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一元一次不等式的解法


本节内容 本课内容 5.2

一元一次不等式的解法

动脑筋
小王计划给灾区同学捐款一些笔和笔记本.已 知每支笔的价格为3元,每个笔记本的价格为4元. 小王在买了50支笔后准备把剩余的钱全部用来买 笔记本,但他只有350元.问他最多能买多少个笔记 本?

分析


设小王能买x

个笔记本.因为他只有350元, 3×50 + 4x ≤ 350 150 + 4x ≤ 350

所以有

为了求出小王最多能买多少个笔记本,需要 求出满足不等式150+4x≤350的x的值.如何求呢?
先移项,得4x ≤ 350-150, 即 4x ≤ 200

把上述不等式两边都除以4 (将x的系数化成1),得 x≤50. 因此,小王最多能买50个笔记本.

结论
形如ax > b(或ax<b,ax ≥b,ax ≤b,a,b为 已知数,且a≠0)的不等式叫作标准形式的一元一 次不等式.

含有一个未知数,且未知数的次数是1的不等 式,称为一元一次不等式.

结论
我们把使不等式成立的未知数的值叫作不等 式的解. 一个不等式的解的全体称为这个不等式的解集. 求一个不等式的解集的过程称为解不等式.

小提示

今后我们在解一元一次不等式时,利用前面讲述 的不等式的基本性质1,2,3,最后化成形如x ≤a(或 x<a,x>a,x≥a)的不等式,就是原不等式的解集.

例1 解下列不等式 : (1) 2-5x < 8-6x ;
? (2) x 3 5???1
≤?? 3 x .

2

将同类项放在一起

解 (1) 原不等式为2-5x < 8-6x
移项,得 - 5x+6x < 8-2
计算结果

化简,得

x<6

首先将分母去掉

解 (2) 原不等式为
去分母,得
去括号,得

x ?5???1 ≤?? 3 x 3 2
去括号 将同类项放在一起

2(x -5)+1×6 ≤ 9x
2x -10 + 6 ≤ 9x

移项,得
即标准形式:

2x - 9x ≤ 10 - 6
-7x ≤ 4
4 x ≥ ?? 7

计算结果
根据不等式性质3

两边都除以-7(将x的系数化为1),得

解一元一次不等式的方法与解一元一次方程的方法类似:

一元一次不等式
先去分母,后去括号, 再移项,化简

标准形式
两边同时除以未知数的系数

不等式的解集

小提示

这些步骤中,要特别注意的是当不等式两边都乘 (或除以)同一个负数时,必须改变不等号的方向. 这是与解一元一次方程不同的地方.

练习
1.解下列不等式: (1) -5x ≤ 10 ; (2)4x -3 < 10x + 7 .

解 (1) 原不等式为
方程两边同除以-5,

-5x ≤ 10 x ≥ -2

(2) 原不等式为4x -3 < 10x + 7 移项,得 化简,得 4x -10x < 3+7 -6x < 10 x > -5 3

方程两边同除以 -6,

2.解下列不等式: (1) 3x -1 > 2(2-5x) ;
?? (2) x ??2??≥?? 2 x2 3 . 3

解 (1) 原不等式为 3x -1 > 2(2-5x)
去括号,得 3x-1 > 4-10x 移项,得 3x+10x > 1+4 化简,得 13x > 5 5 两边同除以13, x > 13
(2) 原不等式为 去分母,得 去括号,得 移项,得 化简,得 两边同除以 -4,
x ??2??≥?? 2 x ??3 3 2

2(x+2)≥ 3(2x-3) 2x+4 ≥ 6x-9 2x -6x ≥ -4-9 -4x ≥ -13 x ≤ 13 4

动脑筋

1.不等式 3x >6 的解集是什么?

不等式3x>6的解集是 x>2

2.不等式 3x >6 的解集是什么?

则点A右边的所有点表示的数 因此可以像图5-1那样表示 都大于2,而点A左边的所有点 3x>6的解集x>2. 先在数轴上标上表示2的点A, 表示的数都小于2

A
0 1 2 3
图5-1

4

5

6

例2 解不等式12-6x≥2(1-2x),并把它的解集在 数轴上表示出来 : 首先将括号去掉

解 去括号,得
移项,得 化简,得:

12 -6x ≥ 2-4x

将同类项放在一起

12-2 ≥ 6x -4x 10 ≥ 2x 根据不等式基本性质2 两边都除以2,得 5≥x 也就是 x≤5 原不等式的解集在数轴上的表示如下图所示. 0 1 2 3 4 5 6 -1 解集x≤5中包含5,所以在数轴上将表示5的点画成 实心圆点.

例3 当x取什么值时,代数式? 3 x+2的值大于或 等于0?先把它的解集在数轴上表示出来,然后 求出它的正整数解.
1

解 根据题意,得

? 1 x +2≥ 0 3

代数式值≥0

计算结果

解这个不等式,得

x≤6

? 1+2的值大于或等于0. 所以,当x≤6时,代数式 3

解集在数轴上的表示如下图所示.

-1

0

1

2

3

4

5

6

由如图5-3可知,满足条件的正整数解为1,2,3,4,5,6.

练习
1. 解下列不等式,并把它们的解集在数轴上表示 出来: (1) 4x -3 < 2x+7 ;
? (2) x 2 3????? 3 x ??5 ? . 4

解 (1) 原不等式为 4x -3 < 2x+7
移项,得 4x-2x < 3+7 化简,得 2x < 10 两边同除以2, x< 5 原不等式的解集在数轴上表示为:

-1

0

1

2

3

4

5

6

(2) 原不等式为 去分母,得

x ? 3?????3 x ??5 ? 2 4 2(x-3)≥ (3x+5)
2x-6 ≥ 3x+5
2x -3x ≥ 6+5 -x ≥ 11

去括号,得
移项,得 化简,得

两边同除以 -1, x ≤-11 原不等式的解集在数轴上表示为:

-11

0

2. 先用不等式表示下列语句,然后求出它们的解 集,并在数轴上表示出解集:
1 (1) a的 2 大于或等于2;


解得

1a ≥ 2 2 a≤4

-1

0

1

2

3

4

5

(2) a与2的和不小于1; 解
解得 a+2 ≥ 1 a ≥ -1

-1

0

1

2

3

4

5

(3) b与1的差不大于0;


解得

b-1 ≤ 0 b≤1

-1

0

1

2

3

4

5

(4) b与5的差大于-2; 解
解得 b-5 > -2 b>3

-1

0

1

2

3

4

5

中考 试题
例1
求不等式 2+ x ≥ 2 x3+1 的正整数解. 2
分析

首先求出不等式的解集.然后求出正整数解.



去分母,得 3+3x≥4x+2. 移项,合并同类项,得 x≥4. 正整数解为 1,2,3,4.

中考 试题
例2
3 x - 2 y = 3k +1 , 已知 且x>y,则k的取值范围是 4 x - 3 y = k -1 ,
? ? ? ? ?

k<-1

.



3 x - 2 y = 3k +1 . ∵ 4 x - 3 y = k -1 .
? ? ? ? ?

① ② ③

①×3-②×2,得 x = 7k+5 .

将③代入① ,得 3(7k+5)-2y=3k+1. 化简,整理,得 y=9k+7. ∵ x > y, ∴ 7k+5>9k+7.解之,得k<-1.

中考 试题
例3
解不等式 2 x -1 ≥ 10 x +1 ,并把解集在数轴上表示出来.
6



去分母,得 6(2x-1)≥10x+1. 去括号,移项,合并同类项得 2x≥7. 这个不等式的解集在数轴上表示如下图:

-2

-1

0

1

2

3 7 4
2






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