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丰台区2013~2014学年度第一学期期末数学练习


丰台区 2013~2014 学年度第一学期期末练习 初三数学
一、选择题(本题共 36 分,每小题 4 分) 下列各题均有四个选项,其中只有一个是符合题意的. 1. 已知 3x ? 4 y( xy ? 0) ,则下列比例式成立的是( )

A.

x 4 ? 3 y

B.

x y ? 4

3

C.

x 3 ? y 4

D.

y 4 ? x 3

D、 E 分别是 AB 、 AC 边上的点, 2. 如图, 在 ?ABC 中, 且 DE // BC , 如果 DE : BC ? 3 : 5 , 那么 AE : AC 的值为( ) A. 3 : 2 B. 2 : 3 C. 2 : 5 D. 3 : 5
3. 已知⊙ O 的半径为 4 cm,如果圆心 O 到直线 l 的距离为 3.5 cm,那么直线 l 与 ⊙ O 的位置关系是( A.相交 B.相切 ) C.相离 D.不确定

A

D

E

B
4. 一枚质地均匀的正方体骰子,其六个面分别刻有 1、2、3、4、5、6 六个数字,投掷这个 骰子一次,则向上一面的数字不小于 3 的概率是( ) A.

C

1 2 2 3

B.

1 3

C.

2 3

D.

1 6


5. 在小正方形组成的网格图中, 直角三角形的位置如图所示, 则 sin ? 的值为 ( A. B.

3 2

C.

3 13 13

D.

2 13 13

α
C A E O B

6. 当 x ? 0 时,函数 y ? ? A.第四象限

5 的图象在( x

)

B. 第三象限

C.第二象限 D.第一象限

7. 如图,⊙ O 的半径为 5, AB 为弦, OC ? AB ,垂足为 E ,如果 CE ? 2 , 那么 AB 的长是( ) A.4 B. 6 C. 8 D. 10

y

8. 如图,在平面直角坐标系中,抛物线 y ?

1 2 x 经过平移得到抛物线 2
1

O

x

y?

1 2 x ? 2 x ,其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积是( 2
B. 4 D. 16

)

A.2 C. 8

9. 如图(1), E 为矩形 ABCD 边 AD 上一点,点 P 从 点 B 沿折线 BE ? ED ? DC 运动到点 C 时停止,点 Q 从点 B 沿 BC 运动到点 C 时停止, 它们运动的速度都是 1cm / s .如果点 P 、Q 同时开始运动,设运动时间为 t ( s ) ,?BPQ 的 面积为 y (cm2 ) ,已知 y 与 t 的函数关系的图象如图( 2)所示,那么下列结论正确的是 ( )

y/cm2

A

E

D

40

P

B

Q 图(1)

C

O

10 14 图(2)

t/s

A. AE ? 8 B. 当0 ? t ? 10 时, y ? C. sin ?EBC ?

4 2 t 5

4 5

D. 当 t ? 12 s 时, ?BPQ 是等腰三角形

二.填空题(本题共 20 分,每小题 4 分) 10. 两个相似三角形的面积比是 5 : 9 ,则它们的周长比是_______. 11. 在 Rt ?ABC 中, ?C ? 90 ,如果 tan A ? 3 ,那么 ? A ? _______°.
0

12. 如果扇形的圆心角为 120°, 半径为 3cm, 那么扇形的面积是__________________ cm . 13. 一个口袋里放有三枚除颜色外都相同的棋子,其中有两枚是白色的,一枚是红色的.从 中随机摸出一枚记下颜色,放回口袋搅匀,再从中随机摸出一枚记下颜色,两次摸出棋 子颜色不同的概率是_______. 14. 如图,点 A1、A2 、A3 、…,点 B1、B2 、B3 、…,分别在射线 OM、ON 上,A1B1∥ A2B2∥A3B3∥A4B4∥….如果 A1B1=2,A1A2=2OA1,A2A3=3OA1,A3A 4=4OA1,…. 那么 A2B2= , A4 M AnBn= .(n 为正整数)
2
A1 O B1 A2 A3

2

B2

B3

B4 N

三、解答题(本题共 19 分,第 15 题 4 分,第 16 题 5 分,第 17 题 5 分,第 18 题 5 分) 15. 计算: 3 tan300 ? cos450 ? 2 sin 600 .

16. 已知二次函数 y ? x2 ? 2 x ? 1. (1)写出它的顶点坐标; (2)当 x 取何值时, y 随 x 的增大而增大; (3)求出图象与 x 轴的交点坐标.

17.如图,在⊙ O 中,C ﹑ D 为⊙ O 上两点, AB 是⊙ O 的 直径,已知 ?AOC ? 1300 , AB ? 2 . 求(1) AC 的长; (2) ?D的度数.

D O B C

A



18.如图,在 ?ABC 中,?C ? 90 ,sin A ?
0

2 ,D 为 5

B

AC 上一点, ?BDC ? 450 , DC ? 6 ,求 AD 的
长.

A

D

C

四、解答题(本题共 17 分,第 19 题 5 分,第 20 题 6 分,第 21 题 6 分) 19. 如图, PA ﹑ PB 是⊙ O 的切线, A ﹑ B 是切点, AC 是⊙ O 的直径, ?ACB ? 70 .
0

求 ? P 的度数.

A

P

O B

3

C

20. 如图,一次函数 y1 ? x ? 1 的图象与反比例函 数 y2 ?

k ( k 为常数,且 k ? 0 )的图象都经过点 x

A(m,2) .
(1)求点 A 的坐标及反比例函数的解析式; (2) 观察图象, 当 x ? 0 时, 直接写出 y1 与 y2 的大小关系.

?ABC 是⊙ O 的内接三角形, AF ? BD 与点 F , 21. 如图, ⊙ O 的直径 BD 交 AC 于点 E ,
延长 AF 交 BC 于点 G . 求证: AB2 ? BG BC .

A

B G

F O

E C

D

五.解答题(本题共 28 分,第 22 题 6 分,第 23 题 7 分,第 24 题 7 分,第 25 题 8 分) 22.如图,一艘海轮位于灯塔 P 的南偏东 60 方向,距离灯塔 100 海里的 A 处,它计划沿 正北方向航行,去往位于灯塔 P 的北偏东 45 方向上的 B 处. (参考数据: 2 ? 1.414, 3 ? 1.732, 6 ? 2.449 ) (1)问 B 处距离灯塔 P 有多远?(结果精确到 0.1 海里) (2)假设有一圆形暗礁区域,它的圆心位于射线 PB 上,距离灯塔 190 海里的点 O 处. 圆形暗礁区域的半径为 50 海里,进入这个区域,就有触礁的危险.请判断海轮到达 B 处 北 是否有触礁的危险,并说明理由. B
4
0 0

45°

P
60°

23.如图(1)是某河上一座古拱桥的截面图,拱桥桥洞上沿是抛物线形状,抛物线两端点 与水面的距离都是 1m,拱桥的跨度为 10m,桥洞与水面的最大距离是 5m,桥洞两侧壁 上各有一盏距离水面 4m 的景观灯. 现把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中, 如图 (2) . 求(1)抛物线的解析式; (2)两盏景观灯 P1 、 P 2 之间的水平距离.

?
10m 1m 5m

图(1)

图(1)

图(2)

24. 已知直线 y=kx-3 与 x 轴交于点 A (4, 0) , 与 y 轴交于点 C, 抛物线 y ? ?

3 2 x ? mx ? n 4

经过点 A 和点 C,动点 P 在 x 轴上以每秒 1 个长度单位的速度由抛物线与 x 轴的另一个 交点 B 向点 A 运动,点 Q 由点 C 沿线段 CA 向点 A 运动且速度是点 P 运动速度的 2 倍. (1)求此抛物线的解析式和直线的解析式; (2)如果点 P 和点 Q 同时出发,运动时间为 t(秒),试问当 t 为何值时,以 A、P、 Q 为顶点的三角形与△ AOC 相似; (3)在直线 CA 上方的抛物线上是否存在一点 D,使得△ ACD 的面积最大.若存在,求 出点 D 的坐标;若不存在,请说明理由.

备用图

5

25. 已知 ?ABD 和 ?CBD 关于直线 BD 对称(点 A 的对称点是点 C ), 点 E 、F 分别

是线段 BC 和线段 BD 上的点, 且点 F 在线段 EC 的垂直平分线上, 联结 AF 、 AE , AE 交 BD 于点 G . (1)如图(1),求证: ?EAF ? ?ABD ; (2)如图(2),当 AB ? AD 时, M 是线段 AG 上一点,联结 BM 、 ED 、 1 2 MF , MF 的延长线交 ED 于点 N , ?MBF ? ?BAF , AF ? AD , 2 3 试探究线段 FM 和 FN 之间的数量关系,并证明你的结论.
A

A M

B E

G

F

D

B E

G

F N

D

C
图(1)

C
图(2)

丰台区 2013~2014 学年度第一学期初三数学练习期末参考答案 一.选择题(本题共 36 分,每小题 4 分) 1 2 3 4 5 6 7 8 题号 A B B C C 答案 C D D 二.填空题(本题共 20 分,每小题 4 分) 10.

9

C

5 :3

0 11. 60

12. 3?

13.

4 9

14. (1) A1B1 ? 6 , (2) An Bn ? n(n ? 1)

三.解答题(本题共 19 分,第 15 题 4 分,第 16 题 5 分,第 17 题 5 分,第 18 题 5 分) 15.解: 原式 ? 3 ? 1分

3 2 3 ? ? 2? ………3 分 16.解: (1) (-1, -2) 3 2 2 2 ? 3 2
… … … … … 4

……………………

? 3?
3分

(2)x> ? 1 , ……………………

?

2 2 ?1 ? 2, 0 ,?1+ 2, 0 …5 分 ?2 3?



( 3 ) 坐 标 为

??

?

17.解(1)

?AOC ? 130 130? R ∴⌒ ………………………………1 分 AC = 180
6

D O B C

A

130? 13? 13 ? (或 ? ) ……………2 分 180 18 18 (2)由 ?AOC ? 130 得 ?BOC ? 50 …………………………………3 分 1 又 ?D ? ?BOC ……………………………4 分 2 1 ?? D ? ? 5 0 ?2 5 …………………………5 分 2 18. 解:在 ?BDC 中, ?C ? 900 , ?BDC ? 450 , DC ? 6 BC ?1 ∴ tan 45? ? DC ∴ BC ? 6 …………………………………1 分 BC 2 2 ? ,……2 分 在 ?ABC 中, sin A ? ,∴ A 5 AB 5 ∴ AB ? 15 ……………………………………3 分 ?
∴ AC ? 152 ? 62 ? 3 21 …………………4 分 ∴ AD ? 3 21 ? 6 ……………………………5 分 19.解:∵PA、PB 是⊙O 的切线,A、B 是切点, 0 ∴PA=PB,∠PAC=90 …………………2 分 ∴∠PAB=∠PBA …………………………3 分 0 ∠P=180 -2∠PAB 又∵AC 是⊙O 的直径 0 ∴∠ABC=90 ,……………………………4 分 0 0 ∴∠BAC=90 -∠ACB=20 0 0 0 ∠PAB=90 -20 =70 ∴ ?P ? 180 ? 2 ? 70 ? 40 ……………5 分 四、解答题(本题共 17 分,第 19 题 5 分,第 20 题 6 分,第 21 题 6 分) 20.解:(1)∵ 一次函数 y1 ? x ? 1的图象经过点 A(m , 2) ,

B

D

C

A

P

O B C

∴ 2 ? m ? 1. 解得 m ? 1 . ………………………………………………………1 分 ∴ 点 A 的坐标为 A(1 , 2) .………………………………………2 分 ∵ 反比例函数 y2 ? ∴ 2?

k 的图象经过点 A(1 , 2) , x

k .解得 k ? 2 . …………………………………………3 分 1 2 ∴ 反比例函数的表达式为 y2 ? .………………………………4 分 x
(2)观察图象,得 ①当 0 ? x ? 1 时, y1 ? y2 ; ② 当 y1 ? y2 ;………………………………6 分 ………………………5 分 时 ,

x ?1

A
1

③当 x ? 1 时, y1 ? y2 .
7

B G H

F O

E C

D

注:若①+③或②+③,只给 1 分。 21.证明:延长 AF 交圆于 H…………………………1 分 ∵BD 直径, AF ? BD 于点 F ∴ AB = BH ……………………………2 分 ∴∠1=∠C ………………………………3 分 又∠ABG=∠ABC , ∴△ABG∽△CBA ………………………4 分

⌒ ⌒

AB BG ? ………………………………5 分 CB BA 2 ∴ AB =BG·BC …………………………6 分
∴ 五.解答题(本题共 28 分,第 22 题 6 分,第 23 题 7 分,第 24 题 7 分,第 25 题 8 分) 22.解:(1)如图,作 PC ? AB 于点 C…………………1 分 在 Rt ?PAC 中, ?PCA ? 90 , ?CPA ? 90 ? 60 ? 30 ∴PC=PA·cos30= 100 ?

B

3 ? 50 3 …………………2 分 2 在 Rt ?PCB 中, ?PCB ? 90 , ?PBC ? 90 ? 45 ? 45 ? P B ? 2 P C?5 0 6≈122.5………………………3 分

45° P 60° A C

∴B 处距离 P 有 122.5 海里. (2)没有危险. …………………………………………………4 分 理由如下:

?190 ? 50 6 ? ? 50 =140 ? 50

OB=OP-PB= 190 ? 50 6 ……………………………………5 分

6 ? 0 ,…………………6 分

即 OB ? 50 ,∴无危险 23. 解:(1)抛物线的顶点坐标为(5,5),与 y 轴交点坐标是(0,1)………1 分 2 设抛物线的解析式是 y=a(x-5) +5 ………………………………2 分

4 ………………………3 分 25 4 2 8 4 2 x ? x ? 1 ………………4 分 ∴y=- (x-5) +5(0≤x≤10)= ? 25 25 5
把(0,1)代入 y=a(x-5) +5 得 a=-
2

(2)由已知得两景观灯的纵坐标都是 4

4 2 (x-5) +5 ……………………………………………………5 分 25 4 15 5 2 ∴ (x-5) =1 ,解得 x1= ,x2= ………………………………6 分 2 25 2
∴4=- ∴ 两景观灯间的距离为 5 米. ……………………………………………7 分 24.解:(1)∵ 直线 y=kx-3 过点 A(4,0),∴ 0 = 4k -3,解得 k= ∴ 直线的解析式为 y= 由直线 y=

3 . 4

3 x-3.……………………………………1 分 4

3 x-3 与 y 轴交于点 C,可知 C(0,-3) . 4 3 2 15 ∴ ? ? 4 ? 4m ? 3 ? 0 ,解得 m= . 4 4

8

∴ 抛物线解析式为 y ? ? (2)对于抛物线 y ? ?

3 2 15 x ? x ? 3. ………………………2 分 4 4

3 2 15 x ? x ? 3, 4 4 3 2 15 令 y=0,则 ? x ? x ? 3 ? 0 ,解得 x1=1,x2=4. 4 4
∴ B(1,0). ………………………………………………3 分 ∴ AB=3,AO=4,OC=3,AC=5,AP=3-t,AQ=5-2t.

① 若∠Q1P1A=90° ,则 P1Q1∥OC(如图 1), ∴ △AP1Q1∽△AOC. ∴

AP1 AQ1 3 ? t 5 ? 2t 5 , ∴ .解得 t= ; ………4 分 ? ? 3 AO AC 4 5

② 若∠P2Q2A=90°, ∵∠P2AQ2 =∠OAC,∴ △AP2Q2∽△AOC. ∴

AP2 AQ2 3 ? t 5 ? 2t 13 , ∴ .解得 t= ; ………………5 分 ? ? AC AO 5 4 6 5 13 综上所述,当 t 的值为 或 时,以 P、Q、A 为顶点的三角形与△AOC 相似. 3 6
(3)答:存在. 过点 D 作 DF⊥x 轴,垂足为 E,交 AC 于点 F(如图 2).

1 1 DF·AE,S△CDF= DF·OE. 2 2 1 1 ∴ S△ACD= S△ADF + S△CDF= DF× (AE+OE) = × 4 (DE+EF) 2 2 3 15 3 3 =2× ( ? x 2 ? x ? 3 ? x ? 3 )= ? x 2 ? 6x .…………6 分 4 4 4 2 3 ∴ S△ACD= ? (x ? 2)2 ? 6 (0<x<4). 2 3 又 0<2<4 且二次项系数 ? ? 0 , ∴ 当 x=2 时, S△ACD 的面积最大. 2 3 3 而当 x=2 时,y= .∴ 满足条件的 D 点坐标为 D (2, ). …………………7 分 2 2
∴ S△ADF= 25. (1)证明:如图 1 连接 FE、FC ∵点 F 在线段 EC 的垂直平分线上, ∴ FE=FC ∴∠l=∠2 ………………………1 分 ∵△ABD 和△CBD 关于直线 BD 对称. ∴AB=CB ,∠4=∠3,又 BF=BF ∴△ABF≌△CBF, ∴∠BAF=∠2,FA=FC ∴FE=FA,∠1=∠BAF. …………………………2 分 ∴∠5=∠6, 0 0 ∵ ∠l+∠BEF=180 ,∴∠BAF+∠BEF=180 0 ∵∠BAF+∠BEF+∠AFE+∠ABE=360 0 ∴∠AFE+∠ABE=180 ………………………………3 分 0 又∵∠AFE+∠5+∠6=180 , ∴∠5+∠6=∠3+∠4 ∴∠5=∠4,即∠EAF=∠ABD………………………4 分
9

A 5 B 4 3 E
图1

F G 6 1

D

2 C

(2)解:FM=

7 FN ……………………………………………5 分 2

证明:如图 2,由(1)可知∠EAF=∠ABD, 又∵∠AFB=∠GFA ∴△AFG∽△BFA ∴∠AGF=∠BAF 又∵∠MBF=

A M B G Q E F N D

1 1 ∠BAF,∴∠MBF= ∠AGF 2 2

又∵∠AGF=∠MBG+∠BMG∴∠MBG=∠BMG ∴BG=MG…………………………6 分 ∵AB=AD ∴∠ADB=∠ABD=∠EAF 又∵∠FGA=∠AGD.∴△AGF∽△DGA.

GF AG AF ? ? ? GA DG DA 2 GF AG 2 ? ? ∵AF= AD? 3 GA DG 3
设 GF=2a,则 AG=3a, ∴GD=

C

图2

9 9 5 a,∴FD=DG-GF= a ? 2a = a 2 2 2

∵∠CBD=∠ABD ,∠ABD=∠ADB,∴∠CBD=∠ADB. ∴ BE / / AD .∴

BG EG EG AG 2 ? ? ? ? ,设 EG=2k,则 MG=BG=3k GD AG BG GD 3

过点 F 作 FQ∥ED 交 AE 于 Q,

?

4 GQ GF 2a 4 ? GQ ? QE ……………………7 分 ? ? ? 5 QE FD 5a 5 2 4 8 8 10 35 k ∴GQ= EG= k .∴QE= k , MQ=MG+GQ=3k+ k = 9 9 9 9 9 35 k 7 MF MQ 9 7 ∵FQ∥ED,? ? ? ? .∴FM= FN……………8 分 2 FN QE 10 k 2 9

10


丰台区2013-2014学年度数学初二上试题及答案

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