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江苏省高邮市界首中学2015届高三高考模拟数学试题(5)

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2015 年高考模拟试卷(5)
南通市数学学科基地命题 第Ⅰ卷(必做题,共 160 分)
一.填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分 . π 1.函数 y=2sin(3x+ )的最小正周期为 . 6 2. 设复数 z 满足 z(1+2i)=2-i,则|z|= . 1 3.集合{x|-1≤log110<- ,x∈N*}的真子集的个数是 2 x



4.从{1,2,3,?,18}中任取两个不同的数,则其中一个数恰好是另一 个数的 3 倍的概率为 . 5.运行如图的算法,则输出的结果是 .

x←0 While x<30 x ← x+2 x ← x2 End While Print x
第5题

6.某校从参加高三年级期中考试的学生中随机抽取 60 名学生,将其数学成绩 (均为整数)分成六段[40,50),[50,60),…,[90,100]后得到如图的频率分 布直方图,请你根据频率分布直方图中的信息,估计出本次考试数学成绩 的平均分为 .

7.如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,E,F 分别为线段 AA1,B1C 上的点,则三 棱锥 D1-EDF 的体积为 .

8.已知圆 C 过点(1,0),且圆心在 x 轴的正半轴上.直线 l:y=x-1 被圆 C 所截得的弦长为 2 2,则过圆心且与直线 l 垂直的直线的方程为 . 9. 已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn, 并且对任意正整数 n 均有 Sn+2=4Sn+3. 则 a2= . 2 2 10.已知集合 A={x|x +2x-8>0},B={x|x -2ax+4≤0}.若 a>0,且 A∩B 中恰有 1 个整数,则 a 的取值范围是 . → → → 11.已知点 A(1,-1),B(4,0),C(2,2).平面区域 D 由所有满足 AP =λ AB +μ AC (1<λ≤a,1 <μ≤b)的点 P(x,y)组成的区域.若区域 D 的面积为 8,则 a+b 的最小值为 . 1 3 12.设函数 f(x)=ax+ sinx+ cosx 的图象上存在两条切线垂直,则 a 的值是 . 2 2 13.实数 x、y、z 满足 0≤x≤y≤z≤4.如果它们的平方成公差为 2 的等差数列,则 |x-y|+|y-z|的最小可能值 . 14.若实数x, y满足x-4 y=2 x-y,则x的取值范围是 . 二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分. 15.(本小题满分 14 分)已知△ABC 的内角 A 的大小为 120°,面积为 3 . (1)若 AB ? 2 2 ,求△ABC 的另外两条边长;

uuu r uuu r (2)设 O 为△ABC 的外心,当 BC ? 21 时,求 AO ? BC 的值.

AC ? BE , D, E 分别为 AA1 , CC1 的中点, 16. (本小题满分 14 分)已知直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,

点 F 在线段 AB 上,且 AB ? 4AF . ⑴求证: BC ? C1 D ; ⑵若 M 为线段 BE 上一点,试确定 M 在线段 BE 上的位置, 使得 C1 D / / 平面 B1 FM .
B1
C1
A1

E C B
? F 第 16 题

D A

17.(本小题满分 14 分)汽车从刹车开始到完全静止所用的时间叫做刹车时间;所经过的距离 叫 做 刹 车 距 离 . 某 型 汽 车 的 刹 车 距 离 s( 单 位 米 ) 与 时 间 t( 单 位 秒 ) 的 关 系 为
s ? 5t 3 ? k ? t 2 ? t ? 10 ,其中 k 是一个与汽车的速度以及路面状况等情况有关的量.

(1)当 k=8 时,且刹车时间少于 1 秒,求汽车刹车距离; (2)要使汽车的刹车时间不小于 1 秒钟,且不超过 2 秒钟,求 k 的取值范围.

18.(本小题满分 16 分)在平面直角坐标系 xOy 中,设椭圆 T 的中心在坐标原点,一条准线方 程为 y ? 2 ,且经过点(1,0). (1)求椭圆 T 的方程; (2)设四边形 ABCD 是矩形,且四条边都与椭圆 T 相切.求证:满足条件的所有矩形的 顶点在一个定圆上;

19.(本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? x 2 ? 2ax ? 1(a ? R), f ? ( x)是f ( x) 的导函数. (1)若 x ?[?2, ?1] ,不等式 f ( x) ≤ f ?( x) 恒成立,求 a 的取值范围; (2)解关于 x 的方程 f ( x) ?| f ?( x) | ; (3)设函数 g ( x) ? ?

? f ?( x), f ( x) ≥ f ?( x) ,求 g ( x)在x ?[2, 4] 时的最小值. ? f ( x), f ( x) ? f ?( x)

20. (本小题满分 16 分) 已知数列{an}满足 a1=a(a>0, a∈N*), a1+a2+?+an-pan+1=0(p≠0, p≠-1,n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式 an; (2)若对每一个正整数 k,若将 ak+1,ak+2,ak+3 按从小到大的顺序排列后,此三项均能构成等 差数列,且公差为 dk.①求 p 的值及对应的数列{dk}. ②记 Sk 为数列{dk}的前 k 项和,问是否存在 a,使得 Sk<30 对任意正整数 k 恒成立?若存在, 求出 a 的最大值;若不存在,请说明理由.

第Ⅱ卷(附加题,共 40 分) 21.[选做题]本题包括 A、B、C、D 四小题,每小题 10 分;请选定其中两题,并在相应的答题区 ................ 域内作答 . .... A. (选修4-1:几何证明选讲)如图,AB、CD 是圆的两条平行弦,BE//AC,BE 交 CD 于 E、 交圆于 F, 过 A 点的切线交 DC 的延长线于 P, PC=ED=1, PA=2. (1)求 AC 的长; (2)求证:BE=EF.

B. (选修4-2: 矩阵与变换) 已知二阶矩阵 M 有特征值 ? ? ?1 及对应的一个特征向量 e1 ? ? ? ,并且矩阵 M 对应的变换将 点 ?1,1? 变换成 ? 0, ?3? . (1)求矩阵 M; (2)已知向量 α ? ? ? ,求 M 5α 的值.

?1 ? ?2?

? 2? ?8 ?

? 2 t ?x ? ? 2 l (t是参数) , C. (选修4-4:坐标系与参数方程)已知直线 的参数方程是 ? 2 ? y? t?4 2 ? 2 ?
圆 C 的极坐标方程为 ? ? 2 cos(? ?

?
4

).

(1)求圆心 C 的直角坐标; (2)由直线 l 上的点向圆 C 引切线,求切线长的最小值.

D. (选修4-5:不等式选讲)已知函数 f ( x) = x - 1 + x - 2 . 若不等式
a + b + a - b ≥ a f ( x)

(a ? 0, a, b ? R) 恒成立,求实数 x 的范围.

【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.
1 22. (本小题满分 10 分)某学生在校举行的环保知识大奖赛中,答对每道题的概率都是 , 答 3 2 错每道题的概率都是 ,答对一道题积 5 分,答错一道题积-5 分,答完 n 道题后的总积分记为 3 Sn .

(1)答完 2 道题后,求同时满足 S1=5 且 S 2 ? 0 的概率; (2)答完 5 道题后,设 ? ?| S5 | ,求 ? 的分布列及其数学期望.

23. (本小题满分 10 分)一个非空集合中的各个元素之和是 3 的倍数,则称该集合为“好集” . 记集合 {1,2,3,?,3n}的子集中所有“好集”的个数为 f(n).

(1)求 f(1),f(2)的值; (2)求 f(n)的表达式.


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