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2015-2016学年高中数学 第二章 随机变量及其分布本章小结 新人教A版选修2-3


2015-2016 学年高中数学 第二章 随机变量及其分布本章小结 新人 教 A 版选修 2-3

知识点一 条件概率 条件概率是学习相互独立事件的前提和基础, 计算条件概率时, 必须搞清欲求的条件概 率是在什么条件下发生的概率. 一般地, 计算条件概率常有两种方法: (1)P(B|A)= (2)P(B|A)=

P(AB) ; P(A)<

br />
n(AB) .在古典概型下, n(AB)指事件 A 与事件 B 同时发生的基本事件个数; n(A) n(A)

是指事件 A 发生的基本事件个数. 例 1 有 20 件产品,其中 5 件是次品,其余都是合格品,现不放回地从中依次抽 2 件, 求: (1)第一次抽到次品的概率; (2)第一次和第二次都抽到次品的概率; (3)在第一次抽到次品的条件下,第二次抽到次品的概率. 解析:设第一次抽到次品为事件 A,第二次抽到次品为事件 B. 5 1 (1)第一次抽到次品的概率 P(A)= = . 20 4 1 (2)P(AB)=P(A)P(B)= . 19 1 1 4 (3)在第一次抽到次品的条件下,第二次抽到次品的概率为 P(B|A)= ÷ = . 19 4 19 知识点二 求相互独立事件的概率 1.相互独立事件一般与互斥事件、对立事件结合在一起进行考查,解答此类问题时应 分清事件间的内部联系,在此基础上用基本事件之间的交、并、补运算表示出有关事件,并 运用相应公式求解. 2.特别注意以下两公式的使用前提: (1)若 A,B 互斥,则 P(A∪B)=P(A)+P(B),反之不成立. (2)若 A,B 相互独立,则 P(AB)=P(A)P(B),反之成立. 设对某目标进行三次相互独立的射击,各次的命中率分别为 0.2、0.6、0.3,试求: (1)在三次射击中恰有一次命中的概率; (2)在三次射击中至少有一次命中的概率. 解析:设“第 i 次射击命中目标”为事件 Ai(i=1,2,3),由题意 A1、A2、A3 相互独立. (1)恰有一次命中的概率为 P=P(A1A2A3)+P(A1A2A3)+P(A1A2A3) = P(A1)·P(A2)·P(A3) + P(A1)·(A2)·P(A3) + P(A1)·P(A2)·P(A3) = 0.2×(1 - 0.6)×(1-0.3)+(1-0.2)×0.6×(1-0.3)+(1-0.2)×(1-0.6)×0.3=0.488. (2)至少有一次命中的概率为 P=1-P(A1 A2 A3)=1-(1-0.2)×(1-0.6)×(1-0.3)=0.776. 知识点三 离散型随机变量的期望与方差 离散型随机变量的期望和方差是随机变量中两种最重要的特征数, 它们反映了随机变量 取值的平均值及其稳定性, 期望与方差在实际优化问题中有大量的应用, 关键要将实际问题

1

数学化,然后求出它们的 概率分布列,同时,要注意运用两点分布、二项分布等特殊分布 的期望、 方差公式以及期望与方差的线性性质, 如 E(aX+b)=aE(X)+b, D(aX+b)=a2D(X). 甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量 ξ 、η ,已知甲、 乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于 6 环,且甲射中的 10,9,8,7 环的概率分别为 0.5、3a、a、0.1,乙射中 10,9,8 环的概率 分别为 0.3,0.3,0.2. (1)求 ξ 、η 的分布列; (2)求 ξ 、η 的数学期望与方差,并以此比较甲、乙的射击技术. 解析:(1)依题意,0.5+3a+a+0.1=1 解得 a=0.1. 因为乙射中 10,9,8 环的概率 分别为 0.3,0.3,0.2,所以乙射中 7 环的概率为 1-(0.3+0.3+0.2)=0.2. 所以 ξ 、η 的分布列分别为: ξ 10 0.5 10 0.3 9 0.3 9 0.3 8 0.1 8 0.2 7 0.1 7 0.2

P
η

P

(2)由(1)可得 E(ξ )=10×0.5+9×0.3+8×0.1+7×0.1=9.2(环); E(η )=10×0.3+9×0.3+8×0.2+7×0.2=8.7(环); D(ξ )=(10-9.2)2×0.5+(9-9.2)2×0.3+(8-9.2)2×0.1+(7-9.2)2×0.1=0.96; D(η )=(10-8.7)2×0.3+(9-8.7)2×0.3+(8-8.7)2×0.2+(7-8.7)2×0.2=1.21. 由于 E(ξ )>E(η ),说明甲平均射中的环数比乙高; 又因为 D(ξ )<D(η ),说明甲射中的环数比乙集中,比较稳定.所以,甲比乙的技术好. 知识点四 正态分布 对于正态分布问题, 课标要求不是很高, 只要求了解正态分布中最基础的知识, 主要是: (1)掌握正态分布曲线函数关系式;(2)理解正态分布曲线的性质;(3)记住正态分布在三个 区间内取值的概率,运用对称性结合图象求相应的概率. 某地数学考试的成绩 X 服从正态分布, 某密度函数曲线如下图所示, 成绩 X 位于区间 (52,68]的概率为多少? 解析:设成绩 X~N(μ ,σ ), 则正态分布的密度函数 φ e, 2π σ 由图可知,μ =60,σ =8.∴P(52<X≤68)=P(|X-60|<8)=P(|X-μ |<σ )=0.682 6.
μ ,σ 2

(x)=

1

一、选择题 1.(2013·广东卷)已知离散型随机变量 X 的分布列为:

X P
则 X 的数学期望 E(X)=(A)

1 3 5

2 3 10

3 1 10

2

A.

3 2

5 B.2 C. 2

D.3

3 3 1 15 3 解析:E(X)=1× +2× +3× = = ,故选 A. 5 10 10 10 2 2.(2013·景德镇高二期末)已知某离散型随机变量 X 服从的分布列如下:

X P
则随机变量 X 的方差 D(X)等于(B) A. 1 9 2 B. 9 1 C. 3 2 D. 3

0

1 2m

m

2 2 1 1 2 2 ? 2? 1 ? 2? 解析:由 m+2m=1 得,m= ,∴E(X)=0× +1× = ,D(X)=?0- ? × +?1- ? × 3 3 3 3 ? 3? 3 ? 3? 2 2 = ,故选 B. 3 9 1? ? 3.若随机变量 X 服从正态分布,其正态曲线上的最高点的坐标是?10, ?,则该随机变 2? ? 量的方差等于(C) A.10 B.100 2 C. π D. 2 π

1? 1 1 2 ? 2 解析:由正态分布密度曲线上的最高点?10, ?知 = ,∴D(X)=σ = . 2? 2 π ? 2π ·σ 4.(2014·兰州一诊)随机变量 X 的分布列为:

X P

1 0.4

2 0.3

4 0.3

则 E(5X+4)等于(A) A.15 B.11 C.2.2 D.2.3 解析:∵E(X)=1×0.4+2×0.3+4×0.3=2.2,∴E(5X+4)=5E(X)+4=11+4=15. 能 力 提 升 1 1 1 5.甲射击命中目标的概率是 ,乙 命中目标的概率是 ,丙命中目标的概率是 ,现在 2 3 4 三人同时射击目标,则目标被击中的概率是(A) A. 3 2 4 B. C . 4 3 5 D. 7 10
2

6.已知一次考试共有 60 名同学参加,考生成绩 X~N(110,5 ),据此估计,大约有 57 人的分数所在的区间为(C) A.(90,100] B.(95,125] C.(100,120] D.(105,115] 57 2 解析:因为 X~N(110,5 ),所以 μ =110,σ =5. =0.95≈P(μ -2σ <X≤μ +2σ ) 60 =P(100<X≤120),所以 X∈(100,120].故选 C. 7.把 10 个骰子全部投出,设出现 6 点的骰子的个数为 X,则 P(X≤2)=(D)

3

2 8 ?1? ?5? 2 A.C10×? ? ×? ? ?6? ?6? 1 ?5?9 ?5?10 1 B.C10× ×? ? +? ? 6 ?6? ?6?
2 1 ?5?9 2 1 ?5?8 1 C.C10× ×? ? +C10× ×? ? 6 ?6? 6 ?6?

D.以上都不对 0 10 9 ?1? ?5? +C1 ×1×?5? +C2 × 解析: P(X≤2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=C0 10×? ? ×? ? 10 ? ? 10 6 ?6? ?6? ?6?

?1? ×?5? .故选 D. ?6? ?6? ? ? ? ?
8. (2014·成都调研)已知抛物线 y=ax +bx+c(a≠0)的对称轴在 y 轴的左侧, 其中 a, b,c∈{-3,-2,-1,0,1,2,3},在这些抛物线中,记随机变量 X 为“|a-b|的取值”, 则 X 的数学期望 E(X)为(A) A. 8 9 3 B. 5 2 C. 5 1 D. 3
1 1 1 2

2

8

解析:对称轴在 y 轴的左侧(a 与 b 同号)的抛物线有 2C3C3C7=126(条),X 的可能取值 6×7 1 8×7 4 4×7 2 1 4 有 0, 1, 2.P(X=0)= = , P(X=1)= = , P(X=2)= = , 故 E(X)=0× +1× 126 3 126 9 126 9 3 9 2 8 +2× = . 9 9 9.将一颗骰子连掷 100 次,则点 6 出现次数 X 的均值 E(X)=________. 1? 1 50 ? 解析:这是 100 次独立重复试验,X~B?100, ?,∴E(X)=100× = . 6? 6 3 ? 50 答案: 3 10.某射手射击所得环数 ξ 的分布列如 下: ξ 7 8 9 10

x 0. 1 0.3 y 已知 ξ 的期望 E(ξ )=8.9,则 y 的值为________. 解析:由分布列可得 x=0.6-y 且 7x+0.8+2.7+10y=8.9,解得 y=0.4.
答案:0.4 11.将一个大正方形平均分成 9 个小正方形,向大正方形区域随机地投掷一个点(每次 都能投中),投中最左侧 3 个小正方形区域的事件记为 A,投中最上面 3 个小正方形或正中 间的 1 个小正方形区域的事件记为 B,则 P(A|B)=__ __________. 1 4 P(AB) 1 解析:根据几何概型,得 P(AB)= ,P(B)= ,所以 P(A|B)= = . 9 9 P(B) 4 1 答案: 4

P

4

1 12. (2014·浙江卷)随机变量 ξ 的取值为 0, 1, 2.若 P(ξ =0)= , E(ξ )=1, 则 D(ξ ) 5 =________. 解析:设 P(ξ =1)=x,P(ξ =2)=y, 3 4 x= , ? 5 ?x+y= , 5 ? 则? 1 ? y= , ?x+2y=1 5

? ? ? ? ?

1 3 1 2 2 2 2 所以 D(ξ )=(0-1) × +(1-1) × +(2-1) × = . 5 5 5 5 2 答案: 5 13. (2013·广东珠海高二下学期期末)在一次购物抽奖活动中, 假设某 6 张券中有一等 奖券 1 张,可获价值 50 元的奖品;有二等奖券 1 张,每张可获价值 20 元的奖品;其余 4 张没有奖.某顾客从此 6 张中任抽 1 张,求: (1)该顾客中奖的概率; (2)该顾客参加此活动可能获得的奖品价值的期望值. 2 1 1 解析:(1)P= = ,即该顾客中奖的概率为 . 6 3 3 (2)X 的所有可能值为:0,20,50(元), C4 4 2 C1 1 C1 1 且 P(X=0)= 1= = ,P(X=20)= 1= ,P(X=50)= 1= , C6 6 3 C6 6 C6 6 故 X 的分布列为:
1 1 1

X P
2 3 1 6 1 70 6 6

0 2 3 35 3

20 1 6

50 1 6

E(X)=0× +20× +50× = = .
所以该顾客参加此活动可能获得奖品价值的期望值是 35 元. 3

14.坛子里放着 5 个相同大小、相同形状的咸鸭蛋,其中有 3 个是绿皮的,2 个是白皮 的.如果不放回地依次拿出 2 个鸭蛋,求: (1)第一次拿出绿皮鸭蛋的概率; (2)第 1 次和第 2 次都拿到绿皮鸭蛋的概率; (3)在第 1 次拿出绿皮鸭蛋的条件下,第 2 次拿出绿皮鸭蛋的概率. 解析:设第 1 次拿出绿皮鸭蛋为事件 A,第 2 次拿出绿皮鸭蛋为事件 B,则第 1 次和第 2 次都拿出绿皮鸭蛋为事件 AB. 2 (1)从 5 个鸭蛋中不放回地依次拿出 2 个的基本事件数为 μ (Ω )=A5=20. 1 1 又 μ (A)=A3×A4=12. μ (A) 12 3 于是 P(A)= = = . μ (Ω ) 20 5 (2)因为 μ (AB)=A3=6, μ (AB) 6 3 所以 P(AB)= = = . μ (Ω ) 20 10
5
2

(3)解法一:由(1)(2)可得,在第 1 次拿出绿皮鸭蛋的条件下,第 2 次拿出绿皮鸭蛋的 3

P(AB) 10 1 概率为 P(B|A)= = = . P(A) 3 2
5 解法二:因为 μ (AB)=6,μ (A)=12, μ (AB) 6 1 所以 P(B|A)= = = . μ (A) 12 2 15.(201 4·甘肃省三诊)甲、乙、丙、丁 4 名同学被随机地分到 A、B、C 三个社区参 加社会实践,要求每个社区至少有一名同学. (1)求甲、乙两人都被分到 A 社区的概率; (2)求甲、乙两人不在同一个社区的概率; (3)设随机变量ξ 为四名同学中到 A 社区的人数,求 ξ 的分布列和 E(ξ )的值. 解析:( 1)记甲、乙两人同时到 A 社区为事件 M,那么 P(M)= 1 即甲、乙两人同时到 A 社区的概率是 . 18 (2)记甲、乙两人在同一社区为事件 E,那么 A3 1 P(E)= 2 3= , C4A3 6 所以,甲、乙两人不在同一社区的概率是 5 6
3

A2 1 , 2 3= C4A3 18

2

P(E)=1-P(E)= .
(3)随机变量 ξ 可能取的值为 1, 2.事件“ξ =i(i=1, 2 )”是指有 i 个同学到 A 社区, C4A2 1 则 p(ξ =2)= 2 3= . C4A3 3 2 所以 p(ξ =1)=1-p(ξ =2)= , 3 ξ 的分布列是: ξ 1 2 3 2 1 3
2 2

p
2 1 4 ∴E(ξ )=1× +2× = . 3 3 3

16.(2014·陕西卷)在一块耕地上种植一种作物,每季种植成本为 1000 元,此作物的 市场价格和这块地上的产量均具有随机性,且互不影响,其具体情况如下表: 作物产量(kg) 概 率 300 0.5 6 0.4 500 0.5 10 0.6

作物市场价格(元/kg) 概 率

(1)设 X 表示在这块地上种植 1 季此作物的利润,求 X 的分布列; (2)若在这块地上连续 3 季种植此作物, 求这 3 季中至少有 2 季的利润不少于 2000 元的 概率.
6

解析: (1)设 A 表示事件“作物产量为 300 kg” , B 表示事件“作物市场价格为 6 元/kg” , 由题设知 P(A)=0.5,P(B)=0.4, ∵ 利润=产量× 市场价格-成本, ∴ X 所有可能的取值为 500×10-1000=4000,500×6-1000=2000, 300×10-1000=2000,300×6-1000=800. P(X=4000)=P(A)P(B)=(1-0.5)×(1-0.4)=0.3, P(X=2000) =P(A)P(B)+P(A)P(B)=(1-0.5)×0.4+0.5×(1-0.4)=0.5, P(X=800)=P(A)P(B)=0.5×0.4=0.2, 所以 X 的分布列为:

X P

4000 0.3

2000 0.5

800 0.2

(2)设 Ci 表示事件“第 i 季利润不少于 2000 元”(i=1,2,3),由题意知 C1,C2,C3 相互独立,由(1)知,P(Ci)=P(X=4000)+P(X=2000)=0.3+0.5=0.8(i=1,2,3),3 季的利润均不少于 2000 元的概率为 P(C1C2C3)=P(C1)P(C2)P(C3)=0.83=0.512; 3 季中有 2 季利润不少于 2000 元的概率为 P(C1C2C3)+P(C1C2C3)+P(C1C2C3)=3×0.82×0.2=0.384,所以,这 3 季中至少有 2 季的 利润不少于 2000 元的概率为 0.512+0.384=0.896.

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