nbhkdz.com冰点文库

2016上海复旦附中高三数学三模


FunshineMaths

峰行数学

复旦附中高三毕业考试数学试卷
2016.05 一. 填空题 1. 已知集合 M ? {x | y ? lg x} , N ? {x | y ? 1 ? x 2 } ,则 M ? N ? 【解析】 M ? (0, ??) , N ? [?1,1] ,∴ M ? N ? (0,1] 2. 若复

数 z 满足 (3 ? 4i) z ? | 4 ? 3i | ,则 z 的虚部为 【解析】 (3 ? 4i) z ? 5 , z ?

5 3 4 4 ? ? i ,虚部为 ,注意虚部为实数 3 ? 4i 5 5 5

3. 在 ?ABC 中,角 A 、B 、C 所对的边分别为 a 、b 、c ,若 a ? 6 ,c ? 4 ,sin 则b ? 【解析】 cos B ? 1 ? 2sin 2

B 3 ? , 2 3

62 ? 42 ? b 2 1 B 1 ? ,余弦定理 cos B ? ? ,解得 b ? 6 2 3 2?6? 4 3

4. 如图所示,一家面包销售店根据以往某种面包的销售记录,绘制了日销售量的频率分布 直方图,若一个月以 30 天计算,估计这家面包店一个月内日销售量不少于 150 个的天数为

【解析】频率依次为 0.15、0.25、0.3、0.2、0.1,不少于 150 个的天数 30 ? (0.2 ? 0.1) ? 9

5. 现有 5 个女生和 3 个男生随机站成一排,则排头和排尾均为女生的概率是 果用分数表示)

(结

P52 ? P66 5 【解析】 ? P88 14
6. 在极坐标系中,圆 ? ? 2sin ? 的圆心到极轴的距离为 【解析】标准方程为 x 2 ? y 2 ? 2 y ,圆心 (0,1) ,距离为1 7. 无穷等比数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,若 a1 ? 2 ,且 S 2015 ? 2 S 2016 ? 3S 2017 ,则无穷等比 数列 {an } 的各项和为 【解析】 S 2015 ? 2S 2016 ? 3S2017 ? a2016 ? ?3a2017 ? q ? ? 资料整理 sh-maths

1 3 ,∴各项和为 3 2

FunshineMaths

峰行数学

8. 如图,正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AB ? 4 , AA1 ? 6 ,若 E 、 F 分别是棱 BB1 、 CC1 上的点,则三棱锥 A ? A1 EF 的体积是 【解析】 VF ? A1 AE ?

1 1 ? S A1AE ? h ? ? 12 ? 2 3 ? 8 3 3 3
2 2

9. 设直线 2 x ? 3 y ? 1 ? 0 和圆 x ? y ? 2 x ? 3 ? 0 相交于 A 、 B 两点,则弦 AB 的垂直平 分线方程是 【解析】设垂直平分线为 3 x ? 2 y ? c ? 0 ,经过圆心 (1, 0) ,∴方程为 3 x ? 2 y ? 3 ? 0

x2 y2 ? ?1 a2 b2 ( a ? 0 ,b ? 0 )的两条渐近线分别与抛物线交于 A 、 B 两点( A 、 B 异于坐标原点 O ),
10. 在平面直角坐标系 xOy 中, 抛物线 y ? 2 px( p ? 0 ) 的焦点为 F , 双曲线
2

若直线 AB 恰好过点 F ,则双曲线的渐近线方程是

p p p , 0) ,∴ A( , p ) , B( , ? p ) ,即渐近线 y ? ?2 x 2 2 2 ???? ? ???? ???? ? ??? ? 11. 在边长为 6 的等边 ?ABC 中,点 M 满足 BM ? 2MA ,则 CM ? CB 等于 ???? ? ??? ? ???? ? ??? ? 【解析】 CM 在 CB 方向的投影为 4,∴ CM ? CB ? 4 ? 6 ? 24
【解析】焦点 F ( 12. 已知函数 f ( x) ? 2 ( x ? R ),且 f ( x) ? g ( x) ? h( x ) ,其中 g ( x) 为奇函数, h( x) 为 偶函数,若不等式 2a ? g ( x) ? h(2 x) ? 0 对任意 x ? [1, 2] 恒成立,则实数 a 的取值范围是
x

【解析】 2 x ? g ( x) ? h( x ) , 2? x ? g ( ? x) ? h( ? x ) ? ? g ( x) ? h( x) , h( x) ? 0.5(2 x ? 2? x ) ,

3 15 g ( x) ? 0.5(2 x ? 2? x ) ,∴ a(2 x ? 2? x ) ? 0.5(4 x ? 4? x ) ? 0 ,设 t ? (2 x ? 2? x ) ? [ , ] , 2 4 1 2 3 1 2 17 17 ∴ a ? ? (t ? ) , t ? 时, ? (t ? ) 有最大值 ? ,∴ a ? ? 2 t 2 2 t 12 12
13. 已知圆 O : x 2 ? y 2 ? 1 , O 为坐标原点,若正方形 ABCD 的一边 AB 为圆 O 的一条弦, 则线段 OC 长度的最大值是 【解析】设 ?OAB ? ? ,作 OE ? AB , OE ? sin ? , AE ? cos ? , AB ? AC ? 2 cos ? , ∴ OC ? cos ? ? (sin ? ? 2cos ? ) ? 1 ? 4sin ? cos ? ? 4cos ? ? 3 ? 2sin 2? ? 2cos 2?
2 2 2 2

? 3 ? 2 2 sin(2? ? 45? ) ? 3 ? 2 2 ,∴ OC ? 1 ? 2
14. 如图,在正三棱锥 P ? ABC 中, D 为线段 BC 的中点,

E 在线段 PD 上, PE ?
的体积的最大值为

2 PD , AE ? l 为定长,则该棱锥 3
2

【解析】设底面边长为 a ,∴高为 3 l ?

16 2 a , 27

V?

3 2 2 16 2 27 3 2 2 2 2 16 27 3 l 3 9l 3 a l ? a ? ? a? a ? l 2 ? a2 ? ? ? 4 27 32 3 3 3 3 27 32 3 3 32
sh-maths

资料整理

FunshineMaths
二. 选择题

峰行数学

15. 等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,若 a2 ? a4 ? a15 的值为定值,则下列各数中为定值的是 ( ) A. S7 B. S8 C. S13 D. S15

【解析】即 a7 为定值, S13 ? 13a7 ,∴选 C

? a b ?? x ? ? ax ? by ? ?? y ? ? ? cx ? dy ? ,该运算的几何意义为平面上的点 ( x, y ) 在矩 c d ? ?? ? ? ? ?a b ? ?1 a? 2 2 阵? 作用下变换成点 (ax ? by , cx ? dy ) ,若曲线 x ? 4 xy ? 2 y ? 1 ,在矩阵 ? ? ? ?c d? ?b 1?
16. 矩阵的一种运算 ? 的作用下变换成曲线 x ? 2 y ? 1 ,则 a ? b 的值为( A. ?2 B. 2 C. ?2
2 2

) D. ?4

?1 a? 2 2 ? 作用下的点为 ( x ? ay, bx ? y ) ,代入 x ? 4 xy ? 2 y ? 1 , b 1 ? ? 2 2 2 2 2 ∴ (1 ? 2b ? 4b) x ? ( a ? 4a ? 2) y ? (2a ? 4b ? 4ab ? 4) xy ? 1 ,∴1 ? 2b ? 4b ? 1 ,
【解析】点 ( x, y ) 在矩阵 ?

a 2 ? 4a ? 2 ? ?2 , 2a ? 4b ? 4ab ? 4 ? 0 ,∴ a ? ?2 , b ? 0 ,选 A
17. 函数 y ? f ( x ) 是 R 上的增函数,则 a ? b ? 0 是 f (a) ? f (b) ? f ( ?a) ? f ( ?b) 的 ( ) A. 充分不必要条件 C. 充要条件 B. 必要不充分条件 D. 既不充分又不必要条件

【解析】a ? ?b , ∴ f (a) ? f (?b) , 同理 f (b) ? f ( ?a) , f (a) ? f (b) ? f ( ?a) ? f ( ?b) , 若 a ? b ? 0 , f (a) ? f (b) ? f ( ?a) ? f ( ?b) ,与 f (a) ? f (b) ? f ( ?a) ? f ( ?b) 矛盾,∴

a ? b ? 0 不成立,即 a ? b ? 0 ,∴为充要条件,选 C
18. 有一容积为 a3 cm3 的正方体容器 ABCD ? A1 B1C1 D1 , 在棱 AB 、BB1 和面对角线 BC1 的 中点各有一小孔 E 、 F 、 G ,若此容器可以任意放置,则其可装水的最大容积是( )

11 3 3 47 3 3 a cm D. a cm 12 48 1 1 a 11 3 【解析】水面经过 C 、 B1 、 E 时,容积最大, V ? a 3 ? ? a 2 ? ? a 3 2 2 12
A. B. C. 三. 解答题

1 3 3 a cm 2

7 3 3 a cm 8

19. 三角形的三内角 A 、 B 、 C 所对边的长分别为 a 、 b 、 c ,设向量 m ? (c ? a, b ? a) ,

??

? ?? ? n ? (a ? b, c ) ,若 m ∥ n ;
(1)求角 B 的大小; (2)求 sin A ? sin C 的取值范围; 资料整理 sh-maths

FunshineMaths
2

峰行数学
2 2

【解析】 (1) c ? ac ? b ? a , cos B ? (2)sin A ? sin C ? sin A ? sin( A ?

1 ? ,B ? 2 3

? ? 2? ? ? 5? ) ? 3 sin( A ? ) ,A ? (0, ) ,A ? ? ( , ) 3 6 3 6 6 6 3 ? 1 ∴ sin( A ? ) ? ( ,1] ,即 sin A ? sin C ? ( , 3] 6 2 2
20. 如图,空间直角坐标系中,四棱锥 P ? OABC 的底面是边长为 2 的正方形,且底面在

xOy 平面内,点 B 在 y 轴正半轴上, PB ? 平面 OABC ,侧棱 OP 与底面所成角为 45°;
(1)若 N ( x, y , 0) 是顶点在原点,且过 A 、 C 两点的抛物线上的动点,试给出 x 与 y 满足 的关系式; (2)若 M 是棱 OP 上的一个定点,它到平面 OABC 的距离为 a ( 0 ? a ? 2 ) ,写出 M 、

N 两点之间的距离 d ( x ) ,并求 d ( x ) 的最小值;
(3)是否存在一个实数 a ( 0 ? a ? 2 ) ,使得当 d ( x ) 取得最小值时,异面直线 MN 与 OB 互相垂直?请说明理由; 【解析】 (1)∵底面边长为 2 , A(1,1, 0) ,∴ y ? x (2) M (0, a, a ) , N ( x, x 2 , 0) , d ( x ) ?
2

x 4 ? (1 ? 2a) x 2 ? 2a 2 ,当 a ? (0, 0.5] ,
4a 2 ? 4a ? 1 ? 2

d ( x )min ? 2a ,当 a ? (0.5, 2) , d ( x )min

(3)当 a ? (0, 0.5] ,异面直线 MN 与 OB 成 45°角,不符;∴ a ? (0.5, 2) ,当 d ( x ) 取得 最小值时, x ?

2a ? 1 2a ? 1 2 ,y?( ) ,当异面直线 MN 与 OB 垂直时, yM ? y N ,即 2 2

(

2? 3 2a ? 1 2 ) ? a ,解得 a ? 2 2

21. 已知 k ? R , a ? 0 且 a ? 1 , b ? 0 且 b ? 1 ,函数 f ( x ) ? a x ? k ? b x ; (1)设 a ? 1 , ab ? 1 ,若 f ( x ) 是奇函数,求 k 的值; (2)设 a ? 1 ? b ? 0 , k ? 0 ,判断函数 f ( x ) 在 R 上的单调性并加以证明; (3)设 a ? 2 , b ?

1 , k ? 0 ,函数 f ( x ) 的图像是否关于某垂直于 x 轴的直线对称?如 2

果是,求出该对称轴,如果不是,请说明理由; 【解析】 ( 1) f ( ? x ) ? f ( x ) , k ? ? 1 (2) y ? a x 递增, y ? k ? b x 递增,∴ f ( x ) 递增,证明略 (3)设 x ? c , f ( x) ? f (2c ? x ) ,代入求得 c ? log 4 k ,即对称轴为 x ? log 4 k 资料整理 sh-maths

FunshineMaths
22. 已知 A 、B 为椭圆

峰行数学

x2 y2 x2 y2 ? ? 1 ( ) 和双曲线 ? ? 1 的公共顶点,P 、Q a ? b ? 0 a2 b2 a2 b2 ??? ? ??? ? ???? ??? ? 分为双曲线和椭圆上不同于 A 、 B 的动点,且满足 AP ? BP ? ? ( AQ ? BQ) ( ? ? R ,

| ? |? 1 ) ,设直线 AP 、 BP 、 AQ 、 BQ 的斜率分别为 k1 、 k2 、 k3 、 k4 ;
(1)求证:点 P 、 Q 、 O 三点共线; (2)求 k1 ? k 2 ? k3 ? k4 的值;
2 (3)若 F1 、 F2 分别为椭圆和双曲线的右焦点,且 QF1 ∥ PF2 ,求 k12 ? k2 ? k32 ? k42 的值;

【解析】 (1) A(a, 0) 、 B(? a, 0) ,设 P ( x1 , y1 ) 、 Q ( x2 , y2 ) ,∴ AP ? BP ? (2 x1 , 2 y1 ) ,

??? ? ??? ?

???? ??? ? AQ ? BQ ? (2 x2 , 2 y2 ) ,∴ ( x1 , y1 ) ? ? ( x2 , y2 ) ,即点 P 、 Q 、 O 三点共线

y1 y1 y2 y2 2 x1 y1 2 x1b2 (2) k1 ? , k2 ? , k3 ? , k4 ? , k1 ? k2 ? 2 , ? x1 ? a x1 ? a x2 ? a x2 ? a x1 ? a 2 y1a 2
k3 ? k4 ?
2 1

2 x2 y2 2 x2b 2 2 x1b 2 2 x2b 2 2b 2 x1 x2 , ? ? k ? k ? k ? k ? ? ? 2 ( ? )?0 1 2 3 4 2 x2 ? a2 y2 a 2 y1a 2 y2 a 2 a y1 y2
2 2

2 b 4 2 x12 ? 2a 2 b 4 2 x2 ? 2a 2 x12 y12 a 2 ? b 2 2 2 ( 3) k ? k ? 4 ? , k3 ? k4 ? 4 ? ,∵ 2 ? 2 ? 2 , 2 a y12 a y2 x2 y2 a ? b 2 2 2 ∴ k12 ? k2 ? k32 ? k4 ? 2 b 4 2 x12 ? 2a 2 b 4 2 x2 ? 2a 2 b4 4a 4 2 ? ? ? ? (4 x ? ), 2 2 2 a4 y12 a4 y2 a 4 y2 a 2 ? b2

2 2 x12 y12 x2 y2 a4 b4 x12 y12 a 2 ? b 2 2 2 ∵ 2 ? 2 ? 1 , 2 ? 2 ? 1, 2 ? 2 ? 2 ,∴ x2 ? 2 , y2 ? 2 , a b a b a ? b2 a ? b2 x2 y2 a ? b 2

代入上式,∴ k1 ? k2 ? k3 ? k4 ?

2

2

2

2

2 4 b4 4a 4 8 x2 b 2 (4 x ? ) ? ?8 2 4 2 2 2 4 2 a y2 a ?b a y2

23. 已知 S n 是数列 {an } 的前 n 项和, 对任意 n ? N , 都有 (1 ? m) Sn ? ? man ? 4 ( m ? 0 ) ;

*

n

an } 是等差数列,并求此时数列 {an } 的通项公式; 4n ?1 3 (2)若 m ? 4 ,求证:数列 {an ? ? 4n } 是等比数列,并求此时数列 {an } 的通项公式; m?4 a * (3)设 bn ? n ( n? N ) ,若 | bn |? 2 ,求实数 m 的取值范围; n 4
(1)若 m ? 4 ,求证:数列 { 【解析】 (1) ?3Sn ? ?4an ? 4n , ?3Sn ?1 ? ?4an ?1 ? 4n ?1 ,作差得 an ? 4an ?1 ? 3 ? 4n ?1 , 同除 4
n ?1

,∴

an an ?1 a a ? n ? 3 ,即 { nn } 为等差数列, nn ? 3n ? 1 , an ? (3n ? 1) ? 4n ?1 n ?1 ?2 ?1 ?1 4 4 4 4
n n ?1

(2) (1 ? m) Sn ? ? man ? 4 , (1 ? m) Sn ?1 ? ? man ?1 ? 4

,作差 an ? man ?1 ? 3 ? 4

n ?1



an ?

3 3 3 ? 4n ? man ?1 ? 3 ? 4n ?1 ? ? 4n ? m(an ?1 ? ? 4n ?1 ) ,公比为 m , m?4 m?4 m?4
sh-maths

资料整理

FunshineMaths
an ?

峰行数学

3 4m ? 4 n ?1 4m ? 4 n ?1 3 ? 4n ? ? m ,即 an ? ?m ? ? 4n m?4 m?4 m?4 m?4

m ? 1 m n ?1 3 m ?( ) ? , ?2 ? bn ? 2 ,若 m ? 4 , ( ) n ?1 没有上界,不符, m?4 4 m?4 4 m n ?1 m n ?1 ∴ m ? 4 ,∴ 2m ? 8 ? ( m ? 1)( ) ? 3 ? 8 ? 2m , 2m ? 5 ? ( m ? 1)( ) ? 11 ? 2m , 4 4 m m 当 m ? (0,1) , ( m ? 1)( ) n ?1 ? 11 ? 2m 恒成立,∴满足 2m ? 5 ? ( m ? 1)( ) n ?1 即可,即 4 4 2m ? 5 m n ?1 2m ? 5 ? ( ) ,∴ ? 1 ,解得 m ? 4 ,∴ m ? (0,1) ; m ?1 4 m ?1
(3) bn ? 当 m ? 1 , ?3 ? 0 ? 9 ,显然符合; 当 m ? (1, 4) ,∴ 综上, 0 ? m ?

2m ? 5 m n ?1 11 ? 2m 2m ? 5 11 ? 2m 5 ?( ) ? ,即 ? 0, ? 1 ,解得 m ? m ?1 4 m ?1 m ?1 m ?1 2

5 2

资料整理

sh-maths


2016届上海市杨浦区高考数学三模试卷(理科)(1)(解析版)

(共 18 页) 2016上海市杨浦区高考数学三模试卷(理科)参考答案与试题解析 一.填空题 1.函数 y=log2(x+1)的反函数为 y=2x﹣1(x∈R) . 【考点】反...

上海市浦东新区高考2016年数学三模试卷(理科) Word版含解析

上海市浦东新区高考2016年数学三模试卷(理科) Word版含解析_高三数学_数学_高中教育_教育专区。2016上海市浦东新区高考数学三模试卷(理科)一、填空题(本大题...

2016届上海市虹口区高考数学三模试卷(理科)(解析版)

2016上海市虹口区高考数学三模试卷(理科)(解析版)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。2016上海市虹口区高考数学三模试卷(理科)一、填空题(本大题满分 56 ...

上海市普陀区2016年高三(三模)数学文理试题含答案

上海市普陀区2016高三(三模)数学文理试题含答案_数学_初中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载上海市普陀区2016高三(三模)数学文理试题含答案_数学_初中...

上海市浦东新区2016年高三(三模)综合练习数学试卷含答案

上海市浦东新区2016高三(三模)综合练习数学试卷含答案_数学_初中教育_教育专区。浦东新区 2016高三综合练习 数学卷答案及评分参考细则(文理合卷) 一、填空题...

上海市虹口区2016届高三5月模拟(三模)数学文试题 Word版含答案

上海市虹口区2016届高三5月模拟(三模)数学文试题 Word版含答案_高三数学_数学_高中教育_教育专区。上海市虹口区2016届高三5月模拟(三模)数学文试题 Word版含...

2016年上海-浦东新区高三三模

2016上海-浦东新区高三三模_数学_高中教育_教育专区。FunshineMaths 峰行数学 浦东新区高三数学三模试卷 2016.05 一. 填空题 1. 抛物线 y ??? x 的准线...

上海市杨浦区2016届高三5月模拟(三模)数学理试题 Word版含答案

上海市杨浦区2016届高三5月模拟(三模)数学理试题 Word版含答案_高三数学_数学_高中教育_教育专区。上海市杨浦区2016届高三5月模拟(三模)数学理试题 Word版含...

上海市杨浦区2016届高三5月模拟(三模)数学理试题含答案

上海市杨浦区2016届高三5月模拟(三模)数学理试题含答案_数学_高中教育_教育专区。杨浦区高三数学三模试卷 2016.05 一. 填空题 1. 函数 y ? log 2 ( x...