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广东省近八年高考数列专题


数列 (2007 年高考广东卷第 13 小题) 已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? n2 ? 9n ,则其通项 an ? ;若它的第 k 项满足 5 ? ak ? 8 ,则 k ? .2n-10 ; 8

(2007 年高考广东卷第 20 小题) 已知函数 f ( x) ? x2 ? x ?1 , ?,? 是 方程 f ( x ) ? 0 的两 个

根 (? ? ? ) , f ?( x ) 是 f ( x ) 的导数.设 a1 ? 1 , an ?1 ? an ? (1)求 ?,? 的值; (2)已知对任意的正整数 n 有 an ? ? ,记 bn ? ln 和 Sn . 由 x ? x ?1 ? 0
2

f (an ) (n ? 1, 2, ) . f ?(an )

an ? ? ( n? 12 , , ) .求数列 ?bn ? 的前 n 项 an ? ?

20 解:(1)

得x?

?1 ? 5 2
2

?? ?

?1 ? 5 2
2 an ?1 2an ? 1

??

?1 ? 5 2

(2)

f ? ? x ? ? 2x ? 1

? an?1 ? an ? an ? an ?1 ?
2an ? 1

an 2 ? 1 1 ? 5 3? 5 ? 1? 5 ? 2 ? 2 a ? 1 ? 5 a ? a ? ? ? n n n 2 ?? 2 ? ? ? an ? ? ? ? an?1 ? ? ? 2a2n ? 1 2 ? ? ? an ?1 ? ? an ? 1 1 ? 5 3? 5 ? 1 ? 5 ? ? an ? ? ? 2 ? an ? 1 ? 5 an ? ? an ? ? 2an ? 1 2 2 ? 2 ?

? ?

? ?

2

?

bn?1 ? 2bn



b1 ? ln

a1 ? ? 3? 5 1? 5 ? ln ? 4ln a1 ? ? 2 3? 5

?数列 ?bn ? 是一个首项为
4 ln

4 ln

1? 5 ,公比为 2 的等比数列; 2

?

Sn ?

1? 5 1 ? 2n ? ? 1? 5 2 ? 4 ? 2n ? 1? ln 1? 2 2

(2 008 年高考广东卷第 4 小题) 记等差数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 S2=4,S4=20,则该数列 的公差 d =( B ) A. 2 B. 3 C. 6 D. 7

1

(2008 年高考广东卷第 21 小题)设数列 {an } 满足 a1 ? 1 , a2 ? 2 , an ?

1 (an ?1 ? 2an ? 2 ) (n 3

= 3,4,…) 。数列 {bn } 满足 b1 ? 1 , bn (n = 2,3,…)是非零整数,且对任意的正整数 m 和自然数 k,都有-1≤ bm ? bm?1 ? … ? bm?k ≤1。 (1)求数列 {an } 和 {bn } 的通项公式; (2)记 cn ? na nbn (n = 1,2,…) ,求数列 {cn } 的前 n 项和 Sn 。 【解析】 (1)由 an ?

1 (an ?1 ? an ? 2 ) 得 3

2 an ? an ?1 ? ? (an ?1 ? an ? 2 ) 3

(n ? 3)
2 的等比数列, 3

又 a2 ? a1 ? 1 ? 0 , ? 数 列 ?an?1 ? an ? 是 首 项 为 1 公 比 为 ?

? 2? an?1 ? an ? ? ? ? ? 3? an ? a1 ? (a2 ? a1 ) ? (a3 ? a2 ) ? (a4 ? a3 ) ?

n ?1

? (an ? an?1 )
n ?1

? 2? 1? ? ? ? n ?1 2 n?2 8 3? 2? 3? ? 2? ? 2? ? 2? ? ? ?? ? , ? 1?1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 ? ? 2 5 5? 3? ? 3? ? 3? ? 3? 1? 3 ? ?1 ? b1 ? b2 ? 1 ? ?1 ? b2 ? b3 ? 1 ? ? 由 ? ?1 ? b2 ? 1 得 b2 ? ?1 ,由 ? ?1 ? b3 ? 1 得 b3 ? 1 ,… ? b ? Z,b ? 0 ? b ? Z,b ? 0 2 3 ? 2 ? 3
同理可得当 n 为偶数时, bn ? ?1;当 n 为奇数时, bn ? 1;因此 bn ? ?

? 1 当 n 为奇数时 ?-1 当 n 为偶数时

n ?1 ? 8 3 ?2? ? n ? n? ? 当 n 为奇数时 5 ?3? (2) c ? na b ? ? 5 Sn ? c1 ? c2 ? c3 ? c4 ? ? cn ? n n n n ?1 3 ?2? ? 8 ? 当 n 为偶数时 ?? 5 n ? 5 n ? ?3? ? 当 n 为奇数时, 0 1 2 3 n ?1 8 8 8 8 8 3? ?2? ?2? ?2? ?2? ?2? ? Sn ? ( ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? ? n) ? ?1? ? ? ? 2 ? ? ? ? 3 ? ? ? ? 4 ? ? ? ? ? n ? ? ? 5 5 5 5 5 5? ?3? ?3? ?3? ?3? ? ? ?3? ?

?

0 1 2 3 4 ? n ? 1? 3 ? ? 2 ? ?2? ?2? ? 2? ? ?1? ? ? ? 2 ? ? ? ? 3 ? ? ? ? 4 ? ? ? ? 5 5? ?3? ?3? ? 3? ? ?3?

? 2? ? n? ? ? 3?

n ?1

? ? ? ?
n ?1 ?2? ? ? n? ? ? ?3? ? ?

当 n 为偶数时
8 8 8 8 Sn ? ( ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? 5 5 5 5
0 1 2 3 8 3? ?2? ?2? ?2? ?2? ? n) ? ?1? ? ? ? 2 ? ? ? ? 3 ? ? ? ? 4 ? ? ? ? 5 5? ?3? ?3? ?3? ? ?3?

0 1 2 3 4n 3 ? ? 2 ? ?2? ?2? ?2? ? ? ? ?1? ? ? ? 2 ? ? ? ? 3 ? ? ? ? 4 ? ? ? ? 5 5? ?3? ?3? ?3? ? ?3?

?2? ? n? ? ?3?

n ?1

? ? ? ?

2

令 Tn ? 1? ? ? ? 2 ? ? ? ? 3 ? ? ? ? 4 ? ? ? ? ①×

?2? ?3?

0

?2? ?3?

1

?2? ?3?

2

?2? ?3?

3

?2? ? n? ? ?3?
4

n ?1

……①

2 得: 3

2 ? 2? ?2? ?2? ? 2? Tn ? 1? ? ? ? 2 ? ? ? ? 3 ? ? ? ? 4 ? ? ? ? 3 ? 3? ?3? ?3? ? 3?
1 ?2? ? 2? ? 2? ? 2? Tn ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 ? 3? ? 3? ? 3? ? 3?
?2? 1? ? ? n n 3? ?2? ?2? ? ? ? n ? ? ? 3 ? ?3 ? n? ? ? 2 ?3? ?3? 1? 3
n

1

2

3

?2? ? n? ? ?3?
? 2? ? n? ? ? 3?
n

n

……②

1

2

3

4

①-②得:

? 2? ?? ? ? 3?

n ?1

?2? ? Tn ? 9 ? ? 9 ? 3n ? ? ? ?3?

n

? 4n ? 23 9 ? n ? 3? ? 2 ?n ? ? ? ? 当 n 为奇数时 5 5 ? ?3? 因此 S n ? ? n ? 4n ? 27 9 ? n ? 3? ? 2 ? ? ? 当 n 为偶数时 ?? 5 ? 5 ?3? ?
(2009 年高考广东卷第 5 小题)已知等比数列 {an } 的公比为正数,且 a3 · a9 =2 a5 , a2 =1, 则 a1 =
2

A.

1 2

B.

2 2

C.

2

D.2

【答案】B

2 8 4 【解析】设公比为 q ,由已知得 a1q ? a1q ? 2 a1q ,即 q 2 ? 2 ,因为等比数列

?

?

{an } 的公比为正数,所以 q ? 2 ,故 a1 ?

a2 1 2 ,选 B ? ? q 2 2
1 )是函数 f ( x) ? a x (a ? 0, 且 a ? 1 )的图 3

(2009 年高考广东卷第 20 小题) 已知点(1,

象上一点,等比数列 {an } 的前 n 项和为 f (n) ? c ,数列 {bn } (bn ? 0) 的首项为 c,且前 n 项 和 Sn 满足 Sn - S n?1 = S n + S n?1 (n ? 2). (1)求数列 {an } 和 {bn } 的通项公式; (2)若数列{

1000 1 的最小正整数 n 是多少? } 前 n 项和为 Tn ,问 Tn > 2009 bn bn?1 1 ?1? ,? f ? x ? ? ? ? 3 ? 3?
x

【解析】 (1) Q f ?1? ? a ?

1 2 f ? 2? ? c? ?? f ?1? ? c ? a1 ? f ?1? ? c ? ? c , a2 ? ? ?? , ? ? ? ? 3 9

3

2 a3 ? ? ? f ? 3? ? c ? ??? ? f ? 2? ? c? ? ? ? 27 .

4 2 a2 2 1 又数列 ?an ? 成等比数列, a1 ? ? 81 ? ? ? ? c ,所以 c ? 1 ; a3 ? 2 3 3 27
a 1 2?1? 又公比 q ? 2 ? ,所以 an ? ? ? ? a1 3 3? 3?
Q Sn ? Sn?1 ?
n ?1

?1? ? ?2 ? ? ? 3?

n

n? N*



?

Sn ? Sn?1

??

Sn ? Sn?1 ? Sn ? Sn?1

?

? n ? 2?

又 bn ? 0 , Sn ? 0 , ? Sn ? Sn ?1 ? 1; 数列

? S ? 构成一个首相为 1 公差为 1 的等差数列,
n
2

Sn ? 1 ? ? n ? 1? ?1 ? n , Sn ? n2

2 当 n ? 2 , bn ? S n ? S n ?1 ? n ? ? n ? 1? ? 2n ? 1 ;

?bn ? 2n ? 1 ( n ? N * );
(2) Tn ?

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ?K ? ? ? ?L ? b1b2 b2b3 b3b4 bnbn?1 1? 3 3 ? 5 5 ? 7 (2n ? 1) ? ? 2n ? 1?

1? 1? 1?1 1? 1?1 1? 1? 1 1 ? ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? K ? ? ? ? 2? 3? 2?3 5? 2?5 7 ? 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 ? 1? 1 ? n ; ? ?1 ? ?? 2 ? 2n ? 1 ? 2 n ? 1
由 Tn ?

n 1000 1000 1000 ? 得n ? ,满足 Tn ? 的最小正整数为 112. 2n ? 1 2009 9 2009
已知数列 { an } 为等比数列, Sn 是它的前 n 项和,若 C A. 35 B. 33 C. 31 D. 29

(2010 年高考广东卷第 4 小题 )

5 且 a4 与 2a7 的等差中项为 , 则 S5= a2· a =2 a 3 1, 4
(2011 年高考广东卷第 11 小题)

已知 ?an ? 是递增等比数列, a2 ? 2, a4 ? a3 ? 4, 则此数列的公比q ? (2011 年高考广东卷第 20 小题) 设 b ? 0, 数列 ?an ? 满足a1 ? b, an ?

2

.

nban ?1 (n ? 2). an ?1 ? n ? 1

(1) 求数列 ?an ? 的通项公式;证明:对于一切正整数 n, 2an ? bn?1 ? 1.

4

20 . 解 : ( 1 ) 由 a1 ? b ? 0 ,知an ?

nban?1 ? 0 an?1 ? n ? 1

n 1 1 n ?1 ? ? an b b an?1



An ?

n 1 , A1 ? , an b
1 1 1 ? An ?1 ? ? b b b ? 1 b
n ?1

当 n ? 2时, An ?

?

1 b
n ?1

A1 ?

1 ? b

?

1 b
n ?1

?

1 . bn

1? 1 ? ?1 ? n ? bn ? 1 b? b ? ? n ①当 b ? 1时, An ? 1 b (b ? 1) 1? b

? nb n (b ? 1) ,b ? 1 ? ②当 b ? 1 时, An ? n. ? an ? ? b n ? 1 ?1, b ? 1 ?
(2)当 b ? 1时, (欲证2an ?

2nbn (b ? 1) ? bn ?1 ? 1, n b ?1

只需 2nb ? (b
n

n ?1

? 1)

bn ? 1 ) b ?1 ? bn?1 ? bn?1 ? bn?2 ? ?1

(bn?1 ? 1)

bn ? 1 ? b2 n ? b2 n?1 ? b ?1

1 1 ? ? bn ? bn ? n ? bn?1 ? n?1 ? b b ?
2nb n (b ? 1) ? 2an ? ? 1 ? b n ?1 . n b ?1

1? ? b ? ? ? bn (2 ? 2 ? b?

? 2) ? 2nbn ,

综上所述 2an ? bn?1 ? 1.

(2012 年 高 考 广 东 卷 第 12 小 题 ) 若 等 比 数 列 {an } 满 足 a 2 a 4 ?

1 ,则 2

a1a3 a5 ? _______________.

2

1 4

(2012 年高考广东卷第 19 小题)(本小题满分 14 分)设数列 ?an ? 的前 n 项和 s n ,数列 ?sn ? 的前 n 项和为 ?Tn ? ,满足 Tn ? 2Sn ? n2 , n ? N * . (1) 求 a1 的值; (2) 求数列 ?an ? 的通项公式.

5

解:(1):

a1 ? 2a1 ?12 a1 ? 1
(2)

Tn ? 2Sn ? n2 ①
Tn?1 ? 2Sn?1 ? (n ?1) 2 ??? ②
Sn ? 2an ? 2n ? 1 ……………… ③
在向后类推一次 ①-②得:

Sn?1 ? 2an?1 ? 2(n ?1) ? 1……… ④
③-④得: an ? 2an ? 2an?1 ? 2

an ? 2an?1 ? 2

an ? 2 ? 2(an?1 ? 2)

?an ? 2 ? 3? 2n?1

?an ? 3 ? 2n?1 ? 2

(2013 年高考广东卷第 11 小题) 设数列 ?an ? 是首项为 1 ,公比为 ?2 的等比数 列,则 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? ____15________;

(2013 年高考广东卷第 19 小题)(本小题满分 14 分)设各项均为正数的数列 ?an ? 的前 n 项
2 * 和为 Sn ,满足 4Sn ? an ?1 ? 4n ? 1, n ? N ,且 a2 , a5 , a14 构成等比数列;

(1) 证明: a2 ?

4a1 ? 5 ;

(2) 求数列 ?an ? 的通项公式; (3) 证明:对一切正整数 n ,有

1 1 ? ? a1a2 a2 a3

?

1 1 ? . an an ?1 2

2 2 19. 解: (1)当 n ? 1 时, 4a1 ? a2 ? 5, a2 ? 4a1 ? 5 ,

an ? 0 ? a2 ? 4a1 ? 5

2 2 (2)当 n ? 2 时, 4Sn?1 ? an ? 4 ? n ?1? ?1, 4an ? 4Sn ? 4Sn?1 ? an ?1 ? an ? 4

2

2 2 an an ? 0 ? an?1 ? an ? 2 ?1 ? an ? 4an ? 4 ? ? an ? 2 ? , 2

? 当 n ? 2 时, ?an ? 是公差 d ? 2 的等差数列.
2 a2 , a5 , a14 构成等比数列,?a5 ? a2 ? a14 , ? a2 ? 8 ? ? a2 ? ? a2 ? 24 ? ,解得 a2 ? 3 ,
2

由(1)可知, 4a1 ? a2 ? 5=4,?a1 ? 1
2

6

a2 ? a1 ? 3 ?1 ? 2 ?

?an ? 是首项 a1 ? 1 ,公差 d ? 2 的等差数列.

? 数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 2n ? 1.
(3)

1 1 ? ? a1a2 a2 a3

?

1 1 1 1 ? ? ? ? an an?1 1? 3 3 ? 5 5 ? 7

?

? 2n ? 1?? 2n ? 1?

1

1 ?? 1 ? ? 1 1 ? ? 1 1 ? ? 1 1 ?? ? ? ?? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ?? 3 ? ? 3 5 ? ? 5 7 ? ? 2 n ? 1 2 n ? 1 ? ? ? 1 ? 1 ? 1 ? ? ?1 ? ? . 2 ? 2n ? 1 ? ? 2
( 2014 年 高考广 东卷第 13 小题 ) 等 比数 列 ?an ? 的各 项均 为正数 ,且 a1a5 ? 4 , 则

log2 a1 ? log log a 5? 5 . 2 a 2 ? log 2 a 3? log 2a 4? 2
(2014 年高考广东卷第 19 小题(本小题满分 ) 14 分) 设各项均为 正数的数列 ?an ? 的前 n 项
2 2 和为 Sn ,且 Sn 满 足 S n ? n ? n ? 3 S n ?

?

?

3 ? n2 ? n ? ? 0 , n ? N ? .
(1)求 a1 的值; (2)求数列 ?an ? 的通项公式;

(3)证明:对一切正整数 n ,有

1 1 ? ? a1 ? a1 ? 1? a2 ? a2 ? 1?

?

1 1 ? . an ? an ? 1? 3

【答案】(1) a1 ? 2 ;(2) an ? 2n ;(3)详见解析. 【解析】 (1 ) 令 n ? 1 得: 即 S12 ? S1 ? 6 ? 0 , S1 ? ? ?1? S1 ? 3? 2 ? 0 , ?? S1 ? 3?? S1 ? 2? ? 0 ,
2

S1 ? 0 ,? S1 ? 2 ,即 a1 ? 2 ;
2 2 2 2 (2)由 S n ? n ? n ? 3 S n ? 3 n ? n ,得 ? Sn ? 3? ? Sn ? n ? n ? ? 0 ,

?

?

?

?

?

?

??

an ? 0 ? n ? N ? ? ,? Sn ? 0 ,从而 Sn ? 3 ? 0 ,? Sn ? n2 ? n ,
所以当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? n2 ? n ? ?? n ? 1? ? ? n ? 1?? ? 2n ,
2

?

?

?

?

? 又 a1 ? 2 ? 2 ?1,? an ? 2n n ? N ;

?

?

(3)当 k ? N ? 时, k 2 ?

k k 3 ? 1 ?? 3? ? k 2 ? ? ? ? k ? ?? k ? ? , 2 2 16 ? 4 ?? 4?
7

?

1 1 1 ? ? ? ak ? ak ? 1? 2k ? 2k ? 1? 4

1 1 ? ? 1? 4 ? 1 ?? 3? ? k ?? k ? ? ? k ? ?? k ? ? 2? 4 ?? 4? ? ?

1

? ? 1 1 1? 1 1 ? ? ? ? ? ? 1 1? 1? ? 1? 4 ? 4 ? ? ? k ? k ? 1 ? ? ? k ? ? k ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? 4 4? 4? ? 4? ?

?

1 1 ? ? a1 ? a1 ? 1? a2 ? a2 ? 1?

?

1 an ? an ? 1?
? ? ? ? 1 1? n? ? n ? 1? ? ? ? 4 4? 1 1

?? ? ? ? 1 ?? 1 1 ? ? 1 1 ? ? ? ?? ? ? ??? ?? 4 ?? 1 ? 1 2 ? 1 ? ? 2 ? 1 3 ? 1 ? ?? 4 4? ? 4 4? ?

? ? ? 1 1? 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? . ? 4 ?1 ? 1 n ? 1 ? 1 ? 3 4 n ? 3 3 ? ? ? 4 4?
证法二:当 n ? 1 时,学科网

1 1 1 1 ? ? ? 成立, a1 ? a1 ? 1? 2 ? 3 6 3

当 n ? 2 时,

1 1 1 1? 1 1 ? ? ? ? ? ? ?, an ? an ? 1? 2n ? 2n ? 1? ? 2n ?1?? 2n ? 1? 2 ? 2n ?1 2n ? 1 ?
? 1 an ? an ? 1?



1 1 1 ? ? ? a1 ? a1 ? 1? a2 ? a2 ? 1? a3 ? a3 ? 1?
1 1?1 1? 1?1 1? ? ? ? ?? ? ? ?? 6 2?3 5? 2?5 7?

?

1? 1 1 ? ? ? ? ? 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 ?

?

1 1?1 1 ? 1 1 1 ? ? ? ? . ?? ? 6 2 ? 3 2n ? 1 ? 3 6 n ? 3 3

8


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