nbhkdz.com冰点文库

排列组合新


排列组合

1

分类计数与分步计数原理 知识与方法
分类计数原理(加法原理): 完成一件事有 n 类办法:在第 1 类办法中有 m1 种不同的方法,在第 2 类办法中有

m2 种不同的方法; ……;在第 n 类办法中有 mn 种不同的方法,那么完成这件事共
有 N ? m1 ? m2 ?

/>
? mn 种不同的方法.

分步计数原理(乘法原理): 完成一件事,需要分成 n 个步骤:做第 1 步有 m1 种不同的方法;做第 2 步有 m2 种不 同的方法; …… ;做第 n 步有 mn 种不同的方法,那么完成这件事共有

N ? m1 ? m2 ?

? mn 种不同的方法.

分类计数原理与分步计数原理区别: 分类计数:方法相互独立,任何一种方法都可以独立地完成这件事. 分步计数:各步相互依存,每步中的方法完成事件的一个阶段,不能完成整个事件. 解决排列组合综合性问题的一般过程: 1.认真审题弄清要做什么事; 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确 定分多少步及多少类; 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及 取出多少个元素; 4.解决排列组合综合性问题,往往类与步交叉,因此必须掌握一些常用的解题策略.

2

计数原理的基本运用
例1:从甲地到乙地一天有汽车 8 班,火车 3 班,轮船 2 班,则某人一天内乘坐不同班次的汽 车、火车或轮船时,共有不同的走法数为 A.13 种 B.16 种 C.24 种 ( D.48 种 )

例2:从甲地到乙地,要从甲地选乘火车到丙地,再于次日从丙地乘汽车到乙地.一天 中,火车有 3 班,汽车有 2 班.那么两天中,从甲地到乙地共有多少种不同的走法?

例3:从 1 到 200 的自然数中,各个数位上都不含有数字 8 的自然数有多少?

3

变式 1:书架的第 1 层放有 4 本不同的计算机书,第 2 层放有 3 本不同的文艺书,第 3 层 放有 2 本不同的体育书. (Ⅰ)从书架上任取 1 本书,有多少种不同的取法? (Ⅱ)从书架的第 1, 2,3 层各取 1 本书,有多少种不同的取法?

变式 2: 集合 A, B 的并集 A

B ? {a1 , a2 , a3} ,当 A ? B 时, ( A, B) 与 ( B, A) 视为不同的数

对,则这样的数对 ( A, B) 共有多少个?

4

排列组合解题策略
一、 特殊元素和特殊位置优先策略

位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法 .若以 元素分析为主,需先安排特殊元素,再处理其它元素;若以位置分析为主,需先满 足特殊位置的要求 ,再处理其它位置 .若有多个约束条件 ,往往是考虑一个约束 条件的同时还要兼顾其它条件.

例4:7 个人排成一排. (1)甲在左端,乙不在右端的排列有多少个? (2)甲不在左端,乙不在右端的排列有多少个? (3)甲在两端,乙不在中间的排列有多少个? (4)甲不在左端,乙不在右端,丙不在中间的排列有多少个? (5)甲,乙都不在两端的排列有多少个?

变式 1:甲组有 5 名男同学, 3 名女同学;乙组有 6 名男同学、 2 名女同学.若从甲、乙两组 中各选出 2 名同学,则选出的 4 人中恰有 1 名女同学的不同选法共有__________种。

变式 2:在 1, 2,3, 4,5,6,7 的任一排列 a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 , a7 中,使相邻两数都互质的排列方 式总数为__________.

变式 3:方程 ay ? b x ? c 中的 a, b, c ?{?3, ?2,0,1, 2,3} ,且 a, b, c 互不相同,在所有这些方
2 2

程所表示的曲线中,不同的抛物线共有_________条.

5

二、

相邻问题捆绑策略

要求某几个元素必须排在一起的问题 ,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻 的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也 必须排列.

例5:7 个人排成一排. (1)甲,乙,丙排在一起,有多少种排法? (2)甲,乙相邻,且丙,丁相邻,有多少种排法? (3)甲,乙,丙排在一起,且都不在两端,有多少种排法? (4)甲,乙,丙排在一起,且甲在两端,有多少种排法? (5)甲,乙恰有 2 人的排法有多少? (6)甲,乙之间是丙的排法有多少?

变式 1: 8 名学生和 2 位老师站成一排合影, 2 位老师相邻的排法有_______种.

变式 2:计划展出 10 幅不同的画,其中 1 幅水彩画,4幅油画,5幅国画, 排成一行陈列,要求 同一品种的必须连在一起,并且水彩画不在两端,那么共有陈列方式的种数为_______。

变式 3:用 0,1, 2,3, 4 这五个数字组成无重复数字的五位数,其中一个偶数夹在两个奇数之间, 这样的五位数有________个.

6

三、

不相邻问题插空策略

元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队 ,再根据题目条件把不相邻元 素插入到已排好元素的中间和两端.

例6:7 人排成一队. (1)甲,乙,丙互不相邻,共有多少种排法? (2)甲乙必须相邻且与丙不相邻 ,共有多少种排法? (3)甲不与乙相邻,丙不与丁相邻 ,共有多少种排法? (4)甲,乙都不与丙相邻,,共有多少种排法?

变式 1:某班新年联欢会原定的 5 个节目已排成节目单,开演前又增加了 3 个新节目.如果将 这 3 个新节目插入原节目单中,且 3 个新节目不相邻,那么所有不同插法的种数为 ________.

变式 2:某节假日,附中校办公室要安排从一号至六号由指定的六位领导参加的值班表.要求 每一位领导值班一天,但校长甲与校长乙不能相邻且主任丙与主任丁也不能相邻,则不同的 安排方法总数为_________.

变式 3:用 1, 2,3, 4,5,6 组成无重复数字的 6 位偶数中, 1 与 3 都不与 5 相邻的有____个.

7

四、

定序问题倍缩、空位、插空策略

排列组合中的定序问题可以用倍缩法,还可以从占位角度分析或者使用插空策 略(注意插空过程中空位的变化情况)

例7: 7 人排队,其中甲乙丙 3 人顺序一定的排法总数为___________. (倍缩法)

(空位法)

(插入法)

8

变式 1:某班新年联欢会原定的 5 个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新节目.如果将 这两个节目插入原节目单中,那么不同插法的种数为________.

变式 2:5 名男同学 6 名女同学排在一排,要求男同学顺序一定,女同学顺序也一定,不同的 排法种数为________.

变式 3: 12 名同学合影,站成前排 4 人后排 8 人,现摄影师要从后排人中抽 2 人调整到前排, 若其他人的相对顺序不变,则不同调整方式的种数是____________.

变式 4:将 A, B, C, D, E, F 六个字母排成一排,且 A, B 均在 C 的同侧,则不同的排法共有 __________种.

9

五、

重复问题倍缩策略

重复问题的相当于定序问题,通常采用倍缩法。

例8:三张卡片上分别写上字母 E,E,B,将三张卡片随机地排成一行,恰好排成英文字母 BEE 的种数为__________。

变式 1:把英文单词 “error” 中字母的拼写顺序写错了。 则可能出现__________种拼写错误。

变式 2:今有两个红球,三个黄球,4 个白球,同色球不加区分,将这 9 个球排成一列,有 __________种不同的方法。

变式 3:某同学有同样的画册 2 本,同样的集邮册 3 本,从中取出 4 本赠送给 4 位朋友每位 朋友 1 本,则不同的赠送方法共有__________

10

六、

重排问题求幂策略

允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象,元素不受位置的约束,可以逐 一安排各个元素的位置 ,一般地 n 不同的元素没有限制地安排在 m 个位置上的 排列数为 m 种.
n

例9:把 6 名实习生分配到 7 个车间实习,不同的分法总数为___________.

变式 1:七名学生争夺五项冠军,每项冠军只能由一人获得,获得冠军的可能的种数 有 .

变式 2:某 8 层大楼一楼电梯上来 8 名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法的种 数为________.

变式 3:一种号码锁有 4 个拨号盘,每个拨号盘上有从 0 到 9 共 10 个数字,这 4 个拨号盘可 以组成多少个四位数字的号码?

11

七、

环排问题线排策略,多排问题直排策略

环排问题因为没有首尾之分,所以可以先固定一个元素的位置,把圆形展成直
线,从而变成线排问题。把 n 个不同的元素围成一个环状问题,可以看成 n-1 个元素的线排问题。

例10: 5 人围桌而坐,不同的坐法总数为___________.

变式 1: 6 个学生围在一个圆桌周围吃饭,甲乙相邻的排法有__________种.

变式 2: 7 个学生围在一个圆桌周围吃饭,甲乙相邻的排法有__________种.

变式 3: 8 个学生围在一个圆桌周围吃饭,甲乙不相邻的排法有__________种.

变式 4: 9 个学生围在一个圆桌周围吃饭,甲乙之间相隔 3 个人的排法有_______种.

12

一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研究.

例11: 8 人排成前后两排,每排 4 人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法.

变式 1:已知 10 人身高各不相等,排成前后排,每排 5 人,要求从左至右身高逐渐增加的排法 总数为___________.

变式 2:有两排座位,前排 11 个座位,后排 12 个座位,现安排 2 人就座,规定前排中间的 3 个座 位不能坐,并且这 2 人不左右相邻,那么不同排法的种数是_______.

13

八、

排列组合混合问题先选后排策略

解决排列组合混合问题,先选后排是最基本的指导思想.

例12: 5 个不同的小球装入 4 个不同的盒内,每盒至少装一个球,不同的装法有________.

变式 1:一个班有 6 名战士,其中正副班长各 1 人,现从中选 4 人完成四种不同的任务,每人完 成一种任务,且正副班长有且只有 1 人参加,则不同的选法有_______________种.

变式 2: 将标号为 1,2,3,4,5,6 的 6 张卡片放入 3 个不同的信封中.若每个信封放 2 张,其中标号为 1,2 的卡片放入同一信封,则不同的方法共有__________种。

变式 3:某校安排 5 个班到 4 个工厂进行社会实践,每个班去一个工厂,每个工厂至少安排 一个班,不同的安排方法共有__________种.

变式 4:将 5 名志愿者分配到 3 个不同的奥运场馆参加接待工作,每个场馆至少分配一名 志愿者的方案种数为__________.

14

九、

元素相同问题隔板策略

将 n 个相同的元素分成 m 份( n ? m,m, n ? N ),每份至少一个元素,可以用
m ?1 m ? 1 块隔板,插入 n 个元素排成一排的 n ? 1 个空隙中,所有分法数为 Cn ?1 .

?

例13: (1)把 20 个相同的球放入 4 个不同的盒子,每个盒子都不空,有多少种不同方法? (2) 把 20 个相同的球放入 4 个不同的盒子, 每个盒子至少有 3 个小球, 有多少种不同方法? (3)把 20 个相同的球放入编号为 2,3,4,5 的 4 个盒子,每个盒子的小球数不少于编号 数,有多少种不同方法? (4)把 20 个相同的球放入 4 个不同的盒子,盒子可以空,有多少种不同方法?

变式 1:4 个人分 5 张同样的足球票,每人至少一张,那么不同的分法种数为__________.

变式 2:马路上有编号为 1, 2,3, 4,5,6,7,8,9 的九只路灯,现要关掉其中的 3 盏,但不能关掉相 邻的 2 盏或 3 盏,也不能关掉两端的 2 盏,求满足条件的关灯方法有多少种?

15

变式 3:为了预防和控制甲型流感,某学校医务室欲将 23 支相同的温度计分发到高三 10 个 班级中,要求分发到每个班级的温度计不少于 2 支,则不同的分发共有__________种。

变式 4:把 10 本相同的书分给编号为 1,2,3 的阅读室,要求每个阅读室分得的书数不少于 其编号,则不同的分法有__________种。

变式 5:有 10 块糖,每天至少吃一块,吃完为止,共有__________种吃法。

变式 6:方程 x ? y ? z ? w ? 20 的正整数解的组数为_________.

变式 7:方程 x ? y ? z ? w ? 20 的自然数解的组数为_________.

变式 8:方程 x ? y ? z ? w ? 24( x, y, z, w ? 2) 的正整数解的组数为_________.

16

十、

平均分组问题除法策略

平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后要一定要除以

An n ( n 为均分的组数)避免重复计数.

例14: 6 本不同的书平均分成 3 堆,每堆 2 本,共有多少种分配方案?

变式 1:将 13 个球队分成 3 组,一组 5 个队,其它两组 4 个队,有多少分法?

变式 2:将 9 个人(含甲,乙)平均分成三组,甲,乙分在同一组,则有多少种不同的分组方 法?

变式 3: 10 名学生分成 3 组,其中一组 4 人, 另两组 3 人但正副班长不能分在同一组,有多少 种 不同的分组方法?

17

十一、 分解,合成,化归思想
(1)分解与合成策略是排列组合问题的一种最基本的解题策略 ,把一个复杂问题 十二、 分解成几个小问题逐一解决,然后依据问题分解后的结构,用分类计数原理和分 步计数原理将问题合成,从而得到问题的答案,每个比较复杂的问题都要用到这 种解题策略; (2) 处理复杂的排列组合问题时可以把一个问题退化成一个简要的问题 ,通过解 决这个简要的问题的解决找到解题方法,从而进下一步解决原来的问题.

例15: 30030 能被多少个不同的偶数整除?

变式 1:圆周上有 2n 个等分点( n ? 1 ) ,以其中三个点为顶点的直角三角形的有多少个?

变式 2:某城市的街区由 12 个全等的矩形区组成其中实线表示马路,从 A 走到 B 的最短路径 有多少种?

B

A
变式 3:正方体的 8 个顶点可连成多少对异面直线?

18

变式 4:已知直线

x y ? ? 1(a, b ? 0) 与圆 x 2 ? y 2 ? 100 有公共点,并且公共点的横坐标和纵 a b

坐标均为整数,则这样的直线共有多少条?

变式 5: 二次函数 y ? ax 2 ? bx ? c 的系数 a, b, c 在集合 ??3, ?2, ?1,0,1, 2,3, 4? 中取 3 个不 同的值,则可确定坐标原点在抛物线内部的抛物线有多少条?

变式 6: 6 位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换,任意两位同学之间最多交换一次, 进行交换的两位同学互赠一份纪念品,已知 6 位同学之间共进行了 13 次交换,则收到 4 份 纪念品的同学人数为 ( ) A.1 或 3 B.1 或 4 C.2 或 3 D.2 或 4

19

十二、 涂色问题
直线型结构:用 m(m ? 2) 种颜色给如图所示的 n(n ? 2) 个区域组成的直线型结构 涂色,相邻区域颜色不同,则不同的涂色方法有 Ln ? m(m ? 1)
m n ?1

种.( m 种颜色在

涂色过程中可以不用完)

例16:(07 天津)如图所示,用 6 种不同的颜色给图中的 4 个格子涂色,每个格子涂一 种颜色,要求最多使用 3 种颜色且相邻的两个格子颜色不同,则不同的涂色方法共有 _________种(用数字作答).

变式 1:在如图的 1×6 矩形长条中涂上红?黄?蓝三种颜色,每种颜色限涂两格,且相邻两 格不同色,则不同的涂色方案有_________种.

20

环形,扇形型结构:用 m(m ? 2) 种颜色给如图所示的 n(n ? 3) 个区域组成的环型结 构涂色,相邻区域颜色不同,则不同的涂色方法有 Rn ? (m ? 1) ? (m ? 1) ? (?1)
m n n

种.( m 种颜色在涂色过程中可以不用完)

例17:对一个各边不等的凸五边形的各条边染色,每条边可以染红,绿,黄三种颜色中的一种, 但是不允许相邻的边染成相同的颜色,则不同的染色方法共有______种.

变式 1: (08 全国Ⅰ)如图,一环形花坛分成 A, B, C, D 四块,现有 4 种不同的花供选种,要求 在每块里种 1 种花,且相邻的 2 块种不同的花,则不同的种法总数为______.

A B

D C

变式 2:直线 x ? 0 和 y ? ? x 将圆 x 2 ? y 2 ? 1的内部分成 4 个部分,用 5 种不同的颜色给这 4 个部分染色,每个部分涂一种颜色,且相邻的两个部分颜色不同,则不同的涂色方法共有 _________种(用数字作答)

21

星形结构:用 m(m ? 2) 种颜色给如图所示的 n(n ? 2) 个区域组成的星型结构涂色, 相邻区域颜色不同,则不同的涂色方法有 Sn ? m(m ? 1)
m n ?1

种.(完全不封闭)

例18:给图中区域涂色,要求相邻区域不同色,现有 4 种可选颜色,则不同的着色方法有 _________种.

1 3 2 5 4

变式 1: (03 江苏)某城市在中心广场建造一个花圃,花圃分为 6 个部分(如图).现要 栽种 4 种不同颜色的花,每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花,不同的栽种方 法有 种.(以数字作答)

22

全连通结构:用 m(m ? n) 种颜色给由 n 个区域组成的全连通型结构图(任意两个区 域都连通)涂色,相邻区域颜色不同,则不同的涂色方法有 T n ? Am 种.
m n

例19:(08 重庆)某人有 4 种颜色的灯泡(每种颜色的灯泡足够多),要在如图所示的 6 个点

A, B, C, A1 , B1 , C1 上各装一个灯泡,要求同一条线段两端的灯泡不同色,则每种颜色的灯泡
都至少用一个的安装方法共有 种(用数字作答)

变式 1:将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色,使同一条棱的两端点异色,如果只有 5 种 颜色可供使用,那么不同的染色方法总数有____________种不同的染法.

23

变式 2:用六种不同颜色,给图中 A、B、C、D、四块区域涂色,允许同一种颜色涂不同区域, 但相邻区域不能涂同一种颜色,共有多少种不同的涂法?

变式 3:用 n(n ? 3) 种不同的颜色去涂下列结构图,满足相邻区域不同色,则各有多少种不同 的涂色方法?

24

十三、 错排问题
【例20】 有编号为一,二,三,四,,的五个人和编号为 1,2,3,4 的四张椅子去坐, (1)一共____________种做法 (2)有 0 人坐到对应的编号的情况有___________种; (3)有 1 人坐到对应的编号的情况有___________种; (4)有 2 人坐到对应的编号的情况有___________种; (5)有 3 人坐到对应的编号的情况有___________种; (6)有 4 人坐到对应的编号的情况有___________种;

变式 1:分别编有 1,2,3,4,5 号码的人与椅,其中 i 号人不坐 i 号椅( (i ? 1, 2,3, 4,5) ) 的不同坐法有____种.

变式 2:编号为 1 至 6 的 6 个小球放入编号为 1 至 6 的 6 个盒子里,每个盒子放一个小球,其 中恰有 2 个小球与盒子的编号相同的放法有____种.

25

十四、 数字问题
【例21】 给定数字 0,1, 2,3,5,9 ,每个数字最多用一次,

(1)可能组成多少个四位数? (2)可能组成多少个四位奇数? (3)可能组成多少个四位偶数? (4)可能组成多少个自然数?

【例22】

从 1 到 9 的九个数字中取三个偶数四个奇数,试问:

(1)能组成多少个没有重复数字的七位数?其中任意两偶数都不相邻的七位数有几个? (2)上述七位数中三个偶数排在一起的有几个? (3) (1)中的七位数中,偶数排在一起、奇数也排在一起的有几个?

26

变式 1:用数字 0,1,2,3,4,5,6 组成没有重复数字的四位数,其中个位,十位和百位上的数 字之和为偶数的四位数共有________个。

变式 2: 从 0,1,2,3,4,5 这六个数字中任取两个奇数和两个偶数,组成没有重复数字 的四位数的个数 ________。

27

十三、 分堆问题
【例23】 有 6 本不同的书 (1)甲、乙、丙 3 人每人 2 本,有多少种不同的分法? (2)分成 3 堆,每堆 2 本,有多少种不同的分堆方法? (3)分成 3 堆,一堆 1 本,一堆 2 本,一堆 3 本,有多少种不同的分堆方法? (4)分给甲、乙、丙 3 人,一人 1 本,一人 2 本,一人 3 本,有多少不同的分配方法? (5)分给甲 1 本、乙 1 本、丙 4 本,有多少种不同的分配方法? (6)分成 3 堆,有 2 堆各一本,另一堆 4 本,有多少种不同的分堆方法? (7)摆在 3 层书架上,每层 2 本,有多少种不同的摆法?

变式 1: 6 本不同的书,按照以下要求处理,各有几种分法? (1) 一堆一本,一堆两本,一堆三本; (2)甲得一本,乙得两本,丙得三本; (3)一人得一本,一人得二本,一人得三本; (4) 平均分给甲、乙、丙三人; (5) 平均分成三堆.

28


最新的排列组合几种方法

最新的排列组合几种方法_高二数学_数学_高中教育_教育专区。今日推荐 157...科目三实际道路驾驶考试注意事项 驾考新题抢先版文档贡献者 xieda0416 贡献于2014...

排列组合最新

排列组合的简单应用练习 1、从甲、乙等 10 个同学中挑选 4 名参加某项...某班新年联欢会原定的 6 个节目已编排成节目单, 开演前又增加了 3 个新...

最新高考排列组合公式_免费

最新高考排列组合公式_免费_高三数学_数学_高中教育_教育专区。选填,简要介绍文档的主要内容,方便文档被更多人浏览和下载。最新高考排列组合公式整理 1.分类计数原理(...

2014最新排列组合题

2014最新排列组合题_数学_高中教育_教育专区。排列组合小题考题调研最有价值 成功...驾考新题抢先版文档贡献者 liufubo1210 贡献于2014-11-12 专题推荐 2014教师...

新人教版二年级上《排列与组合》练习题

新人教版二年级上《排列与组合》练习题_数学_小学教育_教育专区。二年级上册排列组合专题讲解 题型一:衣裙搭配美羊羊为了参加比赛,她准备了 2 件上衣和 2 条...

排列组合方法大全2

排列组合方法大全2_初二数学_数学_初中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 排列组合方法大全2_初二数学_数学_初中教育_教育专区。金太阳新课标资源...

排列组合是组合学的最基本概念

排列就是从指定的 n 个元素中取出指定的 m 个元素进行排 序。组合则是指从...新市场营销法则 助推企业成长 999感冒灵市场营销方案 汽车品牌的足球世界杯营销 ...

9排列组合

个元素的一个排列王新敞奎屯 新疆 组合 排列组合 从 n 个不同元素中取出 m 个元素并成一组,叫做从 n 个不 同元素中取出 m 个元素的一个组合王新敞奎屯 ...

排列组合

排列组合_公务员考试_资格考试/认证_教育专区。公务员行测 排列组合问题 I 一、...表示王新敞奎屯 新疆 王新敞奎屯 新疆 王新敞奎屯 新疆 5.排列数公式: A ...

排列组合专题训练

? 1 . m 6.排列数的另一个计算公式: An = n! (n ? m)! 王新敞奎屯 新疆 王新敞奎屯 新疆 7.组合概念: 从 n 个不同元素中取出 m ? m ? n?...