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Yoqmma江苏省苏州中学2011届高三年3月份调研考试(数学)


秋风清,秋月明,落叶聚还散,寒鸦栖复惊。

江苏省苏州中学 2011 届高三年 3 月份调研考试 数学试卷 参考公式:

1.样本数据

x1 , x2 , x3 , ??? xn

s2 =
的方差

1 n ∑ ( xi ? x)2 n i =1 ,其中 x 是这组数

据的平均数.

1 V柱体 = Sh, V锥体 = Sh 3 , 2.柱体、锥体的体积公式: ,其中 S 是柱(锥)体的底面面积,h 是高.
第一部分 一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分)
2 1.已知集合 P = {x | x < 1}, Q = {x | x = 4} ,则 P I Q = ____________.

2.在复平面内,复数 i (i ? 1) 对应的点在第____________象限. 3.甲、乙两种冬小麦试验品种连续 5 年的平均单位面积产量如下(单位:t / hm2)

开始 n←1 其中产量比较稳定的小麦品种是 . n←n+1

y = sin( x ? ) 4 在 [0, π ] 上的单调递增区间是____________. 4.函数
5.执行右边的流程图,最后输出的 n 的值是 . 6.在一个袋子中装有分别标注数字 1,2,3,4,5 的五个小球,这些小球除标注的数字外 完全相同.现从中随机取出两个小球,则取出的小球上标注的数字之和为 5 或 7 的概率 是____________.

π

2n > Y 输出 n 结束 (第 5 题图)

sin( x +
7.已知

π

5π π 1 ) = , sin( ? x ) + sin 2 ( ? x ) 6 4 则 6 3 =____________.

?x ? y ? 4 ≤ 0 ? x + y ? 3 ≤ 0 表 示 的 平 面 区 域 内 , 则 点 P (2, t ) 到 直 线 8 . 已 知 点 P (2, t ) 在 不 等 式 组 ?
3 x + 4 y + 10 = 0 距离的最
大值为____________.

9.将一边长为 4 的正方形纸片按照图中的虚线所示的方法剪开后拼接为一正四棱锥,则该正 四棱锥的体积为 . 10.在数列

{an } 中, a1 = 11 ,且 3an +1 = 3an ? 2(n ∈ N* ) ,则该数列中相邻两项乘积的最小
2 2

值为__________.

x y ? 2 = 1 (a > 0, b > 0) 2 F1 F2 b 11.已知点 , 分别是双曲线 a 的左、右焦点,过 F1 且垂直于 x
轴的直线与双曲 线交于 A ,B 两点, 若

?ABF2

是锐角三角形, 则该双曲线离心率的取值范围是____________.

12. O 为坐标原点,给定一个定点 A(4,3) , 而点 B (x, 0) 在 x 正半轴上移动, l (x ) 表示 AB 的 设 长,则△ OAB

x l (x) 的最大值为 中两边长的比值



13 . 若 对

x, y ∈ [1, 2]

且 xy = 2 总 有 不 等 式

2? x ≥

a 4? y

成立,则实数 a 的取值范围是

__________.

x ,x x < x2 时,都有 14 . 如 果 对 于 函 数 f ( x ) 定 义 域 内 任 意 的 两 个 自 变 量 的 值 1 2 , 当 1 f ( x1 ) ≤ f ( x2 )
,且存在两个

不相等的自变量值 知函数 g ( x ) 的定

m1 , m2

,使得

f (m1 ) = f (m2 )

,就称 f ( x ) 为定义域上的不严格的增函数.已

义域、值域分别为 A 、 B , A = {1, 2, 3} , B ? A , 且 g ( x ) 为定义域 A 上的不严格的增函数, 那么这样的 g ( x ) 共 有____________个. 二、解答题: (本大题共 6 小题,共计 90 分,解答时应写出文字说明、证明或演算步骤) 15、 (本小题满分 14 分)

r r α +β α ?β α +β α ?β a = (2 cos , sin ) b = (cos , 3sin ) 2 2 , 2 2 设已知 ,其中 α 、β ∈ (0, π ) .
α+β =
(1)若
2π r r 3 ,且 a = 2b ,求 α 、β 的值;

r r 5 a ?b = 2 ,求 tan α tan β 的值. (2)若

(本小题满分 14 分) 16. 如图,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为菱形,且 ∠BAD = 60 ,
o

P

侧面 PAD 是正三角形,其所在的平面垂直于底面 ABCD,点 G 为 AD 的中点. (1)求证:BG ⊥ 面 PAD; (2)E 是 BC 的中点,在 PC 上求一点 F,使得 PG // 面 DEF.
B E A G

F

D

C

17. (本小题满分 15 分) 某企业有两个生产车间分别在 A,B 两个位置,A 车间有 100 名员工,B 车间有 400 名员工, 现要在公路 AC 上找一点 D,修一条公路 BD,并在 D 处建一个食堂,使得所有员工均在此食 堂用餐,已知 A,B,C 中任意两点间的距离均有 1 km,设∠BDC= α ,所有员工从车间到 食堂步行的总路程为 S. (1)写出 S 关于 α 的函数表达式,并指出 α 的取值范围; (2)问食堂 D 建在距离 A 多远时,可使总路程 S 最少?
D

A

C

B

18. (本小题满分 15 分) 如图,椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上, 短轴的一个端点,过 为8 2 . (1)求椭圆 C 的方程; (2)设点 Q 的坐标为 (1, 0) ,是否存在椭圆上的点 P 及以 Q 为圆心的一个圆,使得该圆与直 线

F1 , F2 分别是椭圆 C 的左、右焦点, M 是椭圆 ?MF1 F2 的面积为 4 , ?ABF2 的周长

F1

的直线 l 与椭圆交于 A, B 两点,

PF1 , PF2

都相切,如存在,求出 P 点坐标及圆的方程,如不存在,请说明理由. A F1

y M F2 O x

B

19. (本小题满分 16 分)
2 {a } a ≠ ±1 , a1 = 2 , 3(1 ? an+12 ) = 2(1 ? an 2 ) , 记 数列 bn = 1 ? an , 已 知数列 n 满 足 : n

1

2 2 cn = an+1 ? an ( n ∈ N ? ).

(1)证明数列 (2)求数列

{bn } 是等比数列;

{cn } 的通项公式; {cn } 的不同项 ci , c j , ck ( i <
j < k )使之成为等差数列?若存在请求出这

(3)是否存在数列 样的不同项

ci , c j , ck

(i < j < k ) ;若不存在,请说明理由.

20. (本小题满分 16 分)

?? x3 + x 2 + bx + c ( x < 1) f ( x) = ? a ln x ( x ≥ 1) ? 已知函数 的图象过点 (?1, 2) , 且在点 ( ?1, f ( ?1)) 处的切线
与直线 x ? 5 y + 1 = 0 垂直. (1) 求实数 b, c 的值; (2) 求 f ( x ) 在 [ ?1, e] ( e 为自然对数的底数)上的最大值; (3) 对任意给定的正实数 a , 曲线 y = f ( x) 上是否存在两点 P, Q , 使得 ?POQ 是以 O 为直角 顶点的直角三角形,且此三角形斜边中点在 y 轴上?

附加题(选修部分) 21. (1)选修 4—2:矩阵与变换

π
T M T 变换 1 是逆时针旋转 2 的旋转变换,对应的变换矩阵是 1 ;变换 2 对应的变换矩阵是

?1 1? M2 = ? ? ?0 1? .
(1)求点 P (2,1) 在变换
2

T1

作用下的点 P ' 的坐标;

T T (2)求函数 y = x 的图象依次在变换 1 , 2 作用下所得曲线的方程.

22.一投掷飞碟的游戏中,飞碟投入红袋记 2 分,投入蓝袋记 1 分,未投入袋记 0 分.经过

多次试验,某人投掷 100 个飞碟有 50 个入红袋,25 个入蓝袋,其余不能入袋. (1)求该人在 4 次投掷中恰有三次投入红袋的概率; (2)求该人两次投掷后得分 ξ 的数学期望 Eξ .

23.设 F (1,0) ,点 M 在 x 轴上,点 P 在 y 轴上,且 MN = 2 MP, PM ⊥ PF (1)当点 P 在 y 轴上运动时,求点 N 的轨迹 C 的方程; (2)设

A( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 ), D( x3 , y 3 ) 是曲线 C 上的点,且 | AF |, | BF |, | DF | 成等差数列,

当 AD 的垂直平分线与 x 轴交于点 E (3,0) 时,求 B 点坐标.

参考答案:

解答题: 15. (1)∵

α+β =

1 2π π π sin( ? ) α 3sin( ? ) α 3 ,∴a = (1, 3 ),b = ( 2 , 3 ) ……2 分

π r r sin(α ? ) = 0 a = 2b ,得 3 由 , α ∈ (0, π )

……4 分



α=

π
3

, = β

π
3 (k ∈Z)
2 cos(

……7 分

α +β

2 (2)∵a·b = 2cos2 5 3 + cos(α + β ) ? cos(α ? β ) 2 =2

) ? 3 sin 2

α ?β
2

= 1 + cos(α + β ) + 3 ×

1 ? cos( ? β ) α 2

……10 分

5 3 5 3 + cos(α + β ) ? cos(α ? β ) = cos(α + β ) = cos(α ? β ) 2 2 2 ,即 2 ∴

整理得 ?5 sin α sin β = cos α cos β , ∵ α 、β ∈ A ,∴
tan α tan β = ? 1 5 。
o

……12 分
……14 分

16. (1)连结 BD,因为四边形 ABCD 为菱形,且 ∠BAD = 60 , 所以三角形 ABD 为正三角形,又因为点 G 为 AD 的中点,所以 BG ⊥ AD;--------4 分 因为面 PAD ⊥ 底面 ABCD,且面 PAD I 底面 ABCD=AD, 所以 BG ⊥ 面 PAD. (2)当点 F 为 PC 的中点时,PG // 面 DEF 连结 GC 交 DE 于点 H 因为 E、G 分别为菱形 ABCD 的边 BC、AD 的中点,所以四边形 DGEC 为平行四边形 所以点 H 为 DE 的中点,又点 F 为 PC 的中点 -----------7 分

所以 FH 时三角形 PGC 的中位线,所以 PG // FH 因为 FH ? 面 DEF, PG ? 面 DEF 所以 PG // 面 DEF. 综上:当点 F 为 PC 的中点时,PG // 面 DEF.

--------10 分

---------14 分

3 BD BC CD sin(120° ? α ) = = BD = 2 CD = sin 60° sin α sin(120° ? α ) ,∴ sin α , sin α 17. (1)在△BCD 中,∵ . sin(120° ? α ) AD = 1 ? sin α 则 . ……4 分
3 sin(120° ? α ) cos α ? 4 π 2π 400 ? 2 + 100 ? [1 ? ] 50 ? 50 3 ? sin α sin α sin α .其中 3 ≤α≤ 3 . ……7 分 S= = ? sin α ? sin α ? (cos α ? 4) cos α 1 ? 4 cos α S ′ = ?50 3 ? 50 3 ? 2 sin α sin 2 α . (2 ) = ……9 分 1 1 cos α = cos α > 4 .当 4 时, S ′ <0,S 是 α 的单调减函数; 令 S ′ =0,得



cos α <

1 4 时, S ′ >0,S 是 α 的单调增函数. 1 15 sin α = 4 时,S 取得最小值.此时, 4 ,

∴当

cos α =

……13 分

1 1 3 4 1 5 3 1 ? ? = ? cos α + sin α 2 2 sin(120° ? α ) 1 3 cos α 15 2 10 2 AD = 1 ? =1? 2 = ? sin α sin α 2 2 sin α = 4 . (答略)

……15 分

1 × 2c × b = 4, 18. (Ⅰ) 由题意知: 2

bc = 4,

4a = 8 2 ,

a = 2 2 ,解得 b = c = 2

x2 y2 + =1 4 ∴ 椭圆的方程为 8
(Ⅱ) 假设存在椭圆上的一点

……… 6 分

P( x0 , y 0 ) , 使得直线 PF1 , PF2 与以 Q 为圆心的圆相切, Q 到 则

直线 PF1 , PF2 的距离相等, F1 ( ?2,0),

F2 (2,0)

PF1 : PF2 :

( x 0 ? 2) y ? y 0 x + 2 y 0 = 0 ( x 0 + 2) y ? y 0 x ? 2 y 0 = 0
……… 8 分

d1 =

| y0 | ( x 0 ? 2) 2 + y 0
2
2

=

| 3 y0 | ( x 0 + 2) 2 + y 0
2
2

= d2
……… 9 分 ……… 10 分

化简整理得:

8 x0 ? 40 x0 + 32 + 8 y 0 = 0 x0 + 2 y 0 = 8
2 2

∵ 点在椭圆上,∴ 解得:

x0 = 2
时,



x0 = 8

(舍)

…… 13 分

x0 = 2

y0 = ± 2 , r = 1 ,

∴ 椭圆上存在点 P ,其坐标为 (2, 2 ) 或 (2,? 2 ) ,使得直线 PF1 , PF2 与以 Q 为圆心的圆

( x ? 1) 2 + y 2 = 1 相切
a n ≠ ±1, bn ≠ 0( n ∈ N )
*

………

15 分

19. (1)由已知

b1 =

3 4 ,

3(1 ? a n +1

2

bn +1 2 = (n ∈ N * ) ) = 2(1 ? a n ) bn 3 ,
2

--------3 分

所以

{bn }

3 2 是 4 为首项, 3 为公比的等比数列 3 2 3 2 n ?1 2 a n = 1 ? bn = 1 ? ? ( ) n ? 1 (n ∈ N * ) ? ( ) (n ∈ N * ) 4 3 4 3 ,
2

--------5 分

(2)

bn =

--------7 分

c n = a n +1 ? a n =
2

1 2 n ?1 ? ( ) (n ∈ N * ) 4 3
满足题意成等差数列,

--------10 分

(3)假设存在

ci , c j , c k

2c j = c i + c k

1 2 1 2 1 2 2 ? ? ( ) j ?1 = ? ( ) i ?1 + ? ( ) k ?1 4 3 4 3 代入得 4 3

--------12 分

2 j ?i +1 = 3 j ?i + 2 k + j ?i 2 j ?i +1 ? 2 k + j ?i = 3 j ?i ,左偶右奇不可能成立。所以假设不成立,这样三项不存在。 ----16 分
2 20. (1)当 x < 1 时, f '( x ) = ?3 x + 2 x + b ,

………1 分

? f (?1) = 2 ? 2?b +c = 2 ? ? f '(?1) = ?5 ,即 ??3 ? 2 + b = ?5 , 由题意得: ?

………3 分

解得: b = c = 0 。

………4 分

? ? x3 + x 2 ( x < 1) f ( x) = ? ( x ≥ 1) ? a ln x (2)由(1)知:
①当 ?1 ≤ x < 1 时, f '( x ) = ? x (3 x ? 2) ,



f ' ( x) > 0



0< x<

2 2 < x <1 ' ( x) < 0 3 ;解 f 得 ?1 < x < 0 或 3

2 2 ( ,1) (0, ) 0) 3 上单增, ∴ f ( x ) 在 (?1, 和 3 上单减,在
由 f '( x ) = ? x (3 x ? 2) = 0 得: x = 0 或

x=

2 3,

………6 分



2 4 f (?1) = 2,f ( ) = ,f (0) = 0,f (1) = 0 3 27 ,
………7 分

∴ f ( x ) 在 [ ?1,1) 上的最大值为 2 。 ②当 1 ≤ x ≤ e 时, f ( x ) = a ln x , 当 a ≤ 0 时, f ( x ) ≤ 0 ;当 a > 0 时, f ( x ) 在 [1, e] 单调递增; ∴ f ( x ) 在 [1, e] 上的最大值为 a 。 ∴当 a ≥ 2 时, f ( x ) 在 [ ?1, e] 上的最大值为 a ; 当 a < 2 时, f ( x ) 在 [ ?1, e] 上的最大值为 2 。

……9 分

…………10 分

(3)假设曲线 y = f ( x) 上存在两点 P, Q 满足题意,则 P, Q 只能在 y 轴两侧,不妨设

P(t , f (t )) (t > 0) ,则 Q(?t , t 3 + t 2 ) ,且 t ≠ 1 。
∵ POQ 是以 O 为直角顶点的直角三角形

uuu uuur r OP OQ = 0 ,即 ?t 2 + f (t )(t 3 + t 2 ) = 0 (*) ∴
是否存在 P, Q 等价于方程(*)是否有解。

……11 分

3 2 2 3 2 3 2 ①若 0 < t < 1 ,则 f (t ) = ?t + t ,代入方程(*)得: ?t + ( ?t + t )(t + t ) = 0 ,

即: t ? t + 1 = 0 ,而此方程无实数解,从而 t > 1 ,
4 2

………12 分

∴ f (t ) = a ln t ,代入方程(*)得: ?t + a ln t (t + t ) = 0 ,
2 3 2

1 = (t + 1) ln t , 即: a h( x) = ( x + 1) ln x ( x ≥ 1) h '( x) = ln x + 1 +1 > 0 x 在 [1, +∞ ) 恒成立,

………14 分



,则

∴ h( x ) 在 [1, +∞ ) 上单调递增,从而 h( x ) ≥ h(1) = 0 ,则 h( x ) 的值域为 [0, +∞ ) 。

1 = (t + 1) ln t ∴当 a > 0 时,方程 a 有解,即方程(*)有解。
∴对任意给定的正实数 a ,曲线 y = f ( x) 上总存在两点 P, Q ,使得 POQ 是以 O 为直角顶 点的直角三角形,且此三角形斜边中点在 y 轴上。 分 ……16

第二部分(加试部分)

?0 ?1? ? 2 ? ?0 ?1? ? 2 ? ? ?1? M1 = ? ? M 1 ? 1 ? = ?1 0 ? ? 1 ? = ? 2 ? ?1 0 ? , ? ? ? ?? ? ? ? 21.1 解: (1)
所以点 P (2,1) 在

T1

作用下的点 P ' 的坐标是 P '( ?1, 2) 。…………………………5 分

?1 ?1? M = M 2M1 = ? ? ?1 0 ? , (2)

? x0 ? ?x? ? ? ? y? ? ? 是变换后图像上任一点,与之对应的变换前的点是 ? y0 ? , 设 ?x ? ?x? M ? 0? = ? ? y y 则 ? 0? ? ?,
? x0 ? y0 = x ? x0 = y ? ? y = y?x, ? x0 = y 也就是 ,即 ? 0
2 所以,所求曲线的方程是 y ? x = y 。……………………………………………10 分

2 解:

由ρsin(θ -

π

1 3 )=3得:ρ( sin θ ? cosθ )=3 3 2 2
……………………3 分

∴ y ? 3 x = 6 即:3 x ? y + 6 = 0

? x = 2 cos θ ? y = 2sin θ 得 x 2 + y 2 = 4 由?
d= 6 =3 2

……………………6 分

∴圆心到直线 l 的距离

……………………8 分 ……………………10 分

所以, P 到直线 l 的距离的最大值为 d + r = 5

22. “飞碟投入红袋”“飞碟投入蓝袋”“飞碟不入袋”分别记为事件 A,B,C. (1) , ,



P ( A) =

50 1 25 1 = , P ( B ) = P (C ) = = 100 2 100 4

因每次投掷飞碟为相互独立事件,故 4 次投掷中恰有三次投入红袋的概率为

1 1 3 1 P4 (3) = C 4 ( ) 3 (1 ? ) = 2 2 4

------------------4 分

P (ξ = 0) = P (C ) P (C ) = 16 (2)两次投掷得分 ξ 的得分可取值为 0,1,2,3,4 则:
1 1 1 1 P (ξ = 1) = C 2 P ( B ) P (C ) = 2 × × = 4 4 8
1 P (ξ = 3) = C 2 P ( A) P (C ) =
1 P (ξ = 2) = C 2 P( A) P (C ) + P( B ) P ( B) =

1

5 16

1 1 P (ξ = 4) = P ( A) P ( A) = 4; 4
-----------------10 分

∴ Eξ = 0 ×

1 1 5 1 1 5 + 1× + 2 × + 3 × + 4 × = 16 8 16 4 4 2

y uuuu r uuur M ( ? x,0), P (0, ) N ( x, y ) ,则由 MN = 2MP 得 P 为 MN 中点,所以 2 23. 1)设 ( y y uuuu uuu r r PM = ( ? x,? ), PF = (1,? ) 2 2 , 又 PM ⊥ PF 得 PM ? PF = 0 ,
2 所以 y = 4 x ( x ≠ 0 )

------------------4 分

(2)由(1)知 F (1,0) 为曲线 C 的焦点,由抛物线定义知,抛物线上任一点

P0 ( x0 , y 0 )

到F

的 距 离 等 于 其 到 准 线 的 距 离 , 即

| P0 F |= x 0 +

p 2

, 所 以

| AF |= x1 +

p p p , | BF |= x 2 + , | DF |= x 3 + 2 2 2,

x + x3 = 2x 2 根据 | AF |, | BF |, | DF | 成等差数列,得 1 ,

y 3 ? y1 y ? y1 4 = 23 = 2 x3 ? x1 y1 + y3 y3 y ? 1 4 4 直线 AD 的斜率为 ,

所以 AD 中垂线方程为

y=?

y1 + y 3 ( x ? 3) 4 ,


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