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片段之二:从一道质检题得到一组有趣的结论

时间:2014-07-12


由一道质检题得到一组有趣的结论
2013 年 3 月 19 日福建省厦门市举行高三质量检查考试,其中文科第 22 题(压轴题) 是这样的: 已知圆 O : x 2 ? y 2 ? 34 ,椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1. 25 9

(Ⅰ)若点 P 在圆 O 上,线段 OP 的垂直平分线经过椭圆的右焦点,求点 P 的横坐标; (Ⅱ)现有如下真命题:

x2 y2 “过圆 x ? y ? 5 ? 3 上任意一点 Q(m,n) 作椭圆 2 ? 3 ? 1 的两条切线,则这 5 3
2 2 2 2

两条切线垂直” ; “过圆 x 2 ? y 2 ? 4 2 ? 7 2 上任意一点 Q(m,n) 作椭圆

x2 y2 ? ? 1 的两条切线,则这 42 73

两条切线垂直” . 据此,写出一般结论,并加以证明. 本题显然是考查合情推理中的归纳推理,要求学生具有一定的观察、分析、归纳、猜想 能力并给予严格证明. 但从最后全市统计的数据上, 这道压轴题学生很不适应, 尤其是 (Ⅱ) 得分较低. 笔者对此题进行一些探究, 将结论退化到最简单的圆并推广到椭圆的 “同门兄弟” 双曲线,不当之处,敬请同行赐教.

定理 1:过圆 x 2 ? y 2 ? 2a 2 上任意点 P 作圆 x 2 ? y 2 ? a 2 的两条切线, 则两条切线垂直. 定理 2:过圆 x 2 ? y 2 ? a 2 ? b 2 上任意点 P 作椭圆 的两条切线,则两条切线垂直. 定 理 3 : 过 圆 x2 ? y 2 ? a2 ? b2 ( a ? b ? 0 ) 上 任 意 点 P 作 双 曲 线
x2 y2 ? ? 1 的两条切线,则两条切线垂直. a2 b2
上述三个定理证明过程完全类似,以下以定理 3 为例给予证明: 证明: 设过 P( x0,y0 ) 作双曲线相切的切线的斜率为 k (对于斜率不存在的情况较容易 验证) ,则切线的方程为 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) ,联立 ?

x2 y2 ? ? 1( a ? b ? 0 ) a2 b2

? y ? y 0 ? k ( x ? x0 )
2 2 2 2 2 2 ?b x ? a y ? a b

得到

2 2 (b 2 ? a 2 k 2 ) x 2 ? (2a 2 k 2 x0 ? 2a 2 ky0 ) x ? a 2 k 2 x0 ? 2a 2 ky0 x0 ? a 2 y0 ? a 2b 2 ? 0 .

1

因为直线与双曲线相切,显然 b ? a k ? 0 ,且 ? ? 0 ,即
2 2 2

2 2 ? ? (2a 2 ky0 ? 2a 2 k 2 x0 ) 2 ? 4(b 2 ? a 2 k 2 )(?a 2 k 2 x0 ? 2a 2 ky0 x0 ? a 2 y0 ? a 2b 2 ) ? 0 .

整理为关于 k 的一元二次方程:
2 2 2 2 (b 2 x0 ? a 2b 2 )k 2 ? 2b 2 y0 x0 k ? b 2 y0 ? b 4 ? 0 ,注意到 x0 ? y0 ? a 2 ? b 2 ,并依据韦

达定理可得

k1 ? k 2 ?

b 2 y0 ? b 4 b 2 x0 ? a 2 b 2
2

2

?

2 a 2 b 2 ? b 2 x0 ? ?1 ,故两条切线垂直. 2 b 2 x0 ? a 2b 2

事实上,上述三个定理的逆命题也成立,即 定理 4:过圆 x 2 ? y 2 ? a 2 上任意不同两点 A , B 作圆的切线,如果 切线垂直且相交于 P ,则动点 P 的轨迹为圆: x 2 ? y 2 ? 2a 2 . 定理 5:过椭圆
x2 y2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )上任意不同两点 A , B 作椭 a2 b2

圆的切线,如果切线垂直且相交于 P ,则动点 P 的轨迹为圆
x2 ? y 2 ? a2 ? b2 .

定理 6:过双曲线

x2 y2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )上任意不同两点 A , B 作 a2 b2

双曲线的切线,如果切线垂直且相交于 P ,则动点 P 的轨迹为圆
x2 ? y 2 ? a2 ? b2 .
上述三个定理证明过程类似,以下以定理 5 为例给予证明: 证明:设 A( x1,y1 ) , B( x2,y 2 ) , P( x0,y0 ) ,则过 A , B 的切线方程分别为

b 2 x1 x ? a 2 y1 y ? a 2b 2 , b 2 x2 x ? a 2 y2 y ? a 2b 2 .
因切线垂直,则有 b x1 x2 ? a y1 y2 ? 0 ,且 x1 y 2 ? x2 y1 ? 0 .
4 4

将两条切线方程联立解得

x0 ? ?

a 2 ( y1 ? y 2 ) b 2 ( x1 ? x2 ) , y0 ? , x1 y 2 ? x2 y1 x1 y 2 ? x2 y1 a 4 ( y1 ? y 2 ) 2 ? b 4 ( x1 ? x2 ) 2 ( x1 y 2 ? x2 y1 ) 2
2

2 2 ? x0 ? y 0 =

=

a 4 y1 ? a 4 y2 ? b 4 x1 ? b 4 x2 . ( x1 y 2 ? x2 y1 ) 2

2

2

2

2



注意到点 A , B 均满足 b 2 x 2 ? a 2 y 2 ? a 2b 2 ,于是得到
2 a 4 y1 =

a2 a2 a4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ? ( b x ? a y ) y ? ( a b ) y a x y ? y1 y 2 . = = 2 2 1 1 2 1 b2 b2 b2



同理可得

a y2 = a x1 y 2
2 2

4

2

2

2

2

a4 2 2 ? 2 y1 y 2 ; b
b4 2 2 x1 x 2 ; a2 b4 2 2 x1 x 2 . a2



2 b 4 x1 = b 2 x1 y 2 ?



2 b 4 x2 = b 2 x 2 y1 ?

2

2



由②、③、④、⑤相加得到
2 2 2 2 a 4 y1 + a 4 y2 + b 4 x1 + b 4 x2

= (a 2 ? b 2 )(x1 y2 ? x2 y1 ) +

2

2

2

2

2b 4 2 2 2a 4 2 2 x1 x 2 + 2 y1 y 2 a2 b
2 2 (?a 4 y1 y 2 ) x1 x 2 + 2 ( ?b 4 x1 x 2 ) y1 y 2 2 a b


= (a ? b )(x1 y2 ? x2 y1 ) + 2(a ? b ) x1 x2 y1 y 2 +
2 2 2 2 2

= (a ? b )(x1 y2 ? x2 y1 ) .
2 2 2

将⑥代入①得证. 值得说明的是: 我们不难证明上述定理对于焦点在 y 轴以及经过平移、 旋转后的非标准 状态下的椭圆、双曲线仍然成立.

3


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