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第二章圆锥曲线与方程教案

时间:2015-05-31


第二章 圆锥曲线与方程
一、课程目标 在必修阶段学习平面解析几何初步的基础上,在本模块中,学生将学习圆锥曲线与方程,了解圆锥曲线与二次 方程的关系,掌握圆锥曲线的基本几何性质,感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。 结合已学过 的曲线及其方程的实例,了解曲线与方程的对应关系,进一步体会数形结合的思想。 二、学习目标: (1) 、圆锥曲线: ①了解圆锥曲线的实际背景,感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。 ②经历从具体情境中抽象出椭圆、抛物线模型的过程,掌握它们的定义、标准方程、几何图形及简单性质。 ③了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道双曲线的有关性质。 ④能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题(直线与圆锥曲线的位置关系)和实际问题。 ⑤通过圆锥曲线的学习,进一步体会数形结合的思想。 三、本章知识结构框图:

曲线与方程

曲线与方程 求曲线的方程

坐 标 法

椭圆

椭圆及其标准方程 椭圆的简单几何性质 双曲线及其标准方程 双曲线的简单几何性 质 抛物线及其标准方程 抛物线的简单几何性 质

双曲线

抛物线

四、课时分配 本章教学时间约需 9 课时,具体分配如下: 2.1 曲线与方程 约 1 课时 2.2 椭圆 约 2 课时 2.3 双曲线 约 2 课时 2.4 抛物线 约 2 课时 直线与圆锥曲线的位置关系 约 1 课时 小结 约 1 课时

2.1

求曲线的轨迹方程(新授课)

一、教学目标 知识与技能:结合已经学过的曲线及方程的实例,了解曲线与方程的对应关系,了解两条曲线交点的求法; 能根据曲线的已知条件求出曲线的方程,并初步学会通过方程来研究曲线的性质。 过程与方法: 通过求曲线方程的学习,可培养我们的转化能力和全面分析问题的能力,帮助我们理解研究 圆锥曲线的基本方法。 情感、态度与价值观:通过曲线与方程概念的学习,可培养我们数与形相互联系,对立统一的辩证唯物主义

观。 二、教学重点与难点 重点:求动点的轨迹方程的常用技巧与方法. 难点:作相关点法求动点的轨迹方法. 三、教学过程 (一)复习引入 平面解析几何研究的主要问题是: 1、根据已知条件,求出表示平面曲线的方程; 2、通过方程,研究平面曲线的性质. 我们已经对常见曲线圆、椭圆、双曲线以及抛物线进行过这两个方面的研究,今天在上面已经研究的基础上 来对根据已知条件求曲线的轨迹方程的常见技巧与方法进行系统分析. (二)几种常见求轨迹方程的方法 1.直接法 由题设所给(或通过分析图形的几何性质而得出)的动点所满足的几何条件列出等式,再用坐标代替这等式, 化简得曲线的方程,这种方法叫直接法. 2 2 2 例 1、(1)求和定圆 x +y =R 的圆周的距离等于 R 的动点 P 的轨迹方程; 2 2 2 (2)过点 A(a,o)作圆 O∶x +y =R (a>R>o)的割线,求割线被圆 O 截得弦的中点的轨迹. 对(1)分析: 动点 P 的轨迹是不知道的,不能考查其几何特征,但是给出了动点 P 的运动规律:|OP|=2R 或|OP|=0. 解:设动点 P(x,y),则有|OP|=2R 或|OP|=0. 2 2 2 2 2 即 x +y =4R 或 x +y =0. 2 2 2 2 2 故所求动点 P 的轨迹方程为 x +y =4R 或 x +y =0. 对(2)分析: 题设中没有具体给出动点所满足的几何条件, 但可以通过分析图形的几何性质而得出, 即圆心与弦的中点连 线垂直于弦,它们的斜率互为负倒数.解答为: 设弦的中点为 M(x,y),连结 OM, 则 OM⊥AM. ∵kOM·kAM=-1,

其轨迹是以 OA 为直径的圆在圆 O 内的一段弧(不含端点). 2.定义法 利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义直接写出所求的动点的轨迹方程,这种 方法叫做定义法. 这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或差为定值的条件, 或利用平面几何知 识分析得出这些条件.

直平分线 l 交半径 OQ 于点 P(见图 2-45),当 Q 点在圆周上运动时,求点 P 的轨迹方程.

分析: ∵点 P 在 AQ 的垂直平分线上, ∴|PQ|=|PA|. 又 P 在半径 OQ 上. ∴|PO|+|PQ|=R,即|PO|+|PA|=R. 故 P 点到两定点距离之和是定值,可用椭圆定义 写出 P 点的轨迹方程. 解:连接 PA ∵l⊥PQ,∴|PA|=|PQ|. 又 P 在半径 OQ 上. ∴|PO|+|PQ|=2.

由椭圆定义可知:P 点轨迹是以 O、A 为焦点的椭圆.

3.相关点法 若动点 P(x,y)随已知曲线上的点 Q(x0,y0)的变动而变动,且 x0、y0 可用 x、y 表示,则将 Q 点坐标表达式 代入已知曲线方程,即得点 P 的轨迹方程.这种方法称为相关点法(或代换法). 2 例 3、已知抛物线 y =x+1,定点 A(3,1),B 为抛物线上任意一点,点 P 在线段 AB 上,且有 BP∶PA=1∶2, 当 B 点在抛物线上变动时,求点 P 的轨迹方程. 分析: P 点运动的原因是 B 点在抛物线上运动,因此 B 可作为相关点,应先找出点 P 与点 B 的联系. 解:设点 P(x,y),且设点 B(x0,y0)

∵BP∶PA=1∶2,且 P 为线段 AB 的内分点.

4.待定系数法

求圆、椭圆、双曲线以及抛物线的方程常用待定系数法求. 2 例 4、已知抛物线 y =4x 和以坐标轴为对称轴、实轴在 y 轴上的双曲线仅有两个公共点,又直线 y=2x 被双曲 线所截的的线段长等于 2 5 ,求此双曲线方程。

a x -4b x+a b =0 2 2 2 2 2 ∵抛物线和双曲线仅有两个公共点, 根据它们的对称性, 这两个点的横坐标应相等, 因此方程 a x -4b x+a b =0 应有等根. 4 4 2 2 ∴△=16b -4a b =0,即 a =2b.

2 2

2

2 2

由弦长公式得:

即 a b =4b -a .

2 2

2

2

(三)巩固练习 1.△ABC 一边的两个端点是 B(0,6)和 C(0,-6),另两边斜率的积是

4 ,求顶点 A 的轨迹。 9

2.点 P 与一定点 F(2,0)的距离和它到一定直线 x=8 的距离的比是 1∶2,求点 P 的轨迹方程,并说明轨迹 是什么图形? 3.求抛物线 y2=2px(p>0)上各点与焦点连线的中点的轨迹方程. (四)课时小结 求曲线的轨迹方程一般地有直接法、定义法、相关点法、待定系数法,还有参数法、复数法也是求曲线的轨 迹方程的常见方法,这等到讲了参数方程、复数以后再作介绍. (五)布置作业:习题 2.1 A 组 2.3.4 四、课后反思:

2.2.1
一、教学目标

椭圆及其标准方程(新授课)

知识与技能:了解椭圆的实际背景,掌握椭圆的定义及其标准方程。 过程与方法:通过椭圆的概念引入椭圆的标准方程的推导,培养学生的分析探索能力,熟练掌握解决解析 问题的方法—坐标法。

情感、态度与价值观:通过对椭圆的定义及标准方程的学习,渗透数形结合的思想,让学生体会运动变化、 对立统一的思想,提高对各种知识的综合运用能力. 二、教学重点与难点 重点:椭圆的定义和椭圆的标准方程. 难点:椭圆的标准方程的推导. 三、教学过程 (一)椭圆概念的引入 问题 1:什么叫做曲线的方程?求曲线方程的一般步骤是什么?

问题 3:圆的几何特征是什么?你能否可类似地提出一些轨迹命题作广泛的探索? 一般学生能回答:“平面内到一定点的距离为常数的点的轨迹是圆”. 对学生提出的轨迹命题如: “到两定点距离之和等于常数的点的轨迹.” “到两定点距离平方差等于常数的点的轨迹.” “到两定点距离之差等于常数的点的轨迹.” 取一条一定长的细绳,把它的两端固定在画图板上的 F1 和 F2 两点(如图 2-13),当绳长大于 F1 和 F2 的距离 时,用铅笔尖把绳子拉紧,使笔尖在图板上慢慢移动,就可以画出一个椭圆. 教师进一步追问:“椭圆,在哪些地方见过?”有的同学说:“立体几何中圆的直观图.”有的同学说:“人造卫 星运行轨道”等……

在此基础上,引导学生概括椭圆的定义:

平面内到两定点 F1、 F2 的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆. 这两个定点叫做椭圆的焦点, 两焦点的距离叫做焦距. 学生开始只强调主要几何特征——到两定点 F1、F2 的距离之和等于常数、教师在演示中要从两个方面加以 强调: (1)将穿有铅笔的细线拉到图板平面外,得到的不是椭圆,而是椭球形,使学生认识到需加限制条件:“在平 面内”. (2)这里的常数有什么限制吗?教师边演示边提示学生注意: 若常数=|F1F2|, 则是线段 F1F2; 若常数<| F1F2 |,则轨迹不存在;若要轨迹是椭圆,还必须加上限制条件:“此常数大于| F1F2 |”. (二)椭圆标准方程的推导 1.标准方程的推导 由椭圆的定义,可以知道它的基本几何特征,但对椭圆还具有哪些性质,我们还一无所知,所以需要用坐 标法先建立椭圆的方程. 如何建立椭圆的方程?根据求曲线方程的一般步骤,可分:(1)建系设点;(2)点的集合;(3)代数方程;(4) 化简方程等步骤. (1)建系设点 建立坐标系应遵循简单和优化的原则, 如使关键点的坐标、 关键几何量(距离、 直线斜率等)的表达式简单化, 注意充分利用图形的对称性,使学生认识到下列选取方法是恰当的. 以两定点 F1、 F2 的直线为 x 轴, 线段 F1F2 的垂直平分线为 y 轴, 建立直角坐标系(如图 2-14). 设| F1F2 |=2c(c >0),M(x,y)为椭圆上任意一点,则有 F1(-1,0),F2(c,0).

(2)点的集合 由定义不难得出椭圆集合为:P={M||MF1|+|MF2|=2a}.

(3)代数方程

(4)化简方程(学生板演,教师点拨) 2.两种标准方程的比较(引导学生归纳)

0)、 F2(c,0),这里 c2=a2-b2;

-c)、 F2(0,c),这里 c2=a2+b2,只须将(1)方程的 x、y 互换即可得到. 教师指出:在两种标准方程中,∵a2>b2,∴可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上. (三)例题讲解 例、平面内两定点的距离是 8,写出到这两定点的距离的和是 10 的点的轨迹的方程. 分析:先根据题意判断轨迹,再建立直角坐标系,采用待定系数法得出轨迹方程. 解:这个轨迹是一个椭圆,两个定点是焦点,用 F1、F2 表示.取过点 F1 和 F2 的直线为 x 轴,线段 F1F2 的 垂直平分线为 y 轴,建立直角坐标系. ∵2a=10,2c=8. ∴a=5,c=4,b2=a2-c2=25-16=9.∴b=3 因此,这个椭圆的标准方程是

思考:焦点 F1、F2 放在 y 轴上呢? (四)课堂练习:课本 42 页 (五) 课时小结 1.定义:椭圆是平面内与两定点 F1、F2 的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹. 练习 1、2、3、4

3.图形

(六)布置作业:习题 2.2 A 组 1、7 四、课后反思

2.2.2

椭圆的简单几何性质(新授课)

一、教学目标 知识与技能:通过椭圆标准方程的讨论,使学生掌握椭圆的几何性质,能正确地画出椭圆的图形,并能根据 几何性质解决一些简单的问题,从而培养我们的分析、归纳、推理等能力。 过程与方法:掌握利用方程研究曲线性质的基本方法,进一步体会数形结合的思想。 情感、态度与价值观:通过本小节的学习,进一步体会方程与曲线的对应关系,感受圆锥曲线在刻画现实世 界和解决实际问题中的作用。 二、教学重点与难点 重点:椭圆的几何性质及初步运用. 难点:椭圆离心率的概念的理解. 三、教学过程 (一)复习提问 1.椭圆的定义是什么? 2.椭圆的标准方程是什么? (二)几何性质 根据曲线的方程研究曲线的几何性质,并正确地画出它的图形,是解析几何的基本问题之一。 1、范围

即|x|≤a,|y|≤b,这说明椭圆在直线 x=±a 和直线 y=±b 所围成的矩形里,注意结合图形讲解,并指出描 点画图时,就不能取范围以外的点. 2.对称性 先请大家阅读课本椭圆的几何性质 2. 设问:为什么“把 x 换成-x,或把 y 换成-y?,或把 x、y 同时换成-x、-y 时,方程都不变,所以图形关于 y 轴、x 轴或原点对称的” 呢?

事实上,在曲线的方程里,如果把 x 换成-x 而方程不变,那么当点 P(x,y)在曲线上时,点 P 关于 y 轴的对 称点 Q(-x,y)也在曲线上,所以曲线关于 y 轴对称.类似可以证明其他两个命题. 同时向学生指出:如果曲线具有关于 y 轴对称、关于 x 轴对称和关于原点对称中的任意两种,那么它一定具

有另一种对称.如:如果曲线关于 x 轴和原点对称,那么它一定关于 y 轴对称. 事实上,设 P(x,y)在曲线上,因为曲线关于 x 轴对称,所以点 P1(x,-y)必在曲线上.又因为曲线关于原 点对称,所以 P1 关于原点对称点 P2(-x,y)必在曲线上.因 P(x,y)、P2(-x,y)都在曲线上,所以曲线关于 y 轴 对称. 最后指出:x 轴、y 轴是椭圆的对称轴,原点是椭圆的对称中心即椭圆中心. 3.顶点

只须令 x=0,得 y=±b,点 B1(0,-b)、B2(0,b)是椭圆和 y 轴的两个交点;令 y=0,得 x=±a,点 A1(-a,0)、 A2(a,0)是椭圆和 x 轴的两个交点.强调指出:椭圆有四个顶点 A1(-a,0)、A2(a,0)、B1(0,-b)、B2(0,b). 教师还需指出: (1)线段 A1A2、线段 B1B2 分别叫椭圆的长轴和短轴,它们的长分别等于 2a 和 2b; (2)a、b 的几何意义:a 是长半轴的长,b 是短半轴的长; 这时,教师可以小结以下:由椭圆的范围、对称性和顶点,再进行描点画图,只须描出较少的点,就可以得 到较正确的图形. 4.离心率 教师直接给出椭圆的离心率的定义:

等到介绍椭圆的第二定义时,再讲清离心率 e 的几何意义. 先分析椭圆的离心率 e 的取值范围: ∵a>c>0,∴ 0<e<1. 再结合图形分析离心率的大小对椭圆形状的影响:

(2)当 e 接近 0 时,c 越接近 0,从而 b 越接近 a,因此椭圆接近圆; 2 2 2 (3)当 e=0 时,c=0,a=b 两焦点重合,椭圆的标准方程成为 x +y =a ,图形就是圆了. (三)应用 为了加深对椭圆的几何性质的认识,掌握用描点法画图的基本方法,给出如下例 1. 2 2 例 1、求椭圆 16x +25y =400 的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标,并用描点法画出它的图形. 本例前一部分请一个同学板演,教师予以订正,估计不难完成.后一部分由教师讲解,以引起学生重视,步 骤是:

(2)描点作图. 先描点画出椭圆在第一象限内的图形, 再利用椭圆的对称性就可以画出整个椭圆(图 2-19). 要 强调:利用对称性可以使计算量大大减少.

本例实质上是椭圆的第二定义, 是为以后讲解抛物线和圆锥曲线的统一定义做准备的, 同时再一次使学生熟 悉求曲线方程的一般步骤,因此,要详细讲解: 设 d 是点 M 到直线 l 的距离,根据题意,所求轨迹就是 ︱MF︴= d ?

c a
2 2 2 2 2 2 2 2

将上式化简,得:(a -c )x +a y =a (a -c ).

这是椭圆的标准方程,所以点 M 的轨迹是椭圆. 由此例不难归纳出椭圆的第二定义. (四)椭圆的第二定义 1.定义 平面内点 M 与一个定点的距离和它到一定直线的距离的比是常数

线叫做椭圆的准线,常数 e 是椭圆的离心率. 2.说明

这时还要讲清 e 的几何意义是:椭圆上一点到焦点的距离和它到准线的距离的比. (五)课时小结 解法研究图形的性质是通过对方程的讨论进行的,同一曲线由于坐标系选取不同,方程的形式也不同,但是 最后得出的性质是一样的,即与坐标系的选取无关.前面我们着重分析了第一个标准方程的椭圆的性质,类似可 以理解第二个标准方程的椭圆的性质.布置学生最后小结下列表格:

(五)布置作业 1.求下列椭圆的长轴和短轴的长、焦距、离心率、各个顶点和焦点坐标、准线方程: 2 2 (1)25x +4y -100=0, 2 2 (2)x +4y -1=0. 2.我国发射的科学实验人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆,近地点距地面 266Km, 远地点距地面 1826Km,求这颗卫星的轨道方程. 3.点 P 与一定点 F(2,0)的距离和它到一定直线 x=8 的距离的比是 1∶2,求点 P 的轨迹方程,并说明轨迹 是什么图形. 四、课后反思:

2.3.1

双曲线及其标准方程(新授课)

一、教学目标 知识与技能:使学生理解并掌握双曲线的定义,掌握双曲线的标准方程的推导及标准方程。 过程与方法:了解双曲线的实际背景,经历从具体情境中抽象出双曲线模型的过程,感受双曲线定义在解决 实际问题中的作用。 情感、态度与价值观:通过对双曲线的定义及标准方程的学习,渗透数形结合的思想,启发我们在研究问题 时,抓住问题的本质。 二、教学重点与难点 重点:双曲线的定义和双曲线的标准方程. 难点:双曲线的标准方程的推导. 三、教学过程 (一)复习提问 1.椭圆的定义是什么? 平面内与两定点 F1、 F2 的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆. 教师要强调条件: (1)平面内; (2)到两定点 F1、F2 的距离的和等于常数;(3)常数 2a>|F1F2|. 2.椭圆的标准方程?

(二)双曲线的概念 把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”,那么点的轨迹会怎样?它的方程是怎样的呢? 1.简单实验(边演示、边说明) 如图 2-23,定点 F1、F2 是两个按钉,MN 是一个细套管,两条细绳分别拴在按钉上且穿过套管,点 M 移动时, |MF1|-|MF2|是常数,这样就画出曲线的一支;由|MF2|-|MF1|是同一常数,可以画出另一支.

注意:常数要小于|F1F2|,否则作不出图形.这样作出的曲线就叫做双曲线. 2.设问 问题 1:定点 F1、F2 与动点 M 不在平面上,能否得到双曲线? 请学生回答,不能.强调“在平面内”. 问题 2:|MF1|与|MF2|哪个大? 请学生回答,不定:当 M 在双曲线右支上时,|MF1|>|MF2|;当点 M 在双曲线左支上时,|MF1|<|MF2|. 问题 3:点 M 与定点 F1、F2 距离的差是否就是|MF1|-|MF2|? 请学生回答,不一定,也可以是|MF2|-|MF1|.正确表示为||MF2|-|MF1||. 问题 4:这个常数是否会大于等于|F1F2|? 请学生回答,应小于|F1F2|且大于零.当常数=|F1F2|时,轨迹是以 F1、F2 为端点的两条射线;当常数>|F1F2| 时,无轨迹. 3.定义 在上述基础上,引导学生概括双曲线的定义: 平面内与两定点 F1、F2 的距离的差的绝对值是常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点 F1、F2 叫做双曲线的焦点,两个焦点之间的距离叫做焦距. 教师指出:双曲线的定义可以与椭圆相对照来记忆,不要死记. (三)双曲线的标准方程 现在来研究双曲线的方程.我们可以类似求椭圆的方程的方法来求双曲线的方程.这时设问:求椭圆的方程 的一般步骤方法是什么?不要求学生回答,主要引起学生思考,随即引导学生给出双曲线的方程的推导. 标准方程的推导: (1)建系设点 取过焦点 F1、F2 的直线为 x 轴,线段 F1F2 的垂直平分线为 y 轴(如图 2-24)

建立直角坐标系. 设 M(x,y)为双曲线上任意一点,双曲线的焦距是 2c(c>0),那么 F1、F2 的坐标分别是(-c,0)、(c,0).又 设点 M 与 F1、F2 的距离的差的绝对值等于常数. (2)点的集合 由定义可知,双曲线就是集合: P={M||MF1|-|MF2||=2a}={M|MF1|-|MF2|=±2a}. (3)代数方程

(4)化简方程(由学生演板) 将这个方程移项,两边平方得:

化简整理得: 2 2 2 2 2 2 2 2 (c -a )x -a y =a (c -a ). (以上推导完全可以仿照椭圆方程的推导.) 2 2 由双曲线定义,2c>2a 即 c>a,所以 c -a >0. 2 2 2 设 c -a =b (b>0),代入上式得: 2 2 2 2 2 2 b x -a y =a b .

这就是双曲线的标准方程. 两种标准方程的比较(引导学生归纳):

说明: (1)双曲线标准方程中,a>0,b>0,但 a 不一定大于 b; 2 2 (2)如果 x 项的系数是正的,那么焦点在 x 轴上;如果 y 项的系数是正的,那么焦点在 y 轴上.注意有别于 椭圆通过比较分母的大小来判定焦点在哪一坐标轴上. 2 2 2 2 2 2 (3)双曲线标准方程中 a、b、c 的关系是 c =a +b ,不同于椭圆方程中 c =a -b . (四)例题讲解: 1.求满足下列的双曲线的标准方程:焦点 F1(-3,0)、F2(3,0),且 2a=4;

3.已知两点 F1(-5,0)、F2(5,0),求与它们的距离的差的绝对值是 6 的点的轨迹方程.如果把这里的数字 6 改为 12,其他条件不变,会出现什么情况? 2 2 2 2 2 2 解:由定义,所求点的轨迹是双曲线,因为 c=5,a=3,所以 b =c -a =5 -3 =4 .

因为 2a=12,2c=10,且 2a>2c. 所以动点无轨迹. (五)课时小结 1.定义:平面内与两定点 F1、F2 的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹.

3.图形:

4.焦点:F1(-c,0)、F2(c,0);F1(0,-c)、F2(0,c). 2 2 2 5.a、b、c 的关系:c =a +b 五、布置作业 1.根据下列条件,求双曲线的标准方程: (1)焦点的坐标是(-6,0)、(6,0),并且经过点 A(-5,2);

3.已知圆锥曲线的方程为 mx +ny =m+n(m<0<m+n),求其焦点坐标. 四、课后反思:

2

2

2.3.2

双曲线的几何性质(新授课)

一、教学目标 知识与技能:理解并掌握双曲线的几何性质,并能从双曲线的标准方程出发,推导出这些性质,并能根据这 些几何性质解决一些简单问题,从而培养我们的分析、归纳和推理等能力。 过程与方法:在与椭圆的性质的类比中获得双曲线的性质,进一步体会数形结合的思想,掌握利用方程研究 曲线性质的基本方法。 情感、态度与价值观:通过本小节的学习,加深对直角坐标系中曲线与方程的关系概念的理解,这样才能解 决双曲线中的弦、最值等问题. 二、教学重点与难点 重点:双曲线的几何性质及初步运用. 难点:双曲线的渐近线方程的导出和论证. 三、教学过程 (一)复习提问引入新课 1.椭圆有哪些几何性质,是如何探讨的? 2.双曲线的两种标准方程是什么? 下面我们类比椭圆的几何性质来研究它的几何性质. (二)类比联想得出性质(性质 1~3) 引导学生完成下列关于椭圆与双曲线性质的表格(让学生回答,教师引导、启发、订正并板书). (三)问题之中导出渐近线(性质 4) 在学习椭圆时,以原点为中心,2a、2b 为邻边的矩形,对于估计

仍以原点为中心,2a、2b 为邻边作一矩形(板书图形),那么双曲线和这个矩形有什么关系?这个矩形对于 估计和画出双曲线简图(图 2-26)有什么指导意义?这些问题不要求学生回答,只引起学生类比联想. 接着再提出问题:当 a、b 为已知时,这个矩形的两条对角线的方程是什么?

下面,我们来证明它:

双曲线在第一象限的部分可写成:

当 x 逐渐增大时,|MN|逐渐减小,x 无限增大,|MN|接近于零,|MQ|也接近于零,就是说,双曲线在第一象 限的部分从射线 ON 的下方逐渐接近于射线 ON. 在其他象限内也可以证明类似的情况.

现在来看看实轴在 y 轴上的双曲线的渐近线方程是怎样的?由于焦点在 y 轴上的双曲线方程是由焦点在 x 轴上的双曲线方程,将 x、y 字母对调所得到,自然前者渐近线方程也可由后者渐近线方程将 x、y 字母对调

这样,我们就完满地解决了画双曲线远处趋向问题,从而可比较精

再描几个点,就可以随后画出比较精确的双曲线. (四)离心率(性质 5) 由于正确认识了渐近线的概念,对于离心率的直观意义也就容易掌握了,为此,介绍一下双曲线的离心率以 及它对双曲线的形状的影响:

变得开阔,从而得出:双曲线的离心率越大,它的开口就越开阔. 这时, 教师指出: 焦点在 y 轴上的双曲线的几何性质可以类似得出, 双曲线的几何性质与坐标系的选择无关, 即不随坐标系的改变而改变. (五)典型例题剖析: 2 2 1.求双曲线 9y -16x =144 的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程.

由此可知,实半轴长 a=4,虚半轴长 b=3.

焦点坐标是(0,-5),(0,5).

本题实质上是双曲线的第二定义,要重点讲解并加以归纳小结. 解:设 d 是点 M 到直线 l 的距离,根据题意,所求轨迹就是集合:

化简得:(c -a )x -a y =a (c -a ).

2

2

2

2 2

2

2

2

这就是双曲线的标准方程. 由此例不难归纳出双曲线的第二定义. (六)双曲线的第二定义 1.定义(由学生归纳给出) 平面内点 M 与一定点的距离和它到一条直线的距离的比是常数 e=

叫做双曲线的准线,常数 e 是双曲线的离心率. 2.说明

(七)课时小结:

将双曲线的几何性质按两种标准方程形式列表小结. (八)布置作业 1.已知双曲线方程如下,求它们的两个焦点、离心率 e 和渐近线方程. 2 2 (1)16x -9y =144; 2 2 (2)16x -9y =-144. 2.求双曲线的标准方程: (1)实轴的长是 10,虚轴长是 8,焦点在 x 轴上; (2)焦距是 10,虚轴长是 8,焦点在 y 轴上;

曲线的方程.

点到两准线及右焦点的距离. 四、课后反思:

2.4.1

抛物线及其标准方程(新授课)

一、教学目标 知识与技能:使学生掌握抛物线的定义,理解焦点、准线方程的几何意义,能够根据已知条件写出抛物线的 标准方程。 过程与方法:掌握开口向右的抛物线的标准方程的推导过程,进一步理解求曲线的方法——坐标法;通过本 节课的学习,学生在解决问题时应具有观察、类比、分析和计算的能力。 情感、态度与价值观:通过一个简单实验引入抛物线的定义,可以对学生进行理论来源于实践的辩证唯物主 义思想教育. 二、教学重点与难点 重点:抛物线的定义和标准方程. 难点:抛物线的标准方程的推导. 三、教学过程 (一)导出课题 我们已学习了圆、椭圆、双曲线三种圆锥曲线.今天我们将学习第四种圆锥曲线——抛物线,以及它的定义 和标准方程.课题是“抛物线及其标准方程”. 请大家思考两个问题: 问题 1:同学们对抛物线已有了哪些认识? 在物理中,抛物线被认为是抛射物体的运行轨道;在数学中,抛物线是二次函数的图象? 问题 2:在二次函数中研究的抛物线有什么特征? 在二次函数中研究的抛物线,它的对称轴是平行于 y 轴、开口向上或开口向下两种情形. 引导学生进一步思考: 如果抛物线的对称轴不平行于 y 轴, 那么就不能作为二次函数的图象来研究了. 今天, 我们突破函数研究中这个限制,从更一般意义上来研究抛物线. (二)抛物线的定义 1.回顾 平面内与一个定点 F 的距离和一条定直线 l 的距离的比是常数 e 的轨迹,当 0<e<1 时是椭圆,当 e>1 时 是双曲线,那么当 e=1 时,它又是什么曲线? 2.简单实验 如图 2-29,把一根直尺固定在画图板内直线 l 的位置上,一块三角板的一条直角边紧靠直尺的边缘;把一

条绳子的一端固定于三角板另一条直角边上的点 A, 截取绳子的长等于 A 到直线 l 的距离 AC, 并且把绳子另一端 固定在图板上的一点 F;用一支铅笔扣着绳子,紧靠着三角板的这条直角边把绳子绷紧,然后使三角板紧靠着直 尺左右滑动,这样铅笔就描出一条曲线,这条曲线叫做抛物线.反复演示后,请同学们来归纳抛物线的定义,教 师总结.

3.定义 这样,可以把抛物线的定义概括成: 平面内与一定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点 F 不在定直线 l 上). 定点 F 叫做 抛物线的焦点,定直线 l 叫做抛物线的准线. (三)抛物线的标准方程 设定点 F 到定直线 l 的距离为 p(p 为已知数且大于 0).下面,我们来求抛物线的方程.怎样选择直角坐标 系,才能使所得的方程取较简单的形式呢? 让学生议论一下,教师巡视,启发辅导,最后简单小结建立直角坐标系的几种方案: 方案 1:(由第一组同学完成,请一学生板练.) 以 l 为 y 轴,过点 F 与直线 l 垂直的直线为 x 轴建立直角坐标系(图 230).设定点 F(p,0),动点 M 的坐标为(x,y),过 M 作 MD⊥y 轴于 D,抛物线的集合为:p={M||MF|=|MD|}.

化简后得:y =2px-p (p>0). 方案 2:(由第二组同学完成,请一学生板练)

2

2

以定点 F 为原点,平行 l 的直线为 y 轴建立直角坐标系(图 2-31).设动点 M 的坐标为(x,y),且设直线 l 的方程为 x=-p,定点 F(0,0),过 M 作 MD⊥l 于 D,抛物线的集合为: p={M||MF|=|MD|}.

化简得:y =2px+p (p>0). 方案 3:(由第三、四组同学完成,请一学生板练.)

2

2

取过焦点 F 且垂直于准线 l 的直线为 x 轴,x 轴与 l 交于 K,以线段 KF 的垂直平分线为 y 轴,建立直角坐标 系(图 2-32).

抛物线上的点 M(x,y)到 l 的距离为 d,抛物线是集合 p={M||MF|=d}.

化简后得:y =2px(p>0). 比较所得的各个方程,应该选择哪些方程作为抛物线的标准方程呢? 引导学生分析出:方案 3 中得出的方程作为抛物线的标准方程.这是因为这个方程不仅具有较简的形式,而 方程中的系数有明确的几何意义:一次项系数是焦点到准线距离的 2 倍. 由于焦点和准线在坐标系下的不同分布情况,抛物线的标准方程有四种情形(列表如下):

2

将上表画在小黑板上,讲解时出示小黑板,并讲清为什么会出现四种不同的情形,四种情形中 P>0;并指 出图形的位置特征和方程的形式应结合起来记忆.即:当对称轴为 x 轴时,方程等号右端为±2px,相应地左端 2 2 为 y ;当对称轴为 y 轴时,方程等号的右端为±2py,相应地左端为 x .同时注意:当焦点在正半轴上时,取正 号;当焦点在负半轴上时,取负号. (四)四种标准方程的应用 2 例题:(1)已知抛物线的标准方程是 y =6x,求它的焦点坐标和准线方程; (2)已知抛物线的焦点坐标是 F(0,-2),求它的标准方程.

方程是 x =-8y. 练习:根据下列所给条件,写出抛物线的标准方程: (1)焦点是 F(3,0);

2

(3)焦点到准线的距离是 2. 由三名学生板练,教师予以纠正. 这时,教师小结一下:由于抛物线的标准方程有四种形式,且每一种形式中都只含一个系数 p,因此只要给 出确定 p 的一个条件,就可以求出抛物线的标准方程.当抛物线的焦点坐标或准线方程给定以后,它的标准方程 就唯一确定了;若抛物线的焦点坐标或准线方程没有给定,则所求的标准方程就会有多解. (五)课时小结 本节课主要介绍了抛物线的定义,推导出抛物线的四种标准方程形式,并加以运用. (六)布置作业

到准线的距离是多少?点 M 的横坐标是多少? 2.求下列抛物线的焦点坐标和准线方程: 2 2 (1)x =2y;(2)4x +3y=0; 2 2 (3)2y +5x=0;(4)y -6x=0. 3.根据下列条件,求抛物线的方程,并描点画出图形: (1)顶点在原点,对称轴是 x 轴,并且顶点与焦点的距离等于 6; (2)顶点在原点,对称轴是 y 轴,并经过点 p(-6,-3). 4.求焦点在直线 3x-4y-12=0 上的抛物线的标准方程. 四、课后反思:

2.4.2

抛物线的简单几何性质(新授课)

一、教学目标 知识与技能:使学生理解并掌握抛物线的几何性质,能运用抛物线的标准方程推导出它的几何性质,同时掌 握抛物线的简单画法。 过程与方法:通过对抛物线的标准方程的研究,得出抛物线的几何性质,并应用抛物线的性质解决有关抛物 线的实际问题,培养学生的数形结合、转化与化归的能力,提高我们的综合素质。 情感、态度与价值观:使学生进一步掌握利用方程研究曲线性质的基本方法,加深对直角坐标系中曲线方程 的关系概念的理解,这样才能解决抛物线中的弦、最值等问题. 二、教学重点与难点 重点:抛物线的几何性质及初步运用. 难点:抛物线的几何性质的应用 三、教学过程 (一)复习 1.抛物线的定义是什么? 2.抛物线的标准方程是什么? 2 下面我们类比椭圆、双曲线的几何性质,从抛物线的标准方程 y =2px(p>0)出发来研究它的几何性质. (二)几何性质 2 怎样由抛物线的标准方程确定它的几何性质?以 y =2px(p>0)为例,用小黑板给出下表,请学生对比、研究 和填写.

填写完毕后,再向学生提出问题:和椭圆、双曲线的几何性质相比,抛物线的几何性质有什么特点? 学生和教师共同小结: (1)抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它也可以无限延伸,但是没有渐近线. (2)抛物线只有一条对称轴, 这条对称轴垂直于抛物线的准线或与顶点和焦点的连线重合, 抛物线没有中心. (3)抛物线只有一个顶点,它是焦点和焦点在准线上射影的中点. (4)抛物线的离心率要联系椭圆、双曲线的第二定义,并和抛物线的定义作比较.其结果是应规定抛物线的 离心率为 1.注意:这样不仅引入了抛物线离心率的概念,而且把圆锥曲线作为点的轨迹统一起来了. (三)应用举例 为了加深对抛物线的几何性质的认识,掌握描点法画图的基本方法,给出如下例 1. 例 1 已知抛物线关于 x 轴对称,它的顶点在坐标原点,并且经过点

解:因为抛物线关于 x 轴对称,它的顶点在坐标原点,并且经过点

程是 y =4x. 后一部分由学生演板,检查一下学生对用描点法画图的基本方法掌握情况.

2

第一象限内的几个点的坐标,得:

(2)描点作图 描点画出抛物线在第一象限内的一部分,再利用对称性,就可以画出抛物线的另一部分(如图 2-33).

例 2 已知抛物线的顶点在原点,对称轴是 x 轴,抛物线上的点 M(-3,m)到焦点的距离等于 5,求抛物线 的方程和 m 的值. 2 解法一:由焦半径关系,设抛物线方程为 y =-2px(p>0),则准线方

因为抛物线上的点 M(-3,m)到焦点的距离|MF|与到准线的距离

得 p=4. 2 因此,所求抛物线方程为 y =-8x. 2 又点 M(-3,m)在此抛物线上,故 m =(-8)*(-3).

解法二:由题设列两个方程,可求得 p 和 m.由学生演板.由题意

在抛物线上且|MF|=5,故

本例小结: (1)解法一运用了抛物线的重要性质:抛物线上任一点到焦点的距离(即此点的焦半径)等于此点到准线的距 离.可得焦半径公式:设 P(x0,

这个性质在解决许多有关焦点的弦的问题中经常用到,因此必须熟练掌握. (2)由焦半径不难得出焦点弦长公式:设 AB 是过抛物线焦点的一条弦(焦点弦),若 A(x1,y1)、B(x2,y2)则 有|AB|=x1+x2+p.特别地:当 AB⊥x 轴,抛物线的通径|AB|=2p(详见课本习题). 2 例 3 过抛物线 y =2px(p>0)的焦点 F 的一条直线与这抛物线相交于 A、B 两点,且 A(x1,y1)、B(x2,y2)(图 2-34).

证明:

(1)当 AB 与 x 轴不垂直时,设 AB 方程为:

此方程的两根 y1、y2 分别是 A、B 两点的纵坐标,则有 y2y2=-p .

2

或 y1=-p,y2=p,故 y1y2=-p . 2 综合上述有 y1y2=-p 又∵A(x1,y1)、B(x2,y2)是抛物线上的两点,

2

本例小结: (1)涉及直线与圆锥曲线相交时,常把直线与圆锥曲线方程联立,消去一个变量,得到关于另一变量的一元 二次方程,然后用韦达定理求解,这是解决这类问题的一种常用方法. (2)本例命题 1 是课本习题中结论,要求学生记忆. (四)课堂练习 2 1.过抛物线 y =4x 的焦点作直线交抛物线于 A(x1,y1)、B(x2,y2)两点,若 x1+x2=6,求|AB|的值. 2.证明:与抛物线的轴平行的直线和抛物线只有一个交点. (五)课时小结: 1.抛物线的几何性质; 2.抛物线的应用. (六)布置作业 2 1.在抛物线 y =12x 上,求和焦点的距离等于 9 的点的坐标. 2 2.有一正三角形的两个顶点在抛物线 y =2px 上,另一顶点在原点,求这个三角形的边长. 3.图 2-35 是抛物线拱桥的示意图,当水面在 l 时,拱顶高水面 2m,水面宽 4m,水下降 11m 后,水面宽多 少?

4.求证:以抛物线的焦点弦为直径的圆,必与抛物线的准线相切. 四、课后反思:

直线与圆锥曲线的位置关系(专题课)
一、教学目标 知识与技能:使学生掌握直线与圆锥曲线的位置及其判定,重点掌握直线与圆锥曲线相交的有关问题. 过程与方法:通过对直线与圆锥曲线的位置关系的研究,培养学生综合运用直线、圆锥曲线的各方面知识的 能力. 情感、态度与价值观:通过直线与圆锥曲线的位置及其判定,渗透归纳、推理、判断等方面的能力. 二、教学重点与难点 重点:直线与圆锥曲线的相交的有关问题. 难点:圆锥曲线上存在关于直线对称的两点,求参数的取值范围. 三、教学过程 (一)问题提出 1.点 P(x0,y0)和圆锥曲线 C:f(x,y)=0 有哪几种位置关系?它们的条件是什么? 引导学生回答,点 P 与圆锥曲线 C 的位置关系有:点 P 在曲线 C 上、点 P 在曲线 C 内部(含焦点区域)、点 P 在曲线的外部(不含焦点的区域).那么这三种位置关系的条件是什么呢?这是我们要分析的问题之一. 2.直线 l:Ax+By+C=0 和圆锥曲线 C:f(x,y)=0 有哪几种位置关系? 引导学生类比直线与圆的位置关系回答.直线 l 与圆锥曲线 C 的位置关系可分为:相交、相切、相离.那么 这三种位置关系的条件是什么呢?这是我们要分析的问题之二. (二)讲授新课 1.点 M(x0,y0)与圆锥曲线 C:f(x,y)=0 的位置关系

的焦点为 F1、F2,y =2px(p>0)的焦点为 F,一定点为 P(x0,y0),M 点到抛物线的准线的距离为 d,则有:

2

2.直线 l∶Ax+Bx+C=0 与圆锥曲线 C∶f(x,y)=0 的位置关系:

直线与圆锥曲线的位置关系可分为:相交、相切、相离.对于抛物线来说,平行于对称轴的直线与抛物线相 交于一点,但并不是相切;对于双曲线来说,平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点,但并不相切.这三种 位置关系的判定条件可引导学生归纳为:

注意:直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件,但不是充分条件. 3.应用

求 m 的取值范围. 解法一:考虑到直线与椭圆总有公共点,由直线与圆锥曲线的位置关系的充要条件可求. 由一名同学板练.解答为: 由椭圆方程及椭圆的焦点在 x 轴上,知:0<m<5.



∵直线与椭圆总有公共点,

即(10k)2-4x(m+5k2)×5(1-m)≥0, 亦即 5k2≥1-m 对一切实数 k 成立. ∴1-m≤0,即 m≥1. 故 m 的取值范围为 m∈(1,5). 解法二:由于直线过定点(0,1),而直线与椭圆总有公共点,所以定点(0,1)必在椭圆内部或边界上,由点 与椭圆的位置关系的充要条件易求. 另解: 由椭圆方程及椭圆的焦点在 x 轴上知:0<m<5. 又∵直线与椭圆总有公共点. ∴ 直线所经过的定点(0,1)必在椭圆内部或边界上.

故 m 的取值范围为 m∈(1,5), 小结:解法一由直线与圆锥曲线的位置关系的充要条件求,思路易得,但计算量大;解法二由点与圆锥曲线 的位置关系的充要条件求,思路灵活,且简捷.

称,求 m 的取值范围. 解法一:利用判别式法.

并整理得:

∵直线 l′与椭圆 C 相交于两点,

解法二:利用内点法. 设两对称点为 P1(x1,y1),P2(x2,y2),P1P2 的中点为 M(x0,y0),

∴y1+y2=3(x1+x2).(1)

小结:本例中的判别式法和内点法,是解决圆锥曲线上存在两点关于直线的对称的一般方法,类似可解抛物 线、双曲线中的对称问题. 2 练习 1:(1)直线过点 A(0,1)且与抛物线 y =x 只有一个公共点,这样的直线有几条? 2 2 (2)过点 P(2,0)的直线 l 与双曲线 x -y =1 只有一个公共点,这样的直线有几条? 2 2 练习 2:求曲线 C∶x +4y =4 关于直线 y=x-3 对称的曲线 C′的方程. 由教师引导方法,学生板练完成. (三)课时小结 本课主要研究了点、直线与圆锥曲线的三种位置关系及重要条件. (四)布置作业

的值. 2 2 2.k 取何值时,直线 y=kx 与双曲线 4x -y =16 相交、相切、相离? 2 3.已知抛物线 x=y +2y 上存在关于直线 y=x+m 对称的相异两点,求 m 的取值范围. 四、课后反思:

第二章

圆锥曲线小结与复习(两课时) (复习课)
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一、教学目标: 知识与能力:通过小结与复习,使同学们完整准确地理解和掌握三种曲线的特点以及它们之间的区别与联系 过程与方法: 通过本节教学使学生较全面地掌握本章所教的各种方法与技巧, 尤其是解析几何的基本方法―― 坐标法;并在教学中进一步培养他们形与数结合的思想、化归的数学思想以及“应用数学”的意识 情感、态度与价值观:结合教学内容对学生进行运动变化和对立统一的观点的教育 二、教学重点与难点: 重点:三种曲线的标准方程和图形、性质 难点:做好思路分析,引导学生找到解题的落足点 三、教学过程: (一)基础知识回顾: 1.椭圆定义:在平面内,到两定点距离之和等于定长(定长大于两定点间的距离)的动点的轨迹
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2.椭圆的标准方程:

x2 y2 y2 x2 ? ? 1 ? ?1 (a ? b ? 0) , a2 b2 a2 b2 x2 y2 ? ? 1( a ? b ? 0 ) a2 b2

3.椭圆的性质:由椭圆方程

(1)范围: ? a ? x ? a , ? b ? y ? b ,椭圆落在 x ? ?a, y ? ?b 组成的矩形中. (2)对称性:图象关于 y 轴对称. 图象关于 x 轴对称. 图象关于原点对称 原点叫椭圆的对称中心, 简称中心.x 轴、 y 轴叫椭圆的对称轴.从椭圆的方程中直接可以看出它的范围,对称的截距
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(3)顶点:椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点

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椭圆共有四个顶点: A (?a,0), A2 (a,0) , B (0,?b), B2 (0, b) 两焦点 F1 (?c,0), F2 (c,0) 共有六个特殊
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点 A1 A2 叫椭圆的长轴, B1 B2 叫椭圆的短轴.长分别为 2a,2b
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a , b 分别为椭圆的长半轴长和短半轴长 椭
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圆的顶点即为椭圆与对称轴的交点

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(4)离心率: 椭圆焦距与长轴长之比 e ?
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c b ? e ? 1 ? ( )2 0 ? e ? 1 a a
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椭圆形状与 e 的关系: e ? 0, c ? 0 ,椭圆变圆,直至成为极限位置圆,此时也可认为圆为椭圆在 e ? 0 时的特 例 e ? 1, c ? a, 椭圆变扁,直至成为极限位置线段 F1 F2 ,此时也可认为圆为椭圆在 e ? 1 时的特例
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4 椭圆的第二定义 :一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个 (0,1) 内常数 e ,那么这个点的轨迹
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叫做椭圆 其中定点叫做焦点,定直线叫做准线,常数 e 就是离心率 椭圆的第二定义与第一定义是等价的,它是椭圆两种不同的定义方式 5.椭圆的准线方程
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对于

x2 y2 a2 a2 l : x ? ? ? 1 l : x ? ? ,左准线 ;右准线 2 1 c c a2 b2

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y2 x2 a2 a2 对于 2 ? 2 ? 1 ,下准线 l1 : y ? ? ;上准线 l 2 : y ? c c a b
焦点到准线的距离 p ?

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a2 a2 ? c2 b2 ?c ? ? c c c
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椭圆的准线方程有两条,这两条准线在椭圆外部,与短轴平行,且关于短轴对称

6.椭圆的焦半径公式:(左焦半径) r1 ? a ? ex0 ,(右焦半径) r2 ? a ? ex0 ,其中 e 是离心率 的椭圆的焦半径公式: ?

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焦点在 y 轴上

? MF1 ? a ? ey0 ( 其中 F1 , F2 分别是椭圆的下上焦点) MF ? a ? ey 2 0 ?
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焦半径公式的两种形式的区别只和焦点的左右有关,而与点在左在右无关 加
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可以记为:左加右减,上减下

7.双曲线的定义:平面内到两定点 F1 , F2 的距离的差的绝对值为常数(小于 F1F2 )的动点的轨迹叫双曲线

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MF1 ? MF 2 ? 2a 这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做焦距
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在同样的差下,两定点间距离较长,则所画出的双曲线的开口较开阔( ? 两条平行线) 两定点间距离较 短(大于定差) ,则所画出的双曲线的开口较狭窄( ?两条射线) 双曲线的形状与两定点间距离、定差有关 8.双曲线的标准方程及特点: (1)双曲线的标准方程有焦点在 x 轴上和焦点 y 轴上两种:
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焦点在 x 轴上时双曲线的标准方程为:

x2 y2 ? ? 1 ( a ? 0 , b ? 0 ); a2 b2

焦点在 y 轴上时双曲线的标准方程为:
2 2 2

y2 x2 ? ? 1( a ? 0 , b ? 0 ) a2 b2
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(2) a, b, c 有关系式 c ? a ? b 成立,且 a ? 0, b ? 0, c ? 0

其中 a 与 b 的大小关系:可以为 a ? b, a ? b, a ? b

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9 焦点的位置:从椭圆的标准方程不难看出椭圆的焦点位置可由方程中含字母 x 、 y 2 项的分母的大小来确定,分
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2

母大的项对应的字母所在的轴就是焦点所在的轴 而双曲线是根据项的正负来判断焦点所在的位置, 即 x 项的系
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2

数是正的,那么焦点在 x 轴上; y 2 项的系数是正的,那么焦点在 y 轴上 10.双曲线的几何性质: (1)范围、对称性

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x2 y2 由标准方程 2 ? 2 ? 1 ,从横的方向来看,直线 x=-a,x=a 之间没有图象,从纵的方向来看,随着 x 的增 a b
大,y 的绝对值也无限增大,所以曲线在纵方向上可无限伸展,不像椭圆那样是封闭曲线 双曲线不封闭,但仍 称其对称中心为双曲线的中心 (2)顶点
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顶点: A1 (a,0), A2 ?? a,0? ,特殊点: B1 (0, b), B2 ?0,?b? 实轴: A1 A2 长为 2a, a 叫做半实轴长 虚轴: B1 B2 长为 2b,b 叫做虚半轴长
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双曲线只有两个顶点,而椭圆则有四个顶点,这是两者的又一差异 (3)渐近线 过双曲线 (4)离心率 双曲线的焦距与实轴长的比 e ? 双曲线形状与 e 的关系: k ?

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b x y x2 y2 ? 2 ? 1 的渐近线 y ? ? x ( ? ? 0 ) 2 a a b a b

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2c c ? ,叫做双曲线的离心率 范围: e ? 1 2a a
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b c2 ? a2 c2 ? ? ? 1 ? e 2 ? 1 ,e 越大,即渐近线的斜率的绝对值就大,这 a a a2
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是双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔 由此可知,双曲线的离心率越大,它的开口就越阔 11.等轴双曲线 定义:实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线,这样的双曲线叫做等轴双曲线 等轴双曲线的性质: (1)
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渐近线方程为: y ? ? x ; (2)渐近线互相垂直; (3)离心率 e ? 12.共渐近线的双曲线系 如果已知一双曲线的渐近线方程为 y ??

2

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b kb x ? ? x ( k ? 0) , 那 么 此 双 曲 线 方 程 就 一 定 是 : a ka

x2 y2 x2 y2 ? ?? 或写成 ? ? ? 1 ( k ? 0 ) a2 b2 (ka) 2 (kb) 2

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13.共轭双曲线 以已知双曲线的实轴为虚轴, 虚轴为实轴, 这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线 区别: 三量 a,b,c 中 a,b 不同(互换)c 相同 共用一对渐近线 双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上 确定双曲线的共轭 双曲线的方法:将 1 变为-1
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14. 双曲线的第二定义: 到定点 F 的距离与到定直线 l 的距离之比为常数 e ? 其中,定点叫做双曲线的焦点,定直线叫做双曲线的准线 15.双曲线的准线方程:
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c (c ? a ? 0) 的点的轨迹是双曲线 a

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常数 e 是双曲线的离心率.

x2 y2 a2 对于 2 ? 2 ? 1 来说,相对于左焦点 F1 (?c,0) 对应着左准线 l1 : x ? ? ,相对于右焦点 F2 (c,0) 对应着右准 c a b
线 l2 : x ?

a2 ; c

焦点到准线的距离 p ?

b2 (也叫焦参数) c

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y2 x2 a2 对于 2 ? 2 ? 1 来说,相对于上焦点 F1 (0,?c) 对应着上准线 l1 : y ? ? ;相对于下焦点 F2 (0, c) 对应着下准 c a b
线 l2 : y ?
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a2 c

16 双曲线的焦半径 定义:双曲线上任意一点 M 与双曲线焦点 F1 , F2 的连线段,叫做双曲线的焦半径 焦点在 x 轴上的双曲线的焦半径公式:
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? MF1 ? a ? ex0 ?? ? MF2 ? a ? ex0
焦点在 y 轴上的双曲线的焦半径公式:

? MF1 ? a ? ey0 ?? ? MF2 ? a ? ey0

( 其中 F1 , F2 分别是双曲线的下上焦点)

17.双曲线的焦点弦: 定义:过焦点的直线割双曲线所成的相交弦 焦点弦公式: 当双曲线焦点在 x 轴上时,

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过左焦点与左支交于两点时: AB ? ?2a ? e( x1 ? x2 ) 过右焦点与右支交于两点时: AB ? ?2a ? e( x1 ? x2 ) 当双曲线焦点在 y 轴上时, 过左焦点与左支交于两点时: AB ? ?2a ? e( y1 ? y2 ) 过右焦点与右支交于两点时: AB ? ?2a ? e( y1 ? y2 ) 18.双曲线的通径: 定义:过焦点且垂直于对称轴的相交弦
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2b 2 d? a

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19 抛物线定义: 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 定点 F 叫做抛物线的焦点, 定直线 l 叫做抛物线的准线 20.抛物线的准线方程:
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(1) y ? 2 px( p ? 0) , 焦点: (
2

p p ,0) ,准线 l : x ? ? 2 2

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p p ) ,准线 l : y ? ? 2 2 p p (3) y 2 ? ?2 px( p ? 0) , 焦点: (? ,0) ,准线 l : x ? 2 2 p p (4) x 2 ? ?2 py( p ? 0) , 焦点: (0,? ) ,准线 l : y ? 2 2
(2) x 2 ? 2 py( p ? 0) , 焦点: (0,
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相同点:(1)抛物线都过原点;(2)对称轴为坐标轴;(3)准线都与对称轴垂直,垂足与焦点在对称轴上关于 原点对称
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它们到原点的距离都等于一次项系数绝对值的

1 2p p ? ,即 4 4 2

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不同点:(1)图形关于 X 轴对称时,X 为一次项,Y 为二次项,方程右端为 ? 2 px 、左端为 y 2 ;图形关于 Y 轴对称时,X 为二次项,Y 为一次项,方程右端为 ? 2 py ,左端为 x
2
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(2)开口方向在 X 轴(或 Y 轴)正向时,

焦点在 X 轴(或 Y 轴)的正半轴上,方程右端取正号;开口在 X 轴(或 Y 轴)负向时,焦点在 X 轴(或 Y 轴)负 半轴时,方程右端取负号 21.抛物线的几何性质 (1)范围
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因为 p>0,由方程 y ? 2 px? p ? 0? 可知,这条抛物线上的点 M 的坐标(x,y)满足不等式 x≥0,所以这条
2

抛物线在 y 轴的右侧;当 x 的值增大时,|y|也增大,这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸. (2)对称性 以-y 代 y,方程 y ? 2 px? p ? 0? 不变,所以这条抛物线关于 x 轴对称,我们把抛物线的对称轴叫做抛物线
2

的轴. (3)顶点 抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点.在方程 y ? 2 px? p ? 0? 中,当 y=0 时, x=0 ,因此抛物线
2

y 2 ? 2 px? p ? 0? 的顶点就是坐标原点.
(4)离心率 抛物线上的点 M 与焦点的距离和它到准线的距离的比,叫做抛物线的离心率,用 e 表示.由抛物线的定义可 知,e=1. 22 抛物线的焦半径公式:
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抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) , PF ? x0 ?

p p ? ? x0 2 2 p p ? ? x0 2 2

抛物线 y 2 ? ?2 px( p ? 0) , PF ? x0 ?

抛物线 x ? 2 py( p ? 0) , PF ? y 0 ?
2

p p ? ? y0 2 2 p p ? ? y0 2 2

抛物线 x ? ?2 py( p ? 0) , PF ? y 0 ?
2

23.直线与抛物线: (1)位置关系: 相交(两个公共点或一个公共点) ;相离(无公共点) ;相切(一个公共点)
2 2 将 l : y ? kx ? b 代入 C : Ax ? Cy ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,消去 y,得到

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关于 x 的二次方程 ax ? bx ? c ? 0
2

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(*)
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若 ? ? 0 ,相交; ? ? 0 ,相切; ? ? 0 ,相离 综上,得: 联立 ?

? y ? kx ? b 2 ,得关于 x 的方程 ax ? bx ? c ? 0 2 ? y ? 2 px
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当 a ? 0 (二次项系数为零) ,唯一一个公共点(交点) 当 a ? 0 ,则 若 ? ? 0 ,两个公共点(交点) ? ? 0 ,一个公共点(切点) ? ? 0 ,无公共点 (相离) (2)相交弦长:
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弦长公式: d ? (3)焦点弦公式:

? 1? k 2 , a

抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) , AB ? p ? ( x1 ? x2 )

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抛物线 y 2 ? ?2 px( p ? 0) , AB ? p ? ( x1 ? x2 ) 抛物线 x 2 ? 2 py( p ? 0) , AB ? p ? ( y1 ? y2 ) 抛物线 x 2 ? ?2 py( p ? 0) , AB ? p ? ( y1 ? y2 ) (4)通径: 定义:过焦点且垂直于对称轴的相交弦 (5)若已知过焦点的直线倾斜角 ? 则?
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通径: d ? 2 p

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2p p ? ? 2p ? y ? k(x ? ) ? y1 ? y 2 ? 2 2 ? ? y ? y ? p ? 0 ? k 2 k 2 2 ? ? y ? 2 px y y ? ? p ? ? 1 2
1 2p 4 p2 2p ? AB ? y1 ? y 2 ? ? 4 p2 ? 2 sin ? sin 2 ? sin ? k

? y1 ? y 2 ?

(6)常用结论:

p ? 2p k 2 p2 ? y ? k(x ? ) 2 2 2 2 2 ? y ? y ? p ? 0 k x ? ( k p ? 2 p ) x ? ?0 和 ? 2 k 4 2 ? ? y ? 2 px

? y1 y2 ? ? p 2 和 x1 x 2 ?

p 4

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(二) 、讲解范例: 例 1 根据下列条件,写出椭圆方程 ⑴ 中心在原点、以对称轴为坐标轴、离心率为 1/2、长轴长为 8; 2 2 ⑵ 和椭圆 9x +4y =36 有相同的焦点,且经过点(2,-3);
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⑶ 中心在原点, 焦点在 x 轴上, 从一个焦点看短轴两端的视角为直角, 焦点到长轴上较近顶点的距离是 10 - 5
2 2 2 2 2

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分析: 求椭圆的标准方程,首先要根据焦点位置确定方程形式,其次是根据 a =b +c 及已知条件确定 a 、b 的值

进而写出标准方程 解 ⑴ 焦点位置可在 x 轴上,也可在 y 轴上,
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因此有两解:

x y2 y2 x2 ? ? 1或 ? ?1 16 12 16 12

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?a 2 ? b 2 ? 5 x y ? ⑵ 焦点位置确定,且为( 0 , ? 5 ) ,设原方程为 2 ? 2 ? 1 ,(a>b>0) ,由已知条件有 ? 9 4 a b ? 2 ? 2 ?1 b ?a
2 2

y2 x ? ?1 ? a ? 15, b ? 10 ,故方程为 15 10
2 2

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⑶ 设椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1 ,(a>b>0) a2 b2
及 a =b +c ,解得 b= 5, a ? 10 ,
2 2 2

由题设条件有 ?

?b ? c ?a ? c ? 10 ? 5

故所求椭圆的方程是

x y2 ? ?1 10 5

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例 2 从椭圆

x2 y2 ? ? 1 ,(a>b>0)上一点 M 向 x 轴所作垂线恰好通过椭圆的左焦点 F1,A、B 分别是椭圆长、短 a2 b2
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轴的端点, AB∥OM 设 Q 是椭圆上任意一点, 当 QF2⊥AB 时, 延长 QF2 与椭圆交于另一点 P, 若⊿F2PQ 的面积为 20 3 , 求此时椭圆的方程 解 可用待定系数法求解
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∵b=c,a= 2 c,可设椭圆方程为

x2 y2 ? ?1 2c 2 c 2

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∵PQ⊥AB,∴kPQ=-

1 a ? ? 2 ,则 PQ 的方程为 y= 2 (x-c), k AB b
2 2

代入椭圆方程整理得 5x -8cx+2c =0, 根据弦长公式,得 PQ=

6 2 c, 5

又点 F1 到 PQ 的距离 d=

2 6 c 3

∴ S ?F1PQ ?

1 4 3 2 4 3 2 PQ d ? c ,由 c ? 20 3,得c 2 ? 25, 2 5 5

故所求椭圆方程为

x2 y2 ? ?1 50 25

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例 3 已知椭圆:

? x2 ? y 2 ? 1 ,过左焦点 F 作倾斜角为 的直线交椭圆于 A、B 两点,求弦 AB 的长 6 9

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解:a=3,b=1,c=2 2 ; 由题意知: l : y ?

则 F(-2 2 ,0)

1 3

(x ? 2 2) 与

x2 ? y 2 ? 1 联立消去 y 得: 9

4x 2 ? 12 2 x ? 15 ? 0
设 A( x1 , y1 ) 、B( x 2 , y 2 ) ,则 x1 , x 2 是上面方程的二实根,由违达定理, x1 ? x2 ? ?3 2

x1 ? x 2 ?

x ? x2 3 2 15 , xM ? 1 又因为 A、B、F 都是直线 l 上的点, ?? 4 2 2

所以|AB|= 1 ? ? | x1 ? x2 |?

1 3

2 3

? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ?
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2 3

18 ? 15 ? 2

点评:也可让学生利用“焦半径”公式计算 例4
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中心在原点,一个焦点为 F1(0, 50 )的椭圆截直线 y ? 3x ? 2 所得弦的中点横坐标为

1 ,求椭圆的方 2

程 分析:根据题意,可设椭圆的标准方程,与直线方程联立解方程组,利用韦达定理及中点坐标公式,求出中点的 横坐标,再由 F1(0, 50 )知,c= 50 ,? a ? b ? 50 ,最后解关于 a、b 的方程组即可
2 2
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解:设椭圆的标准方程为

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) , a2 b2
2

由 F1(0, 50 )得 a ? b ? 50
2

把直线方程 y ? 3x ? 2 代入椭圆方程整理得:

(a 2 ? 9b 2 ) x 2 ? 12b 2 x ? b 2 (4 ? a 2 ) ? 0
设弦的两个端点为 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,则由根与系数的关系得:

x1 ? x 2 ?

12b 2 , a 2 ? 9b 2
x ? x2 1 6b 2 1 ? 2 ? ,? 1 2 2 2 2 a ? 9b

又 AB 的中点横坐标为

? a 2 ? 3b 2 ,与方程 a 2 ? b 2 ? 50 联立可解出 a 2 ? 75, b 2 ? 25
故所求椭圆的方程为:

x2 y2 ? ?1 75 25
2 2

例 5 直线 y ? kx ? 1 与双曲线 3x ? y ? 1 相交于 A、B 两点,当 a 为何值时,A、B 在双曲线的同一支上?当 a 为 何值时,A、B 分别在双曲线的两支上? 解: 把 y ? kx ? 1 代入 3x ? y ? 1
2 2

整理得: (3 ? a 2 ) x 2 ? 2ax ? 2 ? 0 ??(1) 当 a ? ? 3 时, ? ? 24 ? 4a
2
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由 ? >0 得 ? 6 ?a? 6 且 a ? ? 3 时,方程组有两解,直线与双曲线有两个交点 若 A、B 在双曲线的同一支,须 x1 x 2 ?

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2 >0 ,所以 a? ? 3 或 a? 3 a ?3
2

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故当 ? 6 ?a? ? 3 或 3? a 6 时,A、B 两点在同一支上;当 ? 3?a 3 时,A、B 两点在双曲线的两支上

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例 6 已知双曲线的中心在原点,过右焦点 F(2,0)作斜率为 求双曲线方程

3 的直线,交双曲线于 M、N 两点,且 MN =4, 5

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解:设所求双曲线方程为

x2 y2 ? ? 1(a? 0, b? 0) ,由右焦点为(2,0) 知 C=2,b2=4-a2 a2 b2
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则双曲线方程为
2 2 2

x2 y2 3 ? ? 1 , 设 直 线 MN 的 方 程 为 : y ? ( x ? 2) , 代 入 双 曲 线 方 程 整 理 得 : 2 2 a 4?b 5
4 2

(20-8a )x +12a x+5a -32a =0 设 M(x1,y1),N(x2,y2),则 x1 ? x 2 ?

? 12a 2 , 20 ? 8a 2

x1 x2 ?

5a 4 ? 32a 2 20 ? 8a 2

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? 3? ? ? MN ? 1 ? ? ? 5? ? ? ?
8 ? ? 5
2

2

?x1 ? x2 ? ? 4 x1 x2
2

? ? 12a 2 ? 5a 4 ? 32a 2 ? ? 20 ? 8a 2 ? ? ? 4 ? 20 ? 8a 2 ? 4 ? ?
2
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解得: a ? 1 ,? b ? 4 ? 1 ? 3 故所求双曲线方程为: x ?
2

y2 ?1 3

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点评:利用待定系数法求曲线方程,运用一元二次方程得根与系数关系将两根之和与积整体代入,体现了数 学的整体思想,也简化了计算,要求学生熟练掌握
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y2 ? 1 ,过点 A(2,1)的直线与已知双曲线交于 P、Q 两点 (1)求 PQ 中点的轨迹方程; 例 7 已知双曲线 x ? 2
2
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(2)过 B(1,1)能否作直线 l ,使 l 与所给双曲线交于两点 M、N,且 B 为 MN 的中点,若存在,求出 l 的方程, 不存在说明理由 解: (1)设 P(x1,y1) 、Q(x2,y2),其中点为(x,y),PQ 的斜率为 k, 若 PQ 的斜率不存在显然(2,0)点是曲线上的点 若 PQ 的斜率存在,由题设知:
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y x1 ? 1 ? 1 ?(1) 2
2

2

y x2 ? 2 ? 1 ?(2) 2
2

2

(2)-(1)得: ( x1 ? x2 )( x2 ? x1 ) ?

( y1 ? y 2 )( y 2 ? y1 ) ?0 2

?

x1 ? x2 k x k ? ,即 ? ?(3) y 2 y1 ? y 2 2
y ?1 代入(3)整理得: 2x 2 ? y 2 ? 4x ? y ? 0 x?2
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又k ?

(2)显然过 B 点垂直 X 抽的直线不符合题意 只考虑有斜率的情况 设 l 的方程为 y-1=k(x-1)
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代入双曲线方程 x ?
2

y2 ? 1 ,整理得: 2

?2 ? k ?x
2

2

? 2k ?1 ? k ?x ? k 2 ? 2k ? 3 ? 0 ?※
2k ?1 ? k ? ? 2 解得: k =2 2?k2
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设 M(x1,y1) 、N(x2,y2)则有 x1 ? x 2 ? 又直线与双曲线必须有两不同交点,

所以※式的 ? ? 4k 2 ?1 ? k ? ? 4 2 ? k 2 k 2 ? 2k ? 3 ?o
2

?

??

?

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把 K=2 代入得 ? ? ?8 <0, 故不存在满足题意的直线 l

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2 例 8 已知抛物线方程为 y ? 2 p( x ? 1)( p ? 0) ,直线 l : x ? y ? m 过抛物线的焦点 F 且被抛物线截得的弦长为

3,求 p 的值. 解:设 l 与抛物线交于 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ), 则 | AB |? 3. 由距离公式 |AB|= ( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 = 1 ? 1 | y1 ? y2 |? 2 | y1 ? y2 | 2
k

则有 ( y1 ? y2 ) 2 ? 9 .
2

由 ? x ? y ? ?1 ? 2 ,消去x, 得y 2 ? 2 py ? p 2 ? 0. ?
? y 2 ? 2 p( x ? 1). ?

?

p

? ? (2 p) 2 ? 4 p 2 ? 0.

? y1 ? y2 ? ?2 p, y1 y2 ? ? p 2 .

从而 ( y1 ? y 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? 4 y1 y 2 ,即(?2 p) 2 ? 4 p 2 ? 9 . 由于 p>0,解得 p ?
2

3 4

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例 9 如图,线段 AB 过 x 轴正半轴上一点 M(m,0) (m>0) ,端点 A、B 到 x 轴距离之积为 2 m ,以 x 轴为对称轴, 过 A,O,B 三点作抛物线 y (1)求抛物线方程; A
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(2)若 tg?AOB ? ?1 ,求m 的取值范围

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解: (1)当 AB 不垂直 x 轴时,设 AB 方程为
y ? k ( x ? m).抛物线方程 y 2 ? 2 px( p ? 0)

O

M B

x



? y ? k ( x ? m) 得ky 2 ? 2 py ? 2 pkm ? 0,? y1 y 2 ? ?2 pm?| y1 y 2 | ? 2 pm ? 2m ? 2 y ? 2 px ?
? p ? 1.当AB ? X轴时, A, B分别为 (m, 2Pm), (m,? 2 pm),由题意有 2 pm ? 2m, p ? 1 ,

故所求抛物线方程为 y 2 ? 2 x. (2)设 A( y1 , y1 ), B( y 2 , y 2 )由(1)知 2 2 2 y1 y 2 ? ?2m, y1 ? y 2 ? k
? | y1 ? y 2 |? ( y1 ? y 2 ) 2 ? 4 y1 y 2 ?
2 2

4 ? 8m , k2
2 2

又tg?AOB ? ?1

| ? | 2 2 k1 ? , k2 ? , ? y1 y2 ? ?1 y1 y2 4 1? y1 y2

即y1 y2 ? 4 ? 2 | y1 ? y2 |,? ?2m ? 4 ? 2

①, 4 ? 8m k2

平方后化简得
m 2 ? 12 m ? 4 ? 4 k2 ? m 2 ? 12 m ? 4 ? 0, ? m ? 6 ? 4 2或m ? 6 ? 4 2

又由①知
? 2m ? 4 ? 0,? m ? 2 ? m 的取值范围为

0 ? m ? 6 ? 4 2当m ? 6 ? 4 2且AB ? x 轴时,
y1 ? 2( 2 ? 1), y2 ? ?2( 2 ? 1), y1 y2 ? ?4( 2 ? 1) 2 ? ?2m. tan?AOB ? ?1

符合条件, 故符合条件的 m 取值范围为 0 ? m ? 6 ? 4 2. (三) 、课堂练习: 1 .直线

l : y ? k x ? 2 与曲线 x 2 ? y 2 ? 1?x ? 0? ,相交于 A、 B 两点,求直线 l 的倾斜角的范围 答案:
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?

?

? ? ? ? ? ? 3? ? ? , ??? , ? ?4 2? ?2 4 ?
2.直线 y ? kx ? 1 与双曲线 x ? y ? 1的左支仅有一个公共点,求 K 的取值范围
2 2
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答案: ? 1? k ? 1 或 k ?
2 3.已知双曲线 x ?

2

y2 ? 1 与点 P(1,2) ,过 P 点作直线 L 与双曲线交于 A、B 两点,若 P 为 AB 的中点 (1)求 2
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直线 AB 的方程 (2)若 Q 为(-1,-1) ,证明不存在以 Q 为中点的弦 答案 AB:x-y+1=0
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4.双曲线 x ?
2

y2 ? 1( x ? 1) ,一条长为 8 的弦 AB 的两端在曲线上运动,其中点为 M,求距 Y 轴最近的点 M 的坐 3

标 答案: ? ,
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?5 ?2 ?

15 ? ? 2 ? ?
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5. 顶点在原点, 焦点在 x 轴上的抛物线, 截直线 y ? 2 x ? 4 所得的弦长为 3 5 , 求抛物线的方程 答案:y 2 ? 4 x 或 y 2 ? ?36x
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F G 6. 过抛物线焦点 F 的直线与抛物线交于 A 、B 两点, 若 A 、B 在抛物线准线上的射影分别为 E 、G , 则 ?E 等于 ( B )
A. 45
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0

B 90
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0

C 60
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0

D 120
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0

7 若抛物线 y 2 ? 8x 被过焦点,且倾斜角为 135 的直线所截,求截得的线段的中点坐标 答案: ?6,?4?
0
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8 过 点 ?? 1,?6? 的 直 线 l 与 抛 物 线 y 2 ? 4 x 交 于 A 、 B 两 点 , 求 直 线 l 的 斜 率 K 的 取 值 范 围 答 案 :
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?3 ?

10,0 ? 0,3 ? 10

? ?

?

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0 2 9.过点 A?? 2,?4? 作倾斜角为 45 的直线交抛物线 y ? 2 px? p ? 0? 于点 P 1P 2 1 、P 2 ,若 P

2

? AP1 ? AP2 ,求

实数 p 的值 答案: p ? 1
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(四)课时小结 : 1、直线与曲线的位置关系有相离、相切、相交三种 2、判断其位置关系看直线是否过定点,在根据定点的位置和双曲线的渐近线的斜率与直线的斜率的大小关系确 定其位置关系 3、可通过解直线方程与曲线方程解的个数来确定他们的位置关系 但有一解不一定是相切,要根据斜率作进一不 的判定 四、课后反思
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