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2014年高考数学分类汇编(高考真题+模拟新题)三角函数

时间:2015-01-10


三角函数
C1 角的概念及任意角的三角函数 6. 、[2014?新课标全国卷Ⅰ] 如图 1?1,圆 O 的半径为 1,A 是圆上的定点,P 是圆上 的动点,角 x 的始边为射线 OA,终边为射线 OP,过点 P 作直线 OA 的垂线,垂足为 M,将点

M 到直线 OP 的距离表示成 x 的函数 f(x),则 y=f(x)在[0,π ]上的图像大致为

(

)

图 1?1

A

B

C

D

1 6.C [解析] 根据三角函数的定义,点 M(cos x,0),△OPM 的面积为 |sin xcos x|,在直角三角形 OPM 中,根据等积关 2 1 π 系得点 M 到直线 OP 的距离,即 f(x)=|sin xcos x|= |sin 2x|,且当 x= 时上述关系也成立, 故函数 f(x)的图像为选项 C 2 2 中的图像.

C2

同角三角函数的基本关系式与诱导公式

1 16. 、 、[2014?福建卷] 已知函数 f(x)=cos x(sin x+cos x)- . 2 π 2 (1)若 0<α < ,且 sin α = ,求 f(α )的值; 2 2 (2)求函数 f(x)的最小正周期及单调递增区间.
π 2 2 16.解:方法一:(1)因为 0< α < ,sin α = ,所以 cos α = . 2 2 2 2 2

所以 f( α ) =

?

(

2 2 + 2 2

)

1 - 2

1 = . 2 1 2 (2) 因为 f( x) =sin xcos x+cos x - 2 1 1 +cos 2x 1 = sin 2x + - 2 2 2 1 1 = sin 2x + cos 2 x 2 2



2 sin 2

(

2 x+

π 4

)



2π 所以 T = =π . 2 π π π 由 2 kπ - ≤2x + ≤2 kπ + ,k ∈Z, 2 4 2 3π π 得 k π - ≤x≤k π + ,k ∈Z. 8 8

所以 f( x) 的单调递增区间为

[

kπ -

3π π ,k π + 8 8

]

,k∈Z.

1 2 方法二:f (x) =sin xcos x+cos x - 2 1 1 +cos 2x 1 = sin 2x + - 2 2 2 1 1 = sin 2x + cos 2 x 2 2 2 sin 2



(

2 x+

π 4

)

.

π 2 π (1) 因为 0< α < ,sin α = ,所以 α = , 2 2 4 2 2

从而 f( α ) =

sin

(

π 2α + 4

)



2 3π 1 sin = . 2 4 2

2π (2)T = =π . 2 π π π 3π π 由 2 kπ - ≤2x + ≤2 kπ + ,k ∈Z,得 k π - ≤x≤kπ + ,k ∈Z. 2 4 2 8 8

所以 f( x) 的单调递增区间为

[

kπ -

3π π ,k π + 8 8

]

,k∈Z.

π π 17. , ,[2014?重庆卷] 已知函数 f(x)= 3sin(ω x+φ )?ω >0,- ≤φ < ?的图像 ? 2 2? π 关于直线 x= 对称,且图像上相邻两个最高点的距离为π . 3 (1)求 ω 和 φ 的值; α 3 π 2π ? 3π ? (2)若 f? ?= ? <α < ,求 cos?α + 的值. ?2 ? 4 ?6 3 ? ? 2 ?
2π 17.解:(1) 因为 f( x) 的图像上相邻两个最高点的距离为π ,所以 ?( x) 的最小正周期 T =π ,从而 ω = =2.

T

π 又因为 f(x )的图像关于直线 x = 对称, 3 π π 所以 2? +φ =k π + ,k=0,±1,±2,…. 3 2 π π 因为- ≤φ < , 2 2 π 所以 φ =- . 6 α α π 3 (2) 由(1) 得 ? = 3sin(2? - ) = , 2 2 6 4 1 =. 4 π 2π π π 由 <α < 得 0 <α - < , 6 3 6 2 所以 sin α-

() ( )
π 6

所以 cos 因此 cos =sin α =sin =sin

( (

α- α+

π 6

3π 2

) )



1 -sin

2

(

π α- 6

)



1-

()
1 4

2 = 15 . 4

[ (

π π (α - )+ 6 6 π α- 6

] (
α- π 6

)

π cos +cos 6

)

π sin 6

1 3 15 1 = ? + ? 4 2 4 2 = 3+ 15 . 8

C3

三角函数的图象与性质

9.[2014?辽宁卷] 将函数 y=3sin?2x+

?

π? π 的图像向右平移 个单位长度,所得图像 3? 2

对应的函数(

) π 7π ? A.在区间? , 上单调递减 ?12 12 ? ?π 7π ?上单调递增 B.在区间 , ?12 12 ? ? π π? C.在区间 - , 上单调递减 ? 6 3? π π D.在区间?- , ?上单调递增 ? 6 3?

9. B [ 解析] 由题可知, 将函数 y =3sin

(

2 x+

π 3

)

π 的图像向右平移 个单位长度得到函数 y =3sin 2

(

2 2 x- π 3

)

π 的图像,令- +2 kπ ≤ 2

2 π π 7π 2 x - π ≤ + 2 k π , k ∈Z , 即 + k π ≤ x ≤ + k π , k∈Z 时 , 函数 单 调 递 增, 即 函 数 y = 3sin 3 2 12 12

(

2 2 x- π 3

)

的 单 调 递 增 区间 为

[

π 7π +k π , +k π 12 12

]

,k ∈Z,可知当 k=0 时,函数在区间

[

π 7π , 12 12

]

上单调递增.

3.[2014?全国卷] 设 a=sin 33°,b=cos 55°,c=tan 35°,则( A.a>b>c B.b>c>a C.c>b>a D.c>a>b

)

1 sin 35 ° 3. C [ 解析] 因为 b=cos 55 °=sin 35°>sin 33 °,所以 b >a .因为 cos 35 °<1,所以 >1,所以 >sin 35 °. 又 c =tan 35 ° cos 35 ° cos 35 ° sin 35 ° >sin 35 °,所以 c>b ,所以 c> b> a. cos 35 °



6. 、[2014?新课标全国卷Ⅰ] 如图 1?1,圆 O 的半径为 1,A 是圆上的定点,P 是圆上 的动点,角 x 的始边为射线 OA,终边为射线 OP,过点 P 作直线 OA 的垂线,垂足为 M,将点

M 到直线 OP 的距离表示成 x 的函数 f(x),则 y=f(x)在[0,π ]上的图像大致为(

)

图 1?1

A

B

C
6 .C

D

1 [解析] 根据三角函数的定义,点 M(cos x,0) ,△OPM 的面积为 |sin x cos x| ,在直角三角形 OPM 中,根据等积关系得点 M 到直线 OP 2

1 π 的距离,即 f( x) =|sin xcos x| = |sin 2 x| ,且当 x= 时上述关系也成立, 故函数 f(x ) 的图像为选项 C 中的图像. 2 2

14. 、[2014?新课标全国卷Ⅱ] 函数 f(x)=sin(x+2φ )-2sin φ cos(x+φ )的最大 值为________. 14.1 [解析] 函数 f(x)=sin(x+2φ )-2sin φ cos(x+φ )=sin[(x+φ )+φ ]- 2sin φ cos(x+φ )=sin(x+φ )cos φ -cos(x+φ )sin φ =sin x,故其最大值为 1. π π? ? 17. , ,[2014?重庆卷] 已知函数 f(x)= 3sin(ω x+φ ) ω >0,- ≤φ < 的图像 ? 2 2? π 关于直线 x= 对称,且图像上相邻两个最高点的距离为π . 3 (1)求 ω 和 φ 的值; α 3 π 2π ? 3π ? (2)若 f? ?= ? <α < ,求 cos?α + 的值. ?2 ? 4 ?6 3 ? ? 2 ?
2π 17.解:(1) 因为 f( x) 的图像上相邻两个最高点的距离为π ,所以 ?( x) 的最小正周期 T =π ,从而 ω = =2.

T

π 又因为 f(x )的图像关于直线 x = 对称, 3 π π 所以 2? +φ =k π + ,k=0,±1,±2,…. 3 2 π π 因为- ≤φ < , 2 2 π 所以 φ =- . 6 α α π 3 (2) 由(1) 得 ? = 3sin(2? - ) = , 2 2 6 4 1 =. 4 π 2π π π 由 <α < 得 0 <α - < , 6 3 6 2 所以 sin α- 所以 cos 因此 cos =sin α =sin =sin

() ( )
π 6

( (

α- α+

π 6

3π 2

) )



1 -sin

2

(

π α- 6

)



1-

()
1 4

2 = 15 . 4

[ (

π π (α - )+ 6 6 π α- 6

] (
α- π 6

)

π cos +cos 6

)

π sin 6

1 3 15 1 = ? + ? 4 2 4 2 = 3+ 15 . 8

C4

函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的图象与性质

3.[2014?四川卷] 为了得到函数 y=sin (2x+1)的图像,只需把函数 y=sin 2x 的

图像上所有的点(

)

1 A.向左平行移动 个单位长度 2 1 B.向右平行移动 个单位长度 2 C.向左平行移动 1 个单位长度 D.向右平行移动 1 个单位长度
3 .A [解析] 因为 y =sin(2x +1)=sin2

( )
x+
1 2

1 ,所以为得到函数 y=sin(2 x+1) 的图像,只需要将 y =sin 2 x 的图像向左平行移动 个 2

单位长度.

11.[2014?安徽卷] 若将函数 f(x)=sin?2x+

?

π? 的图像向右平移 φ 个单位,所得图 4?

像关于 y 轴对称,则 φ 的最小正值是________.
3π 11. 8 [ 解析] 方法一:将 f( x) =sin

(

2 x+

π 4

)

的图像向右平移 φ 个单位,得到 y =sin

(

2 x+

π -2 φ 4

)

的图像, 由该函数的图像关于

y 轴对称,可知 sin

(

π -2 φ 4

)

=±1,即 sin

(

π 2φ - 4

)

π π kπ 3π =±1,故 2 φ - =k π + ,k ∈Z,即 φ = + ,k ∈Z,所以当 φ >0 时,φ min 4 2 2 8



3π . 8

方法二: 由 f( x) =sin

(

π 2 x+ 4

)

π π 的图像向右平移 φ 个单位后所得的图像关于 y 轴对称可知, -2 φ = +kπ , k ∈Z ,又 φ >0,所以 φ min 4 2



3π . 8

14.[2014?北京卷] 设函数 f(x)=Asin(ω x+φ )(A,ω ,φ 是常数,A>0,ω >0).若 π π π 2π π f(x)在区间? , ?上具有单调性,且 f? ?=f? ?=-f? ?,则 f(x)的最小正周期为

?6

2?

?2 ?

? 3 ?

?6 ?

________.
14.π π 2π π π + + 2 3 2 6 [ 解析] 结合图像得 = - ,即 T =π . 4 2 2

T

1 16. 、 、[2014?福建卷] 已知函数 f(x)=cos x(sin x+cos x)- . 2 π 2 (1)若 0<α < ,且 sin α = ,求 f(α )的值; 2 2 (2)求函数 f(x)的最小正周期及单调递增区间.
π 2 2 16.解:方法一:(1)因为 0< α < ,sin α = ,所以 cos α = . 2 2 2 2 2

所以 f( α ) =

?

(

2 2 + 2 2

)

1 - 2

1 = . 2 1 2 (2) 因为 f( x) =sin xcos x+cos x - 2 1 1 +cos 2x 1 = sin 2x + - 2 2 2 1 1 = sin 2x + cos 2 x 2 2 2 sin 2



(

2 x+

π 4

)



2π 所以 T = =π . 2 π π π 由 2 kπ - ≤2x + ≤2 kπ + ,k ∈Z, 2 4 2 3π π 得 k π - ≤x≤k π + ,k ∈Z. 8 8

所以 f( x) 的单调递增区间为

[

kπ -

3π π ,k π + 8 8

]

,k∈Z.

1 2 方法二:f (x) =sin xcos x+cos x - 2 1 1 +cos 2x 1 = sin 2x + - 2 2 2 1 1 = sin 2x + cos 2 x 2 2 2 sin 2



(

2 x+

π 4

)

.

π 2 π (1) 因为 0< α < ,sin α = ,所以 α = , 2 2 4 2 2

从而 f( α ) =

sin

(

π 2α + 4

)



2 3π 1 sin = . 2 4 2

2π (2)T = =π . 2 π π π 3π π 由 2 kπ - ≤2x + ≤2 kπ + ,k ∈Z,得 k π - ≤x≤kπ + ,k ∈Z. 2 4 2 8 8

所以 f( x) 的单调递增区间为

[

kπ -

3π π ,k π + 8 8

]

,k∈Z.

17. 、 、 、[2014?湖北卷] 某实验室一天的温度(单位:℃)随时间 t(单位:h)的变化近 似满足函数关系: π π f(t)=10- 3cos t-sin t,t∈[0,24). 12 12 (1)求实验室这一天的最大温差. (2)若要求实验室温度不高于 11℃,则在哪段时间实验室需要降温? π π ? 3 π 1 π ? 17.解:(1)因为 f(t)=10-2? cos t+ sin t?=10-2sin? t+ ?, ?12 3? ?2 12 2 12 ?

π π π 7π π? ?π 又 0≤t<24,所以 ≤ t+ < ,-1≤sin t+ ≤1. 3 12 3 3 ?12 3? π π 当 t=2 时,sin? t+ ?=1; ?12 3? π π 当 t=14 时,sin? t+ ?=-1. ?12 3? 于是 f(t)在[0,24)上取得的最大值是 12,最小值是 8. 故实验室这一天的最高温度为 12 ℃,最低温度为 8 ℃,最大温差为 4 ℃. (2)依题意,当 f(t)>11 时,实验室需要降温. π π 由(1)得 f(t)=10-2sin? t+ ?, ?12 3? π? ?π 故有 10-2sin t+ >11, ?12 3? π π 1 即 sin? t+ ?<- . ?12 3? 2 7π π π 11π 又 0≤t<24,因此 < t+ < , 6 12 3 6 即 10<t<18. 故在 10 时至 18 时实验室需要降温. 16. 、[2014?江西卷] 已知函数 f(x)=sin(x+θ )+acos(x+2θ ),其中 a∈R ,θ ∈

?-π ,π ?. ? 2 2?
(1)当 a= 2,θ = (2)若 f π 时,求 f(x)在区间[0,π ]上的最大值与最小值; 4

?π ?=0,f(π )=1,求 a,θ 的值. ?2 ?

16.解:(1)f (x) =sin

( )
x+
π 4

+ 2cos

( )
x+
π 2



2 2

(sin x +cos x) - 2sin x=

2 2 cos x - sin x=sin 2 2 3π π , 4 4

( )
π -x 4

.

π 因为 x ∈[0,π ] ,所以 -x ∈ 4

[



]



故 f (x) 在区间[0 ,π ] 上的最大值为

2 ,最小值为-1. 2

(2) 由

?f(π =0 , ? 2) 得 ?f (π )=1,

{

cos θ (1 -2 asin θ )=0, 2 asin θ -sin θ -a =1.
2

又θ ∈

(

π π - , 2 2

)

,知 cos θ ≠0 ,

所以

{
?θ ?

1 -2 asin θ =0 , (2a sin θ -1)sin θ -a=1,

解得?

a =-1 , ? ?

π =- . 6

12. 、 [2014?新课标全国卷Ⅱ] 设函数 f(x)= 3sin
2 2 x2 0 +[f(x0 )] <m ,则 m 的取值范围是(

πx

m

, 若存在 f(x)的极值点 x0 满足

)

A.(-∞,-6)∪(6,+∞)

B.(-∞,-4)∪(4,+∞) C.(-∞,-2)∪(2,+∞) D.(-∞,-1)∪(1,+∞) πx π ? 1? [解析] 函数 f(x)的极值点满足 = +kπ ,即 x=m k+ ,k∈Z ,且极值 m 2 ? 2? 2 1?2 1 2? 2 ? 1? 为± 3,问题等价于存在 k0 使之满足不等式 m k0 + +3<m .因为 k+ 的最小值为 , ? 2? ? 2? 4 1 所以只要 m2 +3<m2 成立即可, 即 m2 >4, 解得 m>2 或 m<-2, 故 m 的取值范围是(-∞, -2)∪(2, 4 +∞). 16. ,[2014?山东卷] 已知向量 a =(m,cos 2x),b =(sin 2x,n),函数 f(x)=a ?b , 12.C π 2π 且 y=f(x)的图像过点? , 3?和点? ,-2?. ?12 ? ? 3 ? (1)求 m,n 的值; (2)将 y=f(x)的图像向左平移 φ (0<φ <π )个单位后得到函数 y=g(x)的图像,若 y =g(x)图像上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为 1,求 y=g(x)的单调递增区间. 16.解:(1)由题意知,f(x)==msin 2x+ncos 2x. π 2π 因为 y=f(x)的图像过点? , 3?和点? ,-2?, ?12 ? ? 3 ? π π ? ? 3=msin 6 +ncos 6 , 所以? 4π 4π ? ?-2=msin 3 +ncos 3 , 1 3 ? ? 3=2m+ 2 n, 即? 3 1 ? ?-2=- 2 m-2n, 解得 m= 3,n=1. (2)由(1)知 f(x)= 3sin 2x+cos 2x=2sin?2x+ π? . 6?

?

由题意知,g(x)=f(x+φ )=2sin?2x+2φ +

?

π? . 6?

设 y=g(x)的图像上符合题意的最高点为(x0 ,2). 由题意知,x2 0 +1=1,所以 x0 =0, 即到点(0,3)的距离为 1 的最高点为(0,2). π 将其代入 y=g(x)得,sin?2φ + ?=1. ? 6? π 因为 0<φ <π ,所以 φ = . 6 因此,g(x)=2sin?2x+

?

π? =2cos 2x. 2?

π 由 2kπ -π ≤2x≤2kπ ,k∈Z 得 kπ - ≤x≤kπ ,k∈Z , 2

所以函数 y=g(x)的单调递增区间为?kπ -

? ?

π ,kπ ?,k∈Z. 2 ? )

2.[2014?陕西卷] 函数 f(x)=cos?2x- A. π 2 B.π C.2π D.4π

π? 的最小正周期是( 6?

2.B

2π [解析] 已知函数 y=Acos(ω x+φ )(A>0,ω >0)的周期为 T= ,故函数 f(x) ω 2π =π . 2

的最小正周期 T=

16. , , ,[2014?四川卷] 已知函数 f(x)=sin 3x+

? ?

π? . 4?

(1)求 f(x)的单调递增区间; α 4 π (2)若 α 是第二象限角,f? ?= cos?α + ?cos 2α ,求 cos α -sin α 的值. ?3 ? 5 ? 4? 16.解:(1)因为函数 y=sin x 的单调递增区间为 - 由- 得- π π π +2kπ ≤3x+ ≤ +2kπ ,k∈Z , 2 4 2 π 2kπ π 2kπ + ≤x≤ + ,k∈Z. 4 3 12 3

? π +2kπ ,π +2kπ ?,k∈Z , ? 2 2 ?

所以,函数 f(x)的单调递增区间为?-

?

π 2kπ π 2kπ ? + , + ,k∈Z. 4 3 12 3 ?

(2)由已知,得 sin?α +

?

π? 4 π = cos?α + ?(cos2 α -sin2 α ), 4? 5 ? 4? α sin π? (cos2 α - sin2 4?

所以 sin α cos α ),

π π 4 π + cos α sin = ?cos α cos -sin 4 4 5? 4

4 即 sin α +cos α = (cos α -sin α )2 (sin α +cos α ). 5 当 sin α +cos α =0 时,由 α 是第二象限角, 得α = 3π +2kπ ,k∈Z , 4

此时,cos α -sin α =- 2. 5 当 sin α +cos α ≠0 时,(cos α -sin α )2 = . 4 由 α 是第二象限角,得 cos α -sin α <0,此时 cos α -sin α =- 综上所述,cos α -sin α =- 2或- 5 . 2 5 . 2

15. 、 、[2014?天津卷] 已知函数 f(x)=cos x?sin x+ (1)求 f(x)的最小正周期;

? ?

π? 3 2 - 3cos x+ ,x∈R. 3? 4

(2)求 f(x)在闭区间?-

?

π π? , 上的最大值和最小值. 4 4? 3 ? 3 2 cos x?- 3cos x+ 4 ? 2

15.解:(1)由已知,有

f(x)=cos x?? sin x+

?1 ?2

1 3 3 = sin x?cos x- cos2 x+ 2 2 4 1 3 3 = sin 2x- (1+cos 2x)+ 4 4 4 1 3 = sin 2x- cos 2x 4 4 1 π = sin?2x- ?, 2 ? 3? 2π 所以 f(x)的最小正周期 T= =π . 2 (2)因为 f(x)在区间 -

? π ,-π ?上是减函数,在区间?-π ,π ?上是增函数,f ?-π ? ? 4 12? ? 12 4 ? ? 4?

1 1 ? π? ?π ?=1, =- ,f - =- ,f 4 ? 12? 2 ?4 ? 4 所以函数 f(x)在区间?-

?

π π? 1 1 , 上的最大值为 ,最小值为- . 4 4? 4 2

4. [2014?浙江卷] 为了得到函数 y=sin 3x+cos 3x 的图像, 可以将函数 y= 2cos 3x 的图像( ) π π A.向右平移 个单位 B.向左平移 个单位 4 4 π π C.向右平移 个单位 D.向左平移 个单位 12 12 π π 4.C [解析] y=sin 3x+cos 3x= 2cos?3x- ?= 2cos?3? x- ?? ,所以将函数 y ? 4? ? ? 12?? π = 2cos 3x 的图像向右平移 个单位可以得到函数 y=sin 3x+cos 3x 的图像,故选 C. 12 π π 17. , ,[2014?重庆卷] 已知函数 f(x)= 3sin(ω x+φ )?ω >0,- ≤φ < ?的图像 ? 2 2? π 关于直线 x= 对称,且图像上相邻两个最高点的距离为π . 3 (1)求 ω 和 φ 的值; (2)若 f

?α ?= 3?π <α <2π ?,求 cos?α +3π ?的值. ?2 ? 4 ?6 3 ? ? 2 ?
T

17.解:(1)因为 f(x)的图像上相邻两个最高点的距离为π ,所以 ?(x)的最小正周期 T 2π =π ,从而 ω = =2. π 又因为 f(x)的图像关于直线 x= 对称, 3 π π 所以 2? +φ =kπ + ,k=0,±1,±2,…. 3 2 π π 因为- ≤φ < , 2 2

所以 φ =-

π . 6

α α π 3 (2)由(1)得 ?? ?= 3sin(2? - )= , ?2 ? 2 6 4 π 1 所以 sin?α - ?= . ? 6? 4 π 2π π π 由 <α < 得 0<α - < , 6 3 6 2 π? ? = ? 6? 3π ? ? 因此 cos α + ? 2 ? 所以 cos α - =sin α =sin?(α - 1-sin α -
2

? ?

π? = 6?

1-

?1? = 15. ?4? 4

2

? =sin?α ?

π π )+ ? 6 6? π? π π π - cos +cos?α - ?sin 6? 6 ? 6? 6

1 3 15 1 = ? + ? 4 2 4 2 = 3+ 15 . 8

C5 两角和与差的正弦、余弦、正切 14. 、[2014?新课标全国卷Ⅱ] 函数 f(x)=sin(x+2φ )-2sin φ cos(x+φ )的最大 值为________. 14.1 [解析] 函数 f(x)=sin(x+2φ )-2sin φ cos(x+φ )=sin[(x+φ )+φ ]- 2sin φ cos(x+φ )=sin(x+φ )cos φ -cos(x+φ )sin φ =sin x,故其最大值为 1. 16. 、[2014?安徽卷] 设△ABC 的内角 A,B,C 所对边的长分别是 a,b,c,且 b=3, c=1,A=2B. (1)求 a 的值; (2)求 sin A+

? ?

π? 的值. 4?

16.解: (1)因为 A=2B,所以 sin A=sin 2B=2sin Bcos B,由余弦定理得 cos B=

a +c2 -b2 sin A a2 +c2 -b2 = ,所以由正弦定理可得 a=2b? . 2ac 2sin B 2ac
因为 b=3,c=1,所以 a2 =12,即 a=2 3. b2 +c2 -a2 9+1-12 (2)由余弦定理得 cos A= = = 2bc 6 1 - .因为 0<A<π ,所以 sin A= 1-cos2 A= 3 故 sin?A+ 1 2 2 1- = . 9 3

2

π? π π 2 2 2 1 2 4- 2 =sin Acos +cos Asin = ? +?- ?? = . ? 4? 4 4 3 2 ? 3? 2 6 7. 、[2014?广东卷] 若空间中四条两两不同的直线 l1,l2 ,l3 ,l4 满足 l1 ⊥l2 ,l2 ⊥l3 , l3 ⊥l4 ,则下列结论一定正确的是( ) A.l1 ⊥l4

B.l1 ∥l4 C.l1 与 l4 既不垂直也不平行 D.l1 与 l4 的位置关系不确定 7.D [解析] 本题考查空间中直线的位置关系,构造正方体进行判断即可. 如图所示,在正方体 ABCD ? A1 B1 C1 D1 中,设 BB1 是直线 l1 ,BC 是直线 l2 ,AB 是直线 l3 , 则 DD1 是直线 l4 ,l1 ∥l4 ;设 BB1 是直线 l1 ,BC 是直线 l2 ,CC1 是直线 l3 ,CD 是直线 l4 ,则 l1 ⊥l4 .故 l1 与 l4 的位置关系不确定.

16. 、[2014?广东卷] 已知函数 f(x)=Asin?x+

?

π? 5π 3 ,x∈R ,且 f? ?= . 4? ? 12 ? 2

(1)求 A 的值; 3 π 3π (2)若 f(θ )+f(-θ )= ,θ ∈?0, ?,求 f? -θ ?. 2 ? 2? ? 4 ? 17. 、 、 、[2014?湖北卷] 某实验室一天的温度(单位:℃)随时间 t(单位:h)的变化近 似满足函数关系: π π f(t)=10- 3cos t-sin t,t∈[0,24). 12 12 (1)求实验室这一天的最大温差. (2)若要求实验室温度不高于 11℃,则在哪段时间实验室需要降温? π π ? 3 π 1 π ? 17.解:(1)因为 f(t)=10-2? cos t+ sin t?=10-2sin? t+ ?, ?12 3? ?2 12 2 12 ? π π π 7π π π 又 0≤t<24,所以 ≤ t+ < ,-1≤sin? t+ ?≤1. 3 12 3 3 ?12 3? π? ?π 当 t=2 时,sin t+ =1; ?12 3? π π 当 t=14 时,sin? t+ ?=-1. ?12 3? 于是 f(t)在[0,24)上取得的最大值是 12,最小值是 8. 故实验室这一天的最高温度为 12 ℃,最低温度为 8 ℃,最大温差为 4 ℃. (2)依题意,当 f(t)>11 时,实验室需要降温. π π 由(1)得 f(t)=10-2sin? t+ ?, ?12 3? π π 故有 10-2sin? t+ ?>11, ?12 3? π π 1 即 sin? t+ ?<- . ?12 3? 2 7π π π 11π 又 0≤t<24,因此 < t+ < , 6 12 3 6 即 10<t<18. 故在 10 时至 18 时实验室需要降温. 17. 、[2014?辽宁卷] 在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 a>c.已知

1 → → BA?BC=2,cos B= ,b=3.求: 3 (1)a 和 c 的值; (2)cos(B-C)的值. → → 17.解:(1)由BA?BC=2 得 c?a?cos B=2, 1 又 cos B= ,所以 ac=6. 3 2 2 2 由余弦定理,得 a +c =b +2accos B, 2 2 又 b=3,所以 a +c =9+2?2=13. ?ac=6, ?a=2, ? ?a=3, ? ? 解? 2 得? 或? 2 ?a +c =13, ? ?c=3 ?c=2. ? ? 因为 a>c,所以 a=3,c=2. (2)在△ABC 中,sin B= 1-cos2 B= 1 2 2 2 1-? ? = . ?3? 3

c 2 2 2 4 2 由正弦定理,得 sin C= sin B= ? = . b 3 3 9 因为 a=b>c,所以 C 为锐角, ?4 2 ?2 7 因此 cos C= 1-sin2 C= 1-? ? = . ? 9 ? 9
1 7 2 2 4 2 23 所以 cos(B-C)=cos Bcos C+sin Bsin C= ? + ? = . 3 9 3 9 27 17. [2014?全国卷] △ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c.已知 3acos C=2ccos

A,tan A= ,求 B.
17.解:由题设和正弦定理得 3sin Acos C=2sin Ccos A, 故 3tan Acos C=2sin C. 1 因为 tan A= ,所以 cos C=2sin C, 3 1 所以 tan C= . 2 所以 tan B=tan[180°-(A+C)] =-tan(A+C) tan A+tan C tan Atan C-1 =-1, = 所以 B=135°. 8.[2014?新课标全国卷Ⅰ] 设 α ∈ 0, 则( ) A.3α -β = C.2α -β = π 2 π 2 B.3α +β = D.2α +β = π 2 π 2

1 3

? ?

π? 1+sin β ? π? ,β ∈ 0, ,且 tan α = , 2? ? 2? cos β

8.C

?cosβ +sinβ ? 1+sin β ? 2 2? [解析] tan α = = = cos β 2β 2β cos -sin 2 2

cos

β β β +sin 1+tan 2 2 2 π β π π β π π = =tan? + ?,因为β ∈ ?0, ?,所以 + ∈? , ?, β β β ?4 2 ? ? 2? 4 2 ?4 2? cos -sin 1-tan 2 2 2 π? π β 且 tan α =tan? + ?,所以 α = 2? ?4 2 ? π β π + ,即 2α -β = . 4 2 2

又 α ∈?0,

?

13. ,[2014?四川卷] 如图 1?3 所示,从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B,C 的俯 角分别为 67°,30°,此时气球的高度是 46 m,则河流的宽度 BC 约等于________m.(用四 舍五入法将结果精确到个位. 参考数据: sin 67°≈0.92, cos 67°≈0.39, sin 37°≈0.60, cos 37°≈0.80, 3≈1.73)

图 1?3

13.60

[解析] 过 A 点向地面作垂线,记垂足为 D,则在 Rt△ADB 中,∠ABD=67°,

AD=46 m,∴AB=

AD
sin 67°



46 =50(m), 0.92

在△ABC 中,∠ACB=30°,∠BAC=67°-30°=37°,AB=50 m, 由正弦定理得,BC=

ABsin 37°
sin 30°

=60 (m),

故河流的宽度 BC 约为 60 m. 16. , , ,[2014?四川卷] 已知函数 f(x)=sin?3x+

?

π? . 4?

(1)求 f(x)的单调递增区间; α 4 π (2)若 α 是第二象限角,f? ?= cos?α + ?cos 2α ,求 cos α -sin α 的值. ?3 ? 5 ? 4? 16.解:(1)因为函数 y=sin x 的单调递增区间为?- 由- 得- π π π +2kπ ≤3x+ ≤ +2kπ ,k∈Z , 2 4 2 π 2kπ π 2kπ + ≤x≤ + ,k∈Z. 4 3 12 3 π π +2kπ , +2kπ ?,k∈Z , ? 2 2 ?

所以,函数 f(x)的单调递增区间为 - (2)由已知,得 sin α +

? π +2kπ ,π +2kπ ?,k∈Z. ? 4 3 12 3 ?

? ?

π? 4 π? ? 2 2 = cos α + (cos α -sin α ), 4? 5 ? 4?

所以 sin α cos α ),

π π 4 π + cos α sin = ?cos α cos -sin 4 4 5? 4

α sin

π? (cos2 α - sin2 4?

4 即 sin α +cos α = (cos α -sin α )2 (sin α +cos α ). 5 当 sin α +cos α =0 时,由 α 是第二象限角, 得α = 3π +2kπ ,k∈Z , 4

此时,cos α -sin α =- 2. 5 当 sin α +cos α ≠0 时,(cos α -sin α )2 = . 4 由 α 是第二象限角,得 cos α -sin α <0,此时 cos α -sin α =- 综上所述,cos α -sin α =- 2或- 5 . 2 5 . 2

15. 、 、[2014?天津卷] 已知函数 f(x)=cos x?sin x+ (1)求 f(x)的最小正周期; (2)求 f(x)在闭区间 -

? ?

π? 3 2 - 3cos x+ ,x∈R. 3? 4

? π ,π ?上的最大值和最小值. ? 4 4?
3 ? 3 2 cos x?- 3cos x+ 4 ? 2

15.解:(1)由已知,有

f(x)=cos x?? sin x+

?1 ?2

1 3 3 = sin x?cos x- cos2 x+ 2 2 4 1 3 3 = sin 2x- (1+cos 2x)+ 4 4 4 1 3 = sin 2x- cos 2x 4 4 1 π = sin?2x- ?, 2 ? 3? 2π 所以 f(x)的最小正周期 T= =π . 2 (2)因为 f(x)在区间 -

? π ,-π ?上是减函数,在区间?-π ,π ?上是增函数,f ?-π ? ? 4 12? ? 12 4 ? ? 4?

1 1 ? π? ?π ?=1, =- ,f - =- ,f 4 ? 12? 2 ?4 ? 4 π π? 1 1 , 上的最大值为 ,最小值为- . ? 4 4? 4 2 10. ,[2014?重庆卷] 已知△ABC 的内角 A,B,C 满足 sin 2A+sin(A-B+C)=sin(C 1 -A-B)+ ,面积 S 满足 1≤S≤2,记 a,b,c 分别为 A,B,C 所对的边,则下列不等式一 2 定成立的是( ) A.bc(b+c)>8 B.ab(a+b)>16 2 C.6≤abc≤12 D.12≤abc≤24 所以函数 f(x)在区间?-

[解析] 因为 A+B+C=π ,所以 A+C=π -B,C=π -(A+B),所以由已知等 1 式可得 sin 2A+sin(π -2B)=sin[π -2(A+B)]+ ,即 sin 2A+sin 2B=sin 2(A+B) 2 1 + , 2 1 所以 sin[(A+B)+(A-B)]+sin[(A+B)-(A-B)]=sin 2(A+B)+ , 2 1 所以 2 sin(A+B)cos(A-B)=2sin(A+B)cos(A+B)+ , 2 1 1 所以 2sin(A+B)[cos(A-B)-cos(A+B)]= ,所以 sin Asin Bsin C= . 2 8 1 由 1≤S≤2,得 1≤ bcsin A≤2.由正弦定理得 a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C, 2 10.A 所以 1≤2R2 ?sin Asin Bsin C≤2,所以 1≤ ≤2,即 2≤R≤2 4 =8R3 sin Asin Bsin C=R3 ≥8.

R2

2,所以 bc(b+c)>abc

C6 二倍角公式 15. 、[2014?全国卷] 直线 l1 和 l2 是圆 x2 +y2 =2 的两条切线.若 l1 与 l2 的交点为(1, 3),则 l1 与 l2 的夹角的正切值等于________.

15.

4 3

[解析] 如图所示,根据题意,OA⊥PA,OA= 2,OP= 10,所以 PA= OP -OA

2

2

=2

2,所以 tan∠OPA=

OA 2 1 2tan∠OPA 4 = = ,故 tan∠APB= = , 2 PA 2 2 2 1-tan ∠OPA 3

4 即 l1 与 l2 的夹角的正切值等于 . 3 π π 16. 、[2014?全国卷] 若函数 f(x)=cos 2x+asin x 在区间 ? , ?是减函数,则 a ?6 2 ? 的取值范围是________. 16.(-∞,2]
2

[解析] f(x)=cos 2x+asin x=-2sin2 x+asin x+1,令 sin x=t,

则 f(x)=-2t +at+1.因为 x∈

?π ,π ?,所以 t∈?1,1?,所以 f(x)=-2t2 +at+1, ?6 2 ? ?2 ? ?6
2?

1 π π t∈? ,1?.因为 f(x)=cos 2x+asin x 在区间? , ?是减函数,所以 f(x)=-2t2 +at+

?2

?

1 a a 1 1 在区间? ,1?上是减函数,又对称轴为 x= ,∴ ≤ ,所以 a∈(-∞,2]. ?2 ? 4 4 2

1 16. 、 、[2014?福建卷] 已知函数 f(x)=cos x(sin x+cos x)- . 2 π 2 (1)若 0<α < ,且 sin α = ,求 f(α )的值; 2 2 (2)求函数 f(x)的最小正周期及单调递增区间. 16.解:方法一:(1)因为 0<α < 所以 f(α )= 1 = . 2 1 (2)因为 f(x)=sin xcos x+cos2 x- 2 1 1+cos 2x 1 = sin 2x+ - 2 2 2 1 1 = sin 2x+ cos 2x 2 2 = 2 π? ? sin 2x+ , 2 ? 4? 2π =π . 2 π π π ≤2x+ ≤2kπ + ,k∈Z , 2 4 2 2 ? 2 2? 1 ?? ?- 2 ?2 +2 ? 2 π 2 2 ,sin α = ,所以 cos α = . 2 2 2

所以 T=

由 2kπ - 得 kπ -

3π π ≤x≤kπ + ,k∈Z. 8 8

所以 f(x)的单调递增区间为?kπ -

?

3π π ,kπ + ?,k∈Z. 8 8? 1 2

方法二:f(x)=sin xcos x+cos2 x- 1 1+cos 2x 1 = sin 2x+ - 2 2 2 1 1 = sin 2x+ cos 2x 2 2 = 2 π sin?2x+ ?. 2 ? 4?

π 2 π (1)因为 0<α < ,sin α = ,所以 α = , 2 2 4 从而 f(α )= (2)T= 2 π 2 3π 1 sin?2α + ?= sin = . 2 ? 4? 2 4 2

2π =π . 2 π π π 3π π ≤2x+ ≤2kπ + ,k∈Z ,得 kπ - ≤x≤kπ + ,k∈Z. 2 4 2 8 8

由 2kπ -

所以 f(x)的单调递增区间为?kπ -

?

3π π ,kπ + ?,k∈Z. 8 8?

16. , , ,[2014?四川卷] 已知函数 f(x)=sin?3x+

?

π? . 4?

(1)求 f(x)的单调递增区间; α 4 π (2)若 α 是第二象限角,f? ?= cos?α + ?cos 2α ,求 cos α -sin α 的值. ?3 ? 5 ? 4? 16.解:(1)因为函数 y=sin x 的单调递增区间为?-

?

π π +2kπ , +2kπ ?,k∈Z , 2 2 ?

由- 得-

π π π +2kπ ≤3x+ ≤ +2kπ ,k∈Z , 2 4 2 π 2kπ π 2kπ + ≤x≤ + ,k∈Z. 4 3 12 3 π 2kπ π 2kπ ? + , + ,k∈Z. ? 4 3 12 3 ?

所以,函数 f(x)的单调递增区间为?- (2)由已知,得 sin α + 所以 sin α cos α ),

? ?

π? 4 π? ? 2 2 = cos α + (cos α -sin α ), 4? 5 ? 4? α sin π? 2 2 (cos α - sin 4?

π π 4? π + cos α sin = cos α cos -sin 4 4 5? 4

4 2 即 sin α +cos α = (cos α -sin α ) (sin α +cos α ). 5 当 sin α +cos α =0 时,由 α 是第二象限角, 得α = 3π +2kπ ,k∈Z , 4

此时,cos α -sin α =- 2. 5 当 sin α +cos α ≠0 时,(cos α -sin α )2 = . 4 由 α 是第二象限角,得 cos α -sin α <0,此时 cos α -sin α =- 综上所述,cos α -sin α =- 2或- 5 . 2 5 . 2

15. 、 、[2014?天津卷] 已知函数 f(x)=cos x?sin?x+

?

π? 3 - 3cos2 x+ ,x∈R. 3? 4

(1)求 f(x)的最小正周期; (2)求 f(x)在闭区间 -

? π ,π ?上的最大值和最小值. ? 4 4?
3 ? 3 2 cos x?- 3cos x+ 4 ? 2

15.解:(1)由已知,有

f(x)=cos x?? sin x+

?1 ?2

1 3 3 2 = sin x?cos x- cos x+ 2 2 4 1 3 3 = sin 2x- (1+cos 2x)+ 4 4 4

1 3 = sin 2x- cos 2x 4 4 1 π = sin?2x- ?, 2 ? 3? 2π 所以 f(x)的最小正周期 T= =π . 2 (2)因为 f(x)在区间 -

? π ,-π ?上是减函数,在区间?-π ,π ?上是增函数,f ?-π ? ? 4 12? ? 12 4 ? ? 4?

1 π 1 π 1 =- ,f?- ?=- ,f? ?= , 4 ? 12? 2 ?4 ? 4 所以函数 f(x)在区间 -

? π ,π ?上的最大值为1,最小值为-1. ? 4 4? 4 2

C7

三角函数的求值、化简与证明

16. 、[2014?广东卷] 已知函数 f(x)=Asin?x+

?

π? 5π 3 ,x∈R ,且 f? ?= . 4? ? 12 ? 2

(1)求 A 的值; 3 ? π? ?3π -θ ?. (2)若 f(θ )+f(-θ )= ,θ ∈ 0, ,求 f 2 ? 2? ? 4 ? 17. 、 、 、[2014?湖北卷] 某实验室一天的温度(单位:℃)随时间 t(单位:h)的变化近 似满足函数关系: π π f(t)=10- 3cos t-sin t,t∈[0,24). 12 12 (1)求实验室这一天的最大温差. (2)若要求实验室温度不高于 11℃,则在哪段时间实验室需要降温?
17.解:(1) 因为 f( t) =10 -2

(

3 π 1 π cos t + sin t 2 12 2 12

)

=10 -2sin ≤1.

(

π π t+ 12 3

)



π π π 7π 又 0≤t <24 ,所以 ≤ t + < ,-1≤sin 3 12 3 3 当 t =2 时,sin

(

π π t+ 12 3

)

当 t =14 时,sin

( (

π π t+ 12 3

π π t+ 12 3

) )

=1 ; =-1.

于是 f( t) 在[0,24) 上取得的最大值是 12 ,最小值是 8. 故实验室这一天的最高温度为 12 ℃,最低温度为 8 ℃,最大温差为 4 ℃. (2) 依题意,当 f (t)>11 时,实验室需要降温. π π 由(1) 得 f( t) =10-2sin t+ , 12 3 故有 10 -2sin 即 sin

(

π π t+ 12 3

( )

)

>11,

1 <- . 2 7π π π 11π 又 0≤t <24 ,因此 < t + < , 6 12 3 6 即 10<t <18. 故在 10 时至 18 时实验室需要降温. 16. 、[2014?江西卷] 已知函数 f(x )=sin(x +θ ) +acos(x +2 θ ) ,其中 a∈R,θ ∈

(

π π t+ 12 3

)

(



π π , 2 2

)

.

π (1) 当 a = 2 ,θ = 时,求 f( x) 在区间[0 ,π ]上的最大值与最小值; 4

(2) 若 f

()
π 2

=0 ,f( π ) =1 ,求 a ,θ 的值.

16.解:(1)f (x) =sin

( )
x+
π 4

+ 2cos

( )
x+
π 2



2 2

(sin x +cos x) - 2sin x=

2 2 cos x - sin x=sin 2 2 3π π , 4 4

( )
π -x 4

.

π 因为 x ∈[0,π ] ,所以 -x ∈ 4

[



]



故 f (x) 在区间[0 ,π ] 上的最大值为

2 ,最小值为-1. 2

(2) 由

?f(π =0 , ? 2) 得 ?f (π )=1,

{

cos θ (1 -2 asin θ )=0, 2 asin θ -sin θ -a =1.
2

又θ ∈

(

π π - , 2 2

)

,知 cos θ ≠0 ,

所以

{
?θ ?

1 -2 asin θ =0 , (2a sin θ -1)sin θ -a=1,

解得?

a =-1 , ? ?

π =- . 6

16. , , ,[2014?四川卷] 已知函数 f (x) =sin (1) 求 f (x) 的单调递增区间;

(

3 x+

π 4

)

.

(2) 若 α 是第二象限角,f

()
α 3

4 = cos 5

(

α+

π 4

)

cos 2 α ,求 cos α -sin α 的值.

16.解:(1) 因为函数 y =sin x 的单调递增区间为

[

π π - +2k π , +2k π 2 2

]

,k∈Z,

π π π 由- +2 k π ≤3x + ≤ +2 k π ,k∈Z, 2 4 2 π 2 kπ π 2 kπ 得- + ≤x ≤ + ,k∈Z. 4 3 12 3

所以,函数 f( x) 的单调递增区间为

[

π 2 kπ π 2 kπ - + , + 4 3 12 3

]

,k ∈Z.

(2) 由已知,得 sin

(

π α+ 4

)

4 = cos 5

(

α+

π 4

)

(cos α -sin α ),

2

2

π π 4 所以 sin α cos +cos α sin = 4 4 5

(

π π cos α cos -sin α sin 4 4

)

(cos α -sin α ) ,

2

2

4 2 即 sin α +cos α = (cos α -sin α ) (sin α +cos α ). 5 当 sin α +cos α =0 时,由 α 是第二象限角, 3π 得 α = +2 kπ ,k∈Z, 4 此时,cos α -sin α =- 2. 5 2 当 sin α +cos α ≠0 时,(cos α -sin α ) = . 4 5 2

由 α 是第二象限角,得 cos α -sin α <0 ,此时 cos α -sin α =-

.

综上所述,cos α -sin α =- 2 或-

5 . 2


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