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空间向量直角坐标运算


3.1.4 空间向量的直角坐标运算
一、选择题 → 2→ 1.已知 A(3,4,5),B(0,2,1),O(0,0,0),若OC= AB,则 C 的坐标是( 5 6 4 8 A.(- ,- ,- ) 5 5 5 6 4 8 C.(- ,- , ) 5 5 5 6 4 8 B.( ,- ,- ) 5 5 5 6 4 8 D.( , , ) 5 5 5 ) )
<

br />A.

1 5

B.

2 5

3 C. 5

D.

4 5

8.已知向量 a=(1,1,0),b=(-1,0,2),且 ka+b 与 2a-b 互相垂直,则 k 的值是() A.1 B. 1 5 3 C. 5 D. 7 5

→ 9.若两点的坐标是 A(3cosα ,3sinα ,1),B(2cosθ ,2sinθ ,1),则|AB|的取值范 围是( ) B.[1,5] C.(1,5) D.[1,25]

A.[0,5]

2.与向量 a=(1,-3,2)平行的一个向量的坐标为( A.(1,3,2) C.(-1,3,-2) B.(-1,-3,2) D.(1,-3,-2)

→ → → 10.已知 O 为坐标原点,OA=(1,2,3),OB=(2,1,2),OP=(1,1,2),点 Q 在直线 OP 上 → → 运动,则当QA?QB取得最小值时,点 Q 的坐标为( ) )

8 3.若 a=(1,λ ,2),b=(2,-1,2),且 a 与 b 夹角的余弦为 ,则 λ =( 9 A.2 B.-2 C.-2 或 2 55 2 D.2 或- 55

?1 3 1? A.? , , ? ?2 4 3? ?4 4 8? C.? , , ? ?3 3 3?
二、填空题

?1 3 3? B.? , , ? ?2 2 4? ?4 4 7? D.? , , ? ?3 3 3?

4.若△ABC 中,∠C=90°,A(1,2,-3k),B(-2,1,0),C(4,0,-2k),则 k 的值为 ( ) A. 10 B.- 10 C.2 5 D.± 10 )

11.已知 a=(2,-3,0),b=(k,0,3),<a,b>=120°,则 k=________. 12.已知点 A、B、C 的坐标分别为(0,1,0)、(-1,0,-1)、(2,1,1),点 P 的坐标为 → → → → (x,0,z),若PA⊥AB,PA⊥AC,则 P 点的坐标为______________. → 1 → 13.已知 A、B、C 三点的坐标分别是(2,-1,2),(4,5,-1),(-2,2,3),AP= (AB 2 → -AC),则点 P 的坐标是________. ) 14.已知向量 a=(2,-1,2),则与 a 共线且 a?x=-18 的向量 x=________. 三、解答题 15.已知 A、B、C 三点坐标分别为(2,-1,2),(4,5,-1),(-2,2,3),求满足下列 条件的 P 点坐标. → 1 → → (1)OP= (AB-AC); 2

→ 5.已知 A(3,5,2),B(-1,2,1),把AB按向量(2,1,1)平移后所得向量是( A.(-4,-3,0) C.(-2,-1,0) B.(-4,-3,-1) D.(-2,-2,0)

6.若 a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则 = = 是 a∥b 的( A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

a1 a2 a3 b1 b2 b3

7.正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,AA1=2AB.则异面直线 A1B 与 AD1 所成角的余弦值为 ( )

→ 1 → → (2)AP= (AB-AC). 2

(3)对于 n 个向量 a1,a2,…,an,如果存在不全为零的 n 个实数 λ 1,λ 2,…,λ n,使 得 λ 1a1+λ 2a2+…+λ nan=0 成立,则这 n 个向量 a1,a2,…,an 叫做线性相关,不是线性 → → → 相关的向量叫线性无关,判断AM,BN,CD是否线性相关,并说明理由.

→ → 16.已知空间三点 A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),设 a=AB,b=AC. → (1)设|c|=3,c∥BC,求 c. (2)求 a 与 b 的夹角. (3)若 ka+b 与 ka-2b 互相垂直,求 k. 18.如图所示,AB 和 CD 是两条异面直线,BD 是它们的公垂线,AB=CD=a,点 M,N 分 别是 BD,AC 的中点.求证:MN⊥BD.

17.正四棱柱 AC1 中,底面 ABCD 是边长为 4 的正方形,A1C1 与 B1D1 交于点 N,BC1 与 B1C 交于点 M,且 AM⊥BN,建立空间直角坐标系. (1)求 AA1 的长; → → (2)求<BN,AD1>;

3.1.4 空间向量的直角坐标运算
一、选择题 → 2→ 1.已知 A(3,4,5),B(0,2,1),O(0,0,0),若OC= AB,则 C 的坐标是( 5 )

6 4 8 A.(- ,- ,- ) 5 5 5 6 4 8 C.(- ,- , ) 5 5 5 [答案] A

6 4 8 B.( ,- ,- ) 5 5 5 6 4 8 D.( , , ) 5 5 5

4.若△ABC 中,∠C=90°,A(1,2,-3k),B(-2,1,0),C(4,0,-2k),则 k 的值为 ( ) A. 10 C.2 5 [答案] D B.- 10 D.± 10

→ [解析] 设 C(a,b,c),∵AB=(-3,-2,-4) 2 ∴ (-3,-2,-4)=(a,b,c), 5 4 8? ? 6 ∴(a,b,c)=?- ,- ,- ?.故选 A. 5 5? ? 5 2.与向量 a=(1,-3,2)平行的一个向量的坐标为( A.(1,3,2) C.(-1,3,-2) [答案] [解析] C (-1,3,-2)=-a,与 a 共线. ) B.(-1,-3,2) D.(1,-3,-2) )

→ [解析] CB=(-6,1,2k), →

CA=(-3,2,-k)
→ → 则CB?CA=(-6)?(-3)+2+2k(-k) =-2k2+20=0,∴k=± 10. → 5.已知 A(3,5,2),B(-1,2,1),把AB按向量(2,1,1)平移后所得向量是( A.(-4,-3,0) C.(-2,-1,0) [答案] B B.(-4,-3,-1) D.(-2,-2,0) )

8 3.若 a=(1,λ ,2),b=(2,-1,2),且 a 与 b 夹角的余弦为 ,则 λ =( 9 A.2 2 C.-2 或 55 [答案] C B.-2 2 D.2 或- 55

→ → [解析] AB=(-4,-3,-1),而平移后的向量与原向量相等,∴AB平移后仍为(- 4,-3,-1).故选 B. 6.若 a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则 = = 是 a∥b 的( A.充分不必要条件 C.充要条件 [答案] A B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

a1 a2 a3 b1 b2 b3

)

[解析] a?b=2-λ +4=6-λ |a|= 5+λ 2,|b|= 9.

a?b 6-λ 8 cos〈a,b〉= = = 2 |a||b| 5+λ ? 9 9
2 55λ +108λ -4=0,解得 λ =-2 或 λ = . 55
2

[解析] 当 = = 时,a∥b, 但是 a∥b,不一定 = = 成立, 如 a=(1,0,1),b=(2,0,2).

a1 a2 a3 b1 b2 b3

a1 a2 a3 b1 b2 b3

7.正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,AA1=2AB.则异面直线 A1B 与 AD1 所成角的余弦值为 ( ) A. 1 5 2 B. 5 4 D. 5 D

A.[0,5] C.(1,5) [答案] [解析] B → |AB|

B.[1,5] D.[1,25]

3 C. 5 [答案]

= (3cosα -2cosθ )2+(3sinα -2sinθ )2 = 13-12cos(α -θ )∈[1,5].

[解析] 建立如图所示坐标系由题意设 A(1,0,0),

B(1,1,0).

→ → → 10.已知 O 为坐标原点,OA=(1,2,3),OB=(2,1,2),OP=(1,1,2),点 Q 在直线 OP 上 → → 运动,则当QA?QB取得最小值时,点 Q 的坐标为( )

D1(0,0,2),A1(1,0,2).
→ → 由AD1=(-1,0,2),A1B=(0,1,-2). 4 → → ∴cos〈AB1,AD1〉= =- , 5 5? 5 4 ∴异面直线 A1B 与 AD1 所成角的余弦值为 ,故选 D. 5 8.已知向量 a=(1,1,0),b=(-1,0,2),且 ka+b 与 2a-b 互相垂直,则 k 的值是 ( ) A.1 C. 3 5 D 1 B. 5 7 D. 5 -4

?1 3 1? A.? , , ? ?2 4 3? ?4 4 8? C.? , , ? ?3 3 3?
[答案] C

?1 3 3? B.? , , ? ?2 2 4? ?4 4 7? D.? , , ? ?3 3 3?

→ → → [解析] 设 Q(x,y,z),因 Q 在OP上,故有OQ∥OP,可得 x=λ ,y=λ ,z=2λ , → → 则 Q(λ ,λ ,2λ ),QA=(1-λ ,2-λ ,3-2λ ),QB=(2-λ ,1-λ ,2-2λ ), 4 2 2 → → 2 所以QA?QB=6λ -16λ +10=6(λ - ) - , 3 3 4 → → 故当 λ = 时,QA?QB取最小值. 3 二、填空题 11.已知 a=(2,-3,0),b=(k,0,3),<a,b>=120°,则 k=________. [答案] - 39

[答案]

[解析] ∵ka+b=(k-1,k,2) 2a-b=(3,2,-2) ∴(ka+b)?(2a-b)=3(k-1)+2k-4=0, 7 ∴ k= . 5 → 9.若两点的坐标是 A(3cosα ,3sinα ,1),B(2cosθ ,2sinθ ,1),则|AB|的取值范 围是( )

? 1? [解析] ∵2k= 13? k2+9??- ? ? 2?
∴16k2=13k2+13?9 ∴k2=39,∴k=± 39.∵k<0,∴k=- 39.

12.已知点 A、B、C 的坐标分别为(0,1,0)、(-1,0,-1)、(2,1,1),点 P 的坐标为 → → → → (x,0,z),若PA⊥AB,PA⊥AC,则 P 点的坐标为______________. [答案] (-1,0,2)

∴x=(-4,2,-4). 三、解答题 15.已知 A、B、C 三点坐标分别为(2,-1,2),(4,5,-1),(-2,2,3),求满足下列 条件的 P 点坐标. → 1 → → (1)OP= (AB-AC); 2 → 1 → → (2)AP= (AB-AC). 2 → → [解析] AB=(2,6,-3),AC=(-4,3,1). 3 3 → 1 (1)OP= (6,3,-4)=(3, ,-2),则 P 点坐标为(3, ,-2). 2 2 2 → (2)设 P(x,y,z),则AP=(x-2,y+1,z-2). 1 → → → 3 1 又∵ (AB-AC)=AP=(3, ,-2),∴x=5,y= ,z=0. 2 2 2 1 故 P 点坐标为(5, ,0). 2 → → 16.已知空间三点 A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),设 a=AB,b=AC. → (1)设|c|=3,c∥BC,求 c. (2)求 a 与 b 的夹角. (3)若 ka+b 与 ka-2b 互相垂直,求 k. [解析] → → (1)∵c∥BC,BC=(-2,-1,2).

→ [解析] PA=(-x,1,-z), → → AB=(-1,-1,-1),AC=(2,0,1),

?x-1+z=0, ∴? ?-2x-z=0,
∴P(-1,0,2).

?x=-1 ∴? ?z=2



→ 1 → 13.已知 A、B、C 三点的坐标分别是(2,-1,2),(4,5,-1),(-2,2,3),AP= (AB 2 → -AC),则点 P 的坐标是________. [答案] 1 (5, ,0) 2

→ [解析] ∵CB=(6,3,-4), 3 设 P(a,b,c)则(a-2,b+1,c-2)=(3, ,-2), 2 1 ∴a=5,b= ,c=0, 2 1 ∴P(5, ,0). 2 14.已知向量 a=(2,-1,2),则与 a 共线且 a?x=-18 的向量 x=________. [答案] x=(-4,2,-4) [解析] 设 x=(x,y,z),又 a?x=-18, ∴2x-y+2z=-18① 又∵a∥x,∴x=2λ ,y=-λ ,z=2λ ② 由①②知:x=-4,y=2,z=-4,

设 c=(-2λ ,-λ ,2λ ), ∴|c|= (-2λ )2+(-λ )2+(2λ )2=3|λ |=3, ∴λ =±1. ∴c=(-2,-1,2)或 c=(2,1,-2). → (2)a=AB=(-1+2,1-0,2-2)=(1,1,0),

b=AC=(-3+2,0-0,4-2)=(-1,0,2).
∴cos<a,b>=



a?b |a|?|b|

→ → BN?AD1 6 → → cos〈BN,AD1〉= = , → → 3 |BN||AD1| 6 → → 〈BN,AD1〉=arccos . 3 → → → (3)由AM=(-2,4, 2),BN=(-2,-2,2 2),CD=(0,-4,0),



(1,1,0)?(-1,0,2) 10 =- . 10 2? 5 10 . 10

∴a 和 b 的夹角为<a,b>=π -arccos

λ 1(-2,4, 2)+λ 2(-2,-2,2 2)+λ 3(0,-4,0)=(0,0,0) → → → 得 λ 1=λ 2=λ 3=0,则AM,BN,CD线性无关. 18.如图所示,AB 和 CD 是两条异面直线,BD 是它们的公垂线,AB=CD=a,点 M,N 分 别是 BD,AC 的中点.求证:MN⊥BD. → 1 → → [证明]由点 M,N 分别为 BD,AC 的中点可知MN= (MA+MC) 2 1 → → → → = (MB+BA+MD+DC), 2 → → ∵MB+MD=0, → → 1 → → → ∴MN?BD= (BA+DC)?BD 2 1 → → → → = (BA?BD+DC?BD), 2 → → → → ∵BA⊥BD,DC⊥BD, → → → → ∴BA?BD=0,DC?BD=0. → → ∴MN?BD=0, ∴MN⊥BD.

(3)ka+b=(k-1,k,2),ka-2b=(k+2,k,-4). 又(ka+b)⊥(ka-2b),则 k(a+b)?(ka-2b)=0, ∴(k-1,k,2)?(k+2,k,-4)=k2+k-2+k2-8=0, 5 ∴k=2 或 k=- . 2 17.正四棱柱 AC1 中,底面 ABCD 是边长为 4 的正方形,A1C1 与 B1D1 交于点 N,BC1 与 B1C 交于点 M,且 AM⊥BN,建立空间直角坐标系. (1)求 AA1 的长; → → (2)求<BN,AD1>; (3)对于 n 个向量 a1,a2,…,an,如果存在不全为零的 n 个实数 λ 1,λ 2,…,λ n,使 得 λ 1a1+λ 2a2+…+λ nan=0 成立,则这 n 个向量 a1,a2,…,an 叫做线性相关,不是线性 → → → 相关的向量叫线性无关,判断AM,BN,CD是否线性相关,并说明理由. [解析] 坐标系. 设 AA1 的长为 a,则 B(4,4,0),N(2,2,a), (1)以 D 为原点,DA、DC、DD1 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角

a → a BN=(-2,-2,a),A(4,0,0),M(2,4, ),AM=(-2,4, ),
→ 2 2 → → → → 由BN⊥AM得BN?AM=0,即 a=2 2. → → (2)BN=(-2,-2,2 2),AD1=(-4,0,2 2),


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