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命题(第1课时)


“数学是思维的科学” 逻辑是研究思维形式和规律的科学. 逻辑用语是我们必不可少的工具. 通过学习和使用常用逻辑用语,掌握常用逻 辑用语的用法,,纠正出现的逻辑错误,体会运用常 用逻辑用语表述数学内容的准确性、简捷性.

思考:下面的语句的表述形式有什么 特点?你能判断它们的真假吗? (1)若直线a∥b,则a和b无公共点. (2)若 A ? B ? B, 则

A ? B . (3)若x2=1,则x=1. (4)两个全等三角形的面积相等. 我们把用语言、符号或式子表达的, 可以判断真假的陈述句称为命题. 其中判断为真的语句称为真命题,判断为 假的语句称为假命题.

例1 判断下面的语句是否为命题?若是命题, 指出它的真假。
(1) 空集是任何集合的子集.

(2)若整数a是素数,则a是奇数. (3)对于任意的实数a,都有a2+1>0. (4)若平面上两条直线不相交,则这两条直线平行. (5)x2+x>0. (6)指数函数是增函数吗?
2 ( ? 2) ? ?2 (7)

例1中的命题(2)(4),具有 “若P, 则q”
的形式

也可写成 “如果P,那么q” 的形式 也可写成 “只要P,就有q” 的形式
通常,我们把这种形式的命题中的P叫做命 题的条件,q叫做结论. 记做:

p?q

例2 指出下列命题中的条件p和结论q:

(1)若整数a能被2整除,则a是偶数;
(2)垂直于同一条直线的两个平面平行.

注:表面上不是“若P, 则q” 的形式,但可以 改变为“若P, 则q” 形式的命题.

例3 将下列命题改写成“若P,则q”的形式.

并判断真假;
(1)面积相等的两个三角形全等;

(2)负数的立方是负数;
(3)对顶角相等.

下列四个命题中,命题(1)与命题(2)(3)(4)的条件和 结论之间分别有什么关系? (1)若两个三角形全等,则它们的面积相等; (2)若两个三角形的面积相等,则它们全等;
真命题 假命题 假命题 真命题

(3)若两个三角形不全等,则它们的面积不相等;
(4)若两个三角形的面积不相等,则它们不全等.

命题 (1) 和 (2) 叫做互逆命题.其中一个命题叫做原命题 , 命题 (1) 和 (4) 叫做互为逆否命题 . 其中一个命题叫做原 命题(1)和(3)叫做互否命题 .其中一个命题叫做原命题, 另一个叫做原命题的逆命题 . 命题 ,另一个叫做原命题的逆否命题 . 另一个叫做原命题的否命题 . 如果原命题为 如果原命题为 如果原命题为 那么它的逆否命题为 那么它的否命题为 那么它的逆命题为 “若 “若 p, p, 则 则 q”, q”, “若 p, 则 q”, “若┓ “若┓ q, p, 则┓ 则┓ q”. “若q, 则 p”. p”.
原命题与其逆 原命题与其逆 原命题与其否 命题的真假是 否命题的真假 命题的真假是 否存在相关性 是否存在相关 否存在相关性 呢? 性呢 ? 呢?

下面我们将刚才的四种情况概括一下:
设 命题(1)“若p ,则q”是原命题, 那么

命题(2)“若 q,则p”是原命题的逆命题 原命题的逆命题, , 原命题的否命题, , 命题(3)“若┓p ,则┓q”是原命题的否命题 原命题的逆否命题. . 命题(4)“若 ┓q,则 ┓p”是原命题的逆否命题 它们之间的真假的相关性: 若原命题是真命题 ,则它的逆命题不一定是真命题;

若原命题是真命题 ,则它的否命题不一定是真命题;
若原命题是真命题 ,则它的逆否命题一定是真命题.

若p,则q
互否 若非p,则非q

互逆
互 互 逆 否 否

若q,则p 互否

互逆

若非q,则非p

互为逆否的两个命题等价,真假性一致 互逆或互否的两个命题不等价,真假性不一致

逆命题:如果一个四边形四边
例题:分别写出下列各命 题的逆命题、否命题和 逆否命题:并判断真假 (1)正方形的四边相等。

相等,那么它是正方形。

逆命题:
若X2-3X+2=0, 则X=1或X=2 。 否命题:如果一个四边 形不是正方形,那么它的 四条边不全相等。

原命题: 如果一个四边形 是正方形,那么它的 四条边相等。
(2)若X=1或X=2, 则X2-3X+2=0。

否命题:

若X?1且X?2, 则X2-3X+2 ?0。 逆否命题:如果一个 四边形四边不全相等, 逆否命题: 那么它不是正方形。 若X2-3X+2 ? 0, 则X?1且X? 2 。

结论1:要写出一个命题的另外三个命题关键是
分清命题的题设和结论(即把原命题写成“若P 则Q”的形式)

注意:三种命题中最难写 的是否命题。 结论2:(1)“或”的否定为“且”
(2)“且”的否定为“或” (3)“都”的否定为“不都” (4)“全”的否定为“不全” (5)“>”的否定为“ ? ”

( 本题满分 14 分 ) 判断命题“已知 a 、 x 为实 数,如果关于 x 的不等式 x2 + (2a + 1)x + a2 + 2≤0 的解集非空,则a≥1”的逆否命题的真假. 【思路点拨】 可写出原命题的逆否命题直接 判断其真假,也可利用原命题与其逆否命题的等 价性判断.

例题

【名师点评】 (1)将一个复杂命题转化为其逆否 命题,然后通过逆否命题的真假判断原命题的真 假,是转化与化归思想的重要应用,求解时要注 意转化的准确性. (2)应用互为逆否命题的“等价性”来解题可以变“ 难”为“易”,但这种转化需要解题思维的灵活性 来支撑,因而掌握知识与应用知识要建立起一种 “链接”.

小结
这节课我们学习了:
(1)命题的概念;

(2)判断命题的真假;
(3)把有些命题改写成“若P,则q”的形式; (4)四种命题(原命题、逆命题、否命题、 逆否命题)及其真假相关性.


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