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江苏省盐城市时杨中学2014-2015学年高二数学下学期期中试题 文


盐城市时杨中学 2014/2015 学年度第二学期期中考高二年级 数学试题(文科)
一.填空题(5 分×14)

1,2,4?, B ? ?2,4?,则集合 A ? B ? ▲▲▲; 1.已知集合 A ? ?
2.数列 1,4,7,10,?,的第 8 项等于▲▲▲; 3.复数 z ? ?2 ? i , i 是虚数单位,则 z 在复平面内对应

的点在第▲▲▲象限; 4.从甲、乙、丙三人中任选 2 名代表,甲被选中的概率为▲▲▲; 5.在空间,若长方体的长、宽、高分别为 a、b、c,则长方体的对角线长为 a ? b ? c .
2 2 2

将此结论类比到平面内,可得:矩形的长、宽分别为 a、b,则矩形的对角线长为▲▲▲; 6.已知

?a ? 2i ? i ? b ? i ,其中 a,b ? R , i 是虚数单位,则 a+b=▲▲▲;
2 2 2 2

7.已知 1 ? 1 ,1 ? 3 ? 2 ,1 ? 3 ? 5 ? 3 ,1 ? 3 ? 5 ? 7 ? 4 , ?,将此等式推广到一般情形,可得 ▲▲▲ ? n ;
2

8.计算: i ? i ? i ? i ? ▲▲▲;
2 3 4

9.掷一枚骰子,观察掷出的点数,则事件“掷出奇数点或 3 的倍数”的概率为▲▲▲;

1, 2},B ? {0, 2},则集合 A * B 10.定义集合运算:A *B ? {z | z ? xy , x ? A , y ? B }.设 A ? {
的所有元素之和为▲▲▲; 11.函数 y ? ( 2a ? 1)x ? b 在 R 上是单调减函数,则实数 a 的取值范围是▲▲▲; 12.有一段长为 10 米的木棍,现要截成两段,每段不小于 3 米的概率为▲▲▲; 13.已知命题

p : ?x ? R , sin x ? 1, 则 ? p 为▲▲▲;
2

14.已知定义域为 R 的函数 f(x)满足 f(x+1)=2f(x),当 x∈(1,2]时, f (x ) ? x ? x ,则 f(x)在 x ∈(-2,-1]上的最大值为▲▲▲. 二.解答题(共 6 小题)

15. (14 分)已知函数 (1)求集合 A;

f ?x ? ?

1 , g ?x ? ? x x ?1 ,函数 f ( x ) 的定义域为 A,
2

(2)若函数 g ( x ) 的值域为集合 B,求 A ? B .

-1-

m2 ? m ? 6 2 16. (14 分)已知复数 z= m ? 3 + (m ? 2m ? 15)i .

(1) m 取何实数值时,z 是实数? (2) m 取何实数值时,z 是纯虚数?

17. (14 分)已知关于 x 的一元二次方程 x ? 2ax ? b ? 0 ,满足 a≥0 且 b≥0.
2 2

(1)若 a 是从 0、1、2 三个数中任取的一个数,b 是从 0、1 两个数中任取的一个数,求上述 方程有实根的概率. (2)若 a ? 1 ,b 是从区间[0,3]任取的一个数,求上述方程有实根的概率.

18. (16 分)已知数列

?an ? 满足条件

an ?1 ?

1 1 ? an .

-2-

(1)若

a1 ?

1 2 ,求 a2 , a3 , a4 的值.

(2)已知对任意的

n ? N ? ,都有 an ? 1 ,求证: an ?3 ? an 对任意的正整数 n 都成立;
a2 015
.

(3)在(1)的条件下,求

19 . ( 16 分)已知命题 P :方程 x ? mx ? 1 ? 0 有两个不等的正实数根,命题 Q :方程
2

4x 2 ? 4(m ? 2)x ? 1 ? 0 无实数根.若命题“P 或 Q”是真命题,求实数 m 的取值范围.

20. (16 分)定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足:对任意实数 m、n,总有 f (m ? n) ? f (m) ? f (n) , 且当 x>0 时,0< f ( x ) <1。 (1)判断 f ( x ) 的单调性,并加以证明; (2)设 A ? {( x,y) | f ( x ) ? f ( y ) ? f (1)},
2 2

B ? {( x,y) | f (ax ? y ? 2 ) ? 1 ,a ? R} ,若 A ? B ? ? ,试确定 a 的取值范围。
-3-

数学参考答案(文科)

1,2,4? 1. ?

2. 22

3. 二

2 4. 3

5.

a2 ? b 2
2 9. 3 1 14. 4

6.3

7.

1 ? 3 ? 5 ? ... ? ? 2n ?1?
2 12. 5

8.0

10. 6

1? ? ? ??, 2 ? ? 11. ?

13. ?x ? R , sin x ? 1

2 15.(1)由 x ? 1 ? 0 ,得 x ? ?1 ,可得 A ? {x | x ? R , 且x ? ?1};

(2) B ? [0, ??) ,可得

A ? B ? [0,1) ? ?1, ???

.

2 16.(1) m ? 2m ? 15 ? 0 ,解得 m ? ?3 或 5,

而 m ? ?3 时,实部没有意义,所以 m ? ?3 舍去,可得 m=5;

(2)

?m 2 ? m ? 6 ?0 ? ? m ?3 ?m 2 ? 2m ? 15 ? 0 ?

,解得 m ? ?2 或 3.
2 2

17. 设事件 A 为“方程 x ? 2ax ? b ? 0 有实根”. 当 a≥0 且 b≥0 时,方程 x ? 2ax ? b ? 0 有实根的充要条件为 a≥b.
2 2

(1)基本事件共有 6 个: (0,0) , (0,1) , (1,0) , (1,1) , (2,0) , (2,1) , 其中第一个数表示 a 的取值,第二个数表示 b 的取值.

5 事件 A 中包含 5 个基本事件,事件 A 发生的概率为 P(A)= 6 ; 1 (2)因为 a ? 1, b ?[0, 3] ,所以当 0 ? b ? 1 时,满足 a≥b,∴P(A)= 3 . a2 ? 2, a3 ? ?1, a4 ? 1 2;

18.(1)

an ?1 ?
(2)∵

1 1 ? an ,∴

an ? 2 ?

1 ? 1 ? an ?1

1 1? 1 1 ? an

?

1 ? an 1 ? an ? 1 ? an ? 1 ?an


-4-

an ?3 ?
∴ 即

1 ? 1 ? an ? 2

?an 1 ? ?a 1 ? an ?an ? ?1 ? an ? n 1? ?an .

an ?3 ? an 对任意的正整数 n 都成立;

(3)由前面的结论,可得

a2 015 ? a3 ? ?1

.

19. “P 或 Q”为真命题,则 P 与 Q 至少有一个真命题, 当 p 为真命题时,则

解得 m<-2; 当 q 为真命题时,则Δ =16(m+2)2-16<0,解得-3<m<-1; 由此可得:m 的取值范围为 m<-1.

,n ? 0 ,得 f (1) ? f (1) ? f (0) , 20.(1)在 f (m ? n) ? f (m) ? f (n) 中,令 m ? 1
因为 f (1) ? 0 ,所以 f (0) ? 1 。 在 f (m ? n) ? f (m) ? f (n) 中,令 m ? x,n ? ?x 因为当 x ? 0 时, 0 ? f ( x) ? 1,所以当 x ? 0 时 ? x ? 0,0 ? f (? x) ? 1

而 f ( x) ? f (? x) ? f (0) ? 1 ,所以

f ( x) ?

1 ?1? 0 f (? x)

又因为当 x=0 时, f (0) ? 1 ? 0 ,所以综上可知,对于任意 x ? R ,均有 f ( x) ? 0 。

0 ? f ( x2 ? x1 ) ? 1 设 ? ? ? x1 ? x2 ? ?? ,则 x2 ? x1 ? 0,
所以 f ( x2 ) ? f [ x1 ? ( x2 ? x1 )] ? f ( x1 ) ? f ( x2 ? x1 ) ? f ( x1 ) 所以 y ? f ( x) 在 R 上为减函数; (2)由于函数 y= f ( x ) 在 R 上为减函数,所以 f ( x ) ? f ( y ) ? f ( x ? y ) ? f (1)
2 2 2 2

即有 x ? y ? 1
2 2

又 f (ax ? y ? 2 ) ? 1 ? f (0) ,根据函数的单调性,有 ax ? y ? 2 ? 0
-5-

2
2 由 A? B ? ?, 所以直线 ax ? y ? 2 ? 0 与圆面 x ? y ? 1 无公共点。 因此有 a ? 1
2 2

?1


解得 ? 1 ? a ? 1 。

-6-


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