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高中数学 运用两点间的距离公式求最值解题方法谈

时间:2016-04-28


运用两点间的距离公式求最值
两点间的距离公式是平面解析几何中最基本的公式.根据题设条件,构设点的坐标,利 用两点间的距离公式,数与形相结合,可以使一些代数问题得到直观、形象、简捷、合理的 解答.现就两点间的距离公式在求最值中的应用举例说明. 一、求函数的最值 例1 求函数 y ?

x 2 ? 4 x ? 13 ? x 2 ? 10 x ? 26 的最小值.

分析:本题含有两个根式,切不可把两个无理式的最小值的和作为函数 y 的最小值,因 为这两个根式各自的最小值是在不同的 x 处取得的. 如果从代数的角度考虑, 其解答将会比 较 繁 琐 , 仔 细 观 察 式 子 的 结 构 , 改 变 式 子 的 表 示 形 式 :

y ? ( x ? 2)2 ? (0 ? 3)2 ? ( x ? 5)2 ? (0 ? 1)2 ,易联想到两点间的距离公式,从而将代数
问题转化为几何问题来解决. 解:如图 1,在平面直角坐标系内,设点M(2,3) ,

N5 (, ) 1 ? , P( x, 0) .
则 y ? ( x ? 2)2 ? (0 ? 3)2 ? ( x ? 5)2 ? (0 ? 1)2

? M P?

P≥ N

MN

? (5 ? 2)2 ? (?1 ? 3)2 ? 5 ,
即 y≥5(其中等号在M,P,N三点共线时成立) , ∴ ymin ? 5 . 评注:此题若用纯代数知识求解,则比较麻烦,但联想到利用两点间的距离公式,就会 茅塞顿开. 例2 求函数 f ( x,y) ?

x2 ? y 2 ? ( x ? 1)2 ? y 2 ? x2 ? ( y ? 1)2 ? ( x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 的

最小值. 分析:式子中出现了四个根式、两个变量,且根式中皆为平方和的形式,联想两点间的 距离公式,则可简化解答过程. 解:如图 2, f ( x,y) 表示在平面直角坐标系 中的动点 P( x,y) 到定点 A(0, 0) ,B(1 , 0) ,C (0, 1) ,

D(11) , 的距离之和.
而 △APD 中, PA ? PD ≥ AD ,当且仅当 点 P 在 线 段 AD 上 时 等号 成 立 ; △CPB 中 ,

PC ? PB≥ BC ,当且仅当点 P 在线段 BC 上时等号成立,

所以 PA ? PD ? PC ? PB ≥ AD ? BC ? 2 2 ,当且仅当点P为 AD 与 BC 的交 点时, f (x,y)取得最小值 2 2 ,此时点 P 的坐标为 ? 二、求距离的平方和的最值 例3 已知点 A(2, 1) , B(2, 2) ,点 P( x0,y0 ) 满足 y=2x,求 PA ? PB 取得最小值时
2 2

?1 1?. , ? ?2 2?

点 P 的坐标. 分析:利用两点间距离公式将 PA ? PB 表示为 f ( x,y) 的形式,再消元得一个关于 x(或 y)的二次函数,最后求值. 解:由已知点 P( x0,y0 ) 满足 y0 ? 2 x0 ,结合两点间的距离公式,得
2 2

PA ? PB ? ( x0 ? 2)2 ? ( y0 ? 1)2 ? ( x0 ? 2)2 ? ( y0 ? 2)2
2 2 ? 2 x0 ? 8x0 ? 8 ? 2 y0 ? 6 y0 ? 5 2 2 ? 2 x0 ? 8x0 ? 8 ? 8x0 ? 6 ? 2 x0 ? 5 2 ? 10 x0 ? 20 x0 ? 13

2

2

? 10( x0 ? 1)2 ? 3 ,
当 x0 ? 1 时, PA ? PB 取得最小值 3,此时点 P 的坐标为(1,2) . 评注:对于几何中的平方和的最值问题,常是先由两点间的距离公式建立二元函数 (或 f (y) ) ,再求解. f ( x,y) ,然后通过消元转化为关于 x(或 y)的函数 f (x) 一般地, 对于根式内能化成两个完全平方式之和的问题, 均可借助于两点间的距离公式, 利用数形结合的思想来解决, 这也是这类题型解法的创新之处. 以上仅介绍了两点间的距离 公式在求最值中的应用,而两点间的距离公式的应用是十分广泛的,随着学习的深入,它在 其他方面的应用将会逐渐展现.
2 2

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