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第二十届全国中学生物理竞赛复赛试题参考解答,评分标准


第二十届全国中学生物理竞赛复赛试题参考解答、评分标准
一、参考解答 令 m 表示质子的质量, v 0 和 v 分别表示质子的初速度和到达 a 球球面处的速度, e 表示 元电荷,由能量守恒可知

1 2 1 2 mv0 ? mv ? eU 2 2

(1)

因为 a 不动,可取其球心 O 为原点,由于质子所受

的 a 球对它的静电库仑力总是通过 a 球的 球心,所以此力对原点的力矩始终为零,质子对 O 点的角动量守恒。所求 l 的最大值对应于 质子到达 a 球表面处时其速度方向刚好与该处球面相切(见复解 20-1-1)。以 lmax 表示 l 的 最大值,由角动量守恒有

mv0lmax ? mvR
由式(1)、(2)可得

(2)

lmax ? 1 ?
代入数据,可得

eU R 2 mv0 / 2

(3)

2 R (4) 2 若把质子换成电子,则如图复解 20-1-2 所示,此时式(1)中 e 改为 ?e 。同理可求得 lmax ? lmax ? 6 R 2
(5)

评分标准:本题 15 分。 式(1)、(2)各 4 分,式(4)2 分,式(5)5 分。

二、参考解答 在温度为 T1 ? (27 ? 273)K=300K 时,气柱中的空气的压强和体积分别为

p1 ? p0 ? h , V1 ? lSC

(1) (2)

当气柱中空气的温度升高时,气柱两侧的水银将被缓慢压入 A 管和 B 管。设温度升高到

T2 时,气柱右侧水银刚好全部压到 B 管中,使管中水银高度增大
?h ? bS C SB
(3)

由此造成气柱中空气体积的增大量为

?V ? ? bSC

(4)

与此同时,气柱左侧的水银也有一部分进入 A 管,进入 A 管的水银使 A 管中的水银高度也 应增大 ?h ,使两支管的压强平衡,由此造成气柱空气体积增大量为

?V ?? ? ?hSA
所以,当温度为 T2 时空气的体积和压强分别为

(5)

V2 ? V1 ? ?V ? ? ?V ?? p2 ? p1 ? ?h
由状态方程知

(6) (7)

p1V1 p2V2 ? T1 T2
由以上各式,代入数据可得

(8)

T2 ? 347.7 K

(9)

此值小于题给的最终温度 T ? 273 ? t ? 370 K,所以温度将继续升高。从这时起,气柱中的空 气作等压变化。当温度到达 T 时,气柱体积为

V?
代入数据可得

T V2 T2

(10)

V ? 0.72 cm3

(11)

评分标准:本题 15 分。 求得式(6)给 6 分,式(7)1 分,式(9)2 分,式(10)5 分,式(11)1 分。

三、参考解答 位于通道内、质量为 m 的物体距地心 O 为 r 时(见图复解 20-3),它受到地球的引力可 以表示为

F?

GM ?m , r2

(1)

式中 M ? 是以地心 O 为球心、以 r 为半径的球体所对应的那部分地球的质量,若以 ? 表示地 球的密度,此质量可以表示为

4 M ? ? ?? r 3 3
于是,质量为 m 的物体所受地球的引力可以改写为

(2)

4 F ? ? G ? mr 3

(3)

作用于质量为 m 的物体的引力在通道方向的分力的大小为 f ? F sin ? (4)

sin? ?

x r

(5)

? 为 r 与通道的中垂线 OC 间的夹角, x 为物体位置到通道中 C 的距离,力的方向指向通道的中点 C 。在地面上物体的重力 点 可以表示为
mg ? GM 0 m 2 R0
(6)

式中 M 0 是地球的质量。由上式可以得到

4 g ? ? G ? R0 3
由以上各式可以求得

(7)

f ?

mg x R0

(8)

可见, f 与弹簧的弹力有同样的性质,相应的“劲度系数”为

k?

mg R0

(9)

物体将以 C 为平衡位置作简谐振动,振动周期为 T ? 2? R0 / g 。取 x ? 0 处为“弹性势能” 的零点,设位于通道出口处的质量为 m 的静止物体到达 x ? 0 处的速度为 v0 ,则根据能量守 恒,有

1 2 1 2 mv0 ? k ( R0 ? h2 ) 2 2
式中 h 表示地心到通道的距离。解以上有关各式,得

(10)

2 v0 ?

2 R0 ? h 2 g R0

(11)

可见,到达通道中点 C 的速度与物体的质量无关。 设想让质量为 M 的物体静止于出口 A 处,质量为 m 的物体静止于出口 B 处,现将它们 同时释放,因为它们的振动周期相同,故它们将同时到达通道中点 C 处,并发生弹性碰撞。 碰撞前,两物体速度的大小都是 v0 ,方向相反,刚碰撞后,质量为 M 的物体的速度为 V , 质量为 m 的物体的速度为 v ,若规定速度方向由 A 向 B 为正,则有

Mv0 ? mv0 ? MV ? mv ,

(12) (13)

1 2 1 2 1 1 Mv0 ? mv0 ? MV 2 ? mv2 2 2 2 2
解式(12)和式(13),得

v?

3M ? m v0 M ?m

(14)

质量为 m 的物体是待发射的卫星,令它回到通道出口 B 处时的速度为 u ,则有

1 1 1 2 k ( R0 ? h2 ) ? mu 2 ? mv2 2 2 2
由式(14)、(15)、(16)和式(9)解得
2 8M ( M ? m) R0 ? h2 g R0 ( M ? m)2

(15)

u2 ?

(16)

u 的方向沿着通道。根据题意,卫星上的装置可使 u 的方向改变成沿地球 B 处的切线方向, 如果 u 的大小恰能使小卫星绕地球作圆周运动,则有
G M 0m u2 ?m 2 R0 R0
(17)

由式(16)、(17)并注意到式(6),可以得到

h?
已知 M ? 20 m,则得

R0 2

7 M 2 ? 10Mm ? m2 2M ( M ? m)

(18)

h ? 0.925R0 ? 5920 km

(19)

评分标准:本题 20 分。 求得式(11)给 7 分,求得式(16)给 6 分,式(17)2 分,式(18)3 分,式(19)2 分。

四、参考解答 图复解 20-4-1 中画出的是进入玻璃半球的任一光线的光路(图中阴影处是无光线进入的 区域),光线在球面上的入射角和折射角分别为 i 和 i ? ,折射光线与坐标轴的交点在 P 。令 轴上 OP 的距离为 x , MP 的距离为 l ,根据折射定律,有

sin i? ?n sin i

(1)

在 ?OMP 中

l x ? sin i sin i? 2 l ? R 2 ? x 2 ? 2 Rx cos i
由式(1)和式(2)得
x ? nl

(2) (3)

再由式(3)得

x2 ? n2 ( R2 ? x2 ? 2Rx cos i)
设 M 点到 Ox 的距离为 h ,有
h ? R sin i

R cos i ? R2 ? R2 sin 2 i ? R2 ? h2


x2 ? R 2 ? x2 ? 2 x R 2 ? h2 n2 1 x2 (1 ? 2 ) ? 2x R2 ? h2 ? R2 ? 0 n
解式(4)可得

(4)

x?

n2 R 2 ? h2 ? n R 2 ? n2h2 n2 ? 1

(5)

为排除上式中应舍弃的解,令 h ? 0 ,则 x 处应为玻璃半球在光轴 Ox 上的傍轴焦点,由上式

x?

n(n ? 1) n n R? R或 R 2 n ?1 n ?1 n ?1

由图可知,应有 x ? R ,故式(5)中应排除±号中的负号,所以 x 应表示为

x?

n2 R 2 ? h2 ? n R 2 ? n2h2 n2 ? 1

(6)

上式给出 x 随 h 变化的关系。 因为半球平表面中心有涂黑的面积,所以进入玻璃半球的光线都有 h ? h0 ,其中折射光 线与 Ox 轴交点最远处的坐标为

x0 ?

2 2 n 2 R 2 ? h0 ? n R 2 ? n 2 h0

n2 ? 1

(7)

在轴上 x ? x0 处,无光线通过。 随 h 增大,球面上入射角 i 增大,当 i 大于临界角 iC 时,即会发生全反射,没有折射光 线。与临界角 iC 相应的光线有

hC ? R sin iC ? R
这光线的折射线与轴线的交点处于

1 n

n2 R 1 ? xC ?
在轴变化的关系。 因为半球平表面中心 t

n ?1
2

1 n2 ?

nR n2 ? 1

(8)


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