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空间向量直角坐标运算


3.1.4 空间向量的直角坐标运算
1. 理解空间向量与有序数组之间的一一对应关系; 2. 能用坐标表示空间向量,掌握空间向量的坐标运算; 3. 能运用向量的坐标运算判断向量的共线与垂直. 重点、难点:空间向量的坐标运算.

1.坐标运算: (1) 建立空间直角坐标系 O ? xyz , 分别沿 x 轴, y 轴,z 轴的正方向引单位向量 i, j

, k , 则 {, i j, k} 叫做 ,单位向量 i, j , k 都叫做 . , .

(2) 在空间直角坐标系中, 对空间任一点 A , 存在唯一的有序实数组 ( x, y, z ) , 使O A ? x i y j?z k? 有序实数组 叫作向量在空间直角坐标系 O ? xyz 中的坐标,记作

(3)若 a ? (a1, a2 , a3 ) , b ? (b1, b2 , b3 ) ,则

a ? b ? _________________ , a ? b ? _________________ ,

? a ? __________________ , a b ? ___________________ 。
2.平行垂直的条件 (1) a / /b ? __________________ , (2) a ? b ? ________________________ . 3.向量夹角与长度的坐标计算公式 (1)若 a ? (a1, a2 , a3 ) , b ? (b1, b2 , b3 ) , 则 | a |?

a a ? ______________ , | b |? b b ? ________________ ,

cos a b ?

ab ? ______________________ . | a |?|b |

若 A( x1 , y1 , z1 ) , B( x2 , y2 , z2 ) 则

AB ? __________________ , | AB |? AB ? ___________________________ .

2

1.已知 a =(1,2,-1), a ? b =(-1,2,-1),则 b = A.(2,-4,2) C.(-2,0,-2) B.(-2,0,0) D.(-2,-4,2)

2. a =(-1,-5,-2), b =( x,2, x ? 2 ),若 a ? b ,则 x= A.0 B. ?

14 3

C.-6

D.±6

3.设 a =( m, ?1,2 ), b =( 3, ?4, n ),若 a // b ,则 m,n 的值分别为 A.

3 ,8 4

B. ?

3 ,8 4

C. ?

3 ,8 4

D.

3 ,-8 4

4.设向量 a ? (?1,3,2), b ? (4, ?6,2), c ? (?3,12, t ) ,若 c ? ma ? nb ,则 t=______.

探究一:空间直角坐标系与空间向量的坐标表示 思考: (1)类比平面向量的坐标表示,给你一个几何图形如何建立空间直角坐标系和求空间中点的 坐标,如在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中建立空间直角坐标系,求各个顶点的坐标,若是 空间中任意一点 P 呢?

(2):已知非零向量 a, b, c 分别平行于 x 轴,y 轴,z 轴, 它们的坐标各有什么特点?在空间直角坐标系下画出 下列向量,看看他们各自都什么特点:

a ? (0, 0, -1), b ? (0,,, -1 2) c ? (1, 0, 2), d ? (?1, 0, 0), e ? (1, 2, 0), f ? (11 , , 0),

例 1.已知 a ? (1,1,0), b ? (0,1,1), c ? (1,0,1) ,且 p ? a ? b, q ? a ? 2b ? c ,求 p, q, p ? q .

探究二:垂直与平行问题 思考 1:已知 a ? (a1,a 2 ,a3 ), b ? (b1, b2 , b3 ) , a , b 共线的充要条件为

a1 a 2 a 3 ? ? ,对么? b1 b2 b3

判 断 下 列 几 组 数 列 是 否 共 线 : (1)a ? (1,2,1), b ? (2,4,2) , (2)a ? (2,4,1), b ? (1,2,0) ,

(3)a ? (2,4,1), b ? (0,0,0) , (4)a ? (2,0,1), b ? (4,0,2)

思考 2:类比平面向量,自己归纳一下如何用空间向量的坐标判断空间向量平行和垂直? 判断下列两组向量是否平行或者垂直?

3), b ? (3, 1) ?1? a ? ( ?1, (2)a ? ( ?1, 3, ? 7), b ? (4, 6, 2)
例 2.已知 a ? (?2,2,0), b ? (?2,0,2) ,求向量 n 使得 n ? a 且 n ? b .

探究三:向量的夹角与长度计算 思考 1:比较平面向量和空间向量模长公式和夹角公式的异同? 例 3.已知 A(1,1,0), B(0,3,0), C (2, 2,3) ,求 (1) AB, AC ; (2) AC 在 AB 上的正投影的数量.

1.已知空间三点 A(-2,0,2) ,B(-1,1,2) ,C(-3,0,4) 。设 a ? AB , b ? AC , (1)求 a 和 b 的夹角 ? ; (2)若向量 k a + b 与 k a -2 b 互相垂直,求 k 的值.(3)若向量 ka+b 与 a+kb 互相平行,求 k 的值

1. 已知 A(4, 1, 3)、 B(2, -5, 1), C 为线段 AB 上一点, 满足 AC ?

1 AB , 则点 C 的坐标为______. 3

2.已知 a =(2,-3,0), b ? (k ,0,3) ,若 a 与 b 成 120° 的角,则 k=______.

3.设 A=(3,3,1)、B=(1,0,5)、C(0,1,0),则 AB 的中点 M 到点 C 的距离 | CM | =

A.

53 4

B.

53 4

C.

53 2

D.

13 2

一、必做: 1. 已知 a ? ? cos? ,1,sin ? ?, b ? ?sin ?,1,cos ? ? ,则向量 a ? b 与 a ? b 的夹角是( )

( A) 90

( B ) 60

(C ) 30

( D) 0


2.已知 a ? (1 ? t,1 ? t, t ), b ? (2, t, t ) ,则 | a ? b | 的最小值是(

( A)

5 5

( B)

55 5

(C )

3 5 5

( D)

11 5

3.已知 ABCD 为平行四边形,且 A(4,1,3), B(2, ?5,1), C(3,7, ?5) ,则点 D 的坐标为_____. 4.已知向量 b 与向量 a ? (2, ?1,2) 共线,且满足 a ? b ? 18 , (ka ? b) ? (ka ? b) ,则 b ? 二、选作: 1、已知 O 为原点,向量 OA ? ? 3,0,1? , OB ? ? ?1,1,2 ? , OC ? OA, BC / /OA, 求 AC . 2.设 a ? (2,6, ?3) ,则与 a 平行的单位向量的坐标为 同时垂直于 a ? (2,2,1), b ? (4,5,3) 的单位向量 e ? 3.已知 A(3, ?2,1), B(1,1,1) , O 为坐标原点, (1)写出一个非零向量 c ,使得 c ? 平面 AOB ; (2)求线段 AB 中点 M 及 AOB 的重心 G 的坐标; (3)求 AOB 的面积。 . , ,

2.如图,底面 ABCD 为矩形,侧棱 PA⊥ 底面 ABCD, AB ? 所成角的余弦值.

3 ,BC=1,PA=2,求直线 AC 与 PB


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