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一道复赛题的背景及多种解法


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课 外 园地 ?  

数 学通 讯 — — 2 O 1 1 年第 1 、 2期 ( 上半月)  

1 1 7  



道 复 赛 题 的 背景 及 多 种 解 法 
张乃贵  

( 徐州师范大学 2 0 0 9级 教 育 硕 士  江

苏省 兴 化 市 周 庄 高 级 中 学 , 2 2 5 7 1 1 )  

2 0 1 0年全 国高 中数学联 赛 江苏赛 区 复赛 一试 
第 3题 题 目是 :  

题2   通 项公 式 为 n  一 口   。 +  的数 列 { 口   ) ,   若满足 口 1 <口 2 <a 3 <口 4 < 口 5 , 且 a   > 口  l 对 7 l   ≥ 8 恒 成 立 , 则 实 数 口 的 取 值 范 围 是 
鉴 于 这 道 试 题 在 当 时 的 考 试 中 的错 误 率 相 当 

设 函数 , ( z ) 一a x   +  . 已知 厂 ( 3 ) < ( 4 ) , 且  当  ≥ 8 ,  ∈ N  时, , (   ) >f ( n +1 ) 恒 成立 , 则 

实数 n的取 值范 围是 




赛 题 的背景解 读  这 道试题 最初 的原 型是 一个 流 行 广 泛 的数列 

高, 所 以我们 有必 要对 题 2的解法 做一个 分 析.  
解 法 一  口  1 一口  一 a( n+ 1 )  + (  + 1 )一 
( a n 。 + , 2 )一 ( 2 n+ 1 ) a+ 1 ,  

典型 问题 :   题 1   设{ n   ) 是 递增 数列 , 且 n  一  。 +a n (  

口 l < 口 2 < 口 3 < a 4 < a 5 ∞ 当 1≤  ≤ 4时 ,   a  < 口  l 恒成 立 ,  
’ .


∈N  ) , 则 实数  的取值 范 围为 
它 的一种 正 确的解 法是 :  

.  

当 1≤  ≤ 4时 , 恒有( 2 n +1 ) a+ 1 > 0 ,  
,  

。 . . { 口   ) 是递增 数 列 , . ’ . Ⅱ  1 一口  一 ( , z +1 )  + 
?



川 > 一 

(  + 1 ) 一(   +, I n )一 2 n +1 + > 0 , 对 任意 的 

∈N  都 成立 ,  > [ 一( 2 n +1 ) ]   一一 3 .  
同学们在解 题 1时 十分容 易犯 下面 的错误 :   由于数 列是 特殊 的函数 , 构造 函数  ( z ) 一X  





o a >  
? n< 一 

_) l m x 一 一 寺 ?  
。 n< ( 一  一   .  

又 . . 当  ≥ 8时 , 口   > 口  1 恒 成立 ,  
?
?

+  , 。 . ‘ { 口   }是 递 增 数 列 , . ‘ .函 数 厂 (  )在 [ 1 ,  
+c o )是增 函 数 , 又 因为 二 次 函数 厂 (  )的对 称 轴 
1   、  

? . .



是  一一鲁, 所以 一   ≤1 , 即   ≥一2 .  
厶  厶 

告 < 口 < 一 1 7 .  

解 法二  构造 函数 厂 (  ) 一a x 。 + , 从 当, l ≥ 
8时 a  > 口  1 , 容 易 知 道 口< 0 .  

对 照正 确 的 解 法 进 行 反 思 知 道 : 二 次 函 数  厂 (  )的对 称 轴  一~  可 以 进 一 步 向 右 移 动 ,  
厶 

在解 题 1经 验 的基 础 上 , 我们 作 出二 次 函 数 

( n   )是递 增 数列 应 该 等 价 于 一  < 
厶  厶 

, 即 

, ( z ) 的 图 象 , 并 进 行 分 析, 可以 得 出  喾 < 一   口  
<  .一  1 < n < 一  .  

> 一 3.  

结 合 函 数  (  )的 图 象 再 次 反 思 知 道 : { a   )   是递 增 数列 等 价 于 口   < a 2 , 即1 + < 4 +2  , . 。 .  
>一 3 .  

从解 题 1 的再 次反 思 中吸取解 题 的精华 , 观察 

二 次 函数 厂 ( z )的图象 , 可 以发 现最 简洁 的解 法.  

注意 : 由于 正整 数 是离 散 的 , 所 以数 列所 对应 
的点也 是离散 的 , 不 能 简单 套 用 连续 函 数 图象 来 

解 法 三  j 。 4 <a s ’ 即f   6 “ + 4 <2   口 + 5 ,  
l 口 8 >n 9 ,。 1   6 4 a+ 8> 8 l a+ 9 ,  

? 一 ?

解决离 散 问题 , 要 做仔 细 的 分析 , 搞 清 离 散 与连 续 
的相 同点 与不 同点.   对题 1 进行拓展, 将数 列 设计 成 先增 后减 , 便 
得到泰 州 市 2 0 0 9~ 2 0 1 0学 年 度 第 一 学 期 期 末 联 

言<a < 一 南 ?  

这是 解 答 边 道 填 空题 最快 的方 法 , 优 化 的 方 
法来 源 于不断 的反 思.  
对a l< 口 2< n 3< n 4< a 5的 处 理 , 不 少 同学  ( 下转 第 1 2 0页 )  

考高三 数学试 卷 中的第 1 0题 .  

l 2 O  

数学通讯 ——2 O 1 1年 第 l 、 2期 ( 上半月)  

? 课 外 园地 ?  

例 1   已知 随机 变量  ~ N( 2 ,   。 )且 P(  < 


例2   某 校 学 生 的 数 学 成 绩 服从 正 态 分 布  N( 1 0 0 , 1 0   ) , 则 该 校 学 生 的数 学成 绩 在 9 O分 到 

1 ) 十 P(  > 7 )一 0 . 2 0 2 , 则 P( 一3 <  < 5 )= 

1 3 0分 的考 生 占总 人 数 的 百分 比为
解析  如图 1 , 依 题 意 
3 —1   2   5  7  


— —

( 已 

知  ( 3 )= 0 . 9 9 8 7,  ( 1 )= 0 . 8 4 1 3 )  

P(  <一 1 ) + 尸(  > 7 )= = : S。   十 S 2 +S s一 0 . 2 0 2 .  


解  设 表示 成绩在 9 O 分至 1 3 0 分的考 生总 
人数 , 则9 0< 导 < 1 3 0 ,  
P( 9 0<   < 1 3 O )  


因为 S 。 一S   , P( 一3 < 
< 5 )= S 2+ S 3一 S 4 + S 3 .  

图 1  

P( S< 1 3 0 )一 P(  < 9 0 )  
 

所 以[ P(   <一 1 ) +P ( e >7 ) ] +P( 一3 <e < 
5 )一 ( S l +S 2+ S 5 )+ ( S 4+ S 3 )= 1 .  



(  

)一  (  

)  

所 以 P( 一3 <  < 5 ) =l 一( S 。 +S 2 +S   ) = 
1— 0. 2 O 2= 0 .9 7 8 .  



 

( 3 )一  ( 一 1 )   ( 3 ) 一 1+ 垂( 1 )= 0 . 8 4 0 0 ,  



 

2 .着 眼 于 “ 数”  

所 以高考 数学 成绩 在 9 0分至 1 3 0分的考 生 占  总人数 的百分 比为 8 4  .  
从 上面 的 分 析 可 以看 出 , 正 态 分 布 问题 的求 

若 问题 中给 出标 准 正 态 分 布 的某 个 值 , 所求 
问题不是 标 准正态分 布 , 一 般 不 能用 图解 , 需 将一 

般 正态 分布转 化 为 标 准 正 态 分布 , 也 就 是 我 们所 
说 的“ 数 ”的方法 求解.  

解是 用“ 数” 还是 用“ 形” 要 由具体 的题 目条件 来确 
定, 用 哪一种 方法 比较好 一 点 , 使用 过程 中一定 要 

灵活处 理 , 才 能有效 提 高应用数 学知识 的能力 .  
( 收稿 日期 : 2 0 1 0 —1 0 —1 6 )  

( 上接 第 1 1 7页 )  

并没 有归纳 成 口 l <n 2 <Ⅱ 3 <n   <a 5 甘 当  ≤ 4  

时, n   <n   恒成 立 , 而是依 次 、 逐 个地解 4 个 不等  式a l <a 2 ; 口 2 <a 3 ; 口 3 <a 4 ; Ⅱ 4 <口 5 导致 运算 麻烦  和失 误. 建议 同学们在充 分思 考 的基 础 上 , 运用 数  学思 想方法 进行 简化运算 .   上述解 题 中有 两 个 突 出 的难 点 : 一 是 构 造 函  数; 二 是对 a 1 <口 2 <a 3 <口 4 <n 5 的处理. 这是导  致联 考题 2得分 率低 、 区分度低 的原 因之一 .   为 了降 低题 目的难 度 , 有效 地 提 高试 题 的 区  分 度. 我们 将联 考题 2中的数 列语言 转换 为相应 的  函数 的语 言 ( 便 于考 生 直接 用 函数 的 图 象 与 性 质  解题, 不要 再构 造 函数 ) , 并实 施 简化 ( 减 少递 增 项  的个数 ) 便 可得 到复赛题 .  
二、 赛 题 的 多种 解 法 
解 法 一  f( n+ 1 ) ~ f( n ): a ( n+ 1 ) 。 十(  
+ 1 )一 ( a n  + ” )一 ( 2 n+ 1 ) Ⅱ+ 1 ,  

解法二  考 察二 次 函数 , ( z ) 一盯 。 +z的对  称轴 和开 口方 向.   因为, 当n ≥8 时, 厂 ( n ) >厂 (  +1 ) 恒成 立 , 所 
以 n< o , 且 一  <   , 解 得 n< 一  .  

. . . 厂 ( 3 ) <厂 ( 4 ) , . . . 一  1 >  7


解 得 口 > 一 号 .  

所 以一 专<n < 一 南 -  
解 法三  因为 当  ≥ 8时 ,  (   ) > f ( n +1 )  
恒 成立 , 所 以 口< 0 , 此时 , (   ) >f ( n +1 ) 恒 成 立 

等价 于 ( 8 ) > , ( 9 ) , 即6 4 a +8 > 8 1 a +9 , 解得 a  
< 一  .  

又 因为 厂 ( 3 ) < , ( 4 ) , 所以9 a +3 < 1 6 a +4 ,  

解得 Ⅱ>一 告.  

‘ . .当 ”≥ 8时 , n  > a , l + 1 恒成立 ,  


所 以 一 号<口 1  ,  < ,  1 一 一 1 7   ?  
同学们 , 有 了上面 的这 些认 识 , 相信你 自己能  够 编一个类 似的 题 目, 并 自主解 答.  
( 收稿 日期 : 2 0 1 0 —1 0 —1 5 )  

?

? n < 一  

, 。   ? a <( ~   订) m r n  一 亩 ?  

又 .厂 ( 3 )< f( 4 ), .   . ( 2× 3+ 1 ) 口+ 1> 0,  


‘   > 一  .  
?



. 一丁 1 < a< 一 
.  


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