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立体几何--表面积和体积答案


第四章空间几何体的表面积和体积(答案)
典例解析 题型 1:柱体的体积和表面积
解析: (1)如图 2,连结 A1O,则 A1O⊥底面 ABCD。作 OM⊥AB 交 AB 于 M,作 ON⊥ AD 交 AD 于 N,连结 A1M,A1N。由三垂线定得得 A1M⊥AB,A1N⊥AD。∵∠A1AM=∠ A1AN, ∴Rt△A1NA≌Rt△A1MA,∴A1M=A1N

, 从而 OM=ON。 ∴点 O 在∠BAD 的平分线上。 (2)∵AM=AA1cos ∴AO=

? 1 3 =3× = 2 2 3

AM cos

?
4

=

3 2。 2 9 9 = , 2 2

又在 Rt△AOA1 中,A1O2=AA12 – AO2=9-

∴A1O=

3 2 3 2 ? 30 2 。 ,平行六面体的体积为 V ? 5 ? 4 ? 2 2

题型 2:柱体的表面积、体积综合问题
解析:设长方体共一顶点的三边长分别为 a=1,b=

2 ,c= 3 ,则对角线 l 的长为 l=

a 2 ? b2 ? c 2 ? 6 ;答案 D。
点评:解题思路是将三个面的面积转化为解棱柱面积、体积的几何要素—棱长。

题型 3:锥体的体积和表面积 例 3.D 题型 4:锥体体积、表面积综合问题
例 4.解:连 OA、OB、OC、OD, 则 VA-BEFD=VO-ABD+VO-ABE+VO-BEFD VA-EFC=VO-ADC+VO-AEC+VO-EFC 又 VA-BEFD=VA-EFC, 而每个三棱锥的高都是原四面体的内切球的半径, 故 SABD+SABE+SBEFD=SADC+SAEC+SEFC 又面 AEF 公共,故选 C 点评:该题通过复合平面图形的分割过程,增加了题目处理的难度,求解棱锥的体积、表面 积首先要转化好平面图形与空间几何体之间元素间的对应关系。

题型 5:棱台的体积、面积及其综合问题
例 5. )解法一:(Ⅰ)由题设知,FG=GA,FH=HD. 所以 GH

1 1 AD , 又 BC AD ,故 GH 2 2

BC.

所以四边形 BCHG 是平行四边形. (Ⅱ)C、D、F、E 四点共面.理由如下:
1

由 BE

1 AF ,G 是 FA 的中点知,BE GF,所以 EF∥BG. 2

由(Ⅰ)知 BG∥GH,故 FH 共面.又点 D 在直线 FH 上. 所以 C、D、F、E 四点共面. (Ⅲ)连结 EG,由 AB=BE,BE AG 及∠BAG=90°知 ABEG 是正方形. 故 BG⊥EA.由题设知,FA、AD、AB 两两垂直,故 AD⊥平面 FABE, 因此 EA 是 ED 在平面 FABE 内的射影,根据三垂线定理,BG⊥ED. 又 ED∩EA=E,所以 BG⊥平面 ADE. 由(Ⅰ)知,CH∥BG,所以 CH⊥平面 ADE.由(Ⅱ)知 F ? 平面 CDE.故 CH ? 平面 CDE,得平 面 ADE⊥平面 CDE. 解法二: 由题设知,FA、AB、AD 两两互相垂直. 如图,以 A 为坐标原点,射线 AB 为 x 轴正方向建立直角坐标系 A-xyz. (Ⅰ)设 AB=a,BC=b,BE=c,则由题设得

A(0,0,0),B(a,0,0),C(a,b,0),D(0,2b,0),E(a,0,c),G(0,0,c),H(0,b,c).
所以, GH ? (0, b,0), BC ? (0, b,0). 于是 GH ? BC . 又点 G 不在直线 BC 上. 所以四边形 BCHG 是平行四边形. (Ⅱ)C、D、F、E 四点共面.理由如下: 由题设知,F(0,0,2c),所以

????

??? ?

????

??? ?

??? ? ???? ??? ? ???? EF ? (?a,0, c), CH ? (?a,0, c), EF ? CH ,
又C ? EF,H ? FD,故C、D、F、E四点共面.
(Ⅲ)由 AB=BE,得 c=a,所以 CH ? (?a,0, a), AE ? (a,0, a). 又 AD ? (0, 2b,0),因此 CH ?AE ? 0, CH ?AD ? 0. 即

????

??? ?

??? ?

???? ??? ?

???? ??? ?

CH⊥AE,CH⊥AD,

又 AD∩AE =A,所以 CH⊥平面 ADE, 故由 CH ? 平面 CDFE,得平面 ADE⊥平面 CDE.
2


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