 ? a 2 的切线,设切点 2 a b 为 M,延长 F1M 交曲线 C3 : y 2 ? 2 px( p ? 0) 于点 N,其中 C1、C3 有一个共同的焦点,若

MF1 ? MN ,则曲线 C1 的离心率为
A. 5 B. 5 ? 1 C. 5 ? 1 D.

10.已知非零向量 a, b, c 满足 | a ? b |?| b |? 4 , (a ? c) ? (b ? c) ? 0 ,若对每一个确定的 b ,| c | 的最大值和最小值分别为 m, n ,则 m ? n 的值为 A.随 | a | 增大而增大

? ? ?

? ?

?

? ?

? ?

5 ?1 2

?

?

?

B. 随 | a | 增大而减小

?

C.是 2

D. 是 4

二、填空题:本大题共 6 个小题,考生共需作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.请将答案填 在答题卡对应题号的位置上.答错位置,书写不清,模棱两可均不得分. (一) 必考题(11—14 题) 11. 若 ( x ? ) n 的 二 项 展 开 式 中 各 项 的 二 项 式 系 数 的 和 是 64 , 展 开 式 中 的 常 数 项 为 ___________(用数字作答). 12.已知等差数列 ?an ? 满足 a2 ? a4 ? a2012 ? a2014 ? 的和,则 S 2015 ?
1 2

1 x

32

?

?

1

0

1 ? x 2 dx , S n 是该数列的前 n 项

.
3 n

13.计算 Cn ? 2Cn ? 3Cn ? ??? ? nCn ,可以采用以下方法:构造等式:
0 1 2 2 n n Cn ? Cn x ? Cn x ? ??? ? Cn x ? ?1 ? x ? ,两边对 x 求导,

n

得 Cn ? 2Cn x ? 3Cn x ? ??? ? nCn x
1 2 3 2 n
1 2 3 n

n ?1

? n ?1 ? x ?

n ?1

,在上式中令 x ? 1 ,

得 Cn ? 2Cn ? 3Cn ? ??? ? nCn ? n ? 2

n ?1

.类比上述计算方法,

计算 Cn ? 2 Cn ? 3 Cn ? ??? ? n Cn ? _________.
1 2 2 2 3 2 n

14.如果 y ? f ( x) 的定义域为 R , 对于定义域内的任意 x , 存在实数 a 使得 f ( x ? a ) ? f (? x) 成立,则称此函数具有“ P (a ) 性质”. 给出下列命题: ①函数 y

? sin x 具有“ P(a) 性质” ;

②若奇函数 y ? f ( x) 具有“ P ( 2) 性质” ,且 f (1) ? 1 ,则 f (2015) ? 1 ; ③若函数 y ? f ( x) 具有“ P (4) 性质” , 图象关于点 (1, 0) 成中心对称,且在 (?1, 0) 上单调递 减,则 y ? f ( x) 在 (?2, ?1) 上单调递减,在 (1, 2) 上单调递增; ④若不恒为零的函数 y ? f ( x) 同时具有“ P (0) 性质”和 “ P (3) 性质” ,且函数 y ? g ( x) 对

?x1 , x 2 ? R ,都有 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |?| g ( x1 ) ? g ( x2 ) | 成立,则函数 y ? g ( x) 是周期函数.
其中正确的是 (写出所有正确命题的编号). (二) 选考题(请考生在第 15、16 两题中任选一题做答,请先在答题卡指定位置将你所选的题 目序号所在方框用 2B 铅笔涂黑.如果全选,则按第 15 题作答结果计分. ) 15.如图,圆 A 与圆 B 交于 C、D 两点,圆心 B 在圆 A 上,DE 为圆 B 的直径,已知 CE ? 1, DE ? 4 ,则圆 A 的半径为_______. 16.在直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若点 P 为

?x ? t ? 直线 ? cos ? ? ? sin ? ? 4 ? 0 上一点,点 Q 为曲线 ? 1 (t 为参数)上一点,则 | PQ | 的 y ? t2 ? ? 4
最小值为 .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分)在锐角△ABC 中, (Ⅰ)求角 A ; (Ⅱ)若 a ?

b 2 ? a 2 ? c 2 cos( A ? C ) . ? ac sin A cos A

2 ,当 sin B ? cos(

7? ? C ) 取得最大值时,求 B 和 b . 12

18. (本小题满分 12 分) 黄冈市于 2014 年 12 月 29 日起实施小汽车限购政策.根据规定, 每年发放 10 万个小汽车名额,其中电动小汽车占 20%,通过摇号方式发放,其余名额通过摇 号和竞价两种方式各发放一半.政策推出后,某网站针对不同年龄段的申请意向进行了调查, 结果如下表所示:
申请意向 年龄 30 岁以下(含 30 岁) 电动小汽车 (人数) 50 摇号 非电动小汽车(人数) 100 竞价(人数) 50 合计 200

30 至 50 岁 (含 50 岁) 50 岁以上 合计

50 100 200

150 150 400

300 50 400

500 300 1000

(Ⅰ)采取分层抽样的方式从 30 至 50 岁的人中抽取 10 人,求其中各种意向人数; (Ⅱ)在(Ⅰ)中选出的 10 个人中随机抽取 4 人,求其中恰有 2 人有竞价申请意向的概率; (Ⅲ)用样本估计总体,在全体市民中任意选取 4 人,其中摇号申请电动小汽车意向的人数 记为 ? ,求 ? 的分布列和数学期望. 19.(本小题满分 12 分)已知四边形 ABCD 满足 AD∥BC,BA=AD=DC=
1 BC=a,E 是 BC 2

的中点,将△BAE 沿 AE 折起到 ?B1 AE 的位置,使平面 B1 AE ? 平面 AECD ,F 为 B1D 的中 点. (Ⅰ)证明:B1E∥平面 ACF; (Ⅱ)求平面 ADB1 与平面 ECB1 所成锐二面角的余弦值.

20. (本小题满分 12 分)设数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,满足 S n ? an?1 ? n ? 2n?3 ? 4 , n ? N* , 且 a1 , S 2 , 2a3 ? 4 成等比数列. (Ⅰ)求 a1 , a2 , a3 的值; (Ⅱ)设 bn ?

an , n ? N ? ,求 {an } 的通项公式. n 2

x2 y 2 6 21. (本小题满分 13 分)已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率为 ,长轴长为 a b 3

2 6.
(Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ) 设 F 为椭圆 C 的右焦点, T 为直线 x ? t (t ? R, t ? 2) 上纵坐标不为 0 的任意一点, 过F 作 TF 的垂线交椭圆 C 于点 P,Q. (ⅰ)若 OT 平分线段 PQ(其中 O 为坐标原点),求 t 的值; (ⅱ)在(ⅰ)的条件下,当

| TF | 最小时,求点 T 的坐标. | PQ |

22. (本小题满分 14 分) 已知 f ( x) ? mx ? a ln x ? m, g ( x) ?

ex 其中 m, a (e ? 2.71828?) , ex

均为实数. (Ⅰ)求 g ( x) 的极值; (Ⅱ)设 m = 1, a = 0 ,求证:对 ?x1 , x2 ? ?3, 4? ( x1 ? x2 ), f ( x2 ) ? f ( x1 ) ?

ex2 ex1 恒成立; ? g ( x2 ) g ( x1 )

(Ⅲ)设 a ? 2 ,若对 ? 给定的 x 0 ? ?0, e? ,在区间 ?0, e? 上总存在 t1 , t 2 (t1 ? t 2 ) 使得

f (t1 ) ? f (t 2 ) ? g ( x 0 ) 成立,求 m 的取值范围.

答 案
1 ? 5 DCCBB
11. 15 17. 12. 4030

6 ? 10 CAADD
13. n(n ? 1) ? 2
n?2

14. ①③④ 15. 4

16.

3 2 2

18.

19(1)连结 ED 交 AC 于 O,连结 OF,因为 AECD 为菱形,OE=OD 所以 FO∥B1E, 所以 B1 E / / 面ACF 。??????4 分 (2) 取 AE 的中点 M,连结 B1M,连结 MD,则∠AMD= 90 0 , 分 别 以 ME,MD,MB1 为 x,y,z 轴 建 系 , 则

a a 3 3 3 E ( ,0,0) , C (a , a ,0) A (? ,0,0) , D (0, a ,0) , B 1 (0,0, a) , 所 以 1 , 2 2 2 2 2 a 3a a 3a a 3a EB 1 ? (? ,0, ) ,AD ? ( , ,0) , AB 1 ? ( ,0, ) ,设面 ECB1 的法向 2 2 2 2 2 2 ?a 3 ay ? 0 ? x ? 3 3 ?2 2 量为 u ? (x , y , z ) , ? ,令 x=1, u ? (1,? , ) ,?8 分 3 3 a 3 ? ? x ? az ? 0 ? 2 ? 2 3 3 同理面 ADB1 的法向量为v ? (1,? ????10 分 ,? ) 3 3 1 1 1? ? 3 3 3 所以 cos ? u ,v ?? ? , 1 1 1 1 5 1? ? ? 1? ? 3 3 3 3 3 故面 ADB1与面ECB1 所成锐二面角的余弦值为 ???? 12 分 5
20.

(2)由 S n ? an?1 ? n ? 2n?3 ? 4 得 S n ?1 ? an ? (n ? 1)2n ? 2 ? 4 n ? 2 两式相减得 an ?1 ? 2an ? (n ? 1)2n ? 2

an ?1 an ? ? 2(n ? 1) ,则 bn ?1 ? bn ? 2(n ? 1) ??8 分 2n ?1 2n 当 n ? 2 时, bn ? b1 ? b2 ? b1 ? ? bn ? bn ?1 ? 2(1 ? 2 ? ? n) ? n(1 ? n)
两边同时除以 2
n ?1



当 n ? 1 时, b1 ? 2 满足上式,所以 bn ? n(n ? 1) ,

n(n ? 1) .....................................12 2n 21.解: (1)由已知解得 a 2 ? 6 b 2 ? 2 x2 y2 所以椭圆 C 的标准方程是 ? ? 1 . ………………………………(2 分) 6 2
从而 an ? (2) (ⅰ)由(1)可得,F 点的坐标是(2,0). x=my+2, ? ?2 2 设直线 PQ 的方程为 x=my+2,将直线 PQ 的方程与椭圆 C 的方程联立,得?x y ? 6 + 2 =1. ? 消去 x,得(m2+3)y2+4my-2=0,其判别式 Δ=16m2+8(m2+3)>0. -2 -4m 12 设 P(x1,y1),Q(x2,y2),则 y1+y2= 2 ,y1y2= 2 .于是 x1+x2=m(y1+y2)+4= 2 . m +3 m +3 m +3 设 M 为 PQ 的中点,则 M 点的坐标为 (

6 ? 2m , 2 ). m ?3 m ?3
2

????5 分

因为 TF ? PQ ,所以直线 FT 的斜率为 ? m ,其方程为 y ? ? m( x ? 2) . 当 x ? t 时, y ? ? m?t ? 2 ? ,所以点 T 的坐标为 ?t ,? m?t ? 2 ?? ,

? m?t ? 2 ? m( 2 ? t ) ,其方程为 y ? x. t t 6 ? 2m ? 2m m( 2 ? t ) 6 将 M 点的坐标为 ( 2 . , 2 ) 代入,得 2 ? ? 2 m ?3 m ?3 m ?3 t m ?3 解得 t ? 3 . ………………………………………………8 分
此时直线 OT 的斜率为 (ⅱ)由(ⅰ)知 T 为直线 x ? 3 上任意一点可得,点 T 点的坐标为 (3,? m) . 于是 | TF |?

m2 ? 1 ,

| PQ |?

24(m 2 ? 1) . m2 ? 3

????10 分

| TF | m2 ? 3 1 (m 2 ? 3) 2 2 ? m ?1 ? ? ? 所以 | PQ | m2 ? 1 24 (m 2 ? 1) 24
1 (m 2 ? 3) 2 1 (m 2 ? 1) 2 ? 4(m 2 ? 1) ? 4 ? ? ? ? m2 ? 1 m2 ? 1 24 24

?

1 4 1 3 ? m2 ? 1 ? 2 ?4 ? ? 2 4?4 ? . m ?1 3 24 24

?????12 分

3 4 |TF| 当且仅当 m2+1= 2 ,即 m=± 1 时,等号成立,此时 取得最小值 . |PQ| m +1 3
|TF| 故当 最小时,T 点的坐标是(3,1)或(3,-1). |PQ| 22. 解 :( 1 ) ? g ( x) ? ?????13 分

ex ? e( x ? 1) ,? g ' ( x) ? ,? ?? ?,1? ?, ?1,?? ? ?,? g ( x) 极 大 值 x e ex
??????4 分

g (1) ? 1 ,无极小值;

(2)? m = 1, a = 0 ,? f ( x) ? x ? 1 ,在 3, 4 上 是增函数,又 ? e x ,在 3, 4 上是增函 g ( x)
2 1 数设 3 ? x1 ? x 2 ? 4 ,则原不等式转化为 f ( x2 ) - f ( x1 ) < g ( x ) - g ( x ) 2 1

[ ]

ex

[ ]

ex

ex

即 f ( x2 ) -

ex2 ex1 < f ( x1 ) g ( x2 ) g ( x1 )

?6 分

令 h( x ) = f ( x ) -

ex = x - e x - 1, g ( x)

即证?x1 ? x2 , h( x2 ) ? h( x1 ), 即h( x)在 ?3, 4? 单减? h ' ( x) = 1 - e x < 0 在 [ 3, 4] 恒成立 即h( x)在 ?3, 4? 单减,即所证不等式成立
(3)由(1)得 g ( x)在?0,1? ? ?1, e ? ?, g ( x) max ? g (1) ? 1 所以, ????????????9 分

g ( x) ? ?0,1? ,又 f ' ( x) ? m ?

2 , 当m ? 0时,f ' ( x) ? 0, f ( x)在?0,e ? ? 不符合题意。 x

当 m? ? 0 时,要 ?t1 , t 2 使得f (t1 ) ? f (t 2 ) , 那么由题意知 f ( x) 的极值点必在区间 ?0, e ? 内,即 0 ? 得m ?

2 ?e m

2 ? 2? ?2 ? ,且函数 f ( x) 在 ? 0, ? ?, ? , e ? ? e ? m? ?m ?

由题意得 g ( x) 在 ?0, e ? 上的值域包含于 f ( x) 在 ? 0,

? ?

2? ?2 ? ?和? , e ? 上的值域 m? ?m ?

? 2 3 ?f( )?0 ?2 ? ?m? 内, ?? ,e? ? m e ?1 ?m ? ? ? f (e) ? 1
下面证 t ? ? 0,

? ?

2 2? 时, f (t ) ? 1 ,取 t ? e ? m ,先证 e ? m ? , 即证2e m ? m ? 0 ? m m?

令 w( x) ? 2e x ? x,? w ' ( x) ? 2e x ? 1 ? 0, 在?

? 3 ? ,?? ? 内恒成立 ?e ?1 ?

? w( x) ?,? w( x) ? w(

3 ) ? 0,? 2e m ? m ? 0 e ?1 3 3 再证 f (e ? m ) ? 1,? f (e ? m ) ? me ? m ? m ? m ? ? 1,? m ? e ?1 e ?1

?????14 分


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