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2011~2012应用数学(B)考试知识点A4


《应用数学(B) 》知识小结
友情提示:本总复习题仅供参考,请以上课内容为准, 认真复习,准备考试. 1)考试时间: 2012.6.27.下午:1:00-2:30 地点:综108 2)考试范围:多元微积分、线性代数、积分变换 3)考试题型、题目及分值
题型 (分值) 题目 合计分数 填空题 选择题 计算题

(每题 3 分) (每题 3 分

) (每题 8 分) 6题 18 分 6题 18 分 8题 64 分

第一章 多元函数微积分 1、会求多元函数的定义域 例 1、求下列二元函数的定义域. (1) f ( x, y) ? arcsin(3 ? x2 ? y 2 ) (3) f ( x, y) ? ln(4 ? x2 ? y 2 ) (5) f ( x, y) ? ln( x ? y ? 1) ? 2、会求简单多元函数的极限. 例 2、求下列多元函数的极限. (2) f ( x, y ) ?
arcsin( 3 ? x 2 ? y 2 ) x ? y2

(4) f ( x, y ) ? 5 ? x 2 ? y 2

1 1 ? x2 ? y 2

sin( x 2 ? y 2 ) 1 lim x ? y )sin 2 (1) lim( . 2 2 2 . (2) x ? 0 x ?0 x ? y x ? y y ? 0 y ?0
2 2

1

(3)

lim

sin(xy) . x ?0 x y ?2

(4) lim
x ?0 y ?0

x2 ? y 2 9 ? x2 ? y 2 ? 3

.

5 ? x 2 ? y 2 ? 25 (5) lim . 2 2 x ?0 x ? y y ?0
(7) lim x ?0
y ?0

(6) lim x ?0
y ?0

xy ? 1 ? 1 . xy
xy 不存在. x ? y2
2

xy . xy ? 4 ? 2

(8)证明 lim
x ?0 y ?0

3、会求多元函数的偏导数,掌握偏导数的应用. 函数 z ? f ( x, y) 在 ( x0 , y0 ) 点关于 x 的偏导数:
f ( x0 ? ?x, y0 ) ? f ( x0 , y0 ) ?z ?f ? lim = = z? x ( x0 , y0 ) = f x ( x0 , y0 ) ? ? x ?0 ?x ?x ( x0 , y0 ) ?x ( x0 , y0 )

函数 z ? f ( x, y) 在 ( x0 , y0 ) 点关于 y 的偏导数:
?z ?y ?
( x0 , y0 )

?f ?y

? ? z? y ( x0 , y0 ) ? f x ( x0 , y0 ) ? lim
( x0 , y0 )

?y ?0

f ( x0 , y0 ? ?y ) ? f ( x0 , y0 ) ?y

例 3、求函数 z ? x 2 sin 2 y 的偏导数. 例 4、求函数 z ? x y ( x ? 0, x ? 1, y为任意的实数) 的偏导数. 4、会求多元函数的高阶导数

? 2 z ? ?z ?? ? ( ) ? z?? xx ? f xx 、 ?x 2 ?x ?x
? 2 z ? ?z ?? ? ( ) ? z?? yy ? f yy 、 ?y 2 ?y ?y
定理 若二阶混合偏导

?2 z ? ?z ?? ? ( ) ? z?? xy ? f xy ?x?y ?y ?x
?2 z ? ?z ?? ? ( ) ? z?? yx ? f yx ?y?x ?x ?y

?2 z ?2 z ?2 z ?2 z , 连续,则 ,即混合偏导数连 ? ? x ? y ? y ?x ?x?y ?y?x

续时,与求偏导的顺序无关.
2 3 例 5、设 z ? 3xy 2 ? x3 ? y3 ? 5x y ,求二阶偏导数

?2 z ?2z ?2 z ?2z 、 、 、 . ?x 2 ?y?x ?x?y ?y 2 ?2 z ?2z ?2 z ?2z 、 、 、 . ?x 2 ?y?x ?x?y ?y 2

例 6、设 z ? x3 ? 3x2 y ? y 4 ? xy ? 3 ,求二阶偏导数

2

5、会求多元函数的全微分 定理 设 z ? f ( x, y) 在点 ( x, y ) 可微,则在点 ( x, y ) 处必连续,且其偏导 数都存在,并有

dz ?
反之不一定成立.

?z ?z dx ? dy. ?x ?y

三元函数 u ? f ( x, y, z ) 的全微分为

du ?
3

?u ?u ?u dx ? dy ? dz. ?x ?y ?z
2 5

例 7、求函数 z ? 4xy ? 3x y ? 2xy ? 1 的全微分. 例 8、求函数 z ?

x 2 ? y 2 的全微分.

6、多元复合函数的求导 1)复合函数的中间变量均为一元函数的情形
t 例 9、设 z ? uv ? sin t ,而 u ? e , v ? cost ,求全导数

dz . dt

例 10、设 z

? euv , u ? sin t, v ? cost ,求全导数 dz .
dt

2)复合函数的中间变量均为二元函数的情形 例 11、设 z ? e sin v ,而 u
u

? xy , v ? x ? y ,求 ?z 和 ?z .
?x

?y

例 12、设 z

? u v ,而 u ? 3x2 ? 2 y 2 , v ? 2x2 ? 3 y ,求 ?z 和 ?z .
?x

?y

7、隐函数的求导法则 1)由方程 F ( x, y) ? 0 所确定的隐函数 y ? f ( x) 的求导公式:

F dy ?? x dx Fy
y 例 13、设方程 y ? xe ? xy ? 0 所确定的隐函数为 y ? f ( x) ,求

dy . dx

例 14、设方程 y ?

1 sin y ? x 所确定的隐函数为 y ? f ( x) ,求 dy . 2 dx
3

2)由方程 F ( x, y, z ) ? 0 所确定的隐函数 y ? f ( x, y) 的求导公式:

F ?z F ?z ?? x , ?? y . ?x Fz ?y Fz
例 15、设方程 z 2 y ? xz 3 ? 1 确定的隐函数 z ? f ( x, y) ,求
? z ?z , . ? x ?y

例 16、设方程

? z ?z x z ? ln 确定的隐函数 z ? f ( x, y) ,求 , . ? x ?y z y ? z ?z , . ? x ?y

例 17、设方程 x2 ? y 2 ? z 2 ? 4z ? 0 确定的隐函数 z ? f ( x, y) ,求 8、二重积分 若在 D 上, f ?x , y ? ? 1 , ? 为区域 D 的面积,则

? ? ?? 1d? ? ?? d?
D D

例 18、积分区域 D 是由

?? x, y ? x

2

? y 2 ? 4 所围成的闭区域,求二重积分

?

?? dxdy .
D

例 19 、积分区域 D 是由 x ? 2, y ? 1所围成的矩形闭区域,求二重积分

?? dxdy .
D

第二章 一、行列式性质及计算
a11 a 21

行列式

(1) (P2)二阶行列式

a12 ? a11a 22 ? a12 a 21 a 22


a13 a 23 a33

a11 a 21

a12 a 22 a32

a11a22 a33 ? a12 a23a31 ? a13a21a32
= ?a13a22 a31 ? a11a23a32 ? a12 a21a33 .

(2) (P3)三阶行列式(沙路法) (3) (P7-11)行列式的性质;

a31

4

(4) (P6)余子式与代数余子式; (5) (P9-11)四阶行列式的计算(化三角形法、降阶法); ① 上三角、下三角行列式等于主对角线上元素的乘积. ②关于副对角线:

? a2 n ?1 an1
(6) 典型例题:

a1n ?

?
a2 n ?1 an1

a1n ? (?1)
n ( n ?1) 2

a1n a2 n

an1

?

?

P9-11:1)例 10,例 11,例 12, 习题 1.2

a b b ? b b a b ? b ? [a ? (n ? 1)b](a ? b) n?1 . ? ? ? ? ? b b b ? a

;

二、克莱姆法则(线性方程组方程个数=未知量个数) (1) (P12)定理 1 用克莱姆法则判定线性方程组解的情况 (P14)定理 2、推论 1.4

第三章 一、 (P28-35)逆矩阵的求法: ① A?1 ?

矩阵

A? A

初等行变换 ② ( A E) ???? ?(E A?1 )

?a b ? 1 ? d ?b ? ? ③? ? ? ad ? bc ? ?c d ? ? ?c a ?

?1

? a1 ? a2 ④? ? ? ?

1 ?1 ?a ? 1 ? ? ? ?? ? ? ? ? an ? ? ?

1 a2

? ? ? ? , ? 1 ? an ?
5

? ? ? ? ? ? an

a2

?1 ? a1 ? ? ? ? ?? ? ? ? ? 1 ? ? ? a1

1 an

1 a2

? ? ? ? ? ? ?

典型例题: (1)P38:例 2.13,例 2.14, 例 2.16,(3 阶矩阵求逆矩阵) : (2) 习题 2.2:1,2. 二、矩阵的性质: 矩阵转置的性质: 矩阵可逆的性质 n 阶方阵行列式的 方阵的幂的性 性质: 质
Am An ? Am? n

( AT )T ? A ( AB)T ? BT AT

( A?1 )?1 ? A ( AB)?1 ? B?1 A?1
(kA)?1 ? k ?1 A?1
A?1 ? A
?1

AB ? A B

kA ? k n A
Ak ? A
k

( Am )n ? ( A)mn

(kA)T ? kAT
AT ? A

AA? ? A? A ? A E

( A ? B)T ? AT ? BT

( A?1 )T ? ( AT )?1 ( A?1 )k ? ( Ak )?1 ? A? k

典型例题:设 A 为 3 阶矩阵, | A |? 3 ,求 | ?2 A | . 第四章 向量和线性方程组 一、线性方程组解的判定
~ 设 A ? (aij ) m?n , n 元非齐次线性方程组 Ax ? b ,记 ( A b) ? A ,则上述定理的结果,可简

要总结如下:

~ (1) r ( A) ? r ( A) ? n ? Ax ? b有唯一解; ~ (2) r ( A) ? r ( A) ? n ? Ax ? b有无穷多解; ~ (3) r ( A) ? r ( A) ? Ax ? b无解;

6

(4) r ( A) ? n ? Ax ? 0只有零解. (5) r ( A) ? n ? Ax ? 0有非零解.

典型例题——求非齐次线性方程组 Ax ? b (3 个方程,4 个未知量)的通解: P44-46:例 20、21、22 典型解法:求解下列非齐次线性方程组:
? x1 ? x2 ? 3x3 ? x4 ? 1, ? ?3x1 ? x2 ? 3x3 ? 4 x4 ? 4, ? x ? 5 x ? 9 x ? 8 x ? 0. 2 3 4 ? 1



对方程组的增广矩阵作如下初等变换:
1? ?1 0 ?3 2 3 4 ? ? 4? ? ?0 1 ?3 2 ?7 4 ? 0? 0 ? ?0 0 0 54? ? ?1 4 ? . 在上面的初等变换中 0 ? ?

? 1 1 ?3 ?1 ? A ? ( A b ) ? ? 3 ?1 ?3 4 ? 1 5 ?9 8 ?

没有作过列对换,因此可立即求出特解 ? 和对应齐次线性方程组的基础解系:

?54? ? 3 2? ? ? 3 4? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 4? ? 3 2? ? 74? ? ?? , ?1 ? ? ?, ? 2 ? ? . 0 ? 1 0 ? ? ? ? ? ? ? ? 0 ? ? 0 ? ? 1 ? ? ? ? ? ? ?
原方程组的解为 x ? ? ? c1 ?1 ? c2?2, 其中 c1, c2 为任意数. 第五章 傅里叶变换

一、傅里叶变换 1、傅里叶积分存在定理:设 f ? t ? 定义在 ? ??, ??? 内满足条件: 1) f ? t ? 在任一有限区间上满足狄氏条件; 2) f ? t ? 在 ? ??, ??? 上绝对可积(即 ??? f ?t ? dt 收敛; 则傅氏积分公式存在,且有
1 2?
??

? [?
??

??

?? ??

f ?? ?e

? iw?

t是f ? t ?的连续点 ? f ?t ? , ? d? ]e dw ? ? f ? t ? 0 ? ? f ? t ? 0 ? , t是f ? t ?的第一类间断点 ? ? 2
iwt

7

2、傅里叶变换定义式: F[ f ? t ?] ? F (w) ? ??? f (t )e?iwt dt 傅里叶逆变换定义式: F ?1[ F ? w ?] ? f (t ) ?
F
?1

??

1 2?

?

?? ??

F ( w)eiwt dw

??? F ?? ? 3、常用函数的傅里叶变换公式 f (t ) ??? F

? ?E , 矩形脉冲函数 f (t ) ? ? ? ?0 , ? ?

F 2E ? 2 ??? sin ? ??? ?1 ? F ? 2 t ? 2

t ?

?

√单边指数衰减函数
?e? ? t e ?t ? ? ? ? 0 , t ? 0 ??? F 1 1 ?F? e ? t ?? ? ??? ?1 ? ? ? ? iw ? ? i? , t ?0 F
???1 ? ? t ? ???
F F ?1
F 1 ??? u ? t ? ??? ? ?? ? w ? F ?1 iw

√单位脉冲函数 √单位阶跃函数

??? 2?? ? w? 1??? ?1
F F

??? 2? i? ? ?? ? t ??? ?1
F F F ??? ei?0t ??? 2?? ?? ? ?0 ? ?1 F F ??? cos ?0t ??? ?? ?1 ?? ?? ? ?0 ? ? ? ?? ? ?0 ?? ? F

??? i? ?? ?? ? ?0 ? ? ? ?? ? ?0 ? ? sin ?0t ??? ?1 ? ?
F F

4、傅里叶变换的性质 设 F[ f ?t ?] ? F ? w? , F[ fi ?t ?] ? Fi ? w?
???? F1 ?? ? ? ? F ?? ? (1)线性性: ? f1 (t ) ? ? f 2 (t ) ??? F
F
?1

??? e? j?t F ?? ? (2)位移性: f ? t ? t0 ? ??? F
F
0 ?1

??? F ?? ? ?0 ? e j?0t f (t ) ??? ?1
F F

??? i? F ?? ? (3)微分性: f ?(t ) ??? F
F
?1

F n ??? f ? n ? (t ) ??? ? i? ? F ?? ? ?1 F

8

??? F ? ?? ? ? ?it ? f (t ) ??? F
F
?1

? ?it ?? ?
n
t

F ??? f (t ) ??? F ? n ? ?? ? ?1 F
F

??? (4)积分性: ??? f (t )dt ??? F
?1

1 F ?? ? i?

??? (5)相似性: f (at ) ??? F
F
?1

1 ?? ? F? ? a ?a?

??? 2? f ? ?? ? (6)对称性: F (t ) ??? F
F
?1

上面性质写成变换式如下面: (1)线性性: F ?? ? f1(t ) ? ? ? f2 (t )? ? ? ? F1(w) ? ? ? F2 (w)
F ?1 ?? ? F1(w) ? ? ? F2 (w)? ? ? ? f1(t ) ? ? ? f2 (t ) ( ? , ? 是常数)

(2)位移性: F ? f (t ? t0 )? ? e?iwt F ? w?
0

iw0t F? ?e f (t ) ? ? ? F ? w?

w? w? w0

? F ( w ? w0 )

(3)微分性:设 t ? ?? 时, f ( t ) ? 0 , 则有
F ? f ?(t )? ? (iw)F[ f ?t ?] ? ?iw? F (w)
n ? n? n ? F? ? f (t ) ? ? (iw) F[ f ? t ?] ? ? iw ? F ( w)

F ?tf (t ) ? ? j

d F ( w) dw

n n n d ? ? F ?t f (t ) ? ? j F ( w) dwn

F f (t )dt ? ? (4)积分性: ? ? ??? ?
t

?

?

F ( w) iw

(5)相似性: F ? f (at )? ?

1 w F( ) a a

翻转性: a ? 1 时 F[ f ?? t ?] ? F ?? w? (6)对称性:设 f ?t ?? ?? F ?w? ,则
F ?? t ?? ?? 2? f ?w? 或

F ?t ? ?? ?2? f ? ?w?

9

5、卷积公式 : f1 (t ) ? f 2 (t ) = ??? f1 (? ) f 2 (t ? ? )d? 。
t ? ??0 f1 (? ) f 2 (t ? ? )d? f1 (t )u ? t ? ? f 2 (t )u ? t ? ? ? ? 0 ?

??

, t ?0 , t ?0

6、卷积定理:设 F ? f1(t )? ? F1(w) F ? f2 (t )? ? F2 (w)
??? F1 ( w) ? F2 ( w) f1 (t ) ? f 2 (t ) ??? ?1
F F

??? f1 (t ) ? f 2 (t ) ??? ?1
F F

1 F1 ( w) ? F2 ( w) 2?

7、单位脉冲函数:
? ?) 筛选性:假设 f (t )在(? ?, 上连续,则有: ??? ? (t ) f (t )dt ? f (0)
??

更一般的有: ??? ? (t ? t0 ) f (t )dt ? f (t0 ) 时间尺度变换性质: ? (kt ? c) ? 特殊的: ? (kt ) ?
1 c ? (t ? ) 其中 k , c ? 0 k k

??

1 ? (t ),(k ? 0) 和 ? (?t ) ? ? (t ) k

乘以时间的函数 f (t ) 性质: f (t )? (t ? a) ? f (a)? (t ? a) 特殊的: f (t )? (t ) ? f (0)? (t ) 和 t? (t ) ? 0
典型例题: (1)P118,推论2下面两题;P123,7 (2)P133,4、5 (3)P135,例19,20,21,P144,3(2) ,P149,五

10

第六章

拉普拉斯变换
??

1、拉普拉斯变换定义式 : L? f ?t ??= ? 0 f ? t ? e? st dt = F ?s ? 拉普拉斯逆变换定义式: L?1 ?F ?s ?? ? f ?t ? 2、常用函数的拉氏变换:
?? ?1 ? ? t ? ???
L L?1 L ?? ?1 1,u ? t ? ??? L?1 s L ?? ? 1 e kt ??? L?1 s?k L ?? ? k sin kt ??? L?1 s2 ? k 2 L ?? ? s cos kt ??? L?1 s2 ? k 2 L ?? ? k shkt ??? L?1 s2 ? k 2 L ?? ? s chkt ??? ?1 L s2 ? k 2 m?N L ?? ? ? ? m ? 1? ? m ! t m ??? ?1 m ? 1 L s s m?1
L L

L[? ? t ?] ? 1 L[1] ? L ? ?u ? t ? ? ?? L[ekt ] ? 1 s?k
2

1 s

k s ? k2 s L[cos kt ] ? 2 s ? k2 k L[ shkt ] ? 2 s ? k2 s L[chkt ] ? 2 s ? k2 ? ? m ? 1? m?N m ! L[t m ] ? ? m ?1 s m?1 s L[sin kt ] ?
?1

?? ? F ? s ? , fi ? t ? ?? ?? ? Fi ? s ? , i ? 1, 2 ? , ? 是常数 3、基本性质:设 f ? t ? ?? ? ? L L
?1

?? ?? ? F1 ? s ? ? ? ? F2 ? s ? (1)线性性质: ? ? f1 ? t ? ? ? ? f 2 ? t ? ?? ? L
L
?1

?? ? sF ? s ? ? f ? 0 ? (2)微分性质: f ? ? t ? ?? ? L
L
?1

?? ? ? ?t ? f ? t ? ?? ? L
L
?1

dF ? s ? ds

推广到 n 阶:
L ?? ? s n F ? s ? ? s n?1 f ? 0 ? ? s n?2 f ? ? 0 ? ? f ? n? ? t ? ?? ?1? L

f ? n?1? ? 0 ?

? ?t ?
(3)积分性质:

n

d nF ? s? L ?? ? f ? t ? ?? ? L?1 ds n

?? ? F ?s? ? ? f ? t ?dt ?? s
t L 0 L?1

11

? f ? t ? ?? L ? F ? s ?ds ?? ?1? ? s L t

?? ? e? st F ? s ? (4)位移性质: f ? t ? t0 ? ?? ? L
L
0 ?1

L ?? ? F ?s ? a? eat f ? t ? ?? ?1? L

? ?? ? F? (5)相似性质: f ? at ? ?? ? ? ?, a ? 0 L a ?a?
L

1

s

?1

上面性质写成变换式如下面: (1)线性性质:时域上: L?? ? f1 ?t ? ? ? ? f 2 ?t ?? ? ? ? F1 ?s ? ? ? ? F2 ?s ? 频域上: L?1 ?? ? F1 ?s ? ? ? ? F2 ?s ?? ? ? ? f1 ?t ? ? ? ? f 2 ?t ? (2)微分性质:时域上: L? f ??t ?? ? sF ?s? ? f ?0? 推论: L? f ?n ? ?t ?? ? s n F ?s ? ? s n?1 f ?0? ? s n?2 f ??0? ? s n?3 f ???0? ? ?? f ?n?1? ?0? 频域上: L[t ? f ? t ?] ? ? ?1?
dF ? s ? 2-13-1 ds

或 L?1[F? ? s ?] ? ? ?t ? f ?t ? 2-13-2 推论:
L[? ?t ? f ? t ?] ? ? ?1?
n n

d nF ? s? ds n

(3)积分性质:时域上: L[ ?0 f ? t ?dt ] ?
?

t

F ?s? s
? f ?t ? ] ? ? F ? s ?ds s t

频域上:若 ? s F ? s ?ds 收敛,则 L[ 推广:如果积分 ? 0
??

?? f ? t ? ? f ?t ? dt ? ? L[ f ? t ?]ds dt 存在,则 ? 0 0 t t

(4)位移性质:时域上: L[ f ?t ? t0 ?] ? e?st F ? s ?
0

或: L?1[e?st F ? s ?] ? f ?t ? t0 ? u ?t ? t0 ?
0

频域上: L[e at f ?t ?] ? F ?s ? a? Re?s ? a? ? c
at ?1 at 或: L?1 ? ? F ? s ? a ?? ??e L ? ? F ? s ?? ? ? e f ?t ?

12

1 s? (5)相似性质: L[ f ?at?] ? F ? ? ?a?0 a ?a?

更广泛: L[ f ? at ? b ?] ? e
L
?1

1 a

? s?

b a

?s? F? ? ?a?

?? ? F1 ? s ? ? F2 ? s ? 4、卷积定理: f1 ? t ? ? f 2 ? t ? ?? ? L

即: L[ f1 ?t ? ? f2 ?t ?] ? F1 ? s ? ? F2 ? s ?
典型例题:P158,例5.9,5.10,5.13,5.14,5.15, 5.17,5.20,5.23;P168:1,2,5;P171:例24, 25,26,27,28;P175,1(6-12)
二元微积分(14 分) 线性代数(42 分) 积分变换(44 分)

1、余子式和代数余子式 1、用二重积分的几何意义 选择 6*3’ 2、线性方程组解的判定 求二重积分 3、方阵行列式的性质

1、判别 Fourier 变换和逆变换 2、求 Laplace 变换

填空 6*3’ 2、全微分的计算

1、方阵行列式的性质 2、 对角矩阵求逆矩阵/矩阵求 1、δ 函数的筛选性 幂 2、求 Laplace 逆变换 3、向量的计算向量组的线性 相关性

计算 8*8’ 3、二元隐函数求偏导数

1、求 Fourier 变换 1、四阶行列式的计算 2、求 Laplace 变换 2、三阶矩阵求逆矩阵 3、求 Laplace 逆变换 3、 三个方程,四个未知量的非 4、图像扫描法求卷积(P136,例 齐次线性方程组求通解 20、21;P149,五;P144,3(2))

13


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2012年中考数学复习策略 (2)

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