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2013高考数学单元复习训练47:双曲线

时间:2012-12-08


课时训练 47 双曲线 【说明】 本试卷满分 100 分,考试时间 90 分钟. 一、选择题(每小题 6 分,共 42 分) 1.若方程

x2 y2 =-1 表示焦点在 y 轴上的双曲线,则它的半焦距 c 的取值范围是 ? | m | ?2 m ? 1
B.(1,2) C.(1,+∞) D.以上都不对

( ) A.(0,1)

答案:C 解析:

y2 x2 ? =1 , 又 焦 点 在 y 轴 上 , 则 m-1>0 且 |m|-2>0, 故 m>2 , m ?1 | m ? 2 |
2m ? 3 >1.

c= (m ? 1) + | m | ?2 =

2.(2010 江苏南京一模,8)若双曲线的焦点到渐近线的距离等于实轴长,则该双曲线的离心 率 e 等于( ) A. 2 答案:C 解析:设双曲线方程为 B. 3 C. 5 D.

5 2

b x2 y2 bc ? 2 =1,则 F(c,0)到 y= x 的距离为 =2a ? b=2a, 2 a a b a2 + b2

e=

c = 5. a x2 y2 =1 有共同的渐近线, 且经过点 (-3, 4 2 ) ? 9 16

3.(2010 湖北重点中学模拟, 11)与双曲线 的双曲线方程是( )

y2 x2 A. =1 ? 16 9
C.

y2 x2 B. =1 ? 8 3
D.

x2 y2 =1 ? 3 16

4x 2 y 2 =1 ? 9 4

答案:A 解析:设双曲线为

(?3) 2 (4 2 ) 2 x2 y2 =λ,∴λ= =-1,故选 A. ? ? 9 16 9 16

x2 y2 4.设离心率为 e 的双曲线 C: 2 ? 2 =1(a>0,b>0)的右焦点为 F,直线 l 过点 F 且斜率为 a b
k,则直线 l 与双曲线 C 在左、右两支都相交的充要条件是( A.k2-e2>1 B.k2-e2<1 )

C.e2-k2>1 答案:C 解析:双曲线渐近线的斜率为±

D.e2-k2<1

b b b ,直线 l 与双曲线左、右两支都相交,则- <k< ,即 a a a

k2<

b2 c2 ? a2 2 = =e -1,即 e2-k2>1. a2 a2

5.下列图中的多边形均为正多边形,M、N 是所在边上的中点,双曲线均以图中的 F1、F2 为焦点,设图①②③中的双曲线的离心率分别为 e1、e2、e3,则( )

A.e1>e2>e3 C.e1=e3<e2 答案:D 解析:e1=

B.e1<e2<e3 D.e1=e3>e2

2c | F1 F2 | = = 2a | MF2 | ? | MF1 |

| F1 F2 | = 3 +1, 3 1 | F1 F2 | ( ? ) 2 2

对于②,设正方形边长为 2,则|MF2|= 5 ,|MF1|=1,|F1F2|=2 2 , ∴e2=

| F1 F2 | 2 2 10 + 2 = = ; | MF2 | ? | MF1 | 2 5 ?1

对于③设|MF1|=1,则|MF2|= 3 , |F1F2|=2, ∴e3=

| F1 F2 | 2c 2 = = = 3 +1. 2a | MF2 | ? | MF1 | 3 ?1

又易知 3 +1>

10 + 2 ,故 e1=e3>e2. 2

6.(2010 湖北重点中学模拟,11)已知椭圆 E 的离心率为 e,两焦点为 F1、F2,抛物线 C 以 F1 为 顶点,F2 为焦点,P 为两曲线的一个交点,若

| PF1 | =e,则 e 的值为( | PF2 |
C.

)

A.

3 3

B.

3 2

2 2

D.

6 3

答案:A 解析:设 P(x0,y0),则 ex0+a=e(x0+3c) ? e=

3 . 3

7.(2010 江苏南通九校模拟,10)已知双曲线

x2 y2 ? =1(a>0,b>0)的右焦点为 F,右准线与一 a2 b2
) D.90°

条渐近线交于点 A,△OAF 的面积为 A.30° 答案:D B.45°

a2 (O 为原点),则两条渐近线的夹角为( 2
C.60°

a 2 ab a2 1 ab 解析:A( , ),S△OAF= · ·c= ? a=b,故两条渐近线为 y=±x,夹角为 90°. c c 2 c 2
二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 8.已知椭圆

x2 y 2 x2 y2 + =1 与双曲线 2 ? 2 =1(m>0,n>0)具有相同的焦点 F1、F2,设两曲线的 25 16 m n

一个交点为 Q,∠QF1F2=90°,则双曲线的离心率为______________. 答案:

5 3
2 2

解析:∵a2=25,b2=16,∴c= a ? b =3. 又|QF1|+|QF2|=2a=10,|QF2|-|QF1|=2m, ∴|QF2|=5+m,|QF1|=5-m. 又|QF2|2=|QF1|2+|F1F2|2, 即(5+m)2=(5-m)2+62 ? m=

9 , 5

∴e=

c 3 5 = = . m 9 3 5

x2 y2 9.(2010 湖北黄冈一模, 15)若双曲线 ? =1 的一条准线恰为圆 x2+y2+2x=0 的一条切线, 16 k
则 k 等于_________________. 答案:48 解析:因圆方程为(x+1)2+y2=1,故-

a2 16 =-2,即 =2,k=48. c 16 + k

10.双曲线

x2 2 -y =1(n>1)的两焦点为 F1、F2,P 在双曲线上,且满足|PF1|+|PF2|=2 n + 2 ,则 n

△PF1F2 的面积为_______________. 答案:1 解析:不妨设|PF1|>|PF2|,则|PF1|-|PF2|=2 n ,故|PF1|= n + 2 +

n ,|PF2|= n + 2 ? n ,又

|F1F2|2=4(n+1)=|PF1|2+|PF2|2,∴△PF1F2 为 Rt△.故 S ΔPF1F2 =

1 |PF1|·|PF2|=1. 2

三、解答题(11—13 题每小题 10 分,14 题 13 分,共 43 分) 11.若双曲线

x2 y2 ? =1(a>0,b>0)的右支上存在与右焦点和左准线距离相等的点,求离心率 a2 b2

e 的取值范围. 解析:如右图,设点 M(x0,y0)在双曲线右支上,依题意,点 M 到右焦点 F2 的距离等于它 到左准线的距离|MN|,即

|MF2|=|MN|. ∵

ex + a | MF1 | | MF1 | =e,∴ =e, 0 =e. | MF2 | ex0 ? a | MN |

a(1 + e) . e2 ? e a(1 + e) ∵x0≥a,∴ 2 ≥a. e ?e 1+ e ∵ 2 ≥1,e>1,∴e2-e>0. e ?e
∴x0= ∴1+e≥e2-e.∴1- 2 ≤e≤1+ 2 . 但 e>1,∴1<e≤1+ 2 . 12.已知△P1OP2 的面积为

27 ,P 为线段 P1P2 的一个三等分点,求以直线 OP1、OP2 为渐近 4 13 的双曲线方程. 2

线且过点 P 而离心率为

解析:以 O 为原点,∠P1OP2 的角平分线为 x 轴建立如右图所示的直角坐标系,设双曲线方程 为

x2 y2 c2 b 13 2 b 3 ? 2 =1(a>0,b>0),由 e2= 2 =1+( )2=( ) 得 = . 2 a 2 a 2 a b a

∴两渐近线 OP1、OP2 方程分别为 y=

3 3 3 3 x 和 y=- x,设点 P1(x1, x1) ,点 P2(x2,- x2) 2 2 2 2
P1 P x + 2 x 2 3 x1 ? 2 x 2 =2.得 P 点坐标为( 1 ), , ? PP2 3 2 3

(x1>0,x2>0),则点 P 分 P P2 所成的比λ= 1

即(

x1 + 2 x 2 x1 ? 2 x 2 x2 y2 , ),又点 P 在双曲线 2 ? =1 上. 9 2 3 2 a a 4

( x1 + 2 x 2 ) 2 ( x1 ? 2 x 2 ) 2 =1, ? 所以 9a 2 9a 2
即(x1+2x2)2-(x1-2x2)2=9a2. 8x1x2=9a2. ① 又|OP1|= x1 +
2

9 2 13 x1, x1 = 4 2

|OP2|= x 2 +
2

9 2 13 x2, x2 = 4 2

3 2 tan P1OX 2 = 12 , = sinP1OP2= 2 1 + tan P1OX 1 + 9 13 4 1 1 13 12 27 x1x2· = , ∴ S ΔP1OP2 = |OP1|·|OP2|·sinP1OP2= · 2 2 4 13 4 9 即 x1x2= 2 2?
② 由①②得 a2=4,∴b2=9, 故双曲线方程为

.

x2 y2 ? =1. 4 9

13.(2010 江苏扬州中学模拟,23)已知倾斜角为 45°的直线 l 过点 A(1,-2)和点 B,其中 B 在第一象限,且 |AB|=3 2 . (1)求点 B 的坐标;

x2 2 (2)若直线 l 与双曲线 C: 2 -y =1(a>0)相交于不同的两点 E、F,且线段 EF 的中点坐标为 a
(4,1) ,求实数 a 的值. 解: (1)直线 AB 方程为 y=x-3,设点 B(x,y) ,

由?

? y = x ? 3,
2 2 ?( x ? 1) + ( y + 2) = 18,

及 x>0,y>0,得 x=4,y=1,∴点 B 的坐标为(4,1).

? y = x ? 3, ? (2)由 ? x 2 得 2 ? 2 ? y = 1. ?a


1 -1)x2+6x-10=0. 2 a

6a 2 设 E(x1,y1),F(x2,y2),则 x1+x2= =4,得 a=2,此时,Δ>0,∴a=2. 1? a2
14.如右图,F1、F2 分别是双曲线 x2-y2=1 的左、右焦点,点 A 的坐标是(

2 2 ,),点 B 2 2

在双曲线上,且 F1 A · AB =0.

(1)求点 B 的坐标; (2)求证:∠F1BA=∠F2BA. (1)解析:依题意知 F1(-2,0),F2(2,0),  A(

2 2 ,). 2 2

设 B(x0,y0),则 F1 A =( ∵ F1 A · AB =0, ∴

3 2 2 2 2 ,),  AB =(x0,y0+ ), 2 2 2 2

3 2 2 2 2 (x0)(y0+ )=0, 2 2 2 2

即 3x0-y0=2 2 . 又∵x02-y02=1, ∴x02-(3x0-2 2 )2=1, (2 2 x0-3)2=0.

∴x0=

3 4

2 ,代入 3x0-y0=2 2 ,得 y0=

2 . 4

∴点 B 的坐标为(

3 4

2,

2 ). 4
2 ),

(2)证明: BF1 =(-

7 2 2 2 2 3 ),  BF2=( ,), BA =(,2 ,4 4 4 4 4 4

cosF1BA=

BF1 ? BA | BF1 || BA |

=

20 16 10 20 ? 4 4 4 16 2 20 ? 4 4

=

5 , 5

cosF2BA=

BF2 ? BA | BF1 || BA |

=

=

5 , 5

∴∠F1BA=∠F2BA.


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