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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版必修5第二章2.3.2等比数列的前n项和(二)


2.3.2
一、基础过关

等比数列的前 n 项和(二)

1. 在各项都为正数的等比数列{an }中, 首项 a1 =3, 3 项和为 21, a3 +a4 +a5 等于( 前 则 A.33 B.72 C.84 D.189

)

1 2.已知{an }是首项为 1 的等比数列,Sn 是{

an }的前 n 项和,且 9S3 =S6 ,则数列{ }的前 5 an 项和为 A. C. 15 和5 8 31 16 B. 31 和5 16 15 8 ( )

D.

3.一弹性球从 100 米高处自由落下,每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下,则第 10 次着地时所经过的路程和是(结果保留到个位) A.300 米 C.199 米 B.299 米 D.166 米 ( )

4.某企业在今年年初贷款 a 万元,年利率为 γ,从今年年末开始每年偿还一定金额,预计 五年内还清,则每年应偿还 A. C. a?1+γ? 万元 ?1+γ?5 -1 aγ?1+γ?5 万元 4 ?1+γ? -1 B. aγ?1+γ?5 万元 ?1+γ?5 -1 aγ 5万元 ?1+γ? ( )

D.

5.等比数列{an }共 2n 项,其和为-240,且奇数项的和比偶数项的和大 80,则公比 q= ________. 6.等比数列{an }中,前 n 项和为 Sn ,S3 =2,S6 =6,则 a10 +a11 +a12 =________. 7.在等比数列{an }中,已知 S30 =13S10 ,S10 +S30 =140,求 S20 的值. 8.一个热气球在第一分钟上升了 25 m 的高度,在以后的每一分钟里,它上升的高度都是它 在前一分钟里上升高度的 80%.这个热气球上升的高度能超过 125 m 吗? 二、能力提升 9.数列{an }的前 n 项和为 Sn ,若 a1 =1,an +1 =3Sn (n≥1),则 a6 等于 A.3×44 C.45 B.3×44 +1 D.45 +1 ( ) ( )

10.某工厂月生产总值的平均增长率为 q,则该工厂的年平均增长率为 A.q C.(1+q)12 B.12q D.(1+q)12 -1

11.银行一年定期储蓄存款年息为 r,三年定期储蓄存款年息为 q,银行为吸收长期资金, 鼓励储户存三年定期的存款,那么 q 的值应略大于____________________________. 12.利用等比数列前 n 项和公式证明: an +1 -bn +1 an +an -1 b+an -2 b2 +…+bn = ,其中 n∈N* a,b 是不为 0 的常数,且 a≠b. a-b 三、探究与拓展 13.已知{an }是以 a 为首项,q 为公比的等比数列,Sn 为它的前 n 项和. (1)当 S1 ,S3 ,S4 成等差数列时,求 q 的值; (2)当 Sm ,Sn ,Sl 成等差数列时,求证:对任意自然数 k,am +k,an +k,al +k 也成等差数列.

答案
1.C 2.C 3.A 4.B 5.2 6.16 7.解 由? ∵S30 ≠3S10 ,∴q≠1.
?S30 =13S10 ? ? ?S10 +S30 =140
10 1

,∴?

?S10 =10 ? ? ? S30 =130



?a ?1-q ? 1-q ∴? a ?1-q ? ? 1-q
1

? =10 ? , =130

30

∴q20 +q10 -12=0.∴q10 =3, a1 ?1-q20? ∴S20 = =S10 (1+q10) 1-q =10×(1+3)=40. 8.解 4 用 an 表示热气球在第 n 分钟上升的高度,由题意,得 an+ 1 = an , 5

4 因此,数列{an }是首项 a1 =25,公比 q= 的等比数列. 5 热气球在前 n 分钟内上升的总高度为 a1 ?1-qn ? Sn =a1 +a2 +…+an = 1-q 4 25×?1-? ? n? ? ? 5? ? = 4 1- 5 4 n =125×?1-? ? ?<125. ? ? 5? ? 故这个热气球上升的高度不可能超过 125 m. 9.A [当 n≥1 时,an + 1 =3Sn , 则 an +2 =3Sn+ 1 , ∴an + 2 -an +1 =3Sn+ 1 -3Sn =3an +1 ,即 an+ 2 =4an +1 , ∴该数列从第 2 项开始是以 4 为公比的等比数列. 又 a2 =3S1 =3a1 =3, ∴an =?
?1?n=1?, ? ? ? 3×4
n- 2

?n≥2?.

∴当 n=6 时,a6 =3×46 -2 =3×44 .]

10.D 1 11. [(1+r)3-1] 3 12.证明 b ∵a≠0,b≠0,a≠b,∴ ≠1. a
n n -1

∴左端=a +a

b+a

n- 2 2

b +…+b

n

b b b =an ?1+ +? ? 2 +…+? ? n? ? a ? a? ? a? ? b an ?1-? ?n + 1? ? ?a? ? = b 1- a b an + 1?1-? ?n + 1? ? ?a? ? = a-b an + 1 -bn +1 = =右端. a-b an + 1 -bn +1 ∴an +an -1 b+an- 2 b2 +…+bn = . a-b 13.(1)解 由已知,得 an =aq
n -1

,因此

S1 =a,S3 =a(1+q+q2),S4 =a(1+q+q2 +q3 ). 当 S1 ,S3 ,S4 成等差数列时,S4 -S3 =S3 -S1 , 可得 aq3 =aq+aq2 , 化简得 q2 -q-1=0. 解得 q= (2)证明 =2Sn , 即 a?q -1? a?q -1? 2a?q -1? + = , q-1 q-1 q-1
m l n

1± 5 . 2 若 q=1,则{an }的各项均为 3,若 q≠1,由 Sm ,Sn ,Sl 成等差数列可得 Sm +Sl

整理得 qm +ql =2qn. 因此,am + k+al+ k=aq
k-1

(q +q )=2aq

m

l

n+ k-1

=2an+ k.

所以 am + k,an + k,al+ k 成等差数列.


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