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福建尤溪一中2015-2016学年高二上学期半期考理科数学试题

时间:2016-07-23


尤溪一中 2015--2016 学年度上学期半期考 高二数学(理科)试卷 命题人:刘敬旗 审核人:高二数学备课组 满分 150 分

考试时间 120 分钟

一、选择题:(共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.已知一组数据为 1、5、6、2、6,则这组数据的众数、中位数、平均数的大小关系为( A.中位数 >平均数 &g

t;众数 C.众数 >平均数 >中位数 2.设 a ? R ,则 a ? 1 是 B.众数 >中位数 >平均数 D.平均数 >众数 >中位数 )

1 ? 1 的( a



A.充分但不必要条件 件 3.方程表示的曲线,由(

B.必要但不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条

) B.左移 1 个单位,下移 2 个单位 D.右移 1 个单位,下移 2 个单位

A.左移 1 个单位,上移 2 个单位 C.右移 1 个单位,上移 2 个单位

4.从某小学随机抽取 100 名同学,将他们的身高(单位:厘米)数据绘制成频率分布直方图 (如右图)。由图中数据可知身高在内的学生人数为( )

A.20

B.25

C.30

D.35 )

5.从装有 2 个红球和 3 个黑球的口袋内任取 2 个球,则至少有一个红球的概率是(

A.

B.

C.

1 2

D.
2 2 2 2

6、已知 P 为椭圆 + =1 上的一点,M,N 分别为圆(x+3) +y =1 和圆(x-3) +y =4 上 25 16

x2

y2

的点,则|PM|+|PN|的最小值为( A.5 B.7 C.13

) D.15 )

→ → 2 2 7.已知 A(-1, 0)和圆 x +y =2 上动点 P, 动点 M 满足 2MA=AP, 则点 M 的轨迹方程是( A.(x-3) +y =1
2 2

3 2 2 B.(x+ ) +y =1 2 ).

3 2 1 2 C.(x+ ) +y = 2 2

3 2 1 2 D.x +(y+ ) = 2 2

8.下列选项中,说法正确的是(
2

A.“? x0∈R,x0-x0≤0”的否定是“? x∈R,x -x>0” B.若向量 a,b 满足 a·b<0,则 a 与 b 的夹角为钝角 C.若 am ≤bm ,则 a≤b D.命题“p∨q 为真”是命题“p∧q 为真”的必要不充分条件 9.执行如图所示的程序框图,如果输入的 t∈, 则输出的 S 属于( A. B. C. ) D.
2 2

2

10.已知椭圆 E : 点.

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 F (3, 0) ,过点 F 的直线交椭圆于 A, B 两 a 2 b2

若 AB 的中点坐标为 (1, ?1) ,则 E 的方程为(



x2 y 2 ? ?1 A. 45 36

x2 y 2 ? ?1 B. 36 27

x2 y 2 ? ?1 C. 27 18

x2 y 2 ? ?1 D. 18 9

?x ? y ? 8 ? 0 ? , 内的随 11. 已知关于 x 的二次函数 f ( x) ? ax ? 4bx ? 1 ,设(a,b)是区域 ? x ? 0 ?y ? 0 ?
2

机点,则函数 f(x)在区间 ?1,??? 上是增函数的概率是 (

)

A.

2 3
2

B.

1 4
2

C.

12.设 P,Q 分别为圆 x +(y-6) =2 和椭圆 +y =1 上的点,则|PQ|的最大值是( 10 A.6 2 B. 46+ 2 C.7+ 2 D.5 2

1 3 x2

D.
2

3 4
)

二、填空题:(共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 13、若“x∈或 x∈{x|x<1 或 x>4}”是假命题,则 x 的取值范围是: .

14、若直线 y ? kx ? 1 与椭圆

x2 y2 ? ? 1 恒有公共点,则 m 的取值范围是: 2010 m

.

15、设正项等差数列{an}的前 2011 项和等于 2011,则 的最小值为________. 16、若以原点为圆心,椭圆的焦半径 c 为半径的圆与该椭圆有四个交点,则该椭圆的离心率 的取值范围为: 。

三、解答题:(共 6 小题,第 22 题 14 分,其余各题 12 分,共 74 分) 17、某电视台举办青年歌手大奖赛,有十名评委打分,已知甲、乙两名选手演唱后的得分如 茎叶图所示: 甲 6 4 3 8 7 7 5 4 2 9 9 8 7 1 0 5 1 3 6 6 8 8 9 乙

(1)从统计的角度,你认为甲与乙比较,演唱水平怎样? (2)现场有三名点评嘉宾 A、B、C,每位选手可以从中选两位进行指导,若选手选每位点 评嘉宾的可能性相等,求甲、乙两选手选择的点评嘉宾恰有一人重复的概率.

18、命题 p:实数 x 满足 x -4ax+3a <0,其中 a<0,命题 q:实数 x 满足 x -x-6≤0 或

2

2

2

x2+
2x-8>0,且 ? p 是 ?q 的必要不充分条件,求 a 的取值范围.

19、已知椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,且长轴为 8,离心率为,求: (1)椭圆的标准方程;

(2)求椭圆上的点到直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 的最大距离

2 20、已知函数 f ( x) ? x ? 2ax ? 1, g ( x) ? x ? a ,其中 a ? 0 , x ? 0 .

(1)对任意 x ?[1,2] ,都有 f ( x) ? g ( x) 恒成立,求实数 a 的取值范围; (2)对任意 x1 ? [?2,?1], x2 ? [2,4] ,都有 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 恒成立,求实数 a 的取值范围; (3)存在 x1 ? [?2,?1], x2 ? [2,4] ,使 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立,求实数 a 的取值范围; 21.设数列 ?a n ?的前 n 项和为 Sn , a1 ? 1 ,且 an?1 ? 2S n?1, n ? N ?. (1)求数列 ?a n ?的通项公式; (2)等差数列 ?bn ?的各项均为正数,其前 n 项和为 Tn ,且 T3 ? 15 又 a1 ? b1 , a2 ? b2 ,

a3 ? b3 成等比数列,求 Tn ;
(3)求数列 ?anbn ? 的前 n 项和 Pn .

22、已知椭圆 C :

x2 y2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 , 其左、右焦点分别为 F1 , F2 ,点 2 2 a b
7 ,. 4

2 2 ? y0 ? P( x0 , y0 ) 是坐标平面内一点,且 x 0

(1)求椭圆 C 的方程; (2)过点 S (0,? ) 且斜率为 k 的动直线 l 交椭圆于 A、B 两点,问:在 y 轴上是否存在定 点 M,使以 AB 为直径的圆恒过这个点?若存在,求出 M 的坐标和 ?MAB 面积的最大 值;若不存在,说明理由。

1 3

尤溪一中 2015--2016 学年度上学期半期考 高二数学(理科)参考答案 一、选择题: 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

答案

B

A

D

C

B

B

C

D

B

D

C

A

二、填空题: 13、[1,2) 三、解答题: 17、解:(1)由茎叶图可得: x 甲=87.5, x 乙=86.7, x 甲> x 乙,所以甲演唱水平更高一 点,但甲的方差较大,即评委对甲的水平认可存在较大的差异. (2)依题意,共有 9 个基本事件: 14、 15、2 16、

6 2 甲、乙两选手选择的点评嘉宾恰重复一人包含 6 个基本事件.所以所求概率为 = . 9 3 18、解:设 A={x|x -4ax+3a <0(a<0)}={x|3a<x<a},
2 2

B={x|x2-x-6≤0 或 x2+2x-8<0}={x|x2-x-6<0}∪{x|x2+2x-8>0}
={x|-2≤x≤3}∪{x|x<-4 或 x>2}={x|x<-4 或 x≥-2}. 因为 ? p 是 ? q 的必要不充分条件, 所以 ? q? ? p,且 ? p 推不出 ? q 而 ?RB={x|-4≤x<-2},?RA={x|x≤3a,或 x≥a} 所以{x|-4≤x<-2} {x|x≤3a 或 x≥a},

? 3a ≥ ?2 ? a ≤ ?4 或? ? ?a < 0 ?a < 0

2 即- ≤a<0 或 a≤-4. 3

19、解析: (1)a=4,c= ,b=2 所以:

x2 y 2 ? ?1 16 4

(2)设与直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 平行的直线方程为 x+2y+m=0,

? x2 y 2 ?1 ? ? 2 2 由 ?16 ,得 8y +4my+m -16=0, 4 ?x ? 2 y ? m ? 0 ?
Δ =0 得 m ? ?4 2 ,显然 m ? 4 2 时距离最大 d ?

| 4 2 ? (? 2) | ? 10 5

20、解:(1)由得:因为: x ? (1,2]

-----------6 分 (2) x ? [?2,?1] 上单调递减 依题意得: ---------10 分 (3)依题意只需使: -----12 分 21、 解:(Ⅰ)当 n ? 2 时,

an?1 ? an ? (2Sn ? 1) ? (2Sn?1 ? 1) ? 2an , 即 an ?1 ? 3an , ? 2 分



a1 ? 1, a2 ? 2S1 ? 1 ? 3 ? 3a1 , 所以 {an } 是首项为1 ,公比为 3 的等比数列.故 an ? 3n?1 .
{bn }
的公差为 d ,则 d

(Ⅱ)设数列

? 0 .由 T3 ? 15, 得 b2 ? 5 .又 a1 ? 1, a2 ? 3, a3 ? 9 则
2

? 5 ? d ? 1?? 5 ? d ? 9 ? ? ? 5 ? 3?
Tn ? 3n ?

,得 d

? 2 .故 b1 ? 3 ,

n ? n ? 1? ? 2 ? n 2 ? 2n 2 .

(III)由

an ? 3n?1 , bn ? 1 ? 2n ,所以 anbn ? (1 ? 2n)3n?1 ,
2 n?1 P n ? 3?1 ? 5 ? 3 ? 7 ? 3 ? ?? ? 2n ? 1? 3



,

3Pn ? 3 ? 3 ? 5 ? 32 ? 7 ? 3 ? ? ? ? 2n ? 1? 3n
3

,

两式相减得,

?2 Pn ? 3 ? 2(3 ? 32 ? 3 ? ? ? 3n ?1 ) ? ? 2n ? 1? 3n
3

,

? 3 ? 3 ? 3n ?1 ? 1? ? ? 2n ? 1? 3n ? ?2n ? 3n Pn ? n ? 3n , .
22、解:(1)设 F1 (?c,0), F2 (c,0), 由 PF1 ? PF2 ?

3 3 得 ( ?c ? x 0 , ? y 0 ) ? (c ? x 0 , ? y 0 ) ? , 4 4

2 2 2 即 x0 ? y 0 ? c ?

3 . 4

所以 c=1 又因为

c 2 ? , 所以a 2 ? 2, b 2 ? 1. a 2

x2 ? y 2 ? 1. 因此所求椭圆的方程为: 2

1 ? y ? kx ? , ? 1 3 16 ? 3 2 2 ? 0. (2)动直线 l 的方程为: y ? kx ? , 由 ? 2 得 ( 2k ? 1) x ? kx ? 3 4 9 ? x ? y 2 ? 1, ? ?2
设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ).则 x1 ? x2 ?

4k 16 , x1 x2 ? ? . 2 3(2k ? 1) 9(2k 2 ? 1)

假设在 y 上存在定点 M(0,m),满足题设,则
MA ? ( x1 , y1 ? m), MB ? ( x 2 , y 2 ? m). MA ? MB ? x1 x 2 ? ( y1 ? m)( y 2 ? m) ? x1 x 2 ? y1 y 2 ? m( y1 ? y 2 ) ? m 2 1 1 1 1 ? x1 x 2 ? (kx2 ? )(kx2 ? ) ? m(kx1 ? ? kx2 ? ) ? m 2 3 3 3 3 1 2 1 2 2 ? (k ? 1) x1 x 2 ? k ( ? m)(x1 ? x 2 ) ? m ? m ? 3 3 9 16(k 2 ? 1) 1 4k 2 1 ?? ? k ( ? m) ? m2 ? m ? 2 2 3 3 9 9(2k ? 1) 3(2k ? 1) ? 18(m 2 ? 1)k 2 ? (9m 2 ? 6m ? 15) 9(2k 2 ? 1)

由假设得对于任意的 k ? R ? MA ? MB ? 0 恒成立,
2 ? ?m ? 1 ? 0, 即? 2 解得 m=1。 ? ?9m ? m ? 15 ? 0,

因此,在 y 轴上存在定点 M,使得以 AB 为直径的圆恒过这个点, 点 M 的坐标为(0,1)这时,点 M 到 AB 的距离 d ?

4 3 k ?1
2

? | AB |? (k 2 ? 1)(x1 ? x2 ) 2 .

S ?MAB ?

1 2 2 | AB | d ? ( x1 ? x2 ) 2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 2 3 3

2 16k 2 64 8 9k 2 ? 4 ? ? ? . 3 2(k 2 ? 1) 2 9(2k 2 ? 1) 9 (2k 2 ? 1) 2
2 设 2k 2 ? 1 ? t , 则 k ?

t ?1 1 , 得 t ? ?1,?? ?, ? ?0,1?. 2 t

所以 S ?MAB ?

8 9 1 1 1 2 8 1 81 1 9 2 16 ( )? ( ) ? [ ?( ? ) ] ? . 9 2 t 2 t 9 2 4 t 2 9

当且仅当

1 16 ? 1 时,上式等号成立。因此, ?MAB 面积的最大值是 . t 9


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