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第2周午练


第 3 周周二数学练习
【广东省佛山一中 2012 届高三上期中文】19. (本小题满分 14 分) 设函数

f ( x) ? 2x3 ? 3ax2 ? 3bx ? 8c 在 x ? 1 及 x ? 2 时取得极值.

(1)求 a、b 的值; (2)若对于任意的 x ? [0, ,都有 f ( x) ? c2 成立,求 c 的

取值范围. 3]

【广东省珠海市第四中学2012届高三上学期月考文】21.(本小题满分l4分) 已知函数 f ?x? ? ax3 ? bx2 ? 3x ,在 x ? ?1 处取得极值. (Ⅰ)求函数 f ?x ? 的解析式; (Ⅱ)求证:对于区间[-1,1]上任意两个自变量的值 x1 , x 2 ,都有 f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? 4 ; (Ⅲ)若过点 A?1, m??m ? ?2? 可作曲线 y ? f ?x ? 的三条切线,求实数 m 的取值范围.

【答案】19.解: (1) f ?( x) ? 6 x2 ? 6ax ? 3b , 依题意,得 ?

????1 分
????4 分

? f ' (1) ? 0 ?a ? ?3 ?6 ? 6a ? 3b ? 0, ,即 ? ?? ?24 ? 12a ? 3b ? 0. ?b ? 4 ? f ' (2) ? 0
) 由 ( 1 ) 可 知 ,

经检验, a ? ?3 , b ? 4 符合题意. ( 2
2

??????5 分 f ( x) ? 2x3 ? 9x2 ? 12x ? 8c ,

f ?( x) ? 6x ?18x ? 12 ? 6( x ?1)( x ? 2) .

?????????? 7


x
f '( x)

0

(0,1)

1

(1,2)

2

(2,3)

3

?
递增

0
极大值 5+8c

?
递减

0
极小值

?
递增 9+8c

f ( x)

所以,当 x ? 0, 时, f ( x ) 的最大值为 f (3) ? 9 ? 8c . 3 分 因为对于任意的 x ? 0, ,有 f ( x) ? c2 恒成立,所以 3 分 因此 c 的取值范围为 (??, 1) ? (9, ?) . ? ? 分

? ?

????????11
9 ? 8c ? c 2 , ??????13

? ?

??????????14

【答案】解: (I)f′(x)=3ax +2bx-3,依题意,f′(1)=f′(-1)=0, 即?

2

?3a ? 2b ? 3 ? 0 , ?3a ? 2b ? 3 ? 0

解得 a=1,b=0. 3 ∴f(x)=x -3x. 3 2 (II)∵f(x)=x -3x,∴f′(x)=3x -3=3(x+1)(x-1), 当-1<x<1 时,f′(x)<0,故 f(x)在区间[-1,1]上为减函数, fmax(x)=f(-1)=2,fmin(x)=f(1)=-2 ∵对于区间[-1,1]上任意两个自变量的值 x1,x2, 都有|f(x1)-f(x2)|≤|fmax(x) -fmin(x)| |f(x1)-f(x2)|≤|fmax(x)-fmin(x)|=2-(-2)=4 2 (III)f′(x)=3x -3=3(x+1)(x-1), 3 ∵曲线方程为 y=x -3x,∴点 A(1,m)不在曲线上.
3 设切点为 M(x0,y0) ,则点 M 的坐标满足 y0 ? x0 ? 3x0 .

2 因 f ?( x0 ) ? 3( x0 ? 1) ,故切线的斜率为

2 3( x0 ? 1) ?

3 x0 ? 3x0 ? m , x0 ? 1

3 2 整理得 2x0 ? 3x0 ? m ? 3 ? 0 .

∵过点 A(1,m)可作曲线的三条切线,
3 2 ∴关于 x0 方程 2 x0 ? 3x0 ? m ? 3 =0 有三个实根. 3 2 2 设 g(x0)= 2 x0 ? 3x0 ? m ? 3 ,则 g′(x0)=6 x0 ? 6x0 ,

由 g′(x0)=0,得 x0=0 或 x0=1. ∴g(x0)在(-∞,0)(1,+∞)上单调递增,在(0,1)上单调递减. ,
3 2 ∴函数 g(x0)= 2 x0 ? 3x0 ? m ? 3 的极值点为 x0=0,x0=1 3 2 ∴关于 x0 方程 2 x0 ? 3x0 ? m ? 3 =0 有三个实根的充要条件是

? g (0) ? 0 ,解得-3<m<-2. ? ? g (1) ? 0
故所求的实数 a 的取值范围是-3<m<-2.

18.解: (1)由题意 f (x)= 3x ? 2ax ? b 的两个根分别为 1 和 ?
/

2

2 3

由韦达定理,得:1 ? 则a ? ?

2 2a b 2 =? , ? 1 ? (? ) 3 3 3 3

1 , b ? ?2 2
3

(2)由(1) ,有 f(x)= x ?

1 2 x ? 2 x ? c ,f/(x)= 3x 2 ? x ? 2 2 2 2 当 x ? [ ?1,? ) 时,f / ( x) ? 0 , x ? (? ,1) 时,f / ( x) ? 0 , x ? (1,2] 时,f / ( x) ? 0 , 当 当 3 3 2 22 1 ? c , f (?1) ? ? c, f (2) ? 2 ? c , 当 x ? ? 时, f (x) 有极大值 3 27 2
∴ 当 x ? [?1,2] , f (x) 的最大值为 f (2) ? 2 ? c 对 x ? [?1,2] ,都有 f ( x) ? 解得 0 ? c ?

1 1 恒成立,∴ 2 ? c ? , c c

2 ? 1, 或 c ? ? 2 ? 1,


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