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浙江省浙江大学附属中学2016届高三全真模拟文科数学试卷 Word版含答案


浙大附中 2016 年高考全真模拟试卷

数学(文科)试题卷
本试题卷分选择题和非选择题两部分,考试时间为 120 分钟. 参考公式:
柱体的体积公式 V ? Sh 锥体的体积公式 V ? 1 Sh 其中 S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高 其中 S 表示锥体的底面积,h 表示锥体的高 其中 S1,S2 分别表示台体的上,下底面积 其中

R 表示球的半径,h 表示台体的高 其中 R 表示球的半径

3

台体的体积公式 V ? 1 h( S ? S S ? S ) 1 1 2 2 3 球的表面积公式 S 球的体积公式 V ?

? 4? R2
4 ? R3 3

选择题部分(共 40 分)
一、选择题(共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合 题目要求.请将你认为正确的选项答在指定的位置上) 1.设 A ? ? x | (A)

? ?

1 ? ? x ? 5, x ? Z ? , B ? ?x | x ? a? ,若 A ? B ,则实数 a 的取值范围是 2 ?
(B) a ? 1 (C) a ?

a ?1

1 2

(D) a ?

1 2
b

2. 已知 a, b ? R ,下列四个条件中,使 a ? b 成立的必要而不充分的条件是 (A) a ? b ? 1 3. 已知 sin ? ? cos ? ? (B)a ? b ? 1

| a | ?| b | (C)

(D)2 ? 2
a

? 2 , ? ? (0, ? ) ,则 sin(? ? ) 的值为 12 3
(B)

(A)

3?2 2 6

3?2 2 6

(C)

1? 2 6 6

(D)

1? 2 6 6

4.已知数列 {an } 中满足 a1 ? 15 , (A) 10

a an?1 ? an ? 2 ,则 n 的最小值为 n n
(C)9 (D)
27 4

(B) 2 15 ? 1

5.若实数 a,b,c 满足 log a 2 ? logb 2 ? log c 2 ,则下列关系中不可能成立 的是 ..... (A) a ? b ? c (B) b ? a ? c (C)c ? b ? a (D)a ? c ? b

-1-

6.若点 P 是两条异面直线 l, m 外的任意一点,则 (A)过点 P 有且仅有一条直线与 l, m 都平行 (B)过点 P 有且仅有一条直线与 l, m 都垂直 (C)过点 P 有且仅有一条直线与 l, m 都相交 (D)过点 P 有且仅有一条直线与 l, m 都异面 7. 如图,F1 , F2 分别是双曲线 C :

x2 y2 ? ? 1?a ? 0, b ? 0? 的 a2 b2
F1

y P

左、右焦点,经过右焦点 F2 的直线与双曲线 C 的右支交于

O Q

F2

x

P, Q 两点,且 PF2 ? 2 F2Q , PQ ? F1Q ,则双曲线 C 的
离心率是 (A)
第 7题

(第 7 题图)

2

(B) 3

(C)

10 2

(D)

17 3

8.已知从点 P 出发的三条射线 PA , PB , PC 两两成 60 ? 角,且分别与球 O 相切于 A , B ,

C 三点.若球 O 的体积为 36π ,则 O , P 两点间的距离为
(A) 3 2 (B) 3 3 (C)3 (D)6

非选择题部分(共 110 分)
二、填空题(本题共 7 道小题, 共 36 分;将答案直接答在答题卷上指定的位置) 9. 已知首项为 1,公差不为 0 的等差数列 ?a n ? 的第 2,4,9 项成等比数列,则这个等比数列 的公比 q ? ▲ ; 等差数列 ?a n ? 的通项公式 an ? . ▲ ;设数列 ?a n ? 的前 n 项和

为 Sn ,则 Sn = ▲

?2x ? y ? 2 ? 0 ? 10.若实数 x , y 满足: ? x ? 2 y ? 4 ? 0 ,则 x , y 所表示的区域的 ? x ? 3 y ? 11 ? 0 ?
面积为 ▲ ,若 x , y 同时满足 ( , t ?? 1 ) xt ( ? 2 ) y ? t ? 0 .
(第 11 题图)

则实数 t 的取值范围为 ▲

11.已知某几何体的三视图如右图所示(长度单位为: cm ),则 该几何体的体积为 ▲ cm ,表面积为 ▲ cm .
3 2

12. 已知直线 l 的方程是 x ? y ? 6 ? 0 ,A,B 是直线 l 上的两点,且△OAB 是正三角形(O 为 坐标原点) ,则△OAB 外接圆的方程是 ▲ .

-2-

13. 在 ?ABC 中, cos A ?

??? ? ??? ? 1 , AB ? 2 ,则 CA? CB 的最小值是 ▲ 3



14. 若正数 x , y 满足 x ? 3 y ? 5 xy ,则 3x ? 4 y 的最小值是 ▲ . 15.设函数 f ( x) ? x2 (0 ? x ? 1) ,记 H (a, b) 为函数 f ( x ) 图象上点到直线 y ? ax ? b 距离的 最大值,则 H (a, b) 的最小值是 ▲ .

三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分.解答请写在答卷纸上,应写出文字说明,证明过程 或演算步骤. 16. (本题 15 分) 在 ?ABC 中, 角 A ,B ,C 的对边分别为 a ,b ,c , 且 (Ⅰ)求角 A 的值; (Ⅱ)若角 B ?

2b ? 3c c o s C ? . c o s A 3a

π , BC 边上的中线 AM ? 7 ,求 ?ABC 的面积. 6

17. (本题 15 分)已知数列 {an } 首项为 2,且对任意 n ? N ,都有
*

1 1 1 n ,数列 {an } 的前 10 项和为 110. ? ?? ? ? a1a2 a2 a3 an an?1 a1an?1
(Ⅰ)求证:数列 {an } 为等差数列; (Ⅱ)若存在 n ? N ,使得 an ? (n ? 1)? 成立,求实数 ? 的最小值.
*

-3-

18.(本题 15 分) 如图所示, 在三棱锥 P ? ABC 中, 平面 PAC ? 平面 ABC , AB ? BC ? 6 ,

PD ? AC 于点 D , AD ? 1 , CD ? 3 , PD ? 3 .
(Ⅰ)证明: BC ? PB (Ⅱ)求直线 AP 与平面 PBC 所成角的正弦值.

P

A

D B
(第 18 题图)

C

19.(本题 15 分)已知 O 为坐标原点, F 是抛物线 E : y 2 ? 4x 的焦点. (Ⅰ)过 F 作直线 l 交抛物线 E 于 P, Q 两点,求 (Ⅱ)过点 T (t , 0) 作两条互相垂直 的直线分别交抛物线 E 于 A, B, C , D 四 点,且 M , N 分别为线段 AB, CD 的中 点,求 ?TMN 的面积最小值.
O Q D F T M x y A N P

??? ? ???? OP ? OQ 的值;
C

B

(第 19 题图)

-4-

20.(本题 14 分)已知函数 f ?x ? ?

1 ? kx ? b ,其中 k , b 为实数且 k ? 0 x?2

(Ⅰ)当 k ? 0 时,根据定义证明 f ?x ? 在 ?? ?,?2? 单调递增; (Ⅱ)求集合 M k ? { b | 函数 f ( x) 由三个不同的零点}.

-5-

数学(文科)答案
一、AAAD,ABDB 5 n(3n ? 1) 二、9、 ,3n-2, ; 2 2 12、 ( x ? 2)2 + ( y ? 2)2 =8; 10、
?4 ? 5 ? , ? ?2, ? ; 3? 2 ?

11、16,34+6 5 ; 15、
2 。 16

1 13、 ? ; 9

14、5;

16.解析: (1)因为 (2b ? 3c)cos A ? 3a cos C , 由正弦定理得 (2sin B ? 3sin C)cos A ? 3sin Acos C , 即 2sin B cos A ? 3 sin A cos C ? 3 sin C cos A ? 3sin ? A ? C ? . 因为 B=?-A-C ,所以 sinB ? sin ? A ? C ? , 所以 2sin B cos A ? 3 sin B . 因为 B ? (0,? ) ,所以 sinB ? 0, ……………2 分 ……………4 分

? 3 ,因为 0 ? A ? ? ,所以 A ? . 6 2 2? π (2)由(1)知 A ? B ? ,所以 AC ? BC , C ? . 3 6 1 设 AC ? x ,则 MC ? x ,又 AM ? 7. 2 在 ? AMC 中,由余弦定理 得 AC 2 ? MC 2 ? 2 AC ? MC cos C ? AM 2 , x 2 x 2 o 2 即 x ? ( ) ? 2 x ? ? cos120 ? ( 7) , 解得 x=2.? 2 2 2 1 2? S?ABC ? x2 sin ? 3. 2 3 故
所以 cos A ? 17.解: (Ⅰ)当 n ? 2 时,

……………7 分 …………….8 分

1 1 1 n ?1 1 n n ?1 ? ??? ? ? ? ? a1a2 a2 a3 an?1an a1an an an?1 a1an?1 a1an



1 n n ?1 ? ? ? 2 ? nan ? (n ?1)an?1 ? 2 ? (n ? 1)an?1 ? nan?2 , an an ?1 2an ?1 2an

?2nan?1 ? nan ? nan?2 即 2an?1 ? an ? an?2 (n ? 2, 且n ? N * ) ,
当 n ? 1 代入已知条件得

1 1 2 即 2a2 ? a1 ? a3 ? ? a1a2 a2 a3 a1a3

?2an?1 ? an ? an?2 (n ? N * ) ? 数列 {an } 为等差数列.
(Ⅱ)设 {an } 的前 n 项和为 Sn ,则

? d ? 2 ?an ? a1 ? (n ?1) ? d ? 2n ? ? ?

2n , n ?1

-6-

2(n ? 1) 2n Cn ?1 n 2 ? 2n ? 1 1 令 Cn ? 则 ? n?2 ? 2 ? 1? 2 ?1, 2n n ?1 Cn n ? 2n n ? 2n n ?1

?(Cn )min ? 1?? ? 1 .
18.证明: (Ⅰ)因为平面 PAC ? 平面 ABC ,平面 PAC I 平面 面 PAC , PD ? AC , 所以 PD ? 平面 ABC . 记 AC 边上的中点为 E ,在△ ABC 中,因为 AB ? BC ,所以 BE ? AC . 因为 AB ? BC ? 6 , AC ? 4 ,所以 BE ?

ABC ? AC , PD ? 平

BC 2 ? CE 2 ?

? 6?

2

? 22 ? 2 .

o 连接 BD ,在 Rt △ BDE 中,因为 ?BED ? 90 , BE ? 2 , DE ? 1 ,

所以 BD ?

BE 2 ? DE 2 ?

? 2?

2

? 12 ? 3 .

P

在△ BCD 中,因为 CD ? 3 , BC ? 6 , BD ? 3 ,
2 2 2 所以 BC ? BD ? CD ,所以 BC ? BD .

因为 PD ? 平面 ABC , BC ? 平面 ABC , 所以 BC ? PD . 因为 BD ? PD ? D ,所以 BC ? 平面 PBD . 因为 PB ? 平面 PBD ,所以 BC ? PB . (Ⅱ)过点 A 作平面 PBC 的垂线,垂足为 H ,连 PH , 则 ?APH 为直线 AP 与平面 PBC 所成的角. 由(Ⅰ)知,△ ABC 的面积 S ?ABC ? 因为 PD ? 3 ,所以 VP ? ABC ?

A

E D B

C

1 ? AC ? BE ? 2 2 . 2

1 1 2 6 ? S ?ABC ? PD ? ? 2 2 ? 3 ? . 3 3 3

由(Ⅰ)知 ?PBC 为直角三角形, BC ? 6 , PB ? 所以△ PBC 的面积 S ?PBC ?

6,

1 1 ? BC ? PB ? ? 6 ? 6 ? 3 . 2 2

因为三棱锥 A ? PBC 与三棱锥 P ? ABC 的体积相等,即 VA? PBC ? VP? ABC , 即 ? 3 ? AH ?

1 3

2 6 2 6 ,所以 AH ? . 3 3

在 Rt △ PAD 中,因为 PD ? 3 , AD ? 1 ,

-7-

所以 AP ?

PD 2 ? AD 2 ?

? 3?

2

? 12 ? 2 .

AH ? 因为 sin ?APH ? AP

2 6 3 ? 6. 2 3

所以直线 AP 与平面 PBC 所成角的正弦值为 19.解: (Ⅰ)设直线 l 的方程为 l : x ? ty ? 1 ,

6 3

P( x1, y1 ), Q( x2 , y2 ) ,
∴ y1 y2 ? ?4 , x1 x2 ? 1 ? y ? 4x ??? ? ??? ? ∴ OP ? OQ ? x1x2 ? y1 y2 ? ?3 ? x1 x2 ? y1 y2 ? ?3 . 由?
2

? x ? ty ? 1

? y2 ? 4ty ? 4 ? 0

(Ⅱ)根据题意,直线 AB, CD 斜率存在, 故设 AB : x ? my ? t , CD : x ? ? 由? ∴

1 y ? t , A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ), C( x3 , y3 ), D( x4 , y4 ) , m

? x ? my ? t ? y ? 4x
2

? y 2 ? 4my ? 4t ? 0 ,

y1 ? y2 x ?x ? 2m ? 1 2 ? 2m 2 ? t ,得 M (2m2 ? t , 2m) , 2 2 2 2 同理可得 N ( 2 ? t , ? ) m m
4m 4 ? 4m 2 ? 2 m m 2 ? 1 ,

∴ TM ?

TN ?

4 4 2 ? 2 ? 2 m2 ? 1 4 m m m

∴ S?TMN ?

1 1 TM TN ? 2( m ? ) ? 4 2 m

当且仅当 m ? 1 时,面积取最小值 4. 20. 解: (1)证明:当 x ? (??, ?2) 时, f ( x ) ? ? 任取 x1 , x2 ? (??, ?2) ,设 x2 ? x1 .

1 +kx ? b .……1 分 x?2

? ? ? ? 1 1 ? ? ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? ? ? kx ? b ? ? ? kx ? b 1 2 ? x ?2 ? ? x ?2 ? ? 1 ? ? 2 ?
-8-

? ? 1 ? ( x1 ? x2 ) ? ? k? . ? ( x1 ? 2)( x2 ? 2) ? 1 由所设得 x1 ? x2 ? 0 , ? 0 ,又 k ? 0 , ( x1 ? 2)(x 2 ? 2) ∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) . ∴ f ( x) 在 (??,?2) 单调递增. 1 (2)解法一:函数 f ( x) 有三个不同零点,即方程 +kx+b ? 0 有三个不同的实根. x?2
方程化为: ?

? x ? ?2 ? x ? ?2 与? 2 . 2 ?kx ? (b ? 2k ) x ? (2b ? 1) ? 0 ?kx ? (b ? 2k ) x ? (2b ? 1) ? 0

记 u( x) ? kx2 ? (b ? 2k ) x ? (2b ? 1) , v( x) ? kx2 ? (b ? 2k ) x ? (2b ?1) . ⑴当 k ? 0 时, u( x), v( x) 开口均向上. 由 v(?2) ? ?1 ? 0 知 v( x) 在 (??,?2) 有唯一零点. 为满足 f ( x) 有三个零点, u ( x) 在 (?2,??) 应有两个不同零点.

? ? u (?2) ? 0 ? 2 ∴ ?(b ? 2k ) ? 4k (2b ? 1) ? 0 ? b ? 2k ? 2 k . ? b ? 2k ? ? ?2 ? 2k ? ⑵当 k ? 0 时, u( x), v( x) 开口均向下. 由 u(?2) ? 1 ? 0 知 u ( x) 在 (?2,??) 有唯一零点.为满足 f ( x) 有三个零点, v( x) 在 (??,?2) 应有两个不同零点. ? ? v ( ?2 ) ? 0 ? 2 ∴ ?(b ? 2k ) ? 4k (2b ? 1) ? 0 ? b ? 2k ? 2 ? k . ? b ? 2k ? ? ?2 ? 2k ?
综合⑴⑵可得 M k ? b | b ? 2k ? 2 | k | .

?

?

-9-


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