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【步步高】(全国通用)2016版高考数学大二轮总复习 增分策略 第四篇 第4讲 数列、不等式


4.数列、不等式

1.已知前 n 项和 Sn=a1+a2+a3+?+an,则 an=? 由 Sn 求 an 时,易忽略 n=1 的情况.

? ?S1 ?Sn-Sn-1 ?

?n=1? ?n≥2?

.

[问题 1] 已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n +1,则 an=

________. 2.等差数列的有关概念及性质 (1)等差数列的判断方法:定义法 an+1-an=d(d 为常数)或 an+1-an=an-an-1(n≥2). (2)等差数列的通项:an=a1+(n-1)d 或 an=am+(n-m)d. (3)等差数列的前 n 项和:Sn= (4)等差数列的性质 ①当公差 d≠0 时, 等差数列的通项公式 an=a1+(n-1)·d=dn+a1-d 是关于 n 的一次函数, 且斜率为公差 d; 前 n 项和 Sn=na1+ 项为 0. ②若公差 d>0,则为递增等差数列;若公差 d<0,则为递减等差数列;若公差 d=0,则为常 数列. ③当 m+n=p+q 时,则有 am+an=ap+aq,特别地,当 m+n=2p 时,则有 am+an=2ap. ④Sn,S2n-Sn,S3n-S2n 成等差数列. [问题 2] 已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 S10=12,S20=17,则 S30 为( A.15 B.20 C.25 D.30 )

2

n?a1+an?
2

,Sn=na1+

n?n-1? d.
2

n?n-1? d 2 d d= n +(a1- )n 是关于 n 的二次函数且常数
2 2 2

3.等比数列的有关概念及性质 (1)等比数列的判断方法: 定义法

an+1 an+1 an =q(q 为常数), 其中 q≠0, an≠0 或 = (n≥2). 如 an an an-1

5 一个等比数列{an}共有 2n+1 项,奇数项之积为 100,偶数项之积为 120,则 an+1= . 6 (2)等比数列的通项:an=a1q
n-1

或 an=amq

n-m

.

(3)等比数列的前 n 项和:当 q=1 时,Sn=na1;当 q≠1 时,Sn=

a1?1-qn? a1-anq = . 1-q 1-q

易错警示:由于等比数列前 n 项和公式有两种形式,为此在求等比数列前 n 项和时,首先要 判断公比 q 是否为 1,再由 q 的情况选择求和公式的形式,当不能判断公比 q 是否为 1 时,
1

要对 q 分 q=1 和 q≠1 两种情形讨论求解. (4)等比中项:若 a,A,b 成等比数列,那么 A 叫做 a 与 b 的等比中项.值得注意的是,不是 任何两数都有等比中项,只有同号两数才存在等比中项,且有两个,即为± ab.如已知两个 正数 a,b(a≠b)的等差中项为 A,等比中项为 B,则 A 与 B 的大小关系为 A>B. (5)等比数列的性质 当 m+n=p+q 时,则有 am·an=ap·aq,特别地,当 m+n=2p 时,则有 am·an=ap. [问题 3] (1)在等比数列{an}中, a3+a8=124, a4a7=-512, 公比 q 是整数, 则 a10=________. (2)各项均为正数的等比数列{an}中, 若 a5·a6=9, 则 log3a1+log3a2+?+log3a10=________. 4.数列求和的方法 (1)公式法:等差数列、等比数列求和公式; (2)分组求和法; (3)倒序相加法; (4)错位相减法; (5)裂项法; 如: 1 ? 1 1 1 1 1? 1 = - ; = ? - ?. n?n+1? n n+1 n?n+k? k?n n+k?
2

(6)并项法. 数列求和时要明确:项数、通项,并注意根据通项的特点选取合适的方法. 1 [问题 4] 数列{an}满足 an+an+1= (n∈N,n≥1),若 a2=1,Sn 是{an}的前 n 项和,则 S21 的 2 值为________. 5.在求不等式的解集时,其结果一定要用集合或区间表示,不能直接用不等式表示. [问题 5] 不等式-3x +5x-2>0 的解集为________. 6.不等式两端同时乘以一个数或同时除以一个数,必须讨论这个数的正负.两个不等式相乘 时,必须注意同向同正时才能进行. [问题 6] 已知 a,b,c,d 为正实数,且 c>d,则“a>b”是“ac>bd”的________条件. 7.基本不等式: (1)推广:
2

a+b
2 2

≥ ab (a,b>0) 2 ≥ ab≥ (a,b>0). 1 1 +

a2+b2 a+b
≥ 2

a b

(2)用法:已知 x,y 都是正数,则

2

①若积 xy 是定值 p,则当 x=y 时,和 x+y 有最小值 2 p; 1 2 ②若和 x+y 是定值 s,则当 x=y 时,积 xy 有最大值 s . 4 易错警示:利用基本不等式求最值时,要注意验证“一正、二定、三相等”的条件. 1 4 [问题 7] 已知 a>0,b>0,a+b=1,则 y= + 的最小值是________.

a b

8. 解线性规划问题, 要注意边界的虚实; 注意目标函数中 y 的系数的正负; 注意最优整数解. [ 问题 8] ________. 设定点 A(0,1) ,动点 P(x , y) 的坐标满足条件 ?
? ?x≥0, ?y≤x, ?

则 |PA| 的最小值是

易错点 1 an 与 Sn 关系不清 例 1 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn=n +n+1,则数列{an}的通项公式为________. 错因分析 没有注意到 an=Sn-Sn-1 成立的条件:n≥2,忽视对 n 的分类讨论. 解析 当 n=1 时,a1=S1=3; 当 n≥2 时,an=n +n+1-(n-1) -(n-1)-1=2n,
?3,n=1, ? ∴an=? ?2n,n≥2. ? ? ?3,n=1, 答案 an=? ?2n,n≥2 ?
2 2 2

易错点 2 忽视等比数列中 q 的范围 例 2 设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S3+S6=S9,则数列{an}的公比 q=________. 错因分析 没有考虑等比数列求和公式 Sn= 合题目条件. 解析 ①当 q=1 时,S3+S6=9a1,S9=9a1, ∴S3+S6=S9 成立. ②当 q≠1 时,由 S3+S6=S9, 得

a1?1-qn? 中 q≠1 的条件,本题中 q=1 恰好符 1- q

a1?1-q3? a1?1-q6? a1?1-q9? + = . 1-q 1-q 1-q
9 6 3 3 6

∴q -q -q +1=0,即(q -1)(q -1)=0.

3

∵q≠1,∴q -1≠0,∴q =1,∴q=-1. 答案 1 或-1 易错点 3 数列最值问题忽略 n 的限制 9 n * 例 3 已知数列{an}的通项公式为 an=(n+2)( ) (n∈N ),则数列{an}的最大项是( 10 A.第 6 项或第 7 项 C.第 8 项或第 9 项 B.第 7 项或第 8 项 D.第 7 项 )

3

6

错因分析 求解数列{an}的前 n 项和 Sn 的最值,无论是利用 Sn 还是利用 an 来求,都要注意 n 的取值的限制, 因为数列中可能出现零项, 所以在利用不等式(组)求解时, 不能漏掉不等式(组) 中的等号,避免造成无解或漏解的失误. 9 n+1 9 n 9 n 7-n 解析 因为 an+1-an=(n+3)( ) -(n+2)( ) =( ) · ,当 n<7 时,an+1-an>0, 10 10 10 10 即 an+1>an;当 n=7 时,an+1-an=0,即 an+1=an;当 n>7 时,an+1-an<0,即 an+1<an.故

a1<a2<?<a7=a8>a9>a10?,所以此数列的最大项是第 7 项或第 8 项,故选 B.
答案 B 易错点 4 裂项法求和搞错剩余项 例 4 在数列{an}中,an= ( A. C. ) 1 2 n 1 + +?+ ,又 bn= ,则数列{bn}的前 n 项和为 n+1 n+1 n+1 anan+1

n
2 2n n+1

B. D.

n n+1

4n n+1

错因分析 裂项相消后搞错剩余项,导致求和错误:一般情况下剩余的项是对称的,即前面 剩余的项和后面剩余的项是对应的. 解析 由已知得 an= 从而 bn= 1 = 1 2 n 1 n + +?+ = (1+2+?+n)= , n+1 n+1 n+1 n+1 2

anan+1

1 1 1 1 1 =4( - ),所以数列{bn}的前 n 项和为 Sn=4[(1- )+( - ) n n+1 n n+1 2 2 3 · 2 2

1

1 1 1 1 1 4n +( - ) +?+( - )]=4(1- )= .故选 D. 3 4 n n +1 n+1 n+1 答案 D 易错点 5 解不等式时变形不同解 例 5 解不等式 3x-5 ≥2. x +2x-3
2

4

错因分析
2

本题易出现的问题有两个方面:一是错用不等式的性质直接把不等式化为 3x-

5≥2(x +2x-3)求解;二是同解变形过程中忽视分母不为零的限制条件,导致增解. 解 原不等式可化为 即 -2x -x+1 ≥0. x2+2x-3
2

3x-5 -2≥0, x +2x-3
2

?2x-1??x+1? 整理得 ≤0, ?x-1??x+3?
? ??2x-1??x+1??x-1??x+3?≤0, 不等式等价于? ??x-1??x+3?≠0, ?

1 解得-3<x≤-1 或 ≤x<1. 2 1 所以原不等式的解集为{x|-3<x≤-1 或 ≤x<1}. 2 易错点 6 忽视基本不等式中等号成立条件 例 6 函数 y=x+ 1

x-1

(x≠1)的值域是______________________________________.

错因分析 本题易出现的错误有两个方面:一是不会“凑”,不能根据函数解析式的特征适 当变形凑出两式之积为定值;二是利用基本不等式求最值时,忽视式子的取值范围,直接套 用基本不等式求最值. 如本题易出现: 由 y=x+ +1=3,得出 y∈[3,+∞)这一错误结果. 解析 当 x>1 时,y=x+ ≥2 ?x-1?· 1 1 1

x- 1

=x-1+

1

x-1

+1≥2

?x-1?·

1

x-1

x-1

=x-1+

1

x-1

+1 1 ,即 x=2 时等号成立;

x-1

+1=3,当且仅当 x-1=

x-1

1 1 当 x<1 时,-y=-x+ =1-x+ -1 1-x 1-x ≥2 1 1 ?1-x?· -1=1,即 y≤-1,当且仅当 1-x= ,即 x=0 时等号成立. 1-x 1-x

所以原函数的值域为(-∞,-1]∪[3,+∞). 答案 (-∞,-1]∪[3,+∞)

1.(2015·重庆)在等差数列{an}中,若 a2=4,a4=2,则 a6 等于( A.-1 B.0 C.1 D.6

)

2.(2015·武汉适应性训练)已知正项等差数列{an}的前 20 项和为 100,那么 a6·a15 的最大
5

值是( A.25 C.100

) B.50 D.不存在

3.已知数列{an}是公差不为 0 的等差数列,{bn}是等比数列,其中 a1=3,b1=1,a2=b2,3a5 =b3,若存在常数 u,v 对任意正整数 n 都有 an=3logubn+v,则 u+v 等于( A.3 C.9 B.6 D.12 )

4.(2015·江南十校联考(二))已知数列{an}的通项公式为 an=log3 和为 Sn,则使 Sn<-4 成立的最小自然数 n 为( A.83 B.82 C.81 D.80 )

n

n+1

(n∈N ),设其前 n 项

*

x+y≥-1, ? ? 5. (2015·湖南)若变量 x, y 满足约束条件?2x-y≤1, ? ?y≤1,
A.-7 B.-1 C.1 D.2

则 z=3x-y 的最小值为(

)

6.把一数列依次按第一个括号内一个数,第二个括号内两个数,第三个括号内三个数,第四 个括号内一个数, ?循环分为(1), (3,5), (7,9,11), (13), (15,17), (19,21,23), (25), ?, 则第 50 个括号内各数之和为( A.195 C.392 ) B.197 D.396

1 1 2 2 7.(2015·福建六校联考)设 x,y∈R,且 xy≠0,则(x + 2)( 2+4y )的最小值为______.

y

x

a ? ??4- ?x+4?x≤6?, 2 8 . 已 知 函 数 f(x) = ? x-5 ? ?a ?x>6?

(a>0 , a≠1) . 数 列 {an} 满 足 an =

f(n)(n∈N*),且{an}是单调递增数列,则实数 a 的取值范围是________. x≥0, ? ? 9.(2015·忻州联考)不等式组?x+y≤3, ? ?y≥x+1

表示的平面区域为 Ω ,直线 y=kx-1 与区

域 Ω 有公共点,则实数 k 的取值范围为________. 10.已知函数 f(x)=

x2 (a,b 为常数)且方程 f(x)-x+12=0 有两实根 x1=3,x2=4. ax+b

(1)求函数 f(x)的解析式;
6

?k+1?x-k (2)设 k>1,解关于 x 的不等式 f(x)≤ . 2-x

1 1 11. 等比数列{an}的公比 q>1, 第 17 项的平方等于第 24 项, 求使 a1+a2+?+an> + +?

a1 a2

1 + 成立的正整数 n 的取值范围.

an

7

学生用书答案精析 4.数列、不等式 要点回扣
? n=1 ?2, [问题 1] ? ?2n-1, n≥2 ?

[问题 2] A [问题 3] (1)512 (2)10 [问题 4] 9 2

?2 ? [问题 5] ? ,1? ?3 ?
[问题 6] 充分不必要 [问题 7] 9 [问题 8] 查缺补漏 1.B [由等差数列的性质,得 a6=2a4-a2=2×2-4=0,选 B.] 2.A [由题意知 S20= 2 2

a1+a20
2

×20=100?

a1+a20
2

=5,故 a6+a15=a1+a20=10,又{an}为正项 ) =25.]
2

数列,所以,a6>0,a15>0,所以 a6·a15≤(

a6+a15
2

?3+d=q, ? 3.B [设等差数列{an}的公差为 d,等比数列{bn}的公比为 q,则? 2 ? ?3?3+4d?=q ,

解得

d=6,q=9,所以 an=6n-3,bn=9n-1,6n-3=3nlogu9+v-3logu9 对任意正整数 n 恒成立,
? ?logu9=2, 所以? ?v-3logu9=-3, ?

解得 u=v=3,故 u+v=6.]

4.C [∵an=log3

n =log3n-log3(n+1), n+1

∴Sn=log31-log32+log32-log33+?+log3n-log3(n+1)=-log3(n+1)<-4,解得 n> 3 -1=80.故最小自然数 n 的值为 81.]
4

x+y≥-1, ? ? 5.A [不等式组?2x-y≤1, ? ?y≤1

表示的平面区域如图,平移直线 y=3x-z,过 M(-2,1)

8

时,zmin=3×(-2)-1=-7.故选 A.]

6.C [将三个括号作为一组,则由 50=16×3+2,知第 50 个括号应为第 17 组的第二个括 号,即第 50 个括号中应是两个数.又因为每组中含有 6 个数,所以第 48 个括号的最末一个 数为数列{2n-1}的第 16×6=96 项,第 50 个括号的第一个数应为数列{2n-1}的第 98 项, 即为 2×98-1=195,第二个数为 2×99-1=197,故第 50 个括号内各数之和为 195+197= 392.故选 C.] 7.9 解析 1 1 1 1 2 2 2 2 (x + 2)( 2+4y )=1+4+4x y + 2 2≥1+4+2

y

x

xy

4x y ·

2 2

1

x2y2

=9,当且仅当 4x y =

2 2

x2y2

即|xy|=

2 时等号成立. 2

8.(4,8) 解析 ∵{an}是单调递增数列, 4- >0, 2 ? ? ∴?a>1, a ? ??4-2?×6+4<a ,

a

2

a<8, ? ? ?a>1, ? ?a<-7或a>4,

∴4<a<8.

9.[3,+∞) 解析 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分.直线 y=kx

-1 显然经过定点 M(0,-1),由图形直接观察知,当直线 y=kx- 1 经过直线 y=x+1 和直线 x+y=3 的交点

C(1,2)时,k 最小,此时 kCM=
因此 k≥3.

2-?-1? =3, 1-0

10.解 (1)将 x1=3,x2=4 分别代入方程

x2 -x+12=0, ax+b

9

9 ? ?3a+b=-9, 得? 16 ? ?4a+b=-8
2

??

?a=-1, ? ? ?b=2,

所以 f(x)= (x≠2). 2-x

x2

x ?k+1?x-k x -?k+1?x+k (2)不等式即为 ≤ ,可化为 ≤0, 2-x 2-x 2-x
? ??x-2??x-1??x-k?≥0, 即? ?x-2≠0. ?

2

①当 1<k<2 时,解集为 x∈[1,k]∪(2,+∞); ②当 k=2 时,解集为 x∈[1,2)∪(2,+∞); ③当 k>2 时,解集为 x∈[1,2)∪[k,+∞). 11.解 由题意,得(a1q ) =a1q ,所以 a1q =1. 1 1 1 又因为数列{ }是以 为首项,以 为公比的等比数列,要使不等式成立,
16 2 23 9

an

a1

q

1
n

a1?q -1? a1 则需 > q-1

1 n [1-? ? ]

q

1 1-

,把 a1=q

2

-18

代入上式并整理,得 q

-18

(q -1)>

n

q

1 qn-1 q(1- n),即 q-18(qn-1)>q· n ,所以 qn>q19.因为 q>1, q q 所以 n>19.故所求正整数 n 的取值范围是 n≥20,n∈N .
*

10


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