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5.裂项求和

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第五讲:裂项求和

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第五讲:裂项求和
如果说错位相减法是高考的热点,那么,裂项求和法则是高考的难点;错位相减法与裂项求和法是数列求和的两个基 本方法,两种方法不仅具有各自的用场,而且还可有机结合,裂项求和法较错位相减法则更有灵性,有更广泛的用场.

1.等差裂项 例 1:(2013 年课标Ⅰ高考试题)已

知等差数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 S3=0,S5=-5.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)求数列{
1 }的前 n 项和. a2n ?1a2n ?1

解析:(Ⅰ)设 Sn=na1+
B=

n(n ? 1) d 2 d d d 1 2 d= n +(a1- )n=An +Bn,其中 A= ,B=a1- ;由 S3=0,S5=-5 ? 3A+B=0,5A+B=-1 ? A=- , 2 2 2 2 2 2

3 ? d=-1,a1=1 ? an=2-n; 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = = = ( )? { }的前 n 项和= [( - )+( - )+ ?1 1 1 3 2 a2n ?1a2n ?1 (3 ? 2n)(1 ? 2n) (2n ? 3)( 2n ? 1) 2 2 n ? 3 2n ? 1 a2n ?1a2n ?1

(Ⅱ)由

…+(

1 1 1 1 n )]= (-1)=. 2 n ? 3 2n ? 1 2 2n ? 1 2n ? 1

[思想方法]:关于等差裂项求和法有二个问题:①如果数列{an}是等差数列,且 bn=
用裂项 bn=

1 ,则数列{bn}的前 n 项和可 an an? k

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ( ? ). = ( )求和法求解;②如果数列{an}是等差数列,则 bn= ? an an?1an? 2 2d an an?1 an?1an? 2 an an? k kd an an ? k

类题:
1.(2013 年大纲高考试题)等差数列{an}中,a7=4,a19=2a9. (Ⅰ)求{an}的通项公式; (Ⅱ)设 bn=
2

1 ,求数列{bn}的前 n 项和 Sn. nan

2.(2013 年江西高考试题)正项数列{an}满足:an -(2n-1)an-2n=0. (Ⅰ)求{an}的通项公式; (Ⅱ)令 bn=
1 ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. (n ? 1)an

2.分式裂项 例 2:(2009 年广东高考试题)己知点(1, )是函数 f(x)=ax(a>0,且 a≠1)的图象上一点,等比数列{an}的前 n 项和为
f(n)-c.数列{bn}的首项为 c,且前 n 项和 Sn 满足 Sn-Sn-1= Sn ? Sn ?1 (n≥2). (Ⅰ)求数列{an}和{bn}的通项公式; (Ⅱ)若数列{
1000 1 }的前 n 项和为 Tn,问满足 Tn> 的最小正整数 n 是多少? 2009 bnbn ?1

1 3

解析:(Ⅰ)由 f(1)=
-

1 1 1 n 1 2 ? a= ? f(n)=( ) ? a1=f(1)-c= -c,a2=[f(2)-c]-[f(1)-c]=- ,a3=[f(3)-c]-[f(2)-c] 3 3 3 3 9

2 1 2 1 n-2 1 n 2 1 a n-2 ? 公比 q= 2 = ? an=a2q =- ( ) =-2( ) ? a1=- = -c ? c=1;由 Sn-Sn-1= Sn ? Sn ?1 ? ( Sn ? Sn ?1 ) 27 9 3 3 3 3 a1 3

( Sn ? Sn ?1 )= Sn ? Sn ?1 ?
2

Sn ? Sn ?1 =1 ? 数列{ S n }是首项 S1 = b1 = c =1,公差为 1 的等差数列 ?
2 2

Sn =

n ? Sn=n ? 当 n≥2 时,bn=Sn-Sn-1=n -(n-1) =2n-1,且 b1=1 适合该式,故 bn=2n-1; (Ⅱ)因
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? = = ( ) ? Tn= + + +…+ = [(1- )+( - )+( - )+ 3 3 5 5 7 bnbn ?1 (2n ? 1)( 2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1 b1b2 b2 b3 b3b4 bnbn ?1 2

…+(

1 1 1000 1000 1000 1 1 n n 1000 ? )]= (1)= .由 Tn> > 的最小正整数 n ? ? n> ? 满足 Tn> 2n ? 1 2n ? 1 2009 2009 2 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 2009 9

18
是 112.

第五讲:裂项求和

[思想方法]:关于分式裂项应关注:①如果函数 f(n)是 n 的二次函数,函数 g(n)是 n 的 m(m≥2)次多项式函数,且 an=
g ( n) ,则首先把 an 化成 an=h(n)+ k 的形式,然后利用裂项求和法求数列{an}的前 n 项和;②an= f ( n) f (n)

1 1 = 2 n(n ? k )( n ? 2k ) k

[

1 1 ]; ? n(n ? k ) (n ? k )( n ? 2k )
2

类题:
1.(2008 年盐城第三次质检试题)己知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足:Sn +1=Sn(2+an),n 为正整数. (Ⅰ)试证:数列{
1 }为等差数列,并求 an; Sn ? 1
2 2

(Ⅱ)求证: ?
i ?1
2

n

ai 1 < . i?3 5

2.(2013 年江西高考试题)正项数列{an}的前 n 项和 Sn 满足:Sn -(n +n-1)Sn-(n +n)=0. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)令 bn=
n ?1
2 (n ? 2) 2 an

,数列{bn}的前 n 项和为 Tn.证明:对任意的 n∈N+,都有 Tn<

5 . 64

3.根式裂项 例 3:(2008 年济南第一次质检试题)在数列{an}中,a1=1,3anan-1+an-an-1=0(n≥2).
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)若λ an+
1 ≥λ 对任意 n≥2 的整数恒成立,求实数λ 的取值范围; a n ?1

(Ⅲ)设数列 bn= an ,{bn}的前 n 项和为 Tn,求证:Tn>

2 ( 3n ? 1 -1). 3
1 1 1 =3 ? 数列{ }是以 1 为首项,公差为 3 的等差数列 ? a n ?1 a n an

解析:(Ⅰ)由 3anan-1+an-an-1=0 ? 3an+1an+an+1-an=0 ?
1 1 =3n-2 ? an= ; 3n ? 2 an

(Ⅱ)λ an+ =

? 1 (3n ? 4)(3n ? 1) (3n ? 1)( 3n ? 2) (3n ? 1)( 3n ? 2) (3n ? 1)( 3n ? 2) ≥λ ? +(3n+1)≥λ ? ≥λ ,令 xn= ? xn+1-xn= 3n ? 2 a n ?1 3n 3(n ? 1) 3(n ? 1) 3(n ? 1)

28 28 (3n ? 1)( 3n ? 4) >0(n≥2) ? xn+1>xn ? xn≥x2= ,所以,实数λ 的取值范围是(-∞, ]; 3n(n ? 1) 3 3
1 3n ? 2

(Ⅲ)bn= an =

=

2 2 3n ? 2

>

2 3n ? 1 ? 3n ? 2

=

2 2 ( 3n ? 1 ? 3n ? 2 ) ? Tn=b1+b2+b3+…+bn> [( 3 ?1 ? 1 ? 3 ?1 ? 2 )+ 3 3

( 3 ? 2 ? 1 ? 3 ? 2 ? 2 )+( 3 ? 3 ? 1 ? 3 ? 3 ? 2 )+…+( 3n ? 1 ? 3n ? 2 )]= 2 ( 3n ? 1 -1).
3

[思想方法]:①如果数列{an}是以 d(d≠0)为公差的等差数列,则 bn=
<
1 an ? b

1 an?1 ? an

?

1 1 1 2 ( ? ) ;② ( an ? a ? b ? an ? b ) d an?1 a an

< ( an ? b ? an ? b ? a ) .

2 a

类题:
1.(2006 年全国高中数学联赛四川初赛试题)已知数列{ak}定义如下:ak= (Ⅰ)an+1<
1 2n ? 3
1 3 2k ? 1 ? ??? (k=1,2,…),求证: 2 4 2k

;
n

(Ⅱ)对任意的正整数 n,都有 ? ak < 2(n ? 1) -1 成立.
k ?1

第五讲:裂项求和
*

19

2.(2008 年全国高中数学联赛湖南初赛试题)已知函数 f(x)=ln(1+x)-x 在区间[0,n](n∈N )上的最小值为 bn,令 an= ln(1+n)-bn,pk=
a1a3 ? ? ? a2k ?1 * (k∈N ),求证:p1+p2+…+pn< 2an ? 1 -1. a2 a4 ? ? ? a2k

4.指对裂项 例 4:(2006 年全国 I 高考试题)设数列{an}的前 n 项和 Sn= 4 an3
2 n ?1 2 + ,n=1,2,3,…. 3 3
n 2n 3 ,n=1,2,3,….证明: ? Ti < . Sn i ?1 2

(Ⅰ)求首项 a1 与通项 an;

(Ⅱ)设 Tn=

解析:(Ⅰ)在 Sn= 4 an3
? Sn+1=

2 n ?1 2 2 n ?1 2 4 4 2 4 + 中,令 n=1 得:S1= a1- + ,并由 a1=S1 得 a1=S1=2;又由 Sn= an+ …① 3 3 3 3 3 3 3 3

2 n?2 2 2 n?2 2 n?1 2 n ?1 1 a ?1 an 4 4 4 4 4 n+1 an+1+ …②,②-①得:Sn+1-Sn= an+1- an- + ? an+1= an+1- an= + n ?1 ? an+1=4an+2 ? n 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4n?1 4n 2
1 a 1 an 1 1 1 2 1 3 1 4 ,则 b1= ,bn+1= nn? ,所以,bn+1-bn= n?1 ? bn=b1+(b2-b1)+(b3-b2)+ (b4-b3)+…+(bn-bn-1)= +[( ) +( ) +( ) +… 2 2 2 2 2 2 4 ?1 4n

? 令 bn=

+(

1 n 1 n 1 n n n n ) ]=1-( ) ? an=4 [1-( ) ]=4 -2 ; 2 2 2
n n

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 an=4 -2 ,代入 Sn= 1)(2 -1) ? Tn=
n+1

2 n ?1 2 2 n ?1 2 1 1 4 4 2 n n n 2n+2 n+1 n+1 n+1 an+ 得:Sn= (4 -2 )+ = (2 -3×2 +2)= (2 -2) (2 -1)= (2 3 3 3 3 3 3 3 3 3

2n 2n 3 3 1 1 = ? n = ( ? ) ? S n 2 (2 ? 1)( 2 n?1 ? 1) 2 2n ? 1 2n?1 ? 1

? Ti = ? (
i ?1

n

3 2

3 1 1 ? )< . 21 ? 1 2n?1 ? 1 2

[思想方法]:关于指数裂项求和法有三个公式:①
公比为 q(q≠1)的等比数列(an>0,an≠1),则
1

(a ? 1)a n 1 1 (a ? 1)n ? a 1 1 ? ? ? n?1 ? ;② ;③若{an}是 (a ? t )( a n?1 ? t ) a n ? t a n?1 ? t n(n ? 1)a n na (n ? 1)a n
n

a n ?1 n loga a loga

=logq (

a

1
n loga a

-

1
n ?1 loga a

).

类题:
1.(2010 年湖南高考试题)给出下面的数表序列: 其中表 n(n =1,2,3 表Ⅰ 1 表Ⅱ 1 4 3 1 4 12 表Ⅲ 3 8 5

? )有 n 行,第 1 行的 n 个数

是 1,3,5, ? 2n-1,从第 2 行起,每行中的每个数 都等于它肩上的两数之和. 明); (Ⅱ)每个数列中最后一行都只有一个数,它们构成数列 1,4,12 ? ,记此数列为{bn},求和:

(Ⅰ)写出表 4,验证表 4 各行中数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列,并将结论推广到表 n(n≥3)(不要求证

b3 b b ? 4 ? ? ? ? ? n?2 . b1b2 b2b3 bnbn ?1
2011 i ?1

2.(2012 年全国高中数学联赛浙江预赛试题)设{an}为等比数列,且每项都大于 1,则 lga1lga2012 ?

1 的值为 lg ai lg ai ?1

.

5.三角裂项 例 5:(2011 年安徽高考试题)在数 1 和 100 之间插入 n 个实数,使得这 n+2 个数构成递增的等比数列,将这 n+2 个数的
乘积记作 Tn,再令 an=lgTn,n≥1. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
2

(Ⅱ)设 bm=tanantanan+t,求数列{bn}的前 n 项和 Sn.
n+2 n+2

解析:(Ⅰ)设 c1,c2,…,cn+2 构成等比数列,其中 c1=1,cn+2=100,则 cicn+3-i=c1cn+2=100(i=1,2,…,n+2),Tn=c1c2…cn+2…① ?
Tn=cn+2cn+1…c1…②,①×②式得:(Tn) =(c1cn+2)(c2cn+1)…(cn+2c1)=100 ? Tn=10 ? an=lnTn=n+2;(II)由 tan1=tan[(k+1) -k]=
1 1 tan(k ? 1) ? tan k [tan(k+1)-tank]-1 ? bk=tanaktanak+1=tan(k+2)tan(k+3)= [tan(k+3)? tan(k+1)tank= tan 1 tan 1 1 ? tan(k ? 1) tan k 1 1 1 (tan4-tan3)-1]+[ (tan5-tan4)-1]+…+{ [tan(n+3)-tan(n+2)]-1}= tan 1 tan 1 tan 1

tan(k+2)]-1 ? Sn=b1+b2+…+bn=[

20
1 [tan(n+3)-tan3]-n. tan 1

第五讲:裂项求和

[思想方法]:灵活利用三角公式及其模型结构,是构造三角裂项式的关键. 类题:
1.己知正项递增数列{an}的前 n 项和 2Sn=an +n. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设 bn=
1 ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. cos an cos an ?1
1 2 an+n . 2
2

2.己知数列{an}的前 n 项和 Sn= (Ⅰ)求数列{an}的通项公式;

(Ⅱ)设 bn=cosan,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.

6.递推裂项 例 6:数列{an}满足:a1=1,an+1= 1 an2-an+2,n=1,2,3,…...
2

(Ⅰ)求证:1≤an<an+1<2; (Ⅱ)比较 ?
i ?1 n

1 40 与 an+1 的大小,并说明理由. ai 39

解析:(Ⅰ)因 an+1-an= 1 an2-2an+2= 1 (an-2)2≥0,假如 ak=2,则由 ak+1= 1 ak2-ak+2 ? ak+1=2 ? an=2 ? a1=2,与己知矛盾;所
2 2 2

以 an+1>an ? an≥a1=2;因 0<a1=1<2,假如 0<ak<2,则由 ak+1= (II)由 an+1=

1 2 1 3 ak -ak+2= (ak-1)+ ? 0<ak+1<2 ? an<an+1,1≤an<2; 2 2 2

1 1 1 1 2 2 ? an -an+2 ? 2an+1=an -2an+4 ? an(an+1-an)=(an-2)(an+1-2) ? ? ? an an ? 2 an?1 ? 2 2

?
i ?1

n

1 1 1 1 = = ?1 ? ai a1 ? 2 an?1 ? 2 2 ? an?1

1 40 an+1= ? ? 39 i ?1 ai
n

8(5an?1 ? 3)( an?1 ?

13 ) 8 .又由 a1=1,an+1= 1 an2-an+2 ? a2= 3 ,a3= 13 ,且当 n>3 时,an>a3= 13 .所以有:(i)当 39(2 ? an?1 ) 2 2 8 8

n=1 时, ?

n 1 n 1 1 40 40 40 < an+1;(ii)当 n=2 时, ? = an+1;(iii)当 n≥3 时, ? > an+1. 39 39 39 i ?1 ai i ?1 ai i ?1 ai n

[思想方法]:关于递推裂项求和法有三个公式:(1)an2=a(an-an+1) ?

1 1 1 2 2 ? ? ;(2)an =a(an+an+1)-a ? an ? a an an?1

1 1 1 1 1 1 2 2 ? ? ? ? ;(3)an =(a-b)an+1-(a+b)an-b ? . an an ? a an?1 ? a an ? a an ? b an?1 ? b

类题:
1.(2006 年山东高考试题)己知 a1=2,点(an,an+1)在函数 f(x)=x +2x 的图像上,其中 n=1,2,3…. (Ⅰ)证明:数列{lg(1+an)}是等比数列; (Ⅱ)设 Tn=(1+a1)(1+a2)…(1+an),求 Tn 及数列{an}的通项; (Ⅲ)记 bn=
1 1 2 ? .求数列{bn}的前 n 项和 Sn,并证明:Sn+ =1. an an ? 2 3Tn ? 1
2

2.(2007 年全国高中数学联赛湖北初赛试题)已知数列{an}满足递推关系式:an+1= (Ⅰ)若 a1=4,证明:(i)当 n≥2 时,有 an+1≥2an;(ⅱ)当 n≥1 时,有 an+1≥( (Ⅱ)若 a1=1,证明:当 n≥5 时,有 ?
1 <n-1. a k ?1 k
n

1 2 an -an+2,n≥1,n∈N. 2

3 n ) a n; 2


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