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【金识源】高中数学 2.3.3-2.3.4(第2课时)直线与平面、平面与平面垂直的性质课件 新人教A版必修2


2.3.3 & 2.3.4

直线与平面、平面与平面垂直
的性质

第二课时

直线与平面、平面与平面垂直的性质
(习题课)

1.直线与平面垂直的性质定理是什么?

2.直线与平面垂直的性质定理有什么作用?

3.平面与平面垂直

的性质定理是什么?

4.平面与平面垂直的性质定理有什么作用?

线面、面面垂直的综合问题
[例1] 如图,已知直线a⊥α,直线b⊥β,且AB⊥a,

AB⊥b,平面α∩β=c.求证:AB∥c.

[证明] 面设为γ.

如图,过点B作直线a′∥a,a′与b确定的平

因为a′∥a,AB⊥a,所以AB⊥a′,又AB⊥b, a′∩b=B,所以AB⊥γ. 因为b⊥β,c?β,所以b⊥c.① 因为a⊥α,c?α,所以a⊥c,又a′∥a,所以a′⊥c.② 由①②可得c⊥γ,又AB⊥γ,所以AB∥c.

[类题通法] 判断线线、线面的平行或垂直关系,一般要利用判定 定理和性质定理,有时也可以放到特殊的几何体中(如正方 体、长方体等)然后再判断它们的位置关系.

[活学活用] 1. 如图所示:平面α,β,直线a,且α⊥β,α∩β=AB,a∥ α,a⊥AB. 求证:a⊥β.
证明:∵a∥α,过a作平面γ交α于 a′,则a∥a′

∵a⊥AB, ∴a′⊥AB. ∵α⊥β,α∩β=AB, ∴a′⊥β, ∴a⊥β.

求点到面的距离
[例2] 已知△ABC,AC=BC=1,AB= 2 ,又已知S是 5 ,点P是SC的

△ABC所在平面外一点,SA=SB=2,SC= 中点,求点P到平面ABC的距离.
[解]

法一:如图所示,连接PA,PB.易知△SAC,△

ACB是直角三角形,所以SA⊥AC,BC⊥AC. 取AB、AC的中点E、F,连 接PF,EF,PE,则EF∥BC,PF∥SA. 所以EF⊥AC,PF⊥AC.

因为PF∩EF=F,所以AC⊥平面PEF. 又PE?平面PEF,所以PE⊥AC. 易证△SAC≌△SBC.因为P是SC的中点, 所以PA=PB. 而E是AB的中点,所以PE⊥AB. 因为AB∩AC=A,所以PE⊥平面ABC.

从而PE的长就是点P到平面ABC的距离. 1 5 1 2 在Rt△AEP中,AP= SC= ,AE= AB= , 2 2 2 2 所以PE= AP -AE =
2 2

5 1 3 - = , 4 2 2

3 即点P到平面ABC的距离为 . 2

法二:如图所示,过A作AE∥BC,过B 作BF∥AC,交AE于点D,则四边形ACBD 为正方形. 连接SD.因为AC⊥SA,AC⊥AD, SA∩AD=A,所以AC⊥平面SDA. 所以AC⊥SD. 又由题意,可知BC⊥SB.因为BC⊥BD,SB∩BD=B, 所以BC⊥平面SDB,所以BC⊥SD.

又BC∩AC=C,于是SD⊥平面ACBD. 所以SD的长为点S到平面ABC的距离. 在Rt△SDA中易得SD= SA2-AD2= 22-12= 3. 1 3 因为P为SC的中点,故点P到平面ABC的距离为 SD= . 2 2

[类题通法] 求点到面的距离的关键是确定过点与平面垂直的线 段.可通过外形进行转化,转化为易于求解的点,等体积法

也是求点到平面的距离的常用方法.

[活学活用] 2. 如图所示,正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面边长为 2 2,侧棱长为4,E,F分别为棱AB,BC的中点, EF∩BD=G. (1)求证:平面B1EF⊥平面BDD1B1; (2)求点D1到平面B1EF的距离.

解:证明:(1)连接AC.∵正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底 面是正方形, ∴AC⊥BD.又AC⊥DD1,且BD∩DD1=D, 故AC⊥平面BDD1B1, ∵E,F分别为棱AB,BC的中点,故EF∥AC, ∴EF⊥平面BDD1B1, ∴平面B1EF⊥平面BDD1B1.

(2)解题流程:

折叠问题
[例3] 如图,在矩形ABCD中,AB=2AD,E是AB的中

点,沿DE将△ADE折起. (1)如果二面角A-DE-C是直二面角,求证:AB=AC; (2)如果AB=AC,求证:平面ADE⊥平面BCDE.

[证明]

(1)过点A作AM⊥DE于点M,

则AM⊥平面BCDE, ∴AM⊥BC.又AD=AE, ∴M是DE的中点.取BC中点N,连接MN,AN,则MN ⊥BC.

又AM⊥BC,AM∩MN=M, ∴BC⊥平面AMN,∴AN⊥BC. 又∵N是BC中点,∴AB=AC.

(2)取BC的中点N,连接AN. ∵AB=AC,∴AN⊥BC. 取DE的中点M,连接MN,AM,∴MN⊥BC. 又AN∩MN=N, ∴BC⊥平面AMN,∴AM⊥BC. 又M是DE的中点,AD=AE,∴AM⊥DE. 又∵DE与BC是平面BCDE内的相交直线, ∴AM⊥平面BCDE. ∵AM?平面ADE,∴平面ADE⊥平面BCDE.

[类题通法] 解决折叠问题的策略 (1)抓住折叠前后的变量与不变量.一般情况下,在折 线同侧的量,折叠前后不变,“跨过”折线的量,折叠前

后可能会发生变化,这是解决这类问题的关键.
(2)在解题时仔细审视从平面图形到立体图形的几何特 征的变化情况.注意相应的点、直线、平面间的位置关系, 线段的长度,角度的变化情况.

[活学活用] 3.如图所示,在平行四边形ABCD中,已知AD=2AB=2a, BD= 3a,AC∩BD=E,将其沿对角线BD折成直二面 角.

求证:(1)AB⊥平面BCD; (2)平面ACD⊥平面ABD.

证明:(1)在△ABD中,AB=a,AD=2a,BD= 3a, ∴AB2+BD2=AD2, ∴∠ABD=90° ,∴AB⊥BD. 又∵平面ABD⊥平面BCD, 平面ABD∩平面BCD=BD,AB?平面ABD, ∴AB⊥平面BCD.

(2)∵折叠前四边形ABCD是平行四边形,且AB⊥BD, ∴CD⊥BD.∵AB⊥平面BCD,∴AB⊥CD. 又∵AB∩BD=B,∴CD⊥平面ABD. 又∵CD?平面ACD,∴平面ACD⊥平面ABD.

[随堂即时演练] 1.如图所示,三棱锥P-ABC的底面在平面α上,且AC⊥ PC,平面PAC⊥平面PBC,点P,A,B是定点,则动点C 运动形成的图形是(
A.一条线段 B.一条直线 C.一个圆 D.一个圆,但要去掉两个点

)

解析:∵平面PAC⊥平面PBC,AC⊥PC,AC?平面PAC, 且平面PAC∩平面PBC=PC, ∴AC⊥平面PBC. 又∵BC?平面PBC,∴AC⊥BC, ∴∠ACB=90° ,∴动点C运动形成的图形是以AB为直径的 圆,除去A和B两点,故选D.

答案:D

2.在三棱锥P—ABC中,平面PAC⊥平面ABC,∠PCA= 90° ,△ABC是边长为4的正三角形,PC=4,M是AB边 上的一动点,则PM的最小值为( A.2 3 C.4 3 )

B.2 7 D.4 7

解析:连接CM,则由题意PC⊥平面ABC,可得PC⊥CM, 所以PM= PC2+CM2 ,要求PM的最小值只需求出CM的

最小值即可,在△ABC中,当CM⊥AB时CM有最小值,此 3 时有CM=4× =2 3,所以PM的最小值为2 7. 2

答案:B

3.若构成教室墙角的三个墙面记为α,β,γ,交线记为BA, BC,BD,教室内一点P到三墙面α,β,γ的距离分别为3 m,4 m,1 m,则P与墙角B的距离为________ m.
解析:过点P向各个面作垂线,构成以BP为体对角线 的长方体. |BP|= 32+42+1= 26.

答案: 26

4.如图所示,平面α⊥平面β,A∈α,B∈β,AA′⊥ A′B′,BB′⊥A′B′,且AA′=3,BB′=4, A′B′=2,则三棱锥A—A′BB′的体积V=________.

解析:由题意AA1⊥面A′BB′,BB′⊥面A′B′A,则 三棱锥A—A′BB′中,AA′为高,底面△A′BB′为Rt △. 1 1 1 ∴VA-A′BB′= AA′· S△A′BB′= ×3× ×2×4=4. 3 3 2

答案:4

5.如图,已知平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ.α∩γ=a,β∩γ =b,且a∥b,求证:α∥β.

证明:在平面γ内作直线c⊥a. ∵α⊥γ,α∩γ=a,∴c⊥α. ∵a∥b,∴c⊥b.又∵β⊥γ,β∩γ=b, ∴c⊥β,∴α∥β.


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