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(北师大版)高一数学必修1全套教案


第一章 集合
课 题:§0 高中入学第一课 (学法指导)

教学目标:了解高中阶段数学学习目标和基本能力要求,了解新课程标准的基本思路,了解 高考意向,掌握高中数学学习基本方法,激发学生学习数学兴趣,强调布置有关数学学习要 求和安排。 教学过程: 一、欢迎词: 1、祝贺同学们通过自己的努力,进入高一级学校深造。希望同学们能够以新的行 动,圆满完成高中

三年的学习任务,并祝愿同学们取得优异成绩,实现宏伟目标。 2、同学们军训辛苦了,收获应是:吃苦耐劳、严肃认真、严格要求 3、我将和同学们共同学习高中数学,暂定一年,? 4、 本节课和同学们谈谈几个问题: 为什么要学数学?如何学数学?高中数学知识 结构?新课程标准的基本思路?本期数学教学、活动安排?作业要求? 二、几个问题: 1.为什么要学数学:数学是各科之研究工具,渗透到各个领域;活脑,训练思维;计算机等 高科技应用的需要;生活实践应用的需要。 2.如何学数学: 请几个同学发表自己的看法 → 共同完善归纳为四点: 抓好自学和预习; 带着问题认真 听课; 独立完成作业; 及时复习。 注重自学能力的培养,在学习中有的放矢,形成学习能力。 高中数学由于高考要求, 学习时与初中有所不同, 精通书本知识外, 还要适当加大难度, 即能够思考完成一些课后练习册, 教材上每章复习参考题一定要题题会做。 适当阅读一些课 外资料,如订阅一份数学报刊,购买一本同步辅导资料. 3.高中数学知识结构: 书本:高一上期(必修①、②) ,高一下期(必修③、④) ,高二上期(必修⑤、选修系列) , 高二下期(选修系列) ,高三年级:复习资料。 知识:密切联系,必修(五个模块)+选修系列(4 个系列,分别有 2、3、6、10 个模 块) 能力:运算能力、逻辑思维能力、空间想像能力、分析和解决实际问题的能力、应用能 力。 4.新课程标准的基本理念: ①构建共同基础, 提供发展平台; ②提供多样课程, 适应个性选择; ③倡导积极主动、 勇于探索的学习方式;④注重提高学生的数学思维能力; ⑤发展学生的数学应用意识; ⑥ 与时俱进地认识“双基” ; ⑦强调本质,注意适度形式化; ⑧体现数学的文化价值; ⑨注
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重信息技术与数学课程的整合; ⑩建立合理、科学的评价体系。 5.本期数学教学、活动安排: 本期学习内容:高一必修①、②,共 72 课时,必修① 第一章 13 课时(4+4+3+1+1)+第 二章 14 课时(6+6+1+1)+第三章 9 课时(3+4+1+1);必修②第一章 8 课时(2+2+2+1+1)+第 二章 10 课时(3+3+3+1)+第三章 9 课时(2+3+3+1)+第四章 9 课时(2+4+2+1). 上课方式:每周新授 5 节,问题集中 1 节。 学习方式:预习后做节后练习;补充知识写在书的边缘; 主要活动:学校、全国每年的数学竞赛;数学课外活动(每期两次) 。 6.作业要求: (期末进行作业评比) ① 课堂作业设置两本;② 提倡用钢笔书写,一律用铅笔、尺规作图,书写规范;③ 墨 迹、错误用橡皮擦擦干净,作业本整洁;④ 批阅用“?”号代表错误,一般点在错误开始 处;⑤ 更正自觉完成;⑥ 练习册同步完成,按进度交阅,自觉订正;⑦ 当天布置,当天 第二节晚自习之前交(若无晚自习,则第二天早读之前交) 。⑧ 每次作业按 A、B、C、D 四 个等级评定,分别得分 5、4、3、1,每本作业本完成后自行统计得分并上交科代表审核、 教师评定等级,得分 90%~98%为优良等级,98%及以上为优秀等级; 三、了解情况:初中数学开课情况;暑假自学情况;作图工具准备情况。

课题: §1.1 集合的含义与表示(一) 一. 教学目标: l.知识与技能 (1)通过实例,了解集合的含义,体会元素与集合的属于关系; (2)知道常用数集及其专用记号; (3)了解集合中元素的确定性.互异性.无序性; (4)会用集合语言表示有关数学对象; (5)培养学生抽象概括的能力. 2. 过程与方法 (1)让学生经历从集合实例中抽象概括出集合共同特征的过程,感知集合的含义. (2)让学生归纳整理本节所学知识. 3. 情感.态度与价值观 使学生感受到学习集合的必要性,增强学习的积极性. 二. 教学重点.难点 重点:集合的含义与表示方法. 难点:表示法的恰当选择. 教学过程: 一、新课引入: 集合是近代数学最基本的内容之一,许多重要的数学分支都建立在集合理论

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的基础上,它还渗透到自然科学的许多领域,其术语的科技文章和科普读物中比 比皆是,学习它可为参阅一般科技读物和以后学习数学知识准备必要的条件。 二、讲授新课: 1.集合有关概念的教学: 考察几组对象:① 1~20 以内所有的质数;② 到定点的距离等于定长的所有点;③所 有的锐角三角形;④ x , 3x+2, 5y -x, x +y ;⑤东升高中高一级全体学生; ⑥方程
2 3 2 2

x 2 ? 3x ? 0 的所有实数根;⑦ 隆成日用品厂 2005 年 8 月生产的所有童车;⑧2005 年 1 月,
广东所有出生婴儿。 A.提问:各组对象分别是一些什么?有多少个对象?(数、点、形、式、体、解、物、人) B.概念:一般地,我们把研究对象统称为元素(element),把一些元素组成的总体叫作集 合(set) (简称集) 。 C.讨论集合中的元素的特征: 分析“好心的人”与“1,2,1”是否构成集合?→结论:对于一个给定的集合,集合中 的元素是确定的,是互异的,是无序的。即集合元素三特征。 确定性:某一个具体对象,它或者是一个给定的集合的元素,或者不是 该集合的元素,两种情况必有一种且只有一种成立。 互异性:同一集合中不应重复出现同一元素。 无序性:集合中的元素没有顺序。 D.分析下列对象,能否构成集合,并指出元素:
2

不等式 x-3>0 的解;3 的倍数;方程

x -2x+1=0 的解; a,b,e,x,y,z;最小的整数;周长为 10cm 的三角形;中国古代四大发 明;全班每个学生的年龄;地球上的四大洋;地球的小河流 E. 集合相等:构成两个集合的元素是一样的. 2.集合的字母表示: ① 集合通常用大写的拉丁字母表示,集合的元素用小写的拉丁字母表示。 ② 如果 a 是集合 A 的元素,就说 a 属于(belong to)集合 A,记作:a∈A; 如果 a 不是集合 A 的元素,就说 a 不属于(not belong to)集合 A,记作:a ?A。 ③ 练习:设 B={1,2,3,4,5},则 5 3.最常见的数集: ① 分别写出全体自然数、全体整数、全体有理数、全体实数的集合。 ② 这些数集是最重要的,也是最常见的,我们用符号表示:N、Z、Q、R。 ③ 正整数集的表示,在 N 右上角加上“*”号或右下角加上“+”号。 ④ 练习: 填∈或 ?: 0 N, 0 R, 3.7 N, 3.7 Z, ? 3 Q, 3 ? 2 R B,0.5 B, 3 B, -1 B。

三.小结:①概念:集合与元素;属于与不属于;②集合中元素三特征;③常见数集。 四、巩固练习: 1.口答:P5 思考;P6 1 题。
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2.思考:x∈R,则{3,x,x 2 -2x}中元素 x 所应满足的条件?(变:-2 是该集合元素) 3.探究:A={1,2},B={{1},{2},{1,2}},则 A 与 B 有何关系?试试举同样的例子



题:§1.2 集合的含义与表示(二)

教学要求:更进一步理解集合、元素等概念,掌握集合的表示方法,会用适当的方法表示集 合。 教学重点:会用适当的方法表示集合。 教学难点:选择恰当的表示方法。 教学过程: 一、复习准备: 1.提问:集合概念?什么叫元素?集合中元素有什么特征?集合与元素有何关系? 2.集合 A={x +2x+1}的元素是
2

,若 1∈A,则 x=



3.集合{1,2}、{(1,2)}、{(2,1)}、{2,1}的元素分别是什么?有何关系? 二、讲授新课: 1. 列举法的教学: ① 比较:{方程 x 2 ? 1 ? 0 的根}、 {?1,1} 、 {x ? R | x2 ? 1 ? 0} ② 列举法:把集合的元素一一列举出来,并用花括号“{ }”括起来。→P4 例 1 ③ 练习:分别表示方程 x(x 2 -1)=0 的解的集合、15 以内质数的集合。 注意:不必考虑顺序,“,”隔开;a 与{a}不同。 2. 描述法的教学: ① 描述法:用集合所含元素的共同特征表示集合的方法,一般形式为 {x ? A | P} ,其中 x 代表元素,p 是确定条件。 →P5 例 2 ② 练习: A.“不等式 x-3>0 的解”与“抛物线 y=x -1 上的点的坐标”用描述法表示 B. 用描述法表示方程 x(x 2 -1)=0 的解的集合、方程组 ?
?3 x ? 2 y ? 2 解集。 ?2 x ? 3 y ? 27
2

C.用描述法表示:所有等边三角形的集合、方程 x 2 +1=0 的解集。



简 写 原 则 : 从 上 下 文 关 系 来 看 , x?R 、 x?Z 明 确 时 可 省 略 , 如

{x | x ? 3k ? 2, k ? Z } , {x | x ? 0}
强调: 描述法表示集合应注意集合的代表元素, 如{(x,y)|y= x +3x+2}与 {y|y= x +3x+2} 不同,只要不引起误解,集合的代表元素也可省略,例如:{整数},即代表整数集 Z。 辨析:这里的{ }已包含“所有”的意思,所以不必写{全体整数}。下列写法{实数集},
-42 2

{R}也是错误的。 说明:列举法与描述法各有优点,应该根据具体问题确定采用哪种表示法,要注意,一 般集合中元素较多或有无限个元素时,不宜采用列举法。 ④练习:试用适当的方法表示方程 x 3 -8x=0 的解集。 三、巩固练习: 1. P5 3,4 题。 2.用适当的方法表示集合:大于 0 的所有奇数 3.集合 A={x|

4 ∈Z,x∈N},则它的元素是 x?3
2



4.已知集合 A={x|-3<x<3,x∈Z},B={(x,y)|y=x +1,x∈A},则集合 B 用列举法表示 是 。
2

5.已知集合 A={x|x=2n,且 n∈N},B={x|x -6x+5=0},用∈或 ?填空: 4 A,4 B,5 A,5 B

6.设 A={x|x=2n,n∈N,且 n<10},B={3 的倍数},求属 A 且属 B 的元素集合。 7.若集合 A ? {?1,3} ,集合 B ? {x | x2 ? ax ? b ? 0},且 A ? B ,则 a= 四.小结:集合的两种表示方法,关键是会用适当的方法表示集合。 , b= 。



题:§2 集合间的基本关系

一. 教学目标: 1.知识与技能 (1)了解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集。 (2)理解子集.真子集的概念。 (3)能使用 venn 图表达集合间的关系,体会直观图示对理解抽象概念的作用. 2. 过程与方法 让学生通过观察身边的实例,发现集合间的基本关系,体验其现实意义. 3.情感.态度与价值观 (1)树立数形结合的思想 . (2)体会类比对发现新结论的作用. 二.教学重点.难点 重点:集合间的包含与相等关系,子集与其子集的概念. 难点:难点是属于关系与包含关系的区别. 三.学法 1.学法:让学生通过观察.类比.思考.交流.讨论,发现集合间的基本关系. 教学过程: 一、复习准备:

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1.提问:集合的两种表示方法? 如何用适当的方法表示下列集合? (1)10 以内 3 的倍数; 2.用适当的符号填空: 0 (2)1000 以内 3 的倍数 N; Q; -1.5 R。

3.导入:类比实数的大小关系,如 5<7,2≤2,试想集合间是否有类似的“大小”关系呢? 二、讲授新课: 1. 子集、空集等概念的教学: ①比较下面几个例子,试发现两个集合之间的关系:

A ? {3,6,9} 与 B ? {x | x ? 3k , k ? N *且k ? 333} ;

?与 D ? ?西乡一中高一学生 ?; C ?? 西乡一中学生
E ? {x | x( x ? 1)( x ? 2) ? 0} 与 F ? {0,1, 2}
②定义:如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素,我们说这两个集合有包含关系,称 集合 A 是集合 B 的子集(subset) 。记作: A ? B(或B ? A) 读作:A 包含于(is contained in)B,或 B 包含(contains)A 当集合 A 不包含于集合 B 时,记作 A ? B ③用 Venn 图表示两个集合间的“包含”关系: B A

A ? B(或B ? A)
④集合相等定义: A ? B且B ? A ,则 A ? B 中的元素是一样的,因此 A ? B . ⑤真子集定义: 若集合 A ? B , 存在元素 x ? B且x ? A , 则称集合 A 是集合 B 的真子集 (proper subset) 。记作:A B(或 B A) 。 读作:A 真包含于 B(或 B 真包含 A) 。

⑥练习:举例子集、真子集、集合相等;探讨 {x | x2 ? 3 ? 0} 。 ⑦空集定义:不含有任何元素的集合称为空集(empty set) ,记作: ? 。并规定:空集是 任何集合的子集,是任何非空集合的真子集。 ⑧填空:1 N, {1} N。 → 比较: a ? A 与 {a} ? A 。

⑨讨论:A 与 A 有和关系? A ? B,B ? C ,则由什么结论? 2.教学例题: (1)写出集合 {a, b, c} 的所有的子集,并指出其中哪些是它的真子集。 (2)已知集合 A ? {x | x ? 3 ? 2} , B ? {x | x ? 5} ,并表示 A、B 的关系。 出示例题 → 师生共练 → 推广:n 个元素的子集个数 3. 练习:已知集合 A={x|x -3x+2=0},B={1,2},C={x|x<8,x∈N},用适当符号填空: A B,A C,{2} C,2 C
2

三、巩固练习: 1. 练习: 书 P9 1,2,3,4,5 题。 2. 探究: 已知集合 A ? {x | a ? x ? 5} ,B ? {x | x ? 2} , 且满足 A ? B , 求实数 a 的取值范围。

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四.小结: 子集、真子集、空集、相等的概念及符号;Venn 图图示;一些结论。注意包含 与属于



题:§3.1 集合的基本运算(一)

交集、并集

一. 教学目标: 1. 知识与技能 (1)理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的交集与并集. (2)能使用 Venn 图表达集合的运算,体会直观图示对理解抽象概念的作用. 2. 过程与方法 学生通过观察和类比,借助 Venn 图理解集合的基本运算. 3.情感.态度与价值观 (1)进一步树立数形结合的思想. (2)进一步体会类比的作用. (3)感受集合作为一种语言,在表示数学内容时的简洁和准确. 二.教学重点.难点 重点:交集与并集的概念. 难点:理解交集概念.符号之间的区别与联系. 三.学法 1.学法:学生借助 Venn 图,通过观察.类比.思考.交流和讨论等,理解集合的基本运算.教 学过程: 一、复习准备: 1.已知 A={1,2,3}, S={1,2,3,4,5},则 A 2.用适当符号填空:0 {0} {0} 0 Φ Φ S, {x|x∈S 且 x ?A}= {x|x +1=0,X∈R} {x|x>-3} {x>2}
2



{x|x<3 且 x>5} {x|x>6} {x|x<-2 或 x>5}

二、讲授新课: 1.教学交集、并集概念及性质: ① 探讨:设 A ? {4,5,6,8} , B ? {3,5,7,8} ,试用 Venn 图表示集合 A、B 后,指出它们的公 共部分(交) 、合并部分(并). ② 讨论:如何用文字语言、符号语言分别表示两个集合的交、并? ③ 定义交集:一般地,由所有属于集合 A 且属于集合 B 的元素所组成的集合,叫作 A、B 的交集(intersection set) ,记作 A∩B,读“A 交 B” ,即:A∩B={x|x∈A 且 x∈B}。 ④ 讨论:A∩B 与 A、 B、 B∩A 的关系? → A∩A= A∩Φ = ⑤ 图示五种交集的情况:?
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B A

A(B)

A

B

A B

A

B

⑥ 练习(口答) : A={x|x>2},B={x|x<8},则 A∩B= ; 。

A={等腰三角形},B={直角三角形},则 A∩B=

⑦定义并集: 由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合, 叫做 A 与 B 的并集 (union set) 。记作:A∪B,读作:A 并 B。用描述法表示是:? ⑧分析:与交集比较,注意“所有”与“或”条件; “x∈A 或 x∈B”的三种情况。 ⑨讨论:A∪B 与集合 A、B 的关系?→ A∪A= ⑩练习(口答) : A∪Ф = A∪B 与 B∪A ;

A={3,5,6,8},B={4,5,7,8},则 A∪B= ; 。

设 A={锐角三角形},B={钝角三角形},则 A∪B= A={x|x>3},B={x|x<6},则 A∪B= 2.教学例题: ,A∩B=

1.出示例 1:设 A={x|-1<x<8},B={x|x>4 或 x<-5},求 A∩B、A∪B。 格式 → 结果分析 → 数轴分析 → 比较:解方程组 → 变:A={x|-5≤x≤8} 2. 指导看书 P11 例 1、P12 例 2。 3.练习: 设 A={(x,y)|4x+y=6},B={(x,y)|3x+2y=7},求 A∩B。 格式 → 几何意义 → 注意结果 → 变题:B:4x+y=3 或 B:8x+2y=12 三、巩固练习: 1.若{-2,2x,1} ? {0,x ,1}={1,4},则 x 的值
2



2.已知 x∈R,集合 A={-3,x 2 ,x+1},B={x-3,2x-1,x 2 +1},如果 A∩B={-3},求 A∪B。 (解法:先由 A∩B={-3}确定 x) 3.已知集合 A={x|a-1<x≤a},B={x|0<x<3},且 A∩B=Ф ,求 a 的取值范围。 4.若 A={(x,y)|y=

6 },B={(x,y)|y=x+1},则 A ? B= x



四.小结:交集与并集的概念、符号、图示、性质;熟练求交集、并集(数轴、图示) 。



题: §3.2 集合的基本运算(二)全集与补集

一. 教学目标: 1. 知识与技能 (1)会求两个简单集合的交集与并集. (2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集. (3)能使用 Venn 图表达集合的运算,体会直观图示对理解抽象概念的作用. 2. 过程与方法 学生通过观察和类比,借助 Venn 图理解集合的基本运算. 3.情感.态度与价值观 (1)进一步树立数形结合的思想. (2)进一步体会类比的作用.
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(3)感受集合作为一种语言,在表示数学内容时的简洁和准确. 二.教学重点.难点 重点:交集与并集,全集与补集的概念. 难点:理解交集与并集的概念.符号之间的区别与联系. 三.学法与教学用具 1.学法:学生借助 Venn 图,通过观察.类比.思考.交流和讨论等,理解集合的基本运算.教 学过程: 一、复习准备: 1. 提问:.什么叫子集、真子集、集合相等?符号分别是怎样的? 2. 提问:什么叫交集、并集?符号语言如何表示? 3. 讨论:已知 A={x|x+3>0},B={x|x≤-3},则 A、B、R 有何关系? 二、讲授新课: 1.教学全集、补集概念及性质: ① 预备题:U={全班同学}、A={全班参加足球队的同学}、B={全班没有参加足球队的同学}, 则 U、A、B 有何关系? ②结论:集合 B 是集合 U 中除去集合 A 之后余下来的集合。 → 画图分析 ③定义全集(universe set) :含有我们所研究问题中所涉及的所有元素构成的集合,记作 U,是相对于所研究问题而言的一个相对概念。 ④定义补集(complementary set) :已知集合 U, 集合 A ? U,由 U 中所有不属 于 A 的元素组成的集合,叫作 A 相对于 U 的补集,记作: CU A ,读作: “A 在 U 中补集” ,即 CU A ? {x | x ?U , 且x ? A} 。补集的 Venn 图表示如右: (说明:补集的概念必须要有全集的限制) 练:U={2,3,4},A={4,3},B=φ ,则 CU A = , CU B = ; → 图形分析
U A CUA

⑤ 讨论:A.在解不等式时,把什么作为全集?在研究图形集合时,把什么作为全集? B. Q 的补集如何表示?意为什么?

⑥ 练习(口答) : 设 U={x|x<8,且 x∈N},A={x|(x-2)(x-4)(x-5)=0},则 CU A = 设 U={三角形},A={锐角三角形},则 CU A = 2.教学例题: 课本 P13 例 3 例 4 补充例题:U={x|x<13,且 x∈N},A={8 的正约数},B={12 的正约数},求 CU A 、 CU B 。 出示 → 学生试逐个求 → 再试用图示求 3.练习: 设 U=R,A={x|-1<x<2},B={x|1<x<3},求 A∩B、A∪B、 CU A 、 CU B 。 。 ;

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独立练习 → 方法小结:如何数轴分析 4.探究:结合图示分析,下面的一些集合运算基本结论。 A∩B=B∩A, A∩B ? A, A∩B ? B, A∩φ =φ ; A∪B=B∪A, A∪B ? A, A∪B ? B, A∪φ =A; A∩C U A=φ , A∪C U A=S, C U (C U A)=A

5.小结: 补集、全集的概念;补集、全集的符号;图示分析(数轴、Venn 图) 。 三、巩固练习: 1.已知 U={x∈N|x≦10}, A={小于 10 的正奇数}, B={小于 11 的质数}, 则 C U A= 2.已知集合 A={0,2,4,6}, C U A={-1,-3,1,3},C U B={-1,0,2},则 B= 图法 3.定义 A—B={x|x∈A,且 x ? B},若 M={1,2,3,4,5},N={2,4,8},则 N—M= 四.小结:全集与补集 。 、 C U B= 。

。 ( 解法:Venn

班级

§4.1-2 高中数学第一章测试题 姓名 学号

1、集合 A ? {x | ?2 ? x ? 2}, B ? {x | ?1≤ x ? 3} ,那么 A A、{x | ?2 ? x ? 3} B、{x |1 ≤ x ? 2}

B?



) D、{x | 2 ? x ? 3}

C、{x | ?2 ? x ≤1}

2、集合 A ? {x | ?1 ? x ? 2}, B ? {x |1 ? x ? 3} ,那么 A A、 ? B、 {x | ?1 ? x ? 1}

B?



) D、{x | 2 ? x ? 3}

C、 {x |1 ? x ? 2}

3、若集合 M ? {?1,0,1, 2}, N ? {x | x( x ?1) ? 0} ,则 M A、 {?1, 0,1, 2} 4、 满足条件 M A、4 B、 {0,1, 2}

N?



) D、 {0,1}

C、 {?1, 0,1} ( )

{1} ? {1, 2,3} 的集合 M 的个数是
B、3 C、2

D、1
I

5、设全集 I ? {a, b, c, d , e} ,集合 M ? {a, b, c}, N ? {b, d , e} ,那么 痧 IM A、 ? B、 {d } C、 {a, c}

N 是(



D、 {b, e}

6 、设集合 A ? {x ? Z | ?10 ≤ x ≤ ?1}, B ? {x ? Z | x ≤ 5} ,则 A ( )
- 10 -

B 中元素的个数是

A、11

B、10

C、16

D、15 )

7、已知全集 U ? {1, 2,3, 4,5,6,7}, M ? {3, 4,5}, N ? {1,3,6} ,则集合 {2, 7} 等于( A、 M

N

B、 痧 UM

U

N


C、 痧 UM ) C、 ? ? P

U

N

D、 M

N

8、如果集合 P ? x x ? ?1 ,那么 A、 0 ? P B、 ?0?? P

?

?

D、 ?0? ? P

9、设全集 U ? {a, b, c, d },集合 M ? {a, c, d}, N ? {b, d} ,则 (? UM) A、{ b } B、{ d } C、{ a, c } 10、设全集 U ? ? 1,2,3,4,5,6?,集合 A ? ? 1,2,3,?, B ? ?2,4,5?,则 ? U (A A、 ?2? B、 ?6? C、 ? 1,3, 4, 5, 6?

N ?(



D、{b, d }

B)等于 (
D、 ? 1, 3, 4,5? ( )



11、设全集 S ? {1, 2,3, 4,5,6,7} ,集合 A ? {1,3,5,7} ,集合 B ? {3,5} ,则 A、 S ? A ? B B 、 S ? ?S A

?

?

B

C、 S?A

?? B ?
S

D、

S ? ?痧 S A?

?

S

B?
) D、4

12、已知集合 A ? {1, 2,3, 4} ,那么 A 的真子集的个数是( A、15 B、16 C、3

13、已知集合 M ? {( x, y) | x ? y ? 2}, N ? {( x, y) | x ? y ? 4} ,那么集合 M A、 x ? 3, y ? ?1 B、 (3, ?1) C、 {3, ?1}

N 为(



D、 {(3, ?1)}

14、设集合 U ? {1, 2,3, 4,5}, A ? {1, 2,3}, B ? {2,5} ,则 A A、 {2} B、 {2,3} C、 {3}

(? U B) ?

( D、 {1,3}



15、若 U ? {1, 2,3, 4}, M ? {1, 2}, N ? {2,3} ,则 ? U (M A、 {1, 2,3} B、 {2}

N) ? (

) D、 {4} )

C、 {1,3, 4}

16、设集合 P ? {1, 2,3, 4,5,6}, Q ? {x ? R | 2 ≤ x ≤ 6} ,那么下列结论正确的是( A、 P

Q?P

B、 P

Q?Q

C、 P

Q?Q

D、 P

Q? P


17、设全集是实数集 R,M ? {x | ?2 ≤ x ≤ 2} , N ? {x| x ? 1} ,则 ?R M A、 {x| x ? ?2} B、 {x|?2 ? x ? 1} C、 {x| x ? 1}

N 等于(

D、 {x|?2 ? x ? 1}

- 11 -

N 18、 已知集合 M ? {x | x ? a ? 0}, N ? {x | ax ? 1 ? 0}, 若M N ?
A、 1 B、 ?1 C、 1 或 ? 1

, 则实数 a 等于 ( D、 1 或 ?1 或 0



19、已知集合 A ? {x | x ≤ 2, x ? R}, B ? {x | x ≤ a}, 且 A ? B, 则实数 a 的取值范围是 20、设集合 A ? {5, (a ? 1)} ,集合 B ? {a, b} 。若 A

B ? {2} ,则 A B ?
N ? ? ,则 a 的取值范围是

21、设集合 M ? {x | ?1≤ x ? 2}, N ? {x | x ≤ a} ,若 M

22、增城市数、理、化竞赛时,高一某班有 24 名学生参加数学竞赛,28 名学生参加物理竞 赛,19 名学生参加化学竞赛,其中参加数、理、化三科竞赛的有 7 名,只参加数、物两科 的有 5 名,只参加物、化两科的有 3 名,只参加数、化两科的有 4 名。若该班学生共有 48 名,问没有参加任何一科竞赛的学生有多少名?

第二章函数
§2.1 函数的概念 教材分析: 函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型. 高中阶段不仅把函数看成变量之 间的依赖关系,同时还用集合与对应的语言刻画函数,高中阶段更注重函数模型 化的思想. 教学目的: (1)在上一小节学习的基础上理解用集合与对应的语言来刻画函数,体会对应关 系在刻画函数概念中的作用; (2)了解构成函数的要素; (3)会求一些简单函数的定义域和值域; (4)能够正确使用“区间”的符号表示某些函数的定义域; 教学重点:理解函数的模型化思想,用合与对应的语言来刻画函数; 教学难点:符号“y=f(x)”的含义,函数定义域和值域的区间表示; 教学过程: 一.引入课题 复习初中所学函数的概念,强调函数的模型化思想。 思考: (1) y=1(x∈R)是函数吗? (2) y=x 与 y= x2 是同一函数吗?
x

几百年来,随着数学的发展,对函数概念的理解不断深入,对函数概念的描述越来越清 晰。现在,我们从集合的观点出发,还可以给出以下的函数定义。 (先认识几个对应) 二.新课教学 (一)函数的有关概念 1.函数的概念:

- 12 -

设 A、B 是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任意一个 数 x,在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应,那么就称 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数. 记作: y=f(x),x∈A. 其中,x 叫做自变量,x 的取值范围 A 叫做函数的定义域;与 x 的值相对应的 y 值叫做 函数值,函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域. 注意: 1 “y=f(x)”是函数符号,可以用任意的字母表示,如“y=g(x)” ○ ; 2 ○ 函数符号“y=f(x)”中的 f(x)表示与 x 对应的函数值,是一个数,而不是 f 乘以 x. ③ 两个函数相同必须是它们的定义域和对应关系分别完全相同. ④有时给出的函数没有明确说明定义域,这时它的定义域就是自变量的允许取值范围. 2. 构成函数的三要素: 定义域、对应关系和值域 3.区间的概念 (1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间; (2)无穷区间; (3)区间的数轴表示. (1)满足不等式 a ? x ? b 的实数的 x 集合叫做闭区间,表示为 ?a , b? ; (2)满足不等式 a ? x ? b 的实数的 x 集合叫做开区间,表示为 ?a , b ? ;

(3)满足不等式 a ? x ? b 的实数的 x 集合叫做半开半闭区间,表示为 ?a,b ? ;

(4)满足不等式 a ? x ? b 的实数的 x 集合叫做也叫半开半闭区间,表示为 ?a , b?;

说明:① 对于 ?a , b? , ?a , b ? , ?a,b ? , ?a , b?都称数 a 和数 b 为区间的端点,其中 a 为左
端点,b 为右端点,称 b-a 为区间长度; ② 引入区间概念后,以实数为元素的集合就有三种表示方法: 不等式表示法:3<x<7(一般不用) ;集合表示法: x 3 ? x ? 7 ;区间表示法: ?3, 7? ; ③ 在数轴上,这些区间都可以用一条以 a 和 b 为端点的线段来表示,在图中,用实 心点表示包括在区间内的端点,用空心点表示不包括在区间内的端点; ④ 实数集 R 也可以用区间表示为(-∞,+∞) , “∞”读作“无穷大” , “-∞”读作“负 无穷大” , “+∞”读作“正无穷大” ,还可以把满足 x ? a, x>a, x ? b, x<b 的 实 数 x 的集合分别表示为[a,+∞]、 (a,+∞) 、(-∞,b)、(-∞,b)。 (见演示) (二)例题讲解 1. 一次函数 y=ax+b(a≠0)定义域是 R,值域是 R.。 2 二次函数 y=ax +bx+c (a≠0)的定义域是 R,值域是 当 a>0 时,为:

?

?

{y y ?

4 ac ?b2 4a

}

当 a<0 时,为:

?b { y y ? 4ac 4a }
2

2. 某山海拔 7500m, 海平面温度为 25°C,气温是高度的函数, 而且高度每升高 100m, 气温 下降 0.6°C.请你用解析表达式表示出气温 T 随高度 x 变化的函数,并指出其定义域和值域.

2 3. 已知 f (x)=3x -5x+2, 求 f (3),f (- 2

), f (a), f (a+1) , f [f (a)].

- 13 -

4.下列函数中与函数 y=x 相同的是 ( B A. y ?

). C. y?

? x?

2

B.

y ? 3 x3

x2

三.课堂练习 P31. 练习 1, 2 (解答见课件). 四.小结 在初中函数定义的基础上进一步用集合与对应的语言描述了函数的定义及其相关概念, 介绍了求函数定义域和判断同一函数的典型题目,引入了区间的概念来表示集合。 五.作业 1. P38.习题 2-2 A 组 1,2. 2 2. 若 f (x) = ax - 2 §2.2 函数的表示法 教学目标: 1.使学生掌握函数的常用的三种表示法; 2.使学生能根据不同的需要选择恰当的方法表示函数, 了解函数不同表示法的优缺点; 3.使学生理解分段函数及其表示法,会处理某些简单的分段函数问题; 4.培养学生数形结合与分类讨论的数学思想方法,激发学生的学习热情。 教学重点: 函数的三种表示法及其相互转化,分段函数及其表示法 教学难点: 根据不同的需要选择恰当的方法表示函数,分段函数及其表示法。 教学过程: 一、新课引入 复习提问:函数的定义及其三要素是什么? 函数的本质就是建立在自变量x的集合A上对应关系,在研究函数的过程中,我们常 用不同的方法表示函数, 可以从不同的角度帮助我们理解函数的性质, 是研究函数的重要手 段。 请同学们回忆一下函数有哪些常用的表示法? 答:列表法是、图像法、解析法 二、新课讲解 请同学们阅读课本 P28-P29 例 2 以上部分内容,思考下列问题: 1. 列表法是、图像法、解析法的分别是怎样定义的? 2. 这三种表示法各有什么优、缺点? 在学生回答的基础上师生共同总结:(多媒体课件显示) 列表法 定 义 图像法 解析法

? , 且 f ? ? f ( 2) ? ? ? 2, 求 a.

用表格的形式把两个变量间的 用图像把两个变量间的函 一个函数的对应关系可以用自变 函数关系表示出来的方法 数关系表示出来的方法 量的解析式表示出来的方法 不必通过计算就能知道两个变 可以直观地表示函数的局 能叫便利地通过计算等手段研究 量之间的对应关系,比较直观 部变化规律,进而可以预测 函数性质 它的整体趋势 只能表示有限个元素的函数关 有些函数的图像难以精确 一些实际问题难以找到它的解析 系 作出 式

优 点 缺 点

函数的三种表示法并不是相互独立的,它们可以相互转化,是有机的一个整体,像我们
- 14 -

非常熟悉的一次函数、二次函数,我们都可以用列表法是、图像法、解析法来表示和研究它 们。 下面我们再通过几个具体实例来研究函数的列表法是、图像法、解析法的相互转化和应 用。 例1、 请画出下列函数的图像。

?x , x ? 0 y? x ?? ?? x , x ? 0
解:图像为第一和第二象限的角平分线, 如图 2-5 所示 y

0

x

图 2-5 本题体现的是由数到形的变化,是数形结合的数学思想方法。 问 1.如何作出函数 y ? x ?1 的图像? 2.如何作出函数 y ? x ?1 的图像? 3. 如何作出函数 y ? x ? 2 ? 3 的图像? 4.思考:如何由函数 y ? x 的图像得到函数 y ? x ? a ? b 的图像? 5.试求函数 y ? x 与函数 y=1 的图像围成的图形的面积。 例 2、 国内跨省市之间邮寄信函,每封信函的质量和对应的邮资如表 2-5: (多媒体课件显示) 表 2-5 信函质量(m)/g 0 ? m ? 20 邮资(M)/元 1.20

20 ? m ? 40
2.40

40 ? m ? 60
3.60

60 ? m ? 80
4.80

80 ? m ? 100
6.00

画出图像,并写出函数的解析式。 分析:要让学生明白当信函质量 0 ?

m ? 20 时邮资 M=1.20 是信函质量 m 的函数,是

一种典型的多对一的函数,可以通过多媒体动画演示让学生体会。 解:邮资 M 是信函质量 m 的函数,函数图像如图 2-6 所示

- 15 -

图 2-6 函数解析式为:

?1 . 2 0 ?2 . 4 0 ? ? M ? ?3 . 6 0 ?4 . 8 0 ? ? ?6 . 0 0

,?0m ? , 2 ?0 m? , 4 ?0 m? ,6 ?0 m? ,8 ?0 m?

20 40 60 80 100

注:像这样在定义域内的不同区间上对应着不同的解析式的函数叫分段函数 1. 分段函数是一个函数,而不是几个函数; 2. 分段函数的定义域是所有区间的并集,值域是各段函数值域的并集; 3. 分段函数的求解策略:分段函数分段解。 例 3、 某质点在 30s 内运动速度 v 是时间 t 的函数,它的图像如图 2-7。用解析法表示 这个函数,并求出 9s 时质点的速度。(多媒体课件显示)

解:速度是时间的函数,且在不同的区间上对应这不同的解析式,因此速度是时间的分 段函数,我们应当分段处理。 1.当 0 ? t ? 5 时,可设 v ? kt ? b (k ? 0) ,将(0,10)和(5,15)代入,得

- 16 -

?10 ? b ? ?15 ? 5k ? b

? v ? t ? 10
请同学们拿出笔和纸算出 5 ? t ? 10 , 10 ? t ? 20 , 20 ? t ? 30 时所对应的解析式。

?

?t ? 10 , 0 ? t ? 5 ?3t ,5 ? t ? 10 ? v(t ) ? ? ?30 ,10 ? t ? 20 ? ??3t ? 90 , 20 ? t ? 30

由上式可得,t=9s 时,质点的速度是

v(9) ? 3 ? 9 ? 27(cm / s)
问 1.如何求质点在 t=19s、20s、0.2s 时的速度呢? 2.求 v(v(9)) 的值; 3.当 v(t ) ? 27(cm / s) 时,对应的时间 t 是多少? 3 解法 1: (分段函数分段解) ①当 0 ? t ? 5 时,

v(t ) ? t ? 10 ? 27
②当 5 ? t ? 10 时,

解得 t ? 17 (舍)

v(t ) ? 3t ? 27

解得 t ? 9

③当 10 ? t ? 20 时,

v(t ) ? 30 ? 27

无解

④当 20 ? t ? 30 时,

v(t ) ? ?3t ? 90 ? 27
综上可知 t ? 9 或 21

解得 t ? 21

v(t ) ? 27(cm / s) 解法 2: (数形结合) 由 v 与 t 图像可知只有 5 ? t ? 10 和 20 ? t ? 30 时,
才可能成立,故 v(t ) ? ?3t ? 90 ? 27 或 v(t ) ? 3t ? 27 解得 t ? 9 或 21 三、思考交流 第 1、2 题。 四、课堂练习 第 1、2、3 题。 五、课堂小结 师生共同归纳本节主要内容 1. 函数的三种表示法和各自的优缺点;
- 17 -

2. 分段函数及其解法; 3. 函数解析式的求法。 六、布置作业 P34 习题 2-2 A 组 第 1、2 题。 七、板书设计 §2.2 函数的表示法 二、例题 一、函数的三种表示法及其各 例 1 自优缺点 例2 三、分段函数

例3

§2.23 函数解析式的求法 教学目标:让学生了解函数解析式的求法。 重点:对 f 的了解,用多种方法来求函数的解析式 难点:待定系数法、配凑法、换元法、解方程组法等方法的运用。 教学过程 例 1.求函数的解析式 (1) f9[(x+1)= , 求 f (x); 答案:f (x)=x2-x+1(x≠1) 练习 1:已知 f( +1)= x+2 ,求 f(x) 答案:f (x)=x2-1(x≥1)

(2) f (x) = 3x2+1, g (x) = 2x -1 , 求 f[g(x)];答案:f[g(x)]=12x2-12x+4 练习 2:已知:g(x)=x+1,f[g (x)]=2x2+1,求 f(x-1) 答案:f(x-1)=2x2-8x+9 (3)如果函数 f (x)满足 af (x)+f()=ax,x∈R 且 x≠0,a 为常数,且 a≠±1,求 f (x)的表达式。答 案:f (x)= (x∈R 且 x≠0) 练习 3: 2f (x) - f (-x) = lg (x+1), 求 f (x). 答案:f(x)= lg(x+1)+lg(1-x) (-1<x<1)

例 2.已知 f (x)是一次函数,并且满足 3f (x+1) - 2f (x-1)=2x+17,求 f (x). 答案:f (x)=2x+7. 练习 4:已知 f (x)是二次函数,满足 f(0)=1 且 f (x+1) - f (x)=2x,求 f (x) 答案:f (x) = x2- x+1 例 3.设 f(x)是 R 上的函数,且满足 f(0)=1,并且对任意实数 x,y 有 f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1),求 f(x) 答案:f (x) =x2+x+1

- 18 -

练习 5:函数 f(x)对任何 x∈R 恒有 f(xx)=f(x1)+f(x2),已知 f(8)=3, 则 f()= 例 4.已知函数 y=f(x)的图像如图所示,求 f(x) 练习 6:已知函数 f(x)的图像是由两条射线和开口向下的抛物线组成, 求 f(x)解析式

例 5.已知定义在 R 上的函数 y=f(x)关于直线 x=2 对称并且 x∈[0,2]上的解析式为 y=2x-1,则 f (x)在 x∈[2,4]上的解析式为 y=7-2x 练习 7:设函数 y=f(x)关于直线 x=1 对称,若当 x≤1 时,y=x2+1, 则当 x>1 时,f(x)= x2-4x+5

课堂小结:求函数的解析式的方法较多,应根椐题意灵活选择,但不论是哪种方法都应注意 自变量的取值范围,对于实际问题材,同样需注意这一点,应保证各种有关量均有意义。 布置作业: 1、若 g(x)=1-2x , f[g(x)] = (x≠0),求 f()的值。 2、已知 f(x - )=x + , 求 f(x-1)的表达式. 3、已知 f(x)=9x+1,g(x)=x,则满足 f[g(x)]= g[f(x)] 的 x 的值为多少? 4、已知 f(x)为一次函数且 f[f(x)] = 9x+4,求 f(x).

教后反思:

2.3 映 射 教学目标:1.使学生了解映射的概念、表示方法; 2.使学生了解象、原象的概念; 3.使学生通过简单的对应图示了解一一映射的概念; 4.使学生认识到事物间是有联系的,对应、映射是一种联系方式。 教学重点:映射、一一映射的概念 教学难点:映射、一一映射的概念 教学方法:讲授法 教学过程: (I)复习回顾 在初中学过一些对应的例子(投影) ;
- 19 -

(1)对于任何一个实数,数轴上都有唯一的点和它对应; (2)对于坐标平面内的任何一个点,都有唯一有序实数对(x,y)和它对应; (3)对于任意一个三角形,都有唯一确定的面积和它对应; (4)对于任意一个二次函数,相应坐标平面内都有唯一的抛物线和它对应。 (Ⅱ)新课讲授 一.实例分析 1. 集合A={全班同学} ,集合B=(全班同学的姓} ,对应关系是:集合A中的每一个同 学在集合B中都有一个属于自己的姓. 2. 集合A={中国,美国,英国,日本} ,B={北京,东京,华盛顿,伦敦} ,对应关系 是:对于集合A中的每一个国家,在集合B中都有一个首都与它对应. 3. 设集合A={1,-3,2,3,-1,-2} ,集合B={9,0,4,1,5},对应关 系是:集合A中的每一个数,在集合B中都有一个其对应的平方数. 三个对应的共同特点: (1)第一个集合中的每一个元素在第二个集合中都有对应元素; (2)对于第一个集合中的每一个元素在第二个集合中的对应元素是唯一的. 二.抽象概括 1. 映射的概念 两个集合A与B间存在着对应关系,而且对于A中的每一个元素 x,B中总有唯一的一 个元素 y 与它对应,就称这种对应为从A到B的射映,A中的元素 x 称为原像,B中的对应 元素 y 称为 x 的像, 记作 f:x y . 注意: (1)映射有三个要素:两个集合,一种对应法则,缺一不可; (2)A,B 可以是数集,也可以是点集或其它集合。这两个集合具有先后顺序:符号 “f:A→B”表示 A 到 B 的映射,符号“f:B→A”表示 B 到 A 的映射,两者是不 同的; (3)集合 A 中的元素一定有象,并且象是唯一的,但两个(或两个以上)元素可以允许有 相同的象;例: “A={0,1,2},B={0,1,1/2},f:取倒数”就不可以构成映射,因为 A 中元 素 0 在 B 中无象 (4)集合 B 中的元素在 A 中可以没有原象,即使有也可以不唯一; (5)A={原象},B ? {象}。 2.思考交流 (1) P37 练习1 (2) 函数与映射有什么区别和联系? 结论: 1. 函数是一种特殊的映射;(数集到数集的映射) 2. 映射是函数的推广。 3. 一一映射(一种特殊映射) (1)A 中每一个元素在 B 中都有唯一的像与之对应; (2)A 中的不同元素的像也不同; (3)B 中的每一个元素都有原像。 三.知识应用 1. 已知集合 A={x│x≠0,x∈R},B=R,对应法则是“取负倒数”
- 20 -

(1) (2) (3) (4)

画图表示从集合 A 到集合 B 的对应(在集合 A 中任取四个元素) ; 判断这个对应是否为从集合 A 到集合 B 的映射;是否为一一映射? 元素-2 的象是什么?-3 的原象是什么? 能不能构成以集合 B 到集合 A 的映射?

2. 点(x,y)在映射 f 下的象是(2x-y,2x+y), (1) 求点(2,3)在映射 f 下的像; (2)求点(4,6)在映射 f 下的原象. 答案:(1) 点(2,3)在映射 f 下的像是(1,7); (2) 点(4,6)在映射 f 下的原象是(5/2,1) 4 2 3. 设集合 A={1,2,3,k},B={4,7,a ,a +3a},其中 a,k∈N,映射 f:A→B,使 B 中元素 y=3x+1 与 A 中元素 x 对应,求 a 及 k 的值. (a=2 , k=5 ) 四.问题探究 判断下列对应是否A到B的映射和一一映射? (答案见教材全解 p70)

(1) A ? R, B ? R ? , x ? A, f : x ?| x | (2) A ? N , B ? N ? , x ? A, f : x ?| x ? 1| (3) A ? {x | x ? 2, x ? Z }, B ? { y | y ? 0, y ? N } x ? A, f : x ? y ? x 2 ? 2 x ? 2 (4) A ? [1, 2], B ? [ a, b]( a ? b), x ? A f : x ? y ? (b ? a ) x ? 2a ? b
五.小结: 本节课我们学习了映射的定义、表示方法、象与原象的概念、一一映射的定义。强调注 意的问题(前面所述)指出:映射是一种特殊的对应:多对一、一对一;一一映射是一种特 殊的映射:A 到 B 是映射,B 到 A 也是映射。

六.课后作业 §3 函数的单调性 教学目的: (1)通过已学过的函数特别是二次函数,理解函数的单调性及其几何意义; (2)学会运用函数图象理解和研究函数的性质; (3)能够熟练应用定义判断数在某区间上的的单调性. 教学重点:函数的单调性及其几何意义. 教学难点:利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性. 教学过程:

阅读与思考
? 1、阅读教材
- 21 -

?

P36 的实例分析及思考交流止。
180 160 140 120 100 80 60 40 20 0
1 3 5 7 9 1 3 5 7 9 1 3 5 7 51 42 42 42 42 42 50 50 50 50 50 51 51 51 51 9

? 2、思考问题 (1) 从 P36 图 2-15 (北京从 20030421-20030519 每日新增非典病例的变化统计图) 看出,形势从何日开始好转? (2)从 P36 图 2-16 你能否说出 y 随 x 如何变化? 德国著名心理学家艾宾浩斯研究数据 时间间隔 刚刚记忆完毕 20 分钟之后 1 小时之后 8-9 小时之后 1 天后 2 天后 6 天后 一个月后 … 艾宾浩斯遗忘曲线
保持量(百分数) 100 80 60 40 20 0

记忆保持量 100% 58.2% 44.2% 35.8% 33.7% 27.8% 25.4% 21.1% …

1 5 6

2

3 天数

4

问:什么是增函数、减函数、函数的单调性? 问题 1、 作出下列函数的图象,并指出图象的变化趋势:

(1) y ? x ? 1

(2) y ? ?2x ? 2

(3) y ? ? x2 (4) y ?

1 x

- 22 -

y

y

y ? x ?1

1

y ? ?2x ? 2

2

1

-1

O

x
y ? ?x2

O

x
y? 1 x

y

y

O

x

O

x

问题 2、你能明确地说出“图象呈逐渐上升或下降趋势”的意思吗? 在某一区间内, 图象在该区间呈上升趋势 当 x 的值增大时,函数值 y 也增大 图象在该区间呈下降趋势 当 x 的值增大时,函数值 y 反而减小 如何用 x 与 f(x)来描述上升的图象?

y

y ? f (x)
f (x1 )
O

在给定区间上任取 x1 , x2 ,

f (x 2 )
x2

x1 ? x2

f(x1 ) ? f(x2 )

结论:

函数 f (x)

x1

x

在给定区间上为递增的。

如何用x与 f(x)来描述下降的图象?

y

y ? f (x)
f (x1 )

在给定区间上任取 x1 , x2 ,
x1 ? x2 f(x1 ) ? f(x2 )

f (x 2 )

结论: 函数f (x) x
- 23 -

O

x1

x2

在给定区间上为递减的。

y y=f(x) f(x1) O x1 x2 f(x2) x

一般地,设函数y=f(x)的定义域为A, 区间I
?

A. 如果对于区间I内的任意两个值 f(x1)<f(x2)

x1,x2,当 x 1<x2 时,都有

那么就说y= f(x)在区间I上是单调增函数.

y y=f(x) f(x1) O x1 x2 f(x2) x

一般地,设函数y=f(x)的定义域为A, 区间I
?

A. 如果对于区间I内的任意两个值 f(x1)<f(x2)

x1,x2,当 x 1<x2 时,都有

那么就说y= f(x)在区间I上是单调增函数.
单调区间 如果函数 y=f(x)在区间 I 是单调增函数或单调减函数,那么就说函数 y=f(x)在区间 I 上具有单 调性. 单调增区间和单调减区间统称为单调区间.

- 24 -

[例 1] 证明函数f ( x) ? 2 x ? 1在区间 (? ?, ? ?)上是增函数。

证明:

设x1 , x2是区间 (??,??)内任意 两个实数,且 x1 ? x2 。

(条件)

f (x1 ) ? f (x 2 ) ? (2x1 ? 1) ? (2x 2 ? 1) ? 2(x1 ? x 2 ) ? x1 ? x 2 , ? x1 ? x 2 ? 0
? f (x1 ) ? f (x 2 ) ? 0 即f (x1 ) ? f (x 2 )

(论证结果)

则函数f (x) ? 2x ? 1在区间 (??,??)
是增函数。

(结论)

- 25 -

[例2] 判断函数f ( x ) ? x 2 ? 2x 的 单调性,并加以证明。

y

f (x) ? x ? 2x
2
1 o 2 x

单调递减区间:

(??, 1 )
单调递增区间:

[1 ,??)
【练习】 : 1、判断函数f(x)=1/x在(-∞,0)上是增函数还是减函数?并证明你的结论. 减函数 2、判断函数f(x)=1/x在(0,+∞)上 是增函数还是减函数?并证明你的结论. 减函数

【想一想】 :能否说函数f(x)=1/x在(-∞,+∞)
上是减函数? 答: 不能. 因为x=0不属于f(x)=1/x的定义域.

解题步骤 用定义证明函数的单调性的步骤: (1). 设x1<x2, 并且是某个区间上任意二个值; (2). (3). 作差 f(x1)-f(x2) ; 判断 f(x1)-f(x2) 的符号: ① 分解因式, 得出因式x1-x2 . ② 配成非负实数和. 作结论.

(4).
小结

- 26 -

1.

概念 定义法

2.

方法 图象法

§4.1 二次函数的图像 教学目的:理解二次函数的图像中 a,b,c,h,k 的作用;领会二次函数图像移动的方法 教学重点:二次函数的图像中 a,b,c,h,k 的作用 教学难点:领会二次函数图像移动的方法 教学方法:逐层推进 教学过程: 一.复习引入 说出下列函数的开口方向、对称轴、顶点 2 (1) y = (x+2) -1, 二.问题探索 探索问题 1: 2 (2) y = - (x-2) +2 , 2 (3) y = a (x+h) +k

y ? x2 和 y ? ax2 (a ? 0) 的图像之间有什么关系?
实践探究 1:在同一坐标系中做出下列函数的图像; y ? x ;
2

y ? 2 x2 ;

y?

1 2 x 2

观察发现 1: 2 2 1.二次函数 y=ax (a?0)的图像可由的 y=x 图像各点纵坐标变为原来的 a 倍得到. 2.a 决定了图像的开口方向: a>o 开口向上,a<0 开口向下. 3. a 决定了图像在同一直角坐标系中的开口大小:|a|越小图像开口就越大 巩固性训练一: 下列二次函数图像开口,按从小到大的顺序排列为 (4),(2),(3),(1).

f ( x) ?

1 2 1 1 x ; f ( x) ? x 2 ; f ( x) ? ? x 2 ; f ( x) ? ?3x2 4 2 3

探索问题 2:

y ? ax2 (a ? 0) 和 y ? a( x ? h)2 ? k ,(a ? 0) 的图像之间有什么关系?
实践探究 2:在同一坐标系中做出下列函数的图像:

y ? 2 x2 ;
观察发现 2:

y ? 2 (x ? 12);

y ? 2 (x ? 12)? 3

2 二次函数 y=a(x+h) +k (a?0),a 决定了二次函数图像的开口大小及方向;

- 27 -

而且“a 正开口向上,a 负开口向下”;|a|越大开口越小; h 决定了二次函数图像的左右平移,而且“h 正左移,h 负右移”; k 决定了二次函数图像的上下平移,而且“k 正上移,k 负下移”。 巩固性训练二: 2 1.将二次函数 y=3x 的图像平行移动,顶点移到(-3,2) ,则它的解析式为 2 Y=3(x+3) +2 。 2 2.二次函数 y=f(x)与 y=g(x)的图像开口大小相同,开口方向也相同,已知函数 g(x)=x +1, f(x)图像的顶点为(3,2),则 f(x)的表达式为 Y=(x-3) 探索问题 3: 2 +2 。

y ? ax2 (a ? 0) ,和 y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 的图像之间有什么关系?
观察发现 3:一般的,二次函数 y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) , 通过配方就可以得到它的恒等形 式: y ? a( x ? h)2 ? k ,(a ? 0) 。 从而知道,由 y ? ax2 (a ? 0) 的图像经过平 移就可以得到 y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 。 发展性训练 2 2 1. 由 y=3(x+2) +4 的图像经过怎样的平移变换,可以得到 y=3x 的图像. 右移 2 单位,下移 4 单位 2 2. 把函数 y=x -2x 的图像向右平移2个单位,再向下平移3个单位所得图像对应的函数 2 2 2 解析式为 : Y =(x-2) -2(x-2)-3 = x - 6x+5 = (x-3) -4 。 三.课堂小结: 2 1.a,h,k 对二次函数 y =a(x+h) +k 图像的影响。 2 2 2. y = x 与 y =a(x+h) +k 的图像变换规律。 四.课后作业: §4.2 二次函数的性质

教学目的:结合图像进一步掌握二次函数的性质,领会二次函数的应用 教学重点:结合图像掌握二次函数的性质 教学难点:对性质的应用 教学方法:讲练结合
- 28 -

教学过程: 一.阅读与思考 1. 阅读教材. 2. 思考函数 y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 的性质 二.问题探究 1. 求证:a<0 时, y ? ax 2 ? bx ? c (a ? 0) 在区间 (? 2. 例 2,例 3 三.归纳 1、二次函数的问题,结合图像可以更直观形象。 2 、 将 y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 配方得 y ? a( x ?

b , ??) 上是减小的。 2a

b 2 4ac ? b 2 ) ? 之后,就可通过 a , 2a 4a

?

b 4ac ? b 2 , , 直接得函数的主要性质,并依此画出图像。 2a 4a

四.练习实践 1. 教材 P53 练习 1、2、3、4. 2 2. 函数 y =4x - mx+5 的对称轴为 x=-2 , 则 x=1 时 y =__D__ a .–7 3. b .1 c .17 d. 25

2 y = -x - 6x + k 图像顶点在 x 轴上,则 k= __-9__ 。

五.课堂小结 1. 二次函数的几大性质

2.二次函数的几大性质的应用 六.课后作业

§4.3 课题:二次函数在闭区间上的最值 使学生通过对知识的运用加深对知识的理解与掌握;在问题解 决的过程中渗透数形结合的思想方法和运动、变化的观点;引导学 生挖掘知识的作用,提高运用知识分析问题和解决问题的能力。 掌握闭区间上二次函数的最值的求法 了解并会处理含参数的二次函数的最值的求法 数形结合思想、分类讨论思想 教学过程 教学方法和手段

教学目标 知识重点 教学难点 数学思想

- 29 -

复习

① 复述函数单调性的概念 ② 函数最值的定义 通过引例, 激发学 生进一步研究的 兴趣, 并引入本课 的主题。 通过( 1 ) 、 (2) 、 (3)逐步引导学 生利用一元二次 函数的图象分析 二次函数在闭区 间上的最值。

引例: 求y ? x 2 ? 2 x ? 2的最值
改变此函数的定义域,分别确定函数的最值 (1)[0,3] 下面逐步给出 (2)[2,3] (3)[-1,0] 在闭区间[m,n]上,求二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 的一般步骤:

引入

(一)配方 : y ? a( x ?
概念分析

b 2 4ac ? b 2 ) ? 2a 4a

(二)判断 ?

b 是否属于闭区间 [m, n] 2a

求y ? ? x 2 ? 2x在[0, 2]上的最值

课堂练习

? ?1 ? [0,2]且函数在 [0,2]上单调递减 ? x ? 0时,ymax ? 0 x ? 2时,ymin ? ?8

解 : y ? ?( x ? 1) 2 ? 1

- 30 -

【例 1】

求函数f ( x) ? x 2 ? 2ax ? 1, ( x ? [0,1])在下列条件下的最大 值和最小值,并指出取 得最值时x的值。 (1)a ? 0 (2)0 ? a ? 1 (3)a ? 1
【例 2】 学生积极主动地 利用数形结合的 思想解决问题。

已知f ( x) ? x 2 ? 2ax ? 3, x ? [?2,2], a ? R 求函数的最值
例题讲解 (定义域固定,对称轴变化) 解: 因为函数 f ( x) ? x 2 ? 2ax 的对称轴为 x=-a。要求最值则要 ?3 看 x=-a 是否在区间[-2,2]之内 【例 3】

已知f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 3, x ?[t , t ? 2] 的最小值为 g (t ),试写出g (t )的解析式
(对称轴固定,定义域变化) 解: 2 2 因为函数 f ( x) ? x ? 2x ? 3 ? ( x ? 1) ? 4 的对称轴为 x=1 固定不变,要求函数的最值,即要看区间[t,t+2]与对称轴 x=1 的 位置

小结

解决实际问题及求函数最值的常用思想方法。

§5 幂 函 数 教学目标 1、通过对幂函数概念的学习以及对幂函数图像和性质的归纳与概括,让学生体验数学 概念的形成过程,培养学生的抽象概括能力。 2、使学生理解并掌握幂函数的图像与性质,并能初步运用所学知识解决有关问题,培 养学生的灵活思维能力。 教学难点 幂函数图像和性质的发现过程 教学重点
- 31 -

幂函数的性质及运用 教学过程 一、教学导入 数学和日常生活是密不可分的,观察下列问题中的函数个有什么共同特征? (1)如果李斯在超市买了每支 1 元的水笔 n(支) ,那么他应支付 p=n 元。这里 p 是 n 的函数。 (2)如果正方形的边长 a,那么正方形的面积为 S=a2 ,这里 S 是 a 的函数。 (3)如果立方体的边长 a,那么立方体的体积为 V=a3 ,这里 V 是 a 的函数。 (4)如果正方形的面积为 S,那么这个正方形的边长为 a=S
1 2

,这里 a 是 S 的函数。

(5)如果壮壮 t(s)内骑车行进了 1(km) ,那么他骑车的平均速度为 v=t-1 ( km s ) , 这里 v 是 t 的函数。 由学生讨论,总结,即可得出:p=n,S=a ,V=a ,a=S
2 3
1 2

,v=t-1

都是自变量的若

干次幂的形式。 这节课,我们将来共同学习另一种函数——幂函数(老师板书课题) 二、讲授新课 1、定义:一般地,函数 y=xa 叫做幂函数,其中 x 是自变量,a 是实常数。 判断一个函数是否是幂函数?注意:①是否为幂的形式;②自变量是幂的底数,指数可 以是任意实数。 例 1、 (1)y=xa 与 y=ax 一样吗? (2)在函数 y=x+2,y=1,y=x2+x,y=2x2+3,y= (3)已知幂函数 y=f(x)的图像过点(2,

1 中,哪几个函数是幂函数? x4

1 8

) ,试求出这个函数的解析式。

2、对于幂函数 y=xa ,讨论当 a=1,2,3, 表格如下: y=x 定义域 值 域 奇偶性 单调性 定 点 y=x2

1 ,-1 时的函数性质 2

y=x3 y=x

1 2

y=x-1

下面先请五位同学分别在黑板上画出每个函数的图像,其他同学可以在同一坐标系内作 五个幂函数的图像。 (要给学生留出充分时间去研究函数性质) 通过观察图像与表格 (1)函数 y=x,y=x ,y=x ,y=x
2 3
1 2

和 y=x-1 的图像都通过(1,1) ;
- 32 -

(2)函数 y=x ,y=x3 ,y=x-1 是奇函数,函数 y=x2 是偶函数; (3)在第一象限内,函数 y=x,y=x ,y=x 和 y=x
2 3
1 2

是增函数,函数 y=x-1 是减函数;

(4)在第一象限内,函数 y=x-1 的图像向上与 y 轴无限接近,向右与 x 轴无限接近。 例 2、求下列函数的定义域,并判断函数的奇偶性 (1)f(x)=-2x5 (2)g(x)=x4+2 (3)f(x)=-x+ x
1 3

(4)g(x)=5x+ x

2 5

3、拓展题 证明幂函数 f(x)= x3 在 R 上是增函数 三、课外作业 教学后记 本节课主要从五个具体幂函数中认识幂函数的一些性质, 画五个幂函数的图像并由图像概括 其性质是教学中可能遇到的困难,所以要注意引导学生亲自动手画图像、分组讨论等形式, 让学生自己去探究,把主动权交给学生。 6.1-6.2 高中数学第二章测试题 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题: (本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1、若 f ( x) ? A、2

x ? 1 ,则 f (3) ?
B、4



) C、 2 2 ( ) D、10

2、对于函数 y ? f ( x) ,以下说法正确的有

① y 是 x 的函数;②对于不同的 x, y 的值也不同;③ f ( a ) 表示当 x ? a 时函数 f ( x ) 的值, 是一个常量;④ f ( x ) 一定可以用一个具体的式子表示出来。 A、1 个 B、2 个 3、下列各组函数是同一函数的是 ① f ( x) ? C、3 个 ) D、4 个



?2 x3 与 g ( x) ? x ?2x ; ② f ( x) ? x 与 g ( x) ? x 2 ; ③ f ( x) ? x0 与

g ( x) ?

1 2 2 ;④ f ( x) ? x ? 2 x ? 1与 g (t ) ? t ? 2t ? 1 。 0 x
B、①③
2

A、①②

C、③④

D、①④ ( )

4、二次函数 y ? 4x ? mx ? 5 的对称轴为 x ? ?2 ,则当 x ? 1 时, y 的值为 A、 ? 7 B、1 C、17 ( ) D、25

5、函数 y ? ? x 2 ? 6 x ? 5 的值域为

- 33 -

A、 ? 0, 2?

B、 ? 0, 4?

C、 ? ??,4?

D、 ?0, ??? D、 (3) 、 (4)

6、下列四个图像中,是函数图像的是 ( ) A、 (1) B、 (1) 、 (3) 、 (4) C、 (1) 、 (2) 、 (3) 7、若 f : A ? B 能构成映射,下列说法正确的有 ( )

(1)A 中的任一元素在 B 中必须有像且唯一; (2)B 中的多个元素可以在 A 中有相同的原 像; (3)B 中的元素可以在 A 中无原像; (4)像的集合就是集合 B。 A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个 8、 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,下列结论中,不正确 的是( ... A 、 f ( ? x) ? f ( x) ? 0 B 、 f (? x) ? f ( x) ? ?2 f ( x) ) D、

C 、 f ( x ) f ( ? x) ≤ 0

f ( x) ? ?1 f (? x)
9、如果函数 f ( x) ? x2 ? 2(a ?1) x ? 2 在区间 ? ??,4? 上是减少的,那么实数 a 的取值范围是 ( ) A、 a ≤ ?3 B、 a ≥ ?3 C、 a ≤ 5 ( D、 a ≥ 5 ) D、 a ≤

10、设函数 f ( x) ? (2a ? 1) x ? b 是 R 上的减函数,则有 A、 a ?

1 2

B、 a ?

1 2

C、 a ≥

1 2

11、定义在 R 上的函数 f ( x ) 对任意两个不相等实数 a , b ,总有 有( ) A、函数 f ( x ) 是先增加后减少 C、 f ( x ) 在 R 上是增函数

f ( a ) ? f (b ) ? 0 成立,则必 a ?b

1 2

B、函数 f ( x ) 是先减少后增加 D、 f ( x ) 在 R 上是减函数

12、下列所给 4 个图象中,与所给 3 件事吻合最好的顺序为 ( ) (1)我离开家不久,发现自己把作业本忘在家里了,于是立刻返回家里取了作业本再上学; (2)我骑着车一路以常速行驶,只是在途中遇到一次交通堵塞,耽搁了一些时间; (3)我出发后,心情轻松,缓缓行进,后来为了赶时间开始加速。 离开家的距离 离开家的距离 离开家的距离 离开家的距离

O
(1)

时间

O
(2)

时间

O
(3)

时间

O
(4)

时间

- 34 -

A、 (1) (2) (4 ) B、 (4) (2) (3) C、 (4) (1) (3) D、 (4) (1) (2) 二、填空题: (本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,请把答案填写在答题纸上) 13、已知 f (0) ? 1, f (n) ? nf (n ?1)(n ? N? ) ,则 f (4) ? 。 。

14、将二次函数 y ? ?2 x 2 的顶点移到 (?3, 2) 后,得到的函数的解析式为

15、已知 y ? f ( x) 在定义域 (?1,1) 上是减函数,且 f (1 ? a) ? f (2a ? 1) ,则 a 的取值范围 是 。

( x ≤ ?1) ?x ? 2 ? 2 (?1 ? x ? 2) ,若 f ( x) ? 3 ,则 x ? 16、设 f ( x) ? ? x ? 2x ( x ≥ 2) ?



三、解答题: (本题共 5 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 17、求下列函数的定义域: (12 分) (1) y ? 2x ?1 ? 3 ? 4x (2) y ?

1 x ? 2 ?1

2 3 , ) 18、 已知 ( x, y ) 在映射 f 的作用下的像是 ( x ? y, xy ) , 求 (?
(12 分) f 作用下的原像。

在 f 作用下的像和 (2, ?3) 在

19、证明:函数 f ( x) ? x2 ? 1 是偶函数,且在 ?0, ??? 上是增加的。 (14 分) 20、对于二次函数 y ? ?4 x2 ? 8x ? 3 , (16 分) (1)指出图像的开口方向、对称轴方程、顶点坐标; (2)画出它的图像,并说明其图像由 y ? ?4 x 2 的图像经过怎样平移得来; (3)求函数的最大值或最小值; (4)分析函数的单调性。 21、 设函数 y ? f ( x) 是定义在 R 上的减函数, 并且满足 f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) ,f ? ? ? 1 , (1)求 f (1) 的值, (2)如果 f ( x) ? f (2 ? x) ? 2 ,求 x 的取值范围。 (16 分)
?

?1? ? 3?

第三章 指数函数与对数函数

- 35 -

§1 正整数指数函数 一. 教学目标: 1.知识与技能 (1)理解正整数指数函数的概念和意义; (2)理解和掌握正整数指数函数的图象和性质; (3)体会具体到一般数学讨论方式及数形结合的思想; 2.情感、态度、价值观 (1)让学生了解数学来自生活,数学又服务于生活的哲理. (2)培养学生观察问题,分析问题的能力.

- 36 -

§2.1 指数概念的扩充 一.教学目标: 1.知识与技能: (1)理解分数指数幂和根式的概念; (2)掌握分数指数幂和根式之间的互化; (3)掌握分数指数幂的运算性质; (4)培养学生观察分析、抽象等的能力. 2.过程与方法: 通过与初中所学的知识进行类比,分数指数幂的概念,进而学习指数幂的性质. 3.情态与价值 (1)培养学生观察分析,抽象的能力,渗透“转化”的数学思想; (2)通过运算训练,养成学生严谨治学,一丝不苟的学习习惯; (3)让学生体验数学的简洁美和统一美. 二.重点、难点 1.教学重点: (1)分数指数幂和根式概念的理解; (2)掌握并运用分数指数幂的运算性质; 2.教学难点:分数指数幂及根式概念的理解 教学过程: 一、复习 1.零指数、负整数指数的概念,以及它们之间的关系. 2.浓缩后的 3 条法则是什么?怎样浓缩好?

二、新课引入与讲解 在初中已学过,若是 大于 1 的整数, 是 的整数倍,那么

- 37 -

若 当

不是 的整数倍,那么上式中右端的

就是一个分数了(引入自然,合理)例如,

=2, =3 时,,

显然不能用正整数指数幂来解释,所以必须对的分数指数 在 不是 的整数倍时也适用,自然应把 ,须回忆应分几种情况: 看成是根

幂重新定义,为此规定, 式的另一种记法

,对于底 为什么要使

1.零指数与负整数的底均不能为零. 2.正分数指数幂,当指数的分子,分母互质时,分母为奇数,底数可以为任意实数;分 母为偶数时底数为非负实数. 3.负分数指数幂,当指数的分子与分母互质时,分母为奇数、底数不能为零,分母为偶 数,底数为正实数.总之,当正实数为底时,指数可为任意实数. 以上这几点均可举例说明. 关于运算法则仍然成立,可以通过特殊值加以验证,克服心理障碍.

假如,设



, = 验证第一条







成立.

它不仅让学生从心理上承认在指数概念推广后, 运算法则仍然有效, 同时也能启发学生 在解繁杂根式运算时,用幂的运算法则更为简便.



时,

(

、 ∈

,且

为既约分数);
- 38 -

(

、 ∈



为既约分数).

这样当指数推广到分数指数幂以后



, 为有理数时,

表示一个确定的实数.当

, 为无理数时,

是否

还表示一个确定的实数?答案是肯定的, 它是在 的以 值不足近似值为指数的所有幂与以 的以 的过剩近似值为指数的所有的幂中间的一个实数,这样就使 数了.为学习指数函数做好了必要准备.由此得 中的 可取一切实

可以验证与证明







其中





、 为任意实数.

三、课堂练习

(1)

(2)

(3)

- 39 -

(4)

(5)

(6)

(7) (8)利用计算器计算(精确到 0.001)



; ②

; ③

.

(请同学按课本上的方式按键计算,如学生手中的计算器按键方式不同,教师需给予辅 导). 课堂小结: 1.分数指数幂的概念,明确他是根式的一种写法(记号). 2.零的正分数指数幂为零. 零的负分数指数幂无意义. 3.

5.对于计算结果,不强求统一.没有特别时要求时一般用分数指数幂的形式表示, 但结果中不能同时含根号与分数指数, 也不能即有分母又含有负指数, 系数一般不用负指数 来表示.

- 40 -

一.教学目标: 1.知识与技能: (1)理解分数指数幂和根式的概念; (2)掌握分数指数幂和根式之间的互化; (3)掌握分数指数幂的运算性质; (4)培养学生观察分析、抽象等的能力. 2.过程与方法: 通过与初中所学的知识进行类比,分数指数幂的概念,进而学习指数幂的性质. 3.情态与价值 (1)培养学生观察分析,抽象的能力,渗透“转化”的数学思想; (2)通过运算训练,养成学生严谨治学,一丝不苟的学习习惯; (3)让学生体验数学的简洁美和统一美. 二.重点、难点 1.教学重点: (1)分数指数幂和根式概念的理解; (2)掌握并运用分数指数幂的运算性质; 2.教学难点:分数指数幂及根式概念的理解 三.学法 1.学法:讲授法、讨论法、类比分析法及发现法 提问: 1.习初中时的整数指数幂,运算性质?

an ? a ? a ? a ??? a, a0 ? 1 (a ? 0) ,00 无意义
a?n ? 1 an (a ? 0)

am ? an ? am?n ; (am )n ? amn (an )m ? amn , (ab)n ? anbn
什么叫实数? 有理数,无理数统称实数. 2.观察以下式子,并总结出规律: a >0 ① ③
5

a10 ? 5 (a 2 )5 ? a 2 ? a 5 a12 ? 4 (a3 )4 ? a3 ? a 4

10



a8 ? ( a 4 ) 2 ? a 4 ? a 2
10
5

8

12

4

④ 5 a10 ? (a 2 )5 ? a 2 ? a 5

小结: 当根式的被开方数的指数能被根指数整除时, 根式可以写成分数作为指数的形式, (分数指数幂形式). 根式的被开方数不能被根指数整除时,根式是否也可以写成分数指数幂的形式.如:
3

a ? a ? (a ? 0)
2

2 3

b ? b ? (b ? 0)
4

1 2

c5 ? c 4 ? (c ? 0)

5

- 41 -

即: a m ? a n (a ? 0, n ? N * , n ? 1)
n

m

为此,我们规定正数的分数指数幂的意义为:

a n ? n a m (a ? 0, m, n ? N * )
正数的定负分数指数幂的意义与负整数幂的意义相同. 即: a
? m n

m

?

1 a
m n

(a ? 0, m, n ? N * )

规定:0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂无意义. 说明:规定好分数指数幂后,根式与分数指数幂是可以互换的,分数指数幂只是根式的 一种新的写法,而不是 a m ? a m ? a m ??? a m (a ? 0) 由于整数指数幂,分数指数幂都有意义,因此,有理数指数幂是有意义的,整数指数幂 的运算性质, ar ? a s ? ar ?s (a ? 0, r ? R, s ? R)
n 1 1 1

(ar )s ? ars (a ? 0, r ? R, s ? R) (a ? b)r ? ar br (a ? 0, r ? R)
3.例题 (1) . (例 2)求值 解:① 8 3 ? (2 ) 3 ? 2
3 2 2 3? 2 3

? 22 ? 4
1 2?( ? ) 2

② 25

?

1 2

? (52 )

?

1 2

?5

? 5?1 ?

1 5

③ ( )

1 2

?5

? (2?1 ) ?5 ? 2?1?( ?5) ? 32

) 16 ? 3 2 4?( ? 3 2 ?3 27 4 ④( ) ? ( ) 4 ? ( ) ? 81 3 3 8

(2) . (P60,例 3)用分数指数幂的形式表或下列各式( a >0) 解: a . a ? a ? a 2 ? a
3 3 2 1 3? 1 2

? a2
2

7

a2 ? 3 a2 ? a2 ? 3 a ? a3
a3 1 4

2?

?3 a
41 2 3

8

a ? a ? a 3 ? a 3 ? (a 3 )2 ? a

分析:先把根式化为分数指数幂,再由运算性质来运算. 课堂练习: 第 1,2,3,4 题 补充练习:

- 42 -

1 (2n?1 )2 ? ( )2 n?1 2 1. 计算: 的结果 4n8?2
a10 1 2. 若 a3 ? 3, a10 ? 384, 求a3 ? [( ) 7 ]n?3的值 a3
小结: 1.分数指数是根式的另一种写法. 2.无理数指数幂表示一个确定的实数. 3.掌握好分数指数幂的运算性质,其与整数指数幂的运算性质是一致的. 指数的运算性质 2 一.教学目标 1.知识与技能: (1)掌握根式与分数指数幂互化; (2)能熟练地运用有理指数幂运算性质进行化简,求值. 2.过程与方法: 通过训练点评,让学生更能熟练指数幂运算性质. 3.情感、态度、价值观 (1)培养学生观察、分析问题的能力; (2)培养学生严谨的思维和科学正确的计算能力. 二.重点、难点: 1.重点:运用有理指数幂性质进行化简,求值. 2.难点:有理指数幂性质的灵活应用. 三.学法与教具: 1.学法:讲授法、讨论法. 2.教具:投影仪 四.教学设想: 1.复习分数指数幂的概念与其性质 2.例题讲解 例 1. (P60,例 4)计算下列各式(式中字母都是正数) (1) (2a 3 b 2 )(?6a 2 b 3 ) ? (?3a 6 b 6 )
1 2 1 1 1 1 5

(2) (m 4 n 8 )

?

3 8

(先由学生观察以上两个式子的特征,然后分析、提问、解答) 分析:四则运算的顺序是先算乘方,再算乘除,最后算加减,有括号的先算括号的. 整 数幂的运算性质及运算规律扩充到分数指数幂后, 其运算顺序仍符合我们以前的四则运算顺 序. 我们看到(1)小题是单项式的乘除运算; (2)小题是乘方形式的运算,它们应让如何 计算呢? 其实,第(1)小题是单项式的乘除法,可以用单项式的运算顺序进行. 第(2)小题是乘方运算,可先按积的乘方计算,再按幂的乘方进行计算.

- 43 -

解: (1)原式= [2 ? (?6) ? (?3)]a 3 = 4ab =4 a
1
0

2 1 1 ? ? 2 6

b2

1 1 5 ? ? 3 6

(2)原式= (m 4 )8 (n 8 )8 =m n
2 ?3

?

3

例 2. (P61 例 5)计算下列各式 (1) ( 3 25 ? 125) ? 4 25 (2)

a2 a. 3 a2

(a >0)

分析:在第(1)小题中,只含有根式,且不是同类根式,比较难计算,但把根式先化 为分数指数幂再计算,这样就简便多了,同样,第(2)小题也是先把根式转化为分数指数 幂后再由运算法则计算. 解: (1)原式= (253 ? 125 2 ) ? 25 4 = (5 3 ? 5 2 ) ? 5 2 = 53
1
2 1 ? 2

1

1

1

2

3

1

? 52

3 1 ? 2

= 56 ? 5 = (2)原式=
6

5 ?5
2 3

a2 a ?a
1 2

?a

1 2 2? ? 2 3

? a ? 6 a5

5 6

小结:运算的结果不强求统一用哪一种形式表示,但不能同时含有根号和分数指数,也 不能既有分母,又含有负指数. 课堂练习: 化简: (1) ( 9) 3 ( 10 ) 2 ? 100
3 2 ? 2 9
5

2

(2) 3 ? 2 2 ? 3 ? 2 2 (3)
a a

a a

归纳小结: 1. 熟练掌握有理指数幂的运算法则,化简的基础. 2.含有根式的式子化简,一般要先把根式转化为分数指数幂后再计算.
- 44 -

§3 指数函数的概念及图像和性质(共 3 课时) 一. 教学目标: 1.知识与技能 (1)理解指数函数的概念和意义; (2) y ? 2x 与 y ? ( ) 的图象和性质;
x

1 2

(3)理解和掌握指数函数的图象和性质; (4)指数函数底数 a 对图象的影响; (5)底数 a 对指数函数单调性的影响,并利用它熟练比较几个指数幂的大小 (6)体会具体到一般数学讨论方式及数形结合的思想; 2.情感、态度、价值观 (1)让学生了解数学来自生活,数学又服务于生活的哲理. (2)培养学生观察问题,分析问题的能力. 二.重、难点 重点: (1)指数函数的概念和性质及其应用. (2)指数函数底数 a 对图象的影响; (3)利用指数函数单调性熟练比较几个指数幂的大小 难点: (1)利用函数单调性比较指数幂的大小 (2)指数函数性质的归纳,概括及其应用. 三、教法与教具: ①学法:观察法、讲授法及讨论法. ②教具:多媒体. 四、教学过程 第一课时 讲授新课 指数函数的定义 一般地,函数 y ? a ( a >0 且 a ≠1)叫做指数函数,其中 x 是自变量,函数的定义
x

域为 R. 提问:在下列的关系式中,哪些不是指数函数,为什么? (1) y ? 2 (4) y ? ? (7) y ? x
x?2

(2) y ? (?2) (5) y ? x
2

x

(3) y ? ?2 (6) y ? 4 x
x

x

x

2

x

(8) y ? (a ?1)

( a >1,且 a ? 2 )
x

小结:根据指数函数的定义来判断说明:因为 a >0, x 是任意一个实数时, a 是一个 确定的实数,所以函数的定义域为实数集 R.

- 45 -

?当x ? 0时,a x等于0 ? 若a ? 0, ? x ? ?当x ? 0时,a 无意义
若 a <0,如 y ? (?2) , 先时,对于x= , x ?
x

1 6

1 等等,在实数范围内的函数值不存在. 8

若 a =1, y ? 1x ? 1, 是一个常量, 没有研究的意义, 只有满足 y ? a x (a ? 0, 且a ? 1) 的 形式才能称为指数函数, a为常数,象y=2-3 ,y=2 , y ? x x , y ? 3x ?5 , y ? 3x ? 1等等,不符
x 1 x

合 y ? a x (a ? 0且a ? 1)的形式,所以不是指数函数 我们在学习函数的单调性的时候,主要是根据函数的图象,即用数形结合的方法来研 究. 先来研究 a >1 的情况 下面我们通过用计算机完成以下表格,并且用计算机画出函数 y ? 2x 的图象

x
y ? 2x

?3.00
1/8

?2.00
1 4

?1.00
1 2

0.00
1

1.00
2

2.00
4 y=2x

y -

-

-

0

x

再研究,0< a <1 的情况,用计算机完成以下表格并绘出函数 y ? ( ) 的图象.
x

1 2

x
1 y ? ( )x x 2

?2.00
4

?1.00 0.00
2 1 y

1.00
1/2

2.00
1/4

?1? y?? ? ?2?

x

- 46 -

-

-

-

-

0

x

从图中我们看出 y ? 2 与y ? ( ) 的图象有什么关系?
x x

1 2

通 过 图 象 看 出 y ? 2 与y ? (
x

1 x 的图象关于 ) y轴对称, 实 质 是 y ? 2x 上 的 2

1 ) 点( -x , 关于 y ) 轴对称 y . 点( x , y与 ) y= ( x上 2 1 x x 讨论: y ? 2 与y ? ( ) 的图象关于 y 轴对称,所以这两个函数是偶函数,对吗? 2 1 x 1 x x x ②利用电脑软件画出 y ? 5 , y ? 3 , y ? ( ) , y ? ( ) 的函数图象. x 3 5 x ?1? y?? ? y ? 5 ?5? y ? 3x x 1 ? ? y?? ? ?3?
8 6 4 2

-10

-5

5

10

0

-2

-4

-6

-8

练习 p71 1,2 作业 p76 习题 3-3 A 组 2 课后反思:

第二课时 问题:1:从画出的图象中,你能发现函数的图象与底数间有什么样的规律. 从 图 上 看 y?a ( a > 1 ) 与 y?a ( 0 < a < 1 ) 两 函 数 图 象 的 特 征 .
x x

- 47 -

8

y ? a (0 ? a ? 1)
x

6

y ? a x (a ? 1)

4

2

-10

-5

0
-2 -4

5

10

-6

-8

问题 2:根据函数的图象研究函数的定义域、值域、特殊点、单调性、最大(小)值、 奇偶性. 问题 3:指数函数 y ? a x ( a >0 且 a ≠1) ,当底数越大时,函数图象间有什么样的关系. 图象特征 0< a < 1 a >1 向 x 轴正负方向无限延伸 图象关于原点和 y 轴不对称 函数图象都在 x 轴上方 函数图象都过定点(0,1) 自左向右, 图象逐渐上升 在第一象限内的图 象纵坐标都大于 1 在第二象限内的图 象纵坐标都小于 1 自左向右, 图象逐渐下降 在第一象限内的图 象纵坐标都小于 1 在第二象限内的图 象纵坐标都大于 1 增函数 函数性质

a >1
非奇非偶函数

0< a <1

函数的定义域为 R 函数的值域为 R+

a 0 =1
减函数

x >0, a x >1 x <0, a x <1

x >0, a x <1 x <0, a x >1

5.利用函数的单调性,结合图象还可以看出: (1)在 [a, b]上, f (x)=a x ( a >0 且 a ≠1)值域是 [ f (a), f (b)]或[ f (b), f (a)]; (2)若 x ? 0, 则f (x)? 1; f (x)取遍所有正数当且仅当x ? R; (3)对于指数函数 f ( x) ? a x ( a >0 且 a ≠1) ,总有 f (1) ? a; (4)当 a >1 时,若 x1 < x2 ,则 f ( x1 ) < f ( x2 ) ; 指数函数的图象和性质 Y=ax a>1 0<a<1

- 48 -


2

2



定义域:R 值域: (0,+∞) 性 过点(0,1) 当 x>0 时 y>1 当 x<0 时 0<y<1 是 R 上的增函数 例题分析 例 1 比较下列各题中两个数的大小: (1) 3 0.8 , 30.7 (2) 0.75-0.1, 0.750.1 例 2 (1)求使 4x>32 成立的 x 的集合; (2)已知 a4/5>a
2 ,



当 x>0 时 0<y<1 当 x<0 时 y>1 是 R 上的减函数

求实数 a 的取值范围.

练习 p73 1,2 作业 p77 习题 3-3 A 组 4,5 课后反思:

第三课时 (1) 提出问题 指数函数 y=ax (a>0,a≠1) 底数 a 对函数图象的影响, 我们通过两个实例来讨论 a>1 和 0<a<1 两种情况。 (2)动手实践 动手实践一 :
- 49 -

在同一直角坐标系下画出 y=2x 和 y=3x 的图象, 比较两个函数的增长快慢 一般地,a>b>1 时, (1)当 x<0 时,总有 ax<bx<1; (2)当 x=0 时,总 ax=bx=1 有; (3)当 x>0 时,总 ax>bx>1 有; (4)指数函数的底数 a 越大,当 x>0 时,其函数值增长越快。 动手实践 二: 分别画出底数为 0.2,0.3,0.5,2,3,5 的指数函数图象. 总结 y=ax (a>0,a≠1),a 对函数图象变化的影响。 结论: (1)当 X>0 时,a 越大函数值越大; 当 x<0 时,a 越大函数值越小。 (2)当 a>1 时指数函数是增函数, 当 x 逐渐增大时, 函数值增大得越来越快; 当 0<a<1 时指数函数是减函数, 当 x 逐渐增大时, 函数值减小得越来越快。 例题分析 例 4 比较下列各题中两个数的大小: (1) 1.8 0.6, 0.8 1.6; (2) (1/3) -2/3, 2 -3/5 . (1)解 由指数函数性质知 1.8 0.6 >1.8 0=1, 0.8 1.6 <0.8 0=1,所以 1.8 0.6> 0.8 1.6 (2) 解 由指数函数性质知(1/3) -2/3 >1, 2 -3/5 <1,所以 (1/3) -2/3> 2 -3/5 例 5 已知-1<x<0,比较 3-x , 0.5-x 的大小, 并说明理由。 解(法 1) 因为-1<x<0 ,所以 0<-x<1。 而 3>1,因此有 3-x>1 又 0<0.5 <1,因而有 0<0.5 -x <1 故 3-x >0.5-x (法 2 )设 a=-x>0, 函数 f(x)=x a 当 x>0 时 为增函数 ,而 3>0.5>0,故 f(3)>f(0.5) 即 3-x >0.5-x 小结: 在比较两个指数幂大小时,常利用指数函数和幂函 数的单调性。相同底数比较指数,相同指数比较底数。 故常用到中间量“1”。 练习 1,2 作业习题 3-3 B 组 1,2 课后反思:

- 50 -

指数与指数函数同步练习 一、选择题: (本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1、化简 ?1 ? 2

? ?

?

1 32

1 1 1 1 ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ?? 16 8 4 2 ,结果是( 1 ? 2 1 ? 2 1 ? 2 1 ? 2 ?? ?? ?? ?? ? ?? ? ?? ?? ??
1 ? ? ? B、 ?1 ? 2 32 ? ? ? ?1
? 1 32



1 ? ? 1? A、 ?1 ? 2 32 ? 2? ?

?1

C、 1 ? 2

D、

1 ? ? 1? 32 ?1 ? 2 ? 2? ?

? 3 6 a9 ? ? 6 3 a9 ? 等于( 2、 ? ? ? ? ? ? ? ?
A、 a
16

4

4



B、 a
b

8

C、 a
?b

4

D、 a

2

3、若 a ? 1, b ? 0 ,且 a ? a A、 6 B、 ?2

? 2 2 ,则 ab ? a ?b 的值等于(
C、 ?2 D、2



4、函数 f ( x) ? a ? 1 在 R 上是减函数,则 a 的取值范围是(
2

?

?

x



A、 a ? 1

B、 a ? 2

C、 a ?

2
)

D、 1 ? a ? 2

5、下列函数式中,满足 f ( x ? 1) ? A、

1 f ( x) 的是( 2
C、 2 )
x

1 ( x ? 1) 2

B、 x ?
x 2

1 4

D、 2

?x

6、下列 f ( x) ? (1 ? a ) a 是( A、奇函数 B、偶函数

?x

C、非奇非偶函数
2 2
a

D、既奇且偶函数
b

1 1 1 1 3 7、已知 a ? b, ab ? 0 ,下列不等式(1) a ? b ;(2) 2 ? 2 ;(3) ? ;(4) a ? b 3 ; a b

(5) ? ? ? ? ? 中恒成立的有(

?1? ? 3?

a

?1? ? 3?

b



- 51 -

A、1 个 8、函数 y ? A、奇函数 9、函数 y ? A、 ? ??,1?
x

B、2 个

C、3 个 ) C、既奇又偶函数 )

D、4 个

2x ? 1 是( 2x ? 1

B、偶函数

D、非奇非偶函数

1 的值域是( 2 ?1
B、 ? ??,0?

? 0, ???

C、 ? ?1, ?? ?

D、 (??, ?1) )

?0, ???

10、已知 0 ? a ? 1, b ? ?1 ,则函数 y ? a x ? b 的图像必定不经过( A、第一象限 11、 F ( x) ? ?1 ? B、第二象限 C、第三象限

D、第四象限 )

? ?

2 ? ? ? f ( x)( x ? 0) 是偶函数,且 f ( x) 不恒等于零,则 f ( x) ( 2 ?1 ?
x

A、是奇函数 B、可能是奇函数,也可能是偶函数 C、是偶函数 D、不是奇函数,也不是偶函数 12、一批设备价值 a 万元,由于使用磨损,每年比上一年价值降低 b % ,则 n 年后这批设备 的价值为( ) A、 na(1 ? b%) B、 a(1 ? nb%) C、 a[1 ? (b%)n ] D、 a(1 ? b%)n

二、填空题: (本题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,请把答案填写在答题纸上) 13、若 10x ? 3,10 y ? 4 ,则 10
x? y

?



?1? 14、函数 y ? ? ? ?3?

?2 x 2 ?8 x ?1

(?3 ≤ x ≤ 1) 的值域是
2



15、函数 y ? 32?3x 的单调递减区间是 16、若 f (5
2 x ?1

。 。

) ? x ? 2 ,则 f (125) ?

三、解答题: (本题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 17、设 0 ? a ? 1 ,解关于 x 的不等式 a 18、已知 x ?? ?3, 2? ,求 f ( x) ? 19、设 a ? R , f ( x) ?
2 x2 ?3 x ? 2

? a2 x

2

?2 x ?3



1 1 ? ? 1 的最小值与最大值。 4x 2x

a ? 2x ? a ? 2 ( x ? R) ,试确定 a 的值,使 f ( x) 为奇函数。 2x ? 1
,求其单调区间及值域。
x

?1? 20、已知函数 y ? ? ? ? 3?
x

x2 ? 2 x ?5

21、若函数 y ? 4 ? 3 2 ? 3 的值域为 ?1,7? ,试确定 x 的取值范围。

- 52 -

22、已知函数 f ( x) ?

a x ?1 (a ? 1) , ax ?1

(1)判断函数的奇偶性; (2)求该函数的值域; (3)证明 f ( x ) 是 R 上的增函数。

§4.1 对数及其运算(第一课时) 一.教学目标: 1.知识技能: ①理解对数的概念,了解对数与指数的关系; ②理解和掌握对数的性质; ③掌握对数式与指数式的关系 . 2. 过程与方法: 通过与指数式的比较,引出对数定义与性质 . 3.情感、态度、价值观 (1)学会对数式与指数式的互化,从而培养学生的类比、分析、归纳能力. (2)通过对数的运算法则的学习,培养学生的严谨的思维品质 . (3)在学习过程中培养学生探究的意识. (4)让学生理解平均之间的内在联系,培养分析、解决问题的能力. 二.重点与难点: (1)重点:对数式与指数式的互化及对数的性质 (2)难点:推导对数性质的 三.学法与教具: (1)学法:讲授法、讨论法、类比分析与发现 (2)教具:投影仪 四.教学过程: 1.对数的概念 一般地,若

a x ? N( a ? 0,且 a ? 1),那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数,记作

x ? loga N

a 叫做对数的底数,N 叫做真数.
举例:如: 42 ? 16, 则2 ? log4 16 ,读作 2 是以 4 为底,16 的对数.

4 2 ? 2 ,则

1

1 1 ? log 4 2 ,读作 是以 4 为底 2 的对数. 2 2

提问:你们还能找到那些对数的例子 2.对数式与指数式的互化 在对数的概念中,要注意: (1)底数的限制 a >0,且 a ≠1 (2) a ? N ? loga N ? x
x

- 53 -

指数式 ? 对数式 幂底数← a →对数底数 指 数← x →对数 幂 ←N→真数 说明:对数式 log a N 可看作一记号,表示底为 a ( a >0,且 a ≠1) ,幂为 N 的指数工表示 方程 a ? N ( a >0,且 a ≠1)的解. 也可以看作一种运算,即已知底为 a( a >0,且 a ≠
x

1)幂为 N,求幂指数的运算. 因此,对数式 log a N 又可看幂运算的逆运算。 3.思考交流 p79 归纳小结:对数的定义

ab ? N ? b ? loga N (a >0 且 a ≠1)
1 的对数是零,负数和零没有对数 对数的性质

l o ag a?
a loga N ? N

1 a >0 且 a ≠1

通常将以 10 为底的对数称为常用对数, log10 N 常记为 lg N . 以无理数 e=2.71828?为底的对数称为自然对数, loge N 常记为 ln N . 例题分析 例 1 将下列指数式写成对数式: (1) 54 =625; (2) 3-3=1/27; (3)84/3=16; (4) 5a =15. 例 2 将下列对数式写成指数式: (1) ㏒ 1/216=-4;(2) ㏒ 3243=5; (3) ㏒ 1/31/27=3;(4) lg0.1=-1. 例 3 求下列各式的值: (1)㏒ 525(2) ㏒ 1/232(3)3 ㏒ 310; (4)㏑ 1,(5) ㏒ 2.52.5. 练习 p80 1,2,3 作业习题 3-4 1,2 课后反思:

- 54 -

§4.1 对数及其运算(第二课时) 一.教学目标: 1.知识与技能 ①通过实例推导对数的运算性质,准确地运用对数运算性质进行运算, 求值、化简,并掌握化简求值的技能. ②运用对数运算性质解决有关问题. ③培养学生分析、综合解决问题的能力. 培养学生数学应用的意识和科学分析问题的精神和态度. 2. 过程与方法 ①让学生经历并推理出对数的运算性质. ②让学生归纳整理本节所学的知识. 3. 情感、态度、和价值观 让学生感觉对数运算性质的重要性,增加学生的成功感,增强学习的积极性. 二.教学重点、难点 重点:对数运算的性质与对数知识的应用 难点:正确使用对数的运算性质 三.学法和教学用具 学法:学生自主推理、讨论和概括,从而更好地完成本节课的教学目标. 教学用具:投影仪 四.教学过程: 1.设置情境 复习:对数的定义及对数恒等式

loga N ? b ? ab ? N
指数的运算性质.

( a >0,且 a ≠1,N>0) ,

a m ? a n ? a m? n ;
(a ) ? a ;
m n mn
m

a m ? a n ? a m? n
a ?a
n n m

2.讲授新课 探究:在上课中,我们知道,对数式可看作指数运算的逆运算,你能从指数与对数的 关系以及指数运算性质, 得出相应的对数运算性质吗?如我们知道 a ? a ? a
m n m? n

, 那 m? n

如何表示,能用对数式运算吗? 如: a ? a ? a
m n m? n m? n 于是 MN ? a , 由对数的定义得到 , 设M ? am , N ? an。

M ? am ? m ? loga M , N ? an ? n ? loga N MN ? am?n ? m ? n ? loga MN
?loga M ? loga N ? loga MN (放出投影)
即:同底对数相加,底数不变,真数相乘 提问:你能根据指数的性质按照以上的方法推出对数的其它性质吗?

- 55 -

(让学生探究,讨论) 如果 a >0 且 a ≠1,M>0,N>0,那么: (1) loga MN ? loga M ? loga N (2) log a

M ? log a M ? log a N N

(3) loga M n ? n loga M 证明: (1)令 M ? a m , N ? a n

(n ? R)

M ? a m ? a n ? a m?n N M ?m ? n ? l o g a N
则: 又由 M ? a m ,

N ? an

?m ? loga M , n ? loga N
即: log a M ? log a N ? m ? n ? log a

M N
N

(3) n ? 0时, 令N ? log a M n , 则M ? a n

b ? nl o g , M ? a M则
?a n ? an
N b

b n

a

?N ? b M ? log a M ? log a N 即 log a N
当 n =0 时,显然成立.
n ?l o g M a M ?n lo ag

提问:1. 在上面的式子中,为什么要规定 a >0,且 a ≠1,M>0,N>0? 2.你能用自己的语言分别表述出以上三个等式吗? 例题分析 例4 计算: 2 5 (1)㏒ 3(9 ×3 ) ; (2)lg1001/5 例 5 用㏒ ax, ㏒ ay ㏒ az 表示下列各式: (1)㏒ a(x2yz) (2)㏒ a

x2 yz

(3)㏒

x . y z
2

例 6 科学家以里氏震级来度量地震的强度。若设 I 为地震时所散发出来的相对能量程度,则 里氏震级 r 可定义为 r=0.6lgI,试比较 6.9 级和 7.8 级地震的相对能量程度。
- 56 -

思考交流 判断下列式子是否正确, a >0 且 a ≠1, x >0 且 a ≠1, x >0, x > y ,则有 (1) loga x ? loga y ? loga ( x ? y) (3) log a (2) loga x ? loga y ? loga ( x ? y) (4) loga xy ? loga x ? loga y (6) log a x ? ? log a

x ? log a x ? log a y y

(5) (loga x)n ? n loga x (7) n log a x ? 练习 P83 1,2,3 作业 习题 3-4A 组 5 课后反思:

1 x

1 log a x n

§4.2 换底公式 一.教学目标: 1.知识与技能 ①通过实例推导换底公式,准确地运用对数运算性质进行运算, 求值、化简,并掌握化简求值的技能. ②运用对数运算性质解决有关问题. ③培养学生分析、综合解决问题的能力. 培养学生数学应用的意识和科学分析问题的精神和态度. 2. 过程与方法 ①让学生经历并推理出对数的换底公式. ②让学生归纳整理本节所学的知识. 3. 情感、态度、和价值观 让学生感觉对数运算性质的重要性,增加学生的成功感,增强学习的积极性. 二.教学重点、难点 重点:对数运算的性质与换底公式的应用 难点:灵活运用对数的换底公式和运算性质化简求值。 三.学法和教学用具 学法:学生自主推理、讨论和概括,从而更好地完成本节课的教学目标. 教学用具:投影仪 四.教学过程 问题提出 我们使用的计算器中, “ log ”通常是常用对数,如何使用科学计算器计算㏒ 215?
- 57 -

分析理解 设㏒ 215=x, 写成指数式得 2x=15 两边取常用对数得 Xlg2=lg15 所以 x=

lg 15 lg 2 lg 15 ≈3.9068906. lg 2
ln 15 ≈3.9068906. ln 2

这样就可以使用科学计算器计算㏒键算出㏒ 215=

同理也可以使用科学计算器计算 ln 键算出㏒ 215= 由此我们有理由猜想 ㏒ b N=

loga N loga b

( a,b>0,a,b≠1,N>0).

先让学生自己探究讨论,教师巡视,最后投影出证明过程. 证明设㏒ b N=x,根据对数定义,有 x N=b 两边取以 a 为底的对数,得 x ㏒ aN=㏒ ab 故 x ㏒ ab =㏒ aN, 由于 b≠1 则㏒ ab≠0,解得 x=

loga N loga b loga N loga b
1 logb a

故㏒ b N=

由换底公式易知㏒ ab= 例题分析 例 7 计算: (1)㏒ 927;

(2)㏒ 89 ㏒ 2732

注:由例 7 可以猜想并证明

log a nb m ?

m log a b n

例 8 用科学计算器计算下列对数(精确到 0.001) : ㏒ 248 ㏒ 310 ㏒ 8∏ ㏒ 550 ㏒ 1.0822 例9 一种放射性物质不断变化为其他物质,每经过一年剩留的质量是原来的
- 58 -

84℅,估计约经过多少年,该物质的剩留量是原来的一半(结果保留 1 个有效数字) 。 练习 p86 1,2,3,4。 作业习题 3-4A 组 6 B 组 4 课后反思:

3.5.2

y=㏒ 2x 的图象和性质

教学目标: (1)y=㏒ 2x 的图象和性质 (2)图象的变换 (3)培养学生抽象概括能力,提高学生对数形结合思想认识 教学重点:y=㏒ 2x 的图象和性质 教学难点:图象的变换 教学方法:引导归纳法(利用几何画板演示 y=㏒ 2x 的图象,引导学生归纳出图象的特点, 从而从感性认识上升到理性认识,为下一节对数函数的图象和性质的归纳整理打下坚实基 础) 教学过程: (一) 复习 (1)对数函数(概念及定义式) ; (2)常用对数函数(概念及定义式) ; (3)自然对数函数(概念及定义式) ; (4)反函数(概念) ; (5)指数函数与对数函数互为反函数。 (二)新课分析 下面研究对数函数 y=㏒ 2x 的图象和性质 。 可以用两种不同方法画出 y=㏒ 2x 的图象。 方法一 描点法。 先列出 x, y 的对应值表(见表 3-9) 。 表 3-9 x y=㏒ 2x … … 1/4 -2 1/2 -1 1 0 2 1 4 2 8 3 … …

再用描点法画出图象(图 3-11) 方法二 画出函数画出函数 x=㏒ 2y(即 y=2x ) (图 3-12) 。 通常,用 x 表示自变量,把 x 轴 y 轴的字母互换,就得到 y=㏒ 2x 图象(图 3-13) 。 习惯上,x 轴在水平位置,y 轴在竖直位置,把图翻转,使 x 轴在水平位置,得到通 常的 y=㏒ 2x 的图象(图 3-14) 。
- 59 -

观察对数函数 y=㏒ 2x 的图象,过(1,0) ,即 x=1 时 y=0;函数图象都在 y 轴右边,表示 了零和负数没有对数; 当 x>1 时, y=㏒ 2x 图象位于 x 轴上方, 即 x>1 时,y>0; 当 0<x<1 时,y= ㏒ 2x 的图象位于 x 轴下方,即 0<x<1 时,y<0; 函数 y=㏒ 2x 在(0,+∞)上是增函数。 练习 P93 1,2,3,4 作业 P97 习题 3-5 A 组 2 课后反思:

5.3 对数函数的图像与性质 【教学目标】 : 知识与技能:理解对数函数的概念,掌握它们的基本性质,进一步领会研究函数的基本方法 过程与方法: 复习与实例引入、利用互为反函数的关系研究图像与性质 情感态度与价值观:体会对数函数的应用价值,体验数学建模、求解和解释的过程 【教学重点与难点】 重点: 对数函数的概念;对数函数的性质;研究函数的方法 难点:对数函数的性质 【教学过程】 : 一. 复习:反函数的概念;通过实例和反函数的概念导出对数函数的概念 通过关于细胞分裂的具体实例,直接了解对数函数模型所刻画的数量关系,使学生科学 的发展源于实际生活,感受到指数函数与对数函数的密切关系:它们是从不同角度、不 同需求看待同一个客观事实,前者根据细胞分裂次数,获得分裂后的细胞数;后者根据 分裂后的细胞数,获得分裂的次数 . 前者用指数函数 y ? 2x 表示,后者用对数函数

y ? log2 x .
(1)引入:在我们学习研究指数函数时,曾经讨论过细胞分裂问题.某种细胞分裂 时,得到的细胞的个数 y 是分裂次数 x 的函数,这个函数可用指数函数 y ? 2x 表 示. 现在来研究相反的问题,如果要求这种细胞经过多少次分裂,可以得到 1 万个、 10 万个、??细胞,那么分裂次数 x 就是要得到的细胞个数 y 的函数.根据对数的 定义,这个函数可以写成对数的形式,就是 x ? log 2 y . 如果用 x 表示自变量, y 表示函数,这个函数就是 y ? log 2 x 由反函数的概念,可知函数 y ? log 2 x 与指数函数 y ? 2 互为反函数.
x x (2) 定义: 一般地, 函数 y ? log a x ( a ? 0, 且 a ? 1 ) 就是指数函数 y ? a ( a ? 0,

- 60 -

且 a ? 1 )的反函数.因为 y ? a x 的值域是 ? 0, ??? ,所以,函数 y ? log a x 的定义 域是 ? 0, ??? . 二. 通过对数函数和指数函数的关系利用互为反函数的两函数的关系探求对数函数的 图像和性质 提问绘制图像的方法: (1)利用反函数的关系; (2)描点绘图 图像 Y

O 性质 对数函数 y ? log a x ? a ? 1?



? 0 ? a ? 1?

性质 1.对数函数 y ? log a x 的图像都在Y轴的右方. 性质 2.对数函数 y ? log a x 的图像都经过点(1,0) 性质 3.当 x ? 1 时, y ? 0 ; 当 0 ? x ? 1 时, y ? 0 . 性质 4.对数函数在 ? 0, ??? 上是增函数. 当 x ? 1 时, y ? 0 ; 当 0 ? x ? 1 时, y ? 0 . 对数函数在 ? 0, ??? 上是减函数.

三. 掌握对数函数的图像和性质———巩固与应用对数函数的性质解决简单问题 例1. 求下列函数的定义域: (2) y ? loga (4 ? x2 ) ; (3) y ? log a . ?1? y ? loga x2 ; 4? x
2 解(1) 因为 x ? 0 ,即 x ? 0 ,所以函数 y ? loga x2 的定义域是 ? ??,0? 2 2

x

? 0, ??? .

(2) 因为 4 ? x ? 0 , 即x ?4? 0, 所以函数 y ? loga (4 ? x2 ) 的定义域是 ? ?2, 2 ? . (3)因为

x x ? 0 ,即 x ? x ? 4? ? 0 ,所以函数 y ? log a 的定义域是 ? 0, 4 ? . 4? x 4? x
(2) log 0.5 3 和 log0.5 ? ; ( 3 ) log a

例 2.利用对数函数的性质,比较下列各题中两个值的大小: ( 1 ) log3 5 和 log3 7 ;

1 1 和 log a , 其 中 2 3

a ? 0,a ? 1

- 61 -

解(1)因为对数函数 y ? log3 x 在 ? 0, ??? 上是增函数,又 5 ? 7 ,所以 log3 5 < log3 7 . (2)因为对数函数 y ? log0.5 x 在 ? 0, ??? 上是减函数,又 3< ? ,所以 log 0.5 3 > log0.5 ? . (3) ① 当 a ? 1 时,因为对 数函数 y ? log a x 在 ? 0, ??? 上是增 函数,又

1 1 ? ,所 以 2 3

log a

1 1 > log a . 2 3 1 1 ? ,所以 2 3

② 当 0 ? a ? 1 时 , 因 为 对 数 函 数 y ? log a x 在 ? 0, ??? 上 是 减 函 数 , 又

log a

1 1 < log a . 2 3

例 3.“学习曲线”可以用来描述学习某一任务的速度,假设函数 t ? ?144lg ?1 ?

? ?

N? ? 中, t 90 ?

表示达到某一英文打字水平 (字/ 分) 所需的学习时间 (时) ,N 表示每分钟打出的字数 (字 / 分). (1) 计算要达到 20 字/ 分、40 字/ 分所需的学习时间; (精确到“时” ) (2) 利用(1)的结果,结合对数性质的分析,作出函数的大致图像 解(1)用计算器计算,得 N =20 时, t =16; N =40 时, t =37. 所以,要达到这两个水平分别需要时间 16 小时和 37 小时. (2)由 1 ?

N N >0,得 N <90.当 N 增大时, 1 ? 随 N 得增大而减小. 90 90

又 y ? lg x 为递增函数, lg ?1 ?

? ?

N? ? 随 N 得增大而减小. 90 ?

从而有 ?144 lg ?1 ?

? ?

N? N? ? ? 随 N 得增大而增大,所以 t ? ?144 lg ?1 ? ? 为递增函数. 90 ? ? 90 ?

由(1)知函数图像过点(20,16) 、 (40,37). 另外,当 N =0 时 t =0,所以函数图像过点(0,0). O 根据上述这些点得坐标描点作图 N 四.练习:教科书 P20 页 1.2.3.4.5.6 作业:练习册 P5 页 1————4; 《一课一练》 五.小结:对数函数的概念、图像、性质 教学反思: 对数与对数函数同步练习 一、选择题: 1、已知 3 ? 2 ,那么 log3 8 ? 2log3 6 用 a 表示是(
a


2

A、 a ? 2

B、 5a ? 2

C、 3a ? (1 ? a)
- 62 -

D、 3a ? a

2

2、 2loga (M ? 2N ) ? loga M ? loga N ,则 A、

M 的值为( N

) D、4 或 1

1 4

B、4

C、1
a

x ?m ,log 3、已知 x2 ? y 2 ? 1, x ? 0, y ? 0 ,且 log a(1 ? )
A、 m ? n B、 m ? n C、

1 ? m ? n? 2

1 ?, n log 则 a y 等于( 1? x 1 D、 ? m ? n ? 2



4、如果方程 lg2 x ? (lg5 ? lg 7)lg x ? lg5 lg 7 ? 0 的两根是 ? , ? ,则 ? ? 的值是 ( A、 lg 5 lg 7 B、 lg 35
? 1 2



C、35 等于( )

D、

1 35

5、已知 log7 [log3 (log 2 x)] ? 0 ,那么 x A、

1 3

B、

1 2 3

C、

1 2 2


D、

1 3 3

6、函数 y ? lg ? A、 x 轴对称

? 2 ? ? 1? 的图像关于( ? 1? x ?
B、 y 轴对称

C、原点对称 )

D、直线 y ? x 对称

7、函数 y ? log(2 x ?1) 3x ? 2 的定义域是( A、 ?

?2 ? ,1? ?3 ?

?1, ?? ?

B、 ?

?1 ? ,1? ?2 ?

?1, ?? ?

C、 ?

?2 ? , ?? ? ?3 ?
2

D、 ?

?1 ? , ?? ? ?2 ?
) D、 ?3, ?? ? ) D、 0 ? m ? n ? 1

8、函数 y ? log 1 ( x2 ? 6 x ? 17) 的值域是( A、 R B、 ?8, ?? ?

C、 ? ??, ?3?

9、若 logm 9 ? logn 9 ? 0 ,那么 m, n 满足的条件是( A、 m ? n ? 1 10、 log a A、 ? 0, B、 n ? m ? 1 C、 0 ? n ? m ? 1 )

2 ? 1 ,则 a 的取值范围是( 3

? ?

2? ? 3?

?1, ?? ?

B、 ?

?2 ? , ?? ? ?3 ?

C、 ?

?2 ? ,1? ?3 ?


D、 ? 0, ?

? ?

2? ?2 ? ? , ?? ? 3? ?3 ?

11、下列函数中,在 ? 0, 2 ? 上为增函数的是(

- 63 -

A、 y ? log 1 ( x ? 1)
2

B、 y ? log 2 D、 y ? log

x2 ?1

C、 y ? log 2

1 x

1 2

( x2 ? 4x ? 5)
x ?1

12 、 已 知 g ( x) ? loga x+1 (a ? 0且a ? 1) 在 ? ?1 , 0? 上 有 g ( x ) ? 0 , 则 f ( x) ? a ( ) B、在 ? ??,0? 上是减少的 D、在 ? ??,0? 上是减少的 。 A、在 ? ??,0? 上是增加的 C、在 ? ??, ?1? 上是增加的



二、填空题: 13、若 log a 2 ? m,log a 3 ? n, a2m?n ? 14、函数 y ? log( x-1) (3- x) 的定义域是 15、 lg 25 ? lg 2 lg50 ? (lg 2)2 ? 16、函数 f ( x) ? lg 三、解答题: 17、已知函数 f ( x) ? 。 。 (奇、偶)函数。

?

x2 ? 1 ? x 是

?

10 x ? 10? x ,判断 f ( x ) 的奇偶性和单调性。 10 x ? 10? x x2 , x2 ? 6

18、已知函数 f ( x ? 3) ? lg
2

(1)求 f ( x ) 的定义域; (2)判断 f ( x ) 的奇偶性。

19、已知函数 f ( x) ? log 3

mx 2 ? 8 x ? n 的定义域为 R ,值域为 ? 0, 2? ,求 m, n 的值。 x2 ? 1
§6 三种函数增长比较

一、教学目标: 1. 知识与技能 结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型 意义, 理解它们的增长差异性. 2. 过程与方法 能够借助信息技术 , 利用函数图象及数据表格 , 对几种常见增长类型 的函数的增长状况进行比较, 初步体会它们的增长差异性; 收集一些社会生活中普遍使用的 函数模型(指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等), 了解函数模型的广泛应用. 3. 情感、态度、价值观 体验函数是描述宏观世界变化规律的基本数学模型,体验指 数函数、对数函数等函数与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用.
- 64 -

二、 教学重点、难点: 1. 教学重点 将实际问题转化为函数模型,比较常数函数、一次函数、指数函数、对 数函数模型的增长差异,结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长 的含义. 2.教学难点 选择合适的数学模型分析解决实际问题. 三、 学法与教学用具: 1. 学法:学生通过阅读教材,动手画图,自主学习、思考,并相互讨论,进行探索. 2.教学用具:多媒体. 四、教学设想: (一)引入实例,创设情景. 教师引导学生阅读例 1,分析其中的数量关系,思考应当选择怎样的函数模型来描述; 由学生自己根据数量关系,归纳概括出相应的函数模型,写出每个方案的函数解析式,教师 在数量关系的分析、函数模型的选择上作指导. (二)互动交流,探求新知. 1. 观察数据,体会模型. 教师引导学生观察例 1 表格中三种方案的数量变化情况,体会三种函数的增长差异, 说出自己的发现,并进行交流. 2. 作出图象,描述特点. 教师引导学生借助计算器作出三个方案的函数图象,分析三种方案的不同变化趋势, 并进行描述,为方案选择提供依据. (三)实例运用,巩固提高. 1. 教师引导学生分析影响方案选择的因素,使学生认识到要做出正确选择除了考虑每 天的收益,还要考虑一段时间内的总收益. 学生通过自主活动,分析整理数据,并根据其中 的信息做出推理判断,获得累计收益并给出本例的完整解答,然后全班进行交流. 2. 教师引导学生分析例 2 中三种函数的不同增长情况对于奖励模型的影响,使学生明 确问题的实质就是比较三个函数的增长情况, 进一步体会三种基本函数模型在实际中广泛应 用,体会它们的增长差异. 3.教师引导学生分析得出:要对每一个奖励模型的奖金总额是否超出 5 万元,以及奖 励比例是否超过 25%进行分析,才能做出正确选择,学会对数据的特点与作用进行分析、 判断。 4.教师引导学生利用解析式,结合图象,对例 2 的三个模型的增长情况进行分析比较, 写出完整的解答过程. 进一步认识三个函数模型的增长差异,并掌握解答的规范要求. 5.教师引导学生通过以上具体函数进行比较分析,探究幂函数 y ? x ( n >0) 、指数
n

函数 y ? a ( a >1) 、对数函数 y ? log a x ( a >1)在区间(0,+∞)上的增长差异,并
n

从函数的性质上进行研究、论证,同学之间进行交流总结,形成结论性报告. 教师对学生的 结论进行评析,借助信息技术手段进行验证演示. 6. 课堂练习 教材 P116 练习 1、2,并由学生演示,进行讲评。 (四)归纳总结,提升认识. 教师通过计算机作图进行总结,使学生认识直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函 数模型的含义及其差异,认识数学与现实生活、与其他学科的密切联系,从而体会数学的实 用价值和内在变化规律.
- 65 -

(五)布置作业 收集一些社会生活中普遍使用的递增的一次函数、指数函数、对数函数的实例,对它 们的增长速度进行比较,了解函数模型的广泛应用,并思考。有时同一个实际问题可以建立 多个函数模型,在具体应用函数模型时,应该怎样选用合理的函数模型. 高中数学第三章测试题 一、选择题: (本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1、若 a ? 0 ,且 m, n 为整数,则下列各式中正确的是 A、 a ? a ? a n
m n m


m n

) D、 1 ? a ? a
n 0? n

B、 a

m

an ? am n


C、 a )

? ?

? a m?n

2、已知 f (10x ) ? x ,则 f (5) ? A、 10
5

B、 5

10

C、 lg10 ( )

D、 lg 5

3、对于 a ? 0, a ? 1 ,下列说法中,正确的是

① 若 M ? N 则 loga M ? loga N ; ② 若 loga M ? loga N 则 M ? N ; ③ 若

loga M 2 ? loga N 2 则 M ? N ;④若 M ? N 则 loga M 2 ? loga N 2 。
A、①②③④ B、①③
x

C、②④
2

D、②

4、设集合 S ? { y | y ? 3 , x ? R}, T ? { y | y ? x ?1, x ? R} ,则 S A、 ? B、 T C、 S ( )

T是





D、有限集

5、函数 y ? 2 ? log2 x( x ≥1) 的值域为 A、 ? 2, ??? B、 ? ??,2?

C、 ?2, ???
?1.5

D、 ?3, ?? ?

6、设 y1 ? 40.9 , y2 ? 80.48 , y3 ? ? ? A、 y3 ? y1 ? y2

?1? ? 2?

,则



) D、 y1 ? y2 ? y3

B、 y2 ? y1 ? y3

C、 y1 ? y3 ? y2 ( ) C、 2 ? a ? 5 ) D、3 )
2

7、在 b ? log( a?2) (5 ? a) 中,实数 a 的取值范围是 A、 a ? 5或a ? 2
2

B、 2 ? a ? 3或3 ? a ? 5
2

D、 3 ? a ? 4

8、计算 ? lg 2 ? ? ? lg 5 ? ? 2 lg 2 lg 5 等于 ( A、0 B、1 C、2

9、已知 a ? log3 2 ,那么 log3 8 ? 2log3 6 用 a 表示是( A、 5a ? 2 B、 a ? 2 C、 3a ? (1 ? a)
- 66 -

D、 3a ? a ? 1
2

10、若 10 A、

2x

? 25 ,则 10? x 等于
B、 ?



) C、

1 5

1 5

1 50

D、

1 625

11、某商品价格前两年每年递增 20% ,后两年每年递减 20% ,则四年后的价格与原来价格 比较,变化的情况是( ) A、减少 7.84% B、增加 7.84% C、减少 9.5% D、不增不减 12、 若函数 f (x) ?l o g
a

(0 x

?a 1 ? )
2 2

在区间 ? a, 2a? 上的最大值 是最小值的3 倍,则 a 的值为 (



A、

2 4

B、

C、

1 4

D、

1 2

二、填空题: (本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,请把答案填写在答题纸上) 13、化简 log2 (1 ? 2 ? 3) ? log2 (1 ? 2 ? 3) ? 14、 log6 ?log4 (log3 81)? 的值为 。 。 。

15、某企业生产总值的月平均增长率为 p ,则年平均增长率为 16、若 log x

?

2 ? 1 ? ?1 ,则 x ?

?



三、解答题: (本题共 5 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 17、化简或求值: (14 分)

8 1 2 3 ? 3 ?1 ? a ? ; (2) lg 500 ? lg ? lg 64 ? 50 ? lg 2 ? lg 5 ? 5 2 1 18、由于电子技术的飞速发展,计算机的成本不断降低,若每隔 5 年计算机的价格降低 , 3
(1)

?

a ?1 ?

?

2

?1 ? a ?

2

问现在价格为 8100 元的计算机经过 15 年后,价格应降为多少?(12 分) 19、已知 2 ? 2
x ?x

x ?x ? 5 ,求(1) 4 x ? 4? x ; (2) 8 ? 8 (14 分)

20、已知 f ( x) ? log 2

1? x (14 分) 1? x
(2)求使 f ( x) ? 0 的 x 的取值范围。 (16 分) x2 ? 1 ? x 的奇偶性、单调性。

(1)求 f ( x ) 的定义域; 21、判断函数 f ( x) ? lg

?

?

- 67 -

第四章

函数的应用

§4.1.1 方程的根与函数的零点 一、教学目标 1. 知识与技能 ①理解函数(结合二次函数)零点的概念,领会函数零点与相应方程要的关系,掌 握零点存在的判定条件. ②培养学生的观察能力. ③培养学生的抽象概括能力. 2. 过程与方法 ①通过观察二次函数图象, 并计算函数在区间端点上的函数值之积的特点, 找到连 续函数在某个区间上存在零点的判断方法. ②让学生归纳整理本节所学知识. 3. 情感、态度与价值观 在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值. 二、教学重点、难点 重点 零点的概念及存在性的判定. 难点 零点的确定. 三、学法与教学用具 1. 学法:学生在老师的引导下,通过阅读教材,自主学习、思考、交流、讨论和概括, 从而完成本节课的教学目标。 2. 教学用具:投影仪。 四、教学设想 (一)创设情景,揭示课题 1、提出问题:一元二次方程 ax +bx+c=0 (a≠0)的根与二次函数 y=ax +bx+c(a≠0)的图象有什么关系? 2.先来观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象: (用投影仪给出)
2 ①方程 x ? 2 x ? 3 ? 0 与函数 y ? x ? 2x ? 3
2
2 2

2 ②方程 x ? 2 x ? 1 ? 0 与函数 y ? x ? 2 x ? 1
2

2 ③方程 x ? 2 x ? 3 ? 0 与函数 y ? x ? 2 x ? 3
2

1.师:引导学生解方程,画函数图象,分析方程的根与图象和 x 轴交点坐标的关系, 引出零点的概念.
- 68 -

生:独立思考完成解答,观察、思考、总结、概括得出结论,并进行交流. 师:上述结论推广到一般的一元二次方程和二次函数又怎样? (二) 互动交流 研讨新知 函数零点的概念: 对于函数 y ? f ( x)(x ? D) , 把使 f ( x) ? 0 成立的实数 x 叫做函数 y ? f ( x)(x ? D) 的 零点. 函数零点的意义: 函数 y ? f ( x) 的零点就是方程 f ( x) ? 0 实数根, 亦即函数 y ? f ( x) 的图象与 x 轴交点 的横坐标. 即: 方程 f ( x) ? 0 有实数根 ? 函数 y ? f ( x) 的图象与 x 轴有交点 ? 函数 y ? f ( x) 有零 点. 函数零点的求法: 求函数 y ? f ( x) 的零点: ①(代数法)求方程 f ( x) ? 0 的实数根; ②(几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数 y ? f ( x) 的图象联系 起来,并利用函数的性质找出零点. 1.师:引导学生仔细体会左边的这段文字,感悟其中的思想方法. 生:认真理解函数零点的意义,并根据函数零点的意义探索其求法: ①代数法; ②几何法. 2.根据函数零点的意义探索研究二次函数的零点情况,并进行交流,总结概括形成结 论. 二次函数的零点: 二次函数

y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) .
(1)△>0,方程 ax ? bx ? c ? 0 有两不等实根,二次函数的图象与 x 轴有两个交
2

点,二次函数有两个零点. (2)△=0,方程 ax ? bx ? c ? 0 有两相等实根(二重根) ,二次函数的图象与 x 轴
2

有一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点. (3)△<0,方程 ax ? bx ? c ? 0 无实根,二次函数的图象与 x 轴无交点,二次函
2

数无零点.

- 69 -

3.零点存在性的探索: (Ⅰ)观察二次函数 f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 3 的图象: ① 在区间 [?2,1] 上有零点______;

f (?2) ? _______, f (1) ? _______,
f (?2) · f (1) _____0(<或>=) .
② 在区间 [2,4] 上有零点______;

f (2) · f (4) ____0(<或>=) .
(Ⅱ)观察下面函数 y ? f ( x) 的图象

① 在区间 [ a, b] 上______(有/无)零点;

f (a ) · f (b) _____0(<或>=) .
② 在区间 [b, c] 上______(有/无)零点;

f (b) · f (c) _____0(<或>=) .
③ 在区间 [c, d ] 上______(有/无)零点;

f (c) · f ( d ) _____0(<或>=) .
由以上两步探索,你可以得出什么样的结论? 怎样利用函数零点存在性定理,断定函数在某给定区间上是否存在零点? 4.生:分析函数,按提示探索,完成解答,并认真思考. 师:引导学生结合函数图象,分析函数在区间端点上的函数值的符号情况,与函数零点 是否存在之间的关系. 生:结合函数图象,思考、讨论、总结归纳得出函数零点存在的条件,并进行交流、评 析. 师:引导学生理解函数零点存在定理,分析其中各条件的作用. (三) 、巩固深化,发展思维 1.学生在教师指导下完成下列例题 例1. 求函数 f(x)=㏑ x+2x -6 的零点个数。

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问题: (1)你可以想到什么方法来判断函数零点个数? (2)判断函数的单调性,由单调性你能得该函数的单调性具有什么特性? 例 2.求函数 y ? x 3 ? 2 x 2 ? x ? 2 ,并画出它的大致图象. 师: 引导学生探索判断函数零点的方法, 指出可以借助计算机或计算器来画函数 的图象,结合图象对函数有一个零点形成直观的认识. 生:借助计算机或计算器画出函数的图象,结合图象确定零点所在的区间,然后 利用函数单调性判断零点的个数. 2.P97 页练习第二题的(1) 、 (2)小题 (四) 、归纳整理,整体认识 1. 请学生回顾本节课所学知识内容有哪些,所涉及到的主要数学思想又有哪些; 2. 在本节课的学习过程中,还有哪些不太明白的地方,请向老师提出。 (五) 、布置作业 P102 页练习第二题的(3) 、 (4)小题。 §4.1.2 用二分法求方程的近似解 一、 教学目标 1. 知识与技能 (1) 解二分法求解方程的近似解的思想方法, 会用二分法求解具体方程的近似解; (2)体会程序化解决问题的思想,为算法的学习作准备。 2. 过程与方法 (1)让学生在求解方程近似解的实例中感知二分发思想; (2)让学生归纳整理本节所学的知识。 3. 情感、态度与价值观 ①体会二分法的程序化解决问题的思想,认识二分法的价值所在,使学生更加热爱 数学; ②培养学生认真、耐心、严谨的数学品质。 二、 教学重点、难点 重点:用二分法求解函数 f(x)的零点近似值的步骤。 难点:为何由︱a - b ︳< ? 便可判断零点的近似值为 a(或 b)? 三、 学法与教学用具 1. 想-想。 2. 教学用具:计算器。 四、教学设想 (一) 、创设情景,揭示课题 提出问题: (1)一元二次方程可以用公式求根,但是没有公式可以用来求解放程 ㏑ x+2x-6=0 的根;联系函数的零点与相应方程根的关系,能否利用函数的有关知识来求她的根呢? (2)通过前面一节课的学习,函数 f(x)=㏑ x+2x-6 在区间内有零点;进一步的问题 是,如何找到这个零点呢? (二) 、研讨新知 一个直观的想法是:如果能够将零点所在的范围尽量的缩小,那么在一定的精确度的 要求下,我们可以得到零点的近似值;为了方便,我们通过“取中点”的方法逐步缩小零点

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所在的范围。 取区间(2,3)的中点 2.5,用计算器算得 f(2.5)≈-0.084,因为 f(2.5)*f(3)<0,所 以零点在区间(2.5,3)内; 再取区间(2.5,3)的中点 2.75,用计算器算得 f(2.75)≈0.512,因为 f(2.75)*f(2.5) <0,所以零点在(2.5,2.75)内; 由于(2,3) , (2.5,3) , (2.5,2.75)越来越小,所以零点所在范围确实越来越小了; 重复上述步骤,那么零点所在范围会越来越小,这样在有限次重复相同的步骤后,在一定的 精确度下, 将所得到的零点所在区间上任意的一点作为零点的近似值, 特别地可以将区间的 端点作为零点的近似值。例如,当精确度为 0.01 时,由于∣ 2.5390625 - 2.53125 ∣ =0.0078125<0.01,所以我们可以将 x=2.54 作为函数 f(x)=㏑ x+2x-6 零点的近似值,也 就是方程㏑ x+2x-6=0 近似值。 这种求零点近似值的方法叫做二分法。 1.师:引导学生仔细体会上边的这段文字,结合课本上的相关部分,感悟其中的思想 方法. 生:认真理解二分法的函数思想,并根据课本上二分法的一般步骤,探索其求法。 2.为什么由︱a - b ︳< ? 便可判断零点的近似值为 a(或 b)? 先由学生思考几分钟,然后作如下说明: 设函数零点为 x0,则 a<x0<b,则: 0<x0-a<b-a,a-b<x0-b<0; 由于︱a - b ︳< ? ,所以 ︱x0 - a ︳<b-a< ? ,︱x0 - b ︳<∣ a-b∣< ? , 即 a 或 b 作为零点 x0 的近似值都达到了给定的精确度 ? 。 ㈢、巩固深化,发展思维 1. 学生在老师引导启发下完成下面的例题 x 例 2.借助计算器用二分法求方程 2 +3x=7 的近似解(精确到 0.01) 问题:原方程的近似解和哪个函数的零点是等价的? 师:引导学生在方程右边的常数移到左边,把左边的式子令为 f(x),则原方程的解就是 f(x)的零点。 生:借助计算机或计算器画出函数的图象,结合图象确定零点所在的区间,然后利用二 分法求解. (四) 、归纳整理,整体认识 在师生的互动中,让学生了解或体会下列问题: (1) 本节我们学过哪些知识内容? (2) 你认为学习“二分法”有什么意义? (3) 在本节课的学习过程中,还有哪些不明白的地方? (五) 、布置作业 A 组第四题,第五题。 4.2.1 实际问题的函数刻画 在现实世界里,事物之间存在着广泛的联系, 许多联系可以用函数刻画。用函数的观点看实际 问题,是学习函数的重要内容。 问题 1 当人的生活环境温度改变时,人体代 谢率也有相应的变化,表 4-2 给出了实验的一组数
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据,这些数据说明了什么? 环境温度/(oC) 4 10 44 20 40 30 40.5 38 54

代谢率/[4185J/(hm2)] 60

解 在这个实际问题中出现了两个变量:一个是环境温度;一个是人体的代谢率。不难看 出,对于每一个环境温度都有唯一的人体代谢率与之对应,这就决定了一个函数关系。实验 数据已经给出了几个特殊环境温度时的人体代谢率, 为了使函数关系更直观, 我们将表中的 每一对实验值在直角坐标系中表示出来。在医学研究中,为了方便,常用折线把它们连接起 来。 (如图 4-5) 根据图象,可以看出下列性质: (1)代谢率曲线在小于 20oC 的范围是下降的, 在大约 30oC 的范围内是上升的; (2)环境温度在 20oC ~30oC 时,代谢率较底, 并且较稳定,即温度变化时,代谢率变化不大; (3)环境温度太底或太高时,它对代谢率有较大影] 响。 所以,临床上做“基础代谢率”测定时,室温要保持在 20oC ~30oC 之间,这样可以使环境温度影响最小。 在这个问题中,通过对实验数据的分析,可以确由 {4,10,20,30,38}到{60,44,40.5,54}的一个函数, 通过描点,并且用折线将它们连接起来,使人们得到了一 个新函数,定义域扩大到区间[4,38]。对于实际的环境温度与人体代谢关系来说,就是一 个近似函数关系,它的函 数图象,可以帮助我们更好地把握环境温度与人体代谢关 系。 问题 2 某厂生产一种畅销的新型工艺品,为此更新 专用设备和制作模具花去 200000 元,生产每件工艺品的 直接成本为 300 元,每件工艺品售价为 500 元,产量 x 对 总成本 C,单位成本 P,销售收入 R 及利润 L 之间存在什么 样的函数关系?表示了什么实际含义? 解 总成本 C 与产量 x 的关系 C=200000+300x; 单位成本 P 与产量 x 的关系 P=300+200000 /x; 销售收入 R 与产量 x 的关系 R=500x ; 利润 L 与产的量 x 关系 L=R-C=200x-200000。 以上各式建立的是函数关系。 (1)从利润关系式可见,希望有 较大利润应增加产量。若 x<1000,则要 亏损;若 x=1000 ,则利润为零; 若 x>1000 ,则可赢利.
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(2)单位成本 P 与产量 x 的关系 P=300+200000 /x 可见,为了降低成本, 应增加产量,以形成规模效应

§2.1 函数模型的应用实例(Ⅰ) 一、 教学目标: 1. 知识与技能 能够找出简单实际问题中的函数关系式,初步体会应用一次函数、二 次函数模型解决实际问题. 2.过程与方法 感受运用函数概念建立模型的过程和方法,体会一次函数、二次函数 模型在数学和其他学科中的重要性. 3.情感、态度、价值观 体会运用函数思想处理现实生活中和社会中的一些简单问题 的实用价值. 二、 教学重点与难点: 1.教学重点:运用一次函数、二次函数模型解决一些实际问题. 2. 教学难点:将实际问题转变为数学模型. 三、 学法与教学用具 1. 学法:学生自主阅读教材,采用尝试、讨论方式进行探究. 2. 教学用具:多媒体 四、 教学设想 (一)创设情景,揭示课题 引例: 大约在一千五百年前, 大数学家孙子在 《孙子算经》 中记载了这样的一道题: “今 有雏兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问雏兔各几何?”这四句的意思就是:有若干 只有几只鸡和兔?你知道孙子是如何解答这个“鸡兔同笼”问题的吗?你有什么更好的方 法?老师介绍孙子的大胆解法: 他假设砍去每只鸡和兔一半的脚, 则每只鸡和兔就变成了 “独 脚鸡”和“双脚兔”. 这样, “独脚鸡”和“双脚兔”脚的数量与它们头的数量之差,就是 兔子数,即:47-35=12;鸡数就是:35-12=23. 比例激发学生学习兴趣,增强其求知欲望. 可引导学生运用方程的思想解答“鸡兔同笼”问题. (二)结合实例,探求新知 例 1. 某列火车众北京西站开往石家庄,全程 277km,火车出发 10min 开出 13km 后, 以 120km/h 匀速行驶. 试写出火车行驶的总路程 S 与匀速行驶的时间 t 之间的关系式,并求 火车离开北京 2h 内行驶的路程. 探索: 1)本例所涉及的变量有哪些?它们的取值范围怎样; 2)所涉及的变量的关系如何? 3)写出本例的解答过程. 老师提示:路程 S 和自变量 t 的取值范围(即函数的定义域) ,注意 t 的实际意义. 学生独立思考,完成解答,并相互讨论、交流、评析. 例 2.某商店出售茶壶和茶杯,茶壶每只定价 20 元,茶杯每只定价 5 元,该商店制定 了两种优惠办法: 1)本例所涉及的变量之间的关系可用何种函数模型来描述? 2)本例涉及到几个函数模型?
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3)如何理解“更省钱?” ; 4)写出具体的解答过程. 在学生自主思考,相互讨论完成本例题解答之后,老师小结:通过以上两例,数学模 型是用数学语言模拟现实的一种模型,它把实际问题中某些事物的主要特征和关系抽象出 来,并用数学语言来表达,这一过程称为建模,是解应用题的关键。数学模型可采用各种形 式,如方程(组) ,函数解析式,图形与网络等 . 课堂练习 1 某农家旅游公司有客房 300 间,每间日房租为 20 元,每天都客满. 公司 欲提高档次,并提高租金,如果每间客房日增加 2 元,客房出租数就会减少 10 间. 若不考 虑其他因素,旅社将房间租金提高到多少时,每天客房的租金总收入最高? 引导学生探索过程如下: 1)本例涉及到哪些数量关系? 2)应如何选取变量,其取值范围又如何? 3)应当选取何种函数模型来描述变量的关系? 4) “总收入最高”的数学含义如何理解? 根据老师的引导启发,学生自主,建立恰当的函数模型,进行解答,然后交流、进行 评析. [略解:] 设客房日租金每间提高 2 x 元, 则每天客房出租数为 300-10 x , 由 x >0, 且 300-10 x >0 得:0< x <30 设客房租金总上收入 y 元,则有: y =(20+2 x )(300-10 x ) =-20( x -10)2 + 8000(0< x <30) 由二次函数性质可知当 x =10 时, ymax =8000. 所以当每间客房日租金提高到 20+10×2=40 元时,客户租金总收入最高,为每天 8000 元. 课堂练习 2 要建一个容积为 8m3,深为 2m 的长方体无盖水池,如果池底和池壁的造 价每平方米分别为 120 元和 80 元,试求应当怎样设计,才能使水池总造价最低?并求此最 低造价. (三)归纳整理,发展思维. 引导学生共同小结,归纳一般的应用题的求解方法步骤: 1) 合理迭取变量,建立实际问题中的变量之间的函数关系,从而将实际问题转化为 函数模型问题: 2)运用所学知识研究函数问题得到函数问题的解答; 3)将函数问题的解翻译或解释成实际问题的解; 4)在将实际问题向数学问题的转化过程中,能画图的要画图,可借助于图形的直观 性,研究两变量间的联系. 抽象出数学模型时,注意实际问题对变量范围的限制. (四)布置作业 作业:教材 P120 习题 3.2(A 组)第 3 、4 题:

§2 .2 函数模型的应用实例(Ⅱ) 一、 教学目标 1. 知识与技能 能够利用给定的函数模型或建立确定性函数模型解决实际问题.
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2. 过程与方法 进一步感受运用函数概念建立函数模型的过程和方法,对给定的函数 模型进行简单的分析评价. 二、 教学重点 重点 利用给定的函数模型或建立确定性质函数模型解决实际问题. 难点 将实际问题转化为数学模型,并对给定的函数模型进行简单的分析评价. 三、 学法与教学用具 1. 学法:自主学习和尝试,互动式讨论. 2. 教学用具:多媒体 四、 教学设想 (一)创设情景,揭示课题. 现实生活中有些实际问题所涉及的数学模型是确定的,但需我们利用问题中的数据及 其蕴含的关系来建立. 对于已给定数学模型的问题,我们要对所确定的数学模型进行分析评 价,验证数学模型的与所提供的数据的吻合程度. (二)实例尝试,探求新知 例 1. 一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图所示. 1)写出速度 v 关于时间 t 的函数解析式; 2)写出汽车行驶路程 y 关于时间 t 的函数关系式,并作图象; 3)求图中阴影部分的面积,并说明所求面积的实际含义; 4) 假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为 2004km, 试建立汽车行驶这 段路程时汽车里程表读数 s 与时间 t 的函数解析式,并作出相应的图象. 本例所涉及的数学模型是确定的,需要利用问题中的数据及其蕴含的关系建立数学模 型,此例分段函数模型刻画实际问题. 教师要引导学生从条块图象的独立性思考问题,把握函数模型的特征. 注意培养学生的读图能力,让学生懂得图象是函数对应关系的一种重要表现形式. 例 2. 人口问题是当今世界各国普遍关注的问题,认识人口数量的变化规律,可以为有 效控制人口增长提供依据. 早在 1798, 英国经济家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长 模型:

y ? y0ert
其中 t 表示经过的时间, y0 表示 t ? 0 时的人口数, r 表示人口的年均增长率. 下表是 1950~1959 年我国的人口数据资料: (单位:万人) 年份 人数 年份 人数 1)如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率(精确到 0.0001) , 用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型, 并检验所得模型与实际 人口数据是否相符; 2)如果按表中的增长趋势,大约在哪一年我国的人口将达到 13 亿? 探索以下问题: 1)本例中所涉及的数量有哪些? 2)描述所涉及数量之间关系的函数模型是否是确定的,确定这种模型需要几个因素? 3)根据表中数据如何确定函数模型?
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1950 55196 1955

1951 56300 1956

1952 57482 1957

1953 58796 1958

1954 60266 1959

4)对于所确定的函数模型怎样进行检验,根据检验结果对函数模型又应做出如何评 价? 如何根据确定的函数模型具体预测我国某个时间的人口数,用的是何种计算方法? 本例的题型是利用给定的指数函数模型 y ? y0ert 解决实际问题的一类问题,引导学生 认识到确定具体函数模型的关键是确定两个参数 y0 与 t . 完成数学模型的确定之后,因为计算较繁,可以借助计算器. 在验证问题中的数据与所确定的数学模型是否吻合时,可引导学生利用计算器或计算 机作出所确定函数的图象, 并由表中数据作出散点图, 通过比较来确定函数模型与人口数据 的吻合程度,并使学生认识到表格也是描述函数关系的一种形式. 引导学生明确利用指数函数模型对人口增长情况的预测,实质上是通过求一个对数值 来确定 t 的近似值. 课堂练习:某工厂今年 1 月、2 月、3 月生产某种产品的数量分别为 1 万件,1.2 万件, 1.3 万件,为了估计以后每个月的产量,以这三个月的产品数量为依据用一个函数模拟该产 品的月产量 t 与月份的 x 关系,模拟函数可以选用二次函数或函数

y ? abx ? c(其中a, b, c为常数) .已知 4 月份该产品的产量为 1.37 万件,请问用以上哪个函
数作为模拟函数较好,并说明理由. 探索以下问题: 1)本例给出两种函数模型,如何根据已知数据确定它们? 2)如何对所确定的函数模型进行评价? 本例是不同函数的比较问题,要引导学生利用待定系数法确定具体的函数模型. 引导学生认识到比较函数模型优劣的标准是 4 月份产量的吻合程度,这也是对函数模 评价的依据. 本例渗透了数学思想方法,要培养学生有意识地运用. 三. 归纳小结,发展思维. 利用给定函数模型或建立确定的函数模型解决实际问题的方法; 1)根据题意选用恰当的函数模型来描述所涉及的数量之间的关系; 2)利用待定系数法,确定具体函数模型; 3)对所确定的函数模型进行适当的评价; 4)根据实际问题对模型进行适当的修正. 从以上各例体会到:根据收集到的数据,作出散点图,然后通过观察图象,判断问题 适用的函数模型, 借助计算器或计算机数据处理功能, 利用待定系数法得出具体的函数解析 式,再利用得到的函数模型解决相应的问题,这是函数应用的一个基本过程. 图象、表格和解析式都可能是函数对应关系的表现形式. 在实际应用时,经常需要将函 数对应关系的一种形式向另一种转化. (四)布置作业:教材 P120 习题 32(A 组)第 6~9 题.

§3.2.3 函数模型的应用实例(Ⅲ) 一、教学目标 1、知识与技能 能够收集图表数据信息,建立拟合函数解决实际问题。
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2、过程与方法 体验收集图表数据信息、拟合数据的过程与方法,体会函数拟合的思 想方法。 3、情感、态度、价值观 深入体会数学模型在现实生产、生活及各个领域中的广泛应 用及其重要价值。 二、教学重点、难点: 重点:收集图表数据信息、拟合数据,建立函数模解决实际问题。 难点:对数据信息进行拟合,建立起函数模型,并进行模型修正。 三 、 学 学 与 教 学 用 具.00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 1、学法:学生自查阅读教材,尝试实践,合作交流,共同探索。 2、教学用具:多媒体 四、教学设想 (一)创设情景,揭示课题 2003 年 5 月 8 日,西安交通大学医学院紧急启动“建立非典流行趋势预测与控制策略 数学模型”研究项目,马知恩教授率领一批专家昼夜攻关,于 5 月 19 日初步完成了第一批 成果,并制成了要供决策部门参考的应用软件。 这一数学模型利用实际数据拟合参数,并对全国和北京、山西等地的疫情进行了计算 仿真,结果指出,将患者及时隔离对于抗击非典至关重要、分析报告说,就全国而论,菲非 典病人延迟隔离 1 天,就医人数将增加 1000 人左右,推迟两天约增加工能力 100 人左右; 若外界输入 1000 人中包含一个病人和一个潜伏病人,将增加患病人数 100 人左右;若 4 月 21 日以后,政府示采取隔离措施,则高峰期病人人数将达 60 万人。 这项研究在充分考虑传染病控制中心每日工资发布的数据,建立了非典流行趋势预测 动力学模型和优化控制模型,并对非典未来的流行趋势做了分析预测。 本例建立教学模型的过程,实际上就是对收集来的数据信息进行拟合,从而找到近似 度比较高的拟合函数。 (二)尝试实践 探求新知 例 1.某地区不同身高的未成年男性的体重平均值发下表 (身高:cm;体重:kg) 身高 体重 身高 体重 60 6.13 120 20.92 70 7.90 130 26.86 80 9.99 140 31.11 90 12.15 150 38.85 100 15.02 160 47.25 110 17.50 170 55.05

1) 根据表中提供的数据,建立恰当的函数模型,使它能比较近似地反映这个地区未 成年男性体重与身高 ykg 与身高 xcm 的函数模型的解析式。 2)若体重超过相同身高男性平均值的 1.2 倍为偏胖,低于 0.8 倍为偏瘦,那么这个地 区一名身高为 175cm ,体重为 78kg 的在校男生的体重是事正常? 探索以下问题: 1)借助计算器或计算机,根据统计数据,画出它们相应的散点图; 2)观察所作散点图,你认为它与以前所学过的何种函数的图象较为接近? 3) 你认为选择何种函数来描述这个地区未成年男性体重 ykg 与身高 xcm 的函数关系比 较合适? 4)确定函数模型,并对所确定模型进行适当的检验和评价. 5)怎样修正所确定的函数模型,使其拟合程度更好?
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本例给出了通过测量得到的统计数据表,要想由这些数据直接发现函数模型是困难的, 要引导学生借助计算器或计算机画图,帮助判断. 根据散点图,利用待定系数法确定几种可能的函数模型,然后进行优劣比较,选定拟 合度较好的函数模型.在此基础上, 引导学生对模型进行适当修正, 并做出一定的预测. 此外, 注意引导学生体会本例所用的数学思想方法. 例 2. 将沸腾的水倒入一个杯中,然后测得不同时刻温度的数据如下表: 时间(S) 温度(℃) 时间(S) 温度(℃) 60 86.86 360 53.03 120 81.37 420 52.20 180 76.44 480 49.97 240 66.11 540 45.96 300 61.32 600 42.36

1)描点画出水温随时间变化的图象; 2)建立一个能基本反映该变化过程的水温 y (℃)关于时间 x( s) 的函数模型,并作出 其图象,观察它与描点画出的图象的吻合程度如何. 3)水杯所在的室内温度为 18℃,根据所得的模型分析,至少经过几分钟水温才会降到 室温?再经过几分钟会降到 10℃?对此结果,你如何评价? 本例意图是引导学生进一步体会,利用拟合函数解决实际问题的思想方法,可依照例 1 的过程,自主完成或合作交流讨论. 课堂练习:某地新建一个服装厂,从今年 7 月份开始投产,并且前 4 个月的产量分别 为 1 万件、1 .2 万件、1.3 万件、1.37 万件. 由于产品质量好,服装款式新颖,因此前几个月 的产品销售情况良好. 为了在推销产品时,接收定单不至于过多或过少,需要估测以后几个 月的产量,你能解决这一问题吗? 探索过程如下: 1)首先建立直角坐标系,画出散点图; 2) 根据散点图设想比较接近的可能的函数模型: 一次函数模型: f ( x) ? kx ? b(k ? 0); 二次函数模型: g ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0); 幂函数模型: h( x) ? ax 2 ? b(a ? 0); 指数函数模型: l ( x) ? ab x ? c ( a ? 0, b >0, b ? 1 ) 利用待定系数法求出各解析式,并对各模型进行分析评价,选出合适的函数模型;由 于尝试的过程计算量较多,可同桌两个同学分工合作,最后再一起讨论确定. (三)归纳小结,巩固提高. 通过以上三题的练习,师生共同总结出了利用拟合函数解决实际问题的一般方法,指 出函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型, 是解决实际问题的重要思想方法. 利用函 数思想解决实际问题的基本过程如下:
选 择 函 数 模 型 用 函 数 模 型 解 决 实 际 问 题 在 于
1

收 集 数 据

画 散 点 图

求 函 数 模 型

检 验

符合 实际

不符合实际

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