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宁夏银川一中2014届高三第三次模拟考试 理科数学 Word版含答案


绝密★启用前

2014 年普通高等学校招生全国统一考试









(银川一中第三次模拟考试)

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,其中第Ⅱ卷第 22~24 题为选考题,其它 题为必考题。考生作答时,将答案答

在答题卡上,在本试卷上答题无效。考试结束后,将本试卷和答题卡 一并交回。 注意事项: 1.答题前,考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,认真核对条形码上的姓名、准考 证号,并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。 2.选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案的标号;非选择题答 案使用 0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整、笔迹清楚。 3.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。 4.保持卡面清洁,不折叠,不破损。 5.做选考题时,考生按照题目要求作答,并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

第I卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求 的. 1.已知集合 A ? {x || x | ?1} , B ? {x | log1 x <0 } ,则 A ? B 是
3

A. ?

B. (-1,1)

C. (0, )

1 2

D.(0,1)

2.若 (1 ? 2ai)i ? 1 ? bi ,其中 a、b∈ R,i 是虚数单位,则 | a ? bi |? A.

1 ?i 2

B. 5

C.

5 2

D.

5 4

? y?x ? 3.已知实数 x, y 满足 ? x ? y ? 1 ,则目标函数 z ? 2 x ? y -1 的最大值为 ? y ? ?1 ?
A.5 B.4 C.

1 2

D. ?3

4.在等比数列{a n}中, a1 ? 27, a4 ? a3 a5 ,则 a6 = A.

1 81

B.

1 27

C.

1 9

D.

1 3

5.将 4 名学生分别安排到甲、乙,丙三地参加社会实践活动,每个地方至少安排一名学生参加,则不同 的安排方案共有 A.36 种 B.24 种 C.18 种 D.12 种

6.已知双曲线 kx2 ? y 2 ? 1(k ? 0) 的一条渐近线与直线 2x+y-3=0 垂直,则双曲线的离心率是 A.

5 2

B.

3 2

C. 4 3

D. 5

7.已知某个几何体的三视图如图(主视图中的弧线是半圆) , 根据图中标出的尺寸,可得这个几何体的体积是 A. 12 ?

2? 3

B. 8 ?

2? 3

C. 12 ? ?

D. 8 ? ?

8.已知 a 为如图所示的程序框图输出的结果,

1 ? ? 则二项式 ? a x ? ? 的展开式中常数项是 x? ?
A. -20 5 B. 2 C. -192 D. -160

6

9.设

?
2

?? ?? , sin ? ?

4 sin 2 ? ? sin 2? ,则 的值为 5 cos2 ? ? cos 2?
B.10 C.-4 D. -20

A.8

10.已知正三角形 ABC 的边长是 3, D 是 BC 上的点,BD=1,则 AD ? BC = A. ?

9 2

B. ?

3 2

C.

15 2

D.

5 2

11.已知抛物线 C:y2=8x 的焦点为 F,点 M (?2,2) ,过点 F 且斜率为 k 的直线与 C 交于 A,B 两点,若

MA ? MB ? 0 ,则 k=
A. 2 B.

2 2

C.

1 2

D. 2

12 . 设 f ( x ) 是 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 , ?x ? R , 都 有 f (2 ? x) ? f (2 ? x) , 且 当 x ?[0, 2] 时 , 若函数 g ( x) ? f ( x) ? loga ( x ? 1) ? a ? 0, a ? 1? 在区间 (?1, 9] 内恰有三个不同零点, f ( x) ? 2x ? 2 , 则实数 a 的取值范围是 A. (0, C. ( ,

1 ) ( 7, ? ?) 9 7)

B.

1 ( , 1) (1, 9

3)

1 1 ) ( 3, 9 5

D. ( ,

1 1 ) ( 5, 3) 7 3

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分. 第 13 题~第 21 题为必考题, 每个试题考生都必须做答. 第 22 题~ 第 24 题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.某工厂生产 A、B、C 三种不同型号的产品,产品的数量之比依次为 2:3:4,现用分层抽样方法抽出 一个容量为 n 的样本,样本中 A 种型号产品有 18 件,那么此样本的容量 n= 14.已知 ? ABC 中,AB=5,BC=7,∠BAC= 15.下面给出的命题中: ①“m=-2”是直线 (m ? 2) x ? my ? 1 ? 0 与 “直线 (m ? 2) x ? (m ? 2) y ? 3 ? 0 相互垂直”的必要不充分 条件; ②已知函数 f (a) ? 。

? ,则 ? ABC 的面积为______________. 3

?

? sin xdx, 则 f [ f ( )] ? 1 ? cos1. 0 2
a

③已知 ? 服从正态分布 N (0, ? 2 ) ,且 P(?2 ? ? ? 0) ? 0.4 ,则 P(? ? 2) ? 0.2;
2 2 ④已知⊙ C1 : x ? y ? 2 x ? 0 ,⊙ C2 : x 2 ? y 2 ? 2 y ? 1 ? 0 ,则这两圆恰有 2 条公切线;

⑤将函数 y ? cos 2 x 的图象向右平移 其中是真命题的有

? ? 个单位,得到函数 y ? sin(2 x ? ) 的图象。 6 3
S n 2n ? 3 ? , 则 Tn 4n ? 3

_____________。 (填序号)
*

16. 设 等 差 数 列 {an } 、 {bn } 的 前 n 项 和 分 别 为 S n 、 Tn , 若 对 任 意 n ? N 都 有

a7 a5 =____________________. ? b3 ? b9 b4 ? b8
三、解答题:解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤 17.(本小题满分 12 分) 已知向量 a ? (2 cos( x ? ? ), ?2 sin( x ? ? )), b ? (cos( x ? ? ), ? sin( x ? ? )) , f ( x) ? a ? b ? 2 .
6 4 6 4

(1)求函数 f ( x ) 的最小正周期; (2)求函数 f ( x ) 在区间 [? 18. (本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PC ? 底面 ABCD, 底面 ABCD 是直角梯形, AB ? AD , AB // CD ,

, ] 上的最值. 12 2

? ?

P

E

AB ? 2 AD ? 2CD ? 2 ,E 是 PB 的中点。
(Ⅰ)求证:平面 EAC ? 平面 PBC; (Ⅱ)若二面角 P ? AC ? E 的余弦值为 19. (本小题满分 12 分)

A

B

D C 6 ,求直线 PA 与平面 EAC 所成角的正弦值。 3

为了了解青少年视力情况,某市从高考体检中随机抽取 16 名学生的视力进行调查,经医生用对数视 力表检查得到每个学生的视力状况的茎叶图(以小数点前的一位数字为茎,小数点后的一位数字为叶)如 下:

学生视力测试结果 4 5 3 5 6 6 6 7 7 7 8 8 9 9 0 1 1 2

(1)若视力测试结果不低丁 5.0,则称为“好视力”,求校医从这 16 人中随机选取 3 人,至多有 1 人 是“好视力”的概率; (2)以这 16 人的样本数据来估计该市所有参加高考学生的的总体数据,若从该市参加高考的学生中任 选 3 人,记 ? 表示抽到“好视力”学生的人数,求 ? 的分布列及数学期望. 20. (本小题满分 12 分)

2 x2 y 2 2 3 已知 F1、F2 分别为椭圆 C: 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)的左、右焦点, 且离心率为 ,点 A(? , )椭 2 a b 2 2
圆 C 上。 (1)求椭圆 C 的方程; (2)是否存在斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 M、N,使直线 F2 M 与 F2 N 的倾斜角互补, 且直线 l 是否恒过定点,若存在,求出该定点的坐标;若不存在,说明理由。高 考 资 源 网

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=

1 2x e -ax(a∈R,e 为自然对数的底数). 2 1 2x 2 e +x +x 在区间(0,+ ? )上为增函数,求整数 m 的最大 4

(1)讨论函数 f(x)的单调性; (2) 若 a=1 ,函数 g(x)=(x -m)f(x )值.

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.答时用 2B 铅笔在答 题卡上把所选题目的题号涂黑. 22.(本小题满分 10 分)选修 4—1: 几何证明选讲. 如图所示,已知⊙O1 和⊙O2 相交于 A、B 两点,过 A 点作⊙O1 的切线交⊙O2 于点 C,过点 B 作两圆的割线,分别 交⊙O1、⊙O2 于点 D、E,DE 与 AC 相交于点 P. (1)求证:AD∥EC; (2)若 AD 是⊙O2 的切线,且 PA=6,PC=2,BD=9,求 AD 的长. 23.(本小题满分 10 分)选修 4—4: 坐标系与参数方程. 圆的直径 AB 上有两点 C,D,且 AB ? 10, AC ? BD ? 4, P 为 圆上一点,求 PC ? PD 的最大值。 24. (本小题满分 10 分)选修 4—5: 不等式选讲. 已知 a,b 均为正数,且 a+b=1,证明: 理科数学试卷 第 5 页(共 6 页)

2 2 (1) ? ax ? by ? ? ax ? by 2

(2) ? a ?

? ?

1? ? 1 ? 25 ? ? ?b ? ? ? a? ? b? 2

2

2

银川一中 2014 届高三第三次模拟数学(理科)试卷参考答案
一.ACBCA, 二.13.81 三. 17.(12 分)解: (1)f(x)= 2 cos( x ? = cos( 2 x ? ADDCB, DC 15。②④⑤ 16。

14。 10 3

19 41

?
6

) ? cos( x ?

?
6

) ? 2 sin( x ? ) ?1.

?
4

) sin( x ?

?
4

)?2

?
3

) -cos2x-1= sin( 2 x ? 2? ?? . 2

?
6

………………4 分

∴函数 f(x)的最小正周期是 T ? (2)∵x∈ [? ∴?

………………6 分

, ], 12 2

? ?

∴?

?
3

? 2x ?

?
6

?

5? , 6

………………8 分

3 ? ? sin(2 x ? ) ? 1, 2 6

………………10 分

∴f(x)的最大值是 0, 18. (本小题满分 12 分)

最小值是 ?

3 ? 1 .………………12 分 2

解: (Ⅰ)? PC ? 平面 ABCD, AC ? 平面 ABCD,? AC ? PC ,

AB ? 2 , AD ? CD ? 1 ,? AC ? BC ? 2

? AC 2 ? BC 2 ? AB2 ,? AC ? BC
又 BC ? PC ? C ,? AC ? 平面 PBC, ∵ AC ? 平面 EAC,? 平面 EAC ? 平面 PBC ……………6 分 z P E x A B C

(2)以 C 为原点,建立空间直角坐标系如图所示, 则 C(0,0,0) ,A(1,1,0) ,B(1,-1,0) 。 设 P(0,0,a) (a>0) ,则 E(

1 1 a ,? , ) , 2 2 2

1 1 a CA ? (1,1,0) , CP ? (0,0, a) , CE ? ( ,? , ) , 2 2 2
y D 取 m =(1,-1,0)……………8 分 则 m ? CP ? m ? CA ? 0 ,? m 为面 PAC 的法向量

设 n ? ( x, y, z) 为面 EAC 的法向量,则 n ? CA ? n ? CE ? 0 , 即?

? x ? y ? 0, ,取 x ? a , y ? ? a , z ? ?2 , ? x ? y ? az ? 0

则 n ? (a,?a,?2) , 依题意, cos ? m, n ? ?

m?n mn

?

a a2 ? 2

?

6 ,则 a ? 2 。 3

于是 n ? (2,?2,?2) 设直线 PA 与平面 EAC 所成角为 ? ,则 sin ? ? cos ? PA, n ? ?

PA ? n PA n

?

2 , 3

即直线 PA 与平面 EAC 所成角的正弦值为 19. (12 分) 解:

2 。……………12 分 3

(1)设 Ai 表示所取 3 人中有 i 个人是“好视力”,至多有 1 人是“好视力”记为事件 A ,
3 1 2 C12 C4 C12 121 ? ? 3 3 140 C16 C16

则 P( A) ? P( A0 ) ? P( A1 ) ?

……………6 分 …………………7 分

(2) ξ 的可能取值为 0、1、2、3

3 27 P(? ? 0) ? ( ) 3 ? ; 4 64

1 P (? ? 1) ? C 3

1 3 2 27 ( ) ? 4 4 64

1 3 9 1 3 1 P(? ? 2) ? C32 ( ) 2 ? ; P(? ? 3) ? ( ) ? 4 4 64 4 64
分布列为

ξ
P

0

1

2

3

27 64

27 64

9 64

1 64

……………………10 分

E? ?

3 . 4

……………………12 分

20. (12 分) (1) ? 椭圆的方程为

x2 ? y 2 ? 1. ……………………6 分 2

? x2 ? ? y 2 ? 1, (2)由题意,知直线 MN 存在斜率,其方程为 y ? kx ? m. 由 ? 2 ? y ? kx ? m ?
消去 y, 得(2k ? 1) x ? 4kmx ? 2m ? 2 ? 0.
2 2 2

△=(4km)2—4(2k2+1)(2m2—2)>0 ( ) 设 M ( x1 , y1 ), N ( x 2 , y 2 ), 则 x1 ? x 2 ? ?

4km 2m 2 ? 2 , x x ? , 1 2 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1

………………8 分

又 k F2 M ?

kx1 ? m kx ? m , k F2 N ? 2 x1 ? 1 x2 ? 1 kx1 ? m kx 2 ? m ? ? 0. x1 ? 1 x2 ? 1

由已知直线 F2M 与 F2N 的倾斜角互补, 得 k F2 M ? k F2 N ? 0, 即

化简,得 2kx1x2 ? (m ? k )( x1 ? x2 ) ? 2m ? 0

? 2k ?

2m 2 ? 2 4km(m ? k ) ? ? 2m ? 0 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1
……………………10 分

整理得 m ? ?2k .

直线 MN 的方程为 y ? k ( x ? 2) , 因此直线 MN 过定点,该定点的坐标为(2,0) …………………12 分 21. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)定义域为 (??, ? ?) , f ' ( x) ? e
2x

?a,

当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x ) 在 (??, ? ?) 上为增函数;………………2 分 当 a ? 0 时,由 f ' ( x) ? 0 得 x ? 当 x?(

ln a ln a ,且当 x ? ( ?? , ) 时, f ' ( x) ? 0 , 2 2

ln a , ? ? ) 时 f ' ( x) ? 0 , 2 ln a ln a ) 为减函数,在 x ? ( , ? ?) 为增函数.……………6 分 2 2

所以 f ( x ) 在 x ? ( ?? ,

2x (Ⅱ)当 a ? 1 时, g ( x) ? ( x ? m)( e ? x) ?

1 2

1 2x e ? x2 ? x , 4

? ?) 上为增函数, 若 g ( x) 在区间 (0,

? ?) 恒成立, 则 g '( x) ? ( x ? m)(e2 x ?1) ? x ? 1 ? 0 在 (0,
即m ?

x ?1 ? x 在 (0, ? ?) 恒成立 e2 x ? 1
x ?1 ? x , x ? (0, ? ?) ; e2x ? 1

………………8 分

令 h( x ) ?

h' ( x) ?
1 2

e 2 x (e 2 x ? 2 x ? 3) ? ?) ;令 L( x) ? e 2 x ? 2 x ? 3 , , x ? (0, (e 2 x ? 1) 2

2 可知 L ( ) ? e ? 4 ? 0 , L(1) ? e ? 5 ? 0 ,

? ?) 时 L' ( x) ? 2e 又当 x ? (0,
所以函数 L( x) ? e
2x

2x

? 2 ? 0,

? ?) 只有一个零点,设为 ? ,即 e 2? ? 2? ? 3 , ? 2 x ? 3 在 x ? (0,

1 ) 且? ? ( , ;…………9 分

1 2

由上可知当 x ? (0,? ) 时 L( x) ? 0 ,即 h' ( x) ? 0 ;当 x ? (?, ? ?) 时 L( x) ? 0 ,即 h' ( x) ? 0 , 所以 h( x ) ?

x ?1 ? ?1 ? x , x ? (0, ? ? ,…………10 分 ? ?) ,有最小值 h(? ) ? 2? 2x e ?1 e ?1 1 1 3 ? ? ,又因为 ? ? ( , 1 ) (1, ) , ,所以 h(? ) ? 2 2 2

把 e 2? ? 2? ? 3 代入上式可得 h(? ) ?

又 m ? h( x) 恒成立,所以 m ? h(? ) ,又因为 m 为整数, 所以 m ? 1 ,所以整数 m 的最大值为 1.…………………12 分

23.解:如图建立直角坐标系,因为 AB ? 10 ,所以圆的 参数方程为:

? x ? 5Cos? (? 为参数) ? ? y ? 5Sin?
因为 AC ? BD ? 4, 所以C, D的坐标为C(-1,0),D(1,0) 因为点 P 在圆上,所以设点 P 的 坐标为 ? 5Cos? ,5Sin? ? 所以, ( PC ? PD ) ? ( 26 ? 10Cos? ? 26 ? 10Cos? ) ? 52 ? 2 26 ? 100Cos ?
2 2 2 2

当 Cos? ? 0时,PC ? PD
2

?

?

2 max

? 104, 所以,( PC ? PD )max ? 2 26

2 2 2 2 24.证明: (1) ? ax ? by ? ? (ax ? by ) ? a (a ? 1) x ? b(b ? 1) y

因为 a+b=1,所以,a-1=-b,b-1=-a,故

? ax ? by ?

2

? (ax 2 ? by 2 ) ? a (a ? 1) x 2 ? b(b ? 1) y 2 = ?ab( x2 ? y 2 ? 2xy) ? ?ab( x ? y)2 ? 0 ,当且仅当
2

a=b 时等号成立。

1? ? 1? 1 1 ? (2) ? a ? ? ? ? b ? ? ? 4 ? a 2 ?b2 ? ( 2 ? 2 ) a? ? b? a b ?
( a ? b) 2 ( a ? b) 2 2b b 2 a 2 2a 2 2 ? ? 4 ? a ? b ?1? ? 2 ? 2 ? ?1 =4?a ?b ? a2 b2 a a b b
2 2

2

= ? 4 ? (a ? b ) ? 2 ? 2( ? ) ? (
2 2

b a

a b

b2 a 2 ? ) a 2 b2

( a ? b) 2 25 ? 4? ?2?4?2 ? 2 2
当且仅当 a=b 时等号成立。


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