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函数、导数综合复习练习题


《函数》、《导数》综合复习练习题
1、已知函数 f ( x) ? kx3 ? 3x2 ? 1 (Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)若集合 {x f ( x) ? 0, x ? R} 有且只有一个元素. 求正数 k 的取值范围.

(k ? 0, k ? R)

2、已知函数 f ( x) ? a ln x , g (

x) ? x2 ,记 F ( x) ? g ( x) ? f ( x) (Ⅰ)求 F ( x) 的单调区间;

1 1 时,若 x ? 1,比较: g ( x ? 1) 与 f ( ) 的大小; 2 x a (Ⅲ)若 F ( x) 的极值为 ,问是否存在实数 k ,使方程 2
(Ⅱ)当 a ?

1 g ( x) ? f (1 ? x2 ) ? k 有四个不同实数根?若存在,求出实数 k 的取值范围;若不 2 存在,请说明理由。

3、已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? c 在 x=- 2 与 x=1 时都取得极值. 3 (Ⅰ) 求 a 、b 的值与函数 f ( x) 的单调递减区间; (Ⅱ) 若对 x ? [?1, 2] ,不等式 f ( x) ? c2 恒成立,求 c 的取值范围.

k 4、设函数 f ( x) ? e x ? x2 ? x . 2 (1) 若 k ? 0 ,求 f ( x) 的最小值; (2) 若当 x ? 0 时 f ( x ) ? 1,求实数 k 的取值范围.

5、已知函数 f ( x) ? ( x2 ? a)ex 。 (I) 若 a ? 3 ,求 f ( x) 的单调区间; (II) 已知 x1 , x2 是 f ( x) 的两个不同的极值点,且 | x1 ? x2 |?| x1x2 | ,

3 若 3 f (a) ? a3 ? a 2 ? 3a ? b 恒成立,求实数 b 的取值范围。 2

6、已知函数 f ( x) ? ( x3 ? 3x2 ? ax ? b)e? x . (1)当 a ? b ? ?3 时,求 f ( x) 的单调区间; (2)若 f ( x) 在 (??, ? ), (2, ? ) 单调增加,在 (? , 2), ( ? , ??) 单调减少, 证明: ? ? ? <6.

7、已知函数 f ( x) ? ax ? ln x, a ? R . (1)当 a ? ?1 时,求 f ( x) 的最大值; 1 1 1 (2)求证: ln ? n ? 1? ? 1 ? ? ? ??? ? ? n ? N ? ? 2 3 n (3)对 f ( x) 图象上的任意不同两点 P ( x1, x2 ), P( x2 , y2 )(0 ? x1 ? x2 ) ,证明 f ( x) 1 图象上存在点 P ( x0 , y0 ), 满足x1 ? x0 ? x2 ,且 f ( x) 图象上以 P0 为切点的切线与直 0 线 P1P2 平行.

8、已知函数 f ( x) ? x ,函数 g ( x) ? ?f ( x) ? sin x 是区间[ ? 1 , 1 ]上的减函数. (I)求 ? 的最大值; (II)若 g( x) ? t 2 ? ?t ? 1在x ?[?1,1]上恒成立,求 t 的取值范围; (Ⅲ)讨论关于 x 的方程
ln x ? x 2 ? 2ex ? m 的根的个数. f ( x)

9 、 已 知 函 数 f ? x ? ? ( x2 ? bx ? c)e x 在 点 P ? 0 , f

? 0? ?

处的切线方程为

2x ? y ?1 ? 0 . (1)求 b, c 的值; (2)求函数 f ( x) 的单调区间; (3)若方程 f ( x) =m 恰有两个不等的实根,求 m 的取值范围.

10 、 已 知 函 数 g(x)= f(x)=mx-

m ?1 ? ln x(m ? R) x (1)求 ? 的值; (2)若 f(x)-g(x)在 ?1, ?? ? 上为单调函数,求 m 的取值范围;
(3) h(x) ? 设

1 ? ln x 在 ?1, ?? ? 上 为 增 函 数 , 且 ? ? ? 0, ? ? , x sin ?

2e , 若在 ?1, e ? 上至少存在一个 x 0 , 使得 f (x0 ) ? g(x0 ) ? h(x0 ) 成 x 立,求 m 的取值范围。

11、若函数 f ( x) ? ax2 ? 8x ? 6 ln x 在点 M (1, f (1)) 处的切线方程为 y ? b (1)求 a, b 的值; (2)求 f (x) 的单调递增区间; (3)若对于任意的 x ? [1,4] ,恒有 f ( x) ? 7 ln( 取值范围
e2 ) ? ln( em) 成立,求实数 m 的 m

12、设函数 f (x) ? x3 ? ax2 ? a2 x ? m (a ? 0) (1)若 a ? 1 时函数 f ( x) 有三个互不相同的零点,求 m 的范围; (2)若函数 f ( x) 在 ? ?1,1? 内没有极值点,求 a 的范围; (3)若对任意的 a ? ?3, 6? ,不等式 f ( x ) ? 1在 x ? ? ?2, 2? 上恒成立,求实数 m 的 取值范围.

13、已知函数 f ? x ? ? x3 ? bx 2 ? cx ? 2 . (1)若 f ? x ? 在 x ? 1 时,有极值 ? 1 ,求 b 、 c 的值. (2)当 b 为非零实数时, f ? x ? 是否存在与直线 b2 ? c x ? y ? 1 ? 0 平行的切 线,如果存在,求出切线的方程,如果不存在,说明理由. (3) 设函数 f ? x ? 的导函数为 f ' ? x ? , 记函数 f ' ? x? ? ?1 ? x ? 1? 的最大值为 M, 求证 M ? 3 . 2

?

?

14、设函数 f ( x) ? x ? ln( x ? m) ,其中 m 为实常数. (Ⅰ)当 m 为何值时, f ( x) ? 0 ; (Ⅱ)证明:当 m ? 1时,函数 f ( x) 在 [e?m ? m, e2m ? m] 内有两个零点.

15、已知函数 f ( x) ? x3 ? 2x2 ? x ? 4, ( x) ? ax2 ? x ? 8 。 g (1)求函数 f ( x ) 的极值; (2)若对任意的 x ? ? 0, ?? ? 都有 f ( x) ? g( x) ,求实数 a 的取值范围.

1 ? a ? ln x , a?R x (1)求 f ( x) 的极值;
16、已知函数 f ( x) ?
2 ( ? 2) ln x k ?1 ?e (2)若关于 x 的不等式 在 (0, ??) 上恒成立,求 k 的取值范围; x ln 22 ln 32 ln n2 2n2 ? n ?1 (3)证明: 2 ? 2 ? ? ? 2 ? (n ? N ? , n ? 2) . 2 3 n 2(n ? 1)

a 2 x ? bx a ? 0 2 (1)若 b=2,且 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 存在单调递减区间,求 a 的取值范围;
17、已知函数 f ( x) ? ln x, g ( x) ? (2)设函数 f (x) 的图象 C1 与函数 g (x) 图象 C2 交于点 P、Q,过线段 PQ 的中 点作 x 轴的垂线分别交 C1,C2 于点 M、N,证明 C1 在点 M 处的切线与 C2 在点 N 处的 切线不平行

4 x2 ? 7 , x ??0, 1? 2? x (Ⅰ)求 f ? x ? 的单调区间和值域;

18、已知函数 f ? x ? ?

( Ⅱ ) 设 a ? 1 , 函 数 g ? x ? ? x3 ? 3a 2 x ? 2a,x ? ?0, 1? , 若 对 于 任 意
x1 ? ? 0, 1? ,总存在 x0 ? ?0, 1? ,使得 g ? x0 ? ? f ? x1 ? 成立,求 a 的取值范围

19、已知点 A (?1,0) 在函数 f ( x) ? x3 ? bx2 ? cx 的曲线上,而且以 A 点为切点 的切线方程为: y ? 2 x ? 2 . (1)求 f ( x) 的表达式; (2)求曲线 y ? f ( x) 经过 B (1,0) 点的切线方程; (3)若过 x 轴上的点 M (a,0) 可以作曲线 y ? f ( x) 的三条切线,求实数 a 的 取值范围.


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