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浙江省嘉兴市2015届高三下学期教学测试(二) 数学(理)


浙江省嘉兴市 2015 届高三下学期教学测试(二) 数学(理)
注意事项: 1.本科考试分试题卷和答题纸,考生须在答题纸上作答.答题前,请在答题纸的密封 线内填写学校、班级、学号、姓名. 2.本试题卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 6 页,全卷满分 150 分,考试时间 120 分钟. 参考公式: ①棱柱的体积公式: V ? Sh ; ②棱锥的体积公

式: V ?

1 Sh ;③棱台的体积公式: 3

V?

1 4 h( S1 ? S1 S 2 ? S 2 ) ;④球的体积公式:V ? ?R 3 ;⑤球的表面积公式: S ? 4?R 2 ; 3 3

其中 S , S1 , S 2 表示几何体的底面积, h 表示几何体的高,R 表示球的半径.

第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1.在△ ABC 中,“ sin A ? sin B ”是“ A ? B ”的 A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

2.一个几何体的三视图如图,则该几何体的体积为 A. π B.

π 2

1 1
正视图

π C. 3

π D. 6

2
侧视图

R?1

3.计算: (log4 3 ? log8 3)(log3 2 ? log9 2) ?

5 A. 4
C.5

5 B. 2
D.15
俯视图

2

(第 2 题)

?x ? 1 ? 4.已知 a ? 0 ,实数 x, y 满足: ? x ? y ? 3 ,若 z ? 2 x ? y 的最小值为 1,则 a ? ? y ? a ( x ? 3) ?

A.2 5.若 sin? ? cos? ? A. ?

B.1

C.

1 2

D.

1 4

1 2

5 , ? ? [0, π] ,则 tan ? ? 5 1 B. C. ? 2 2

D.2

6 .已知圆 x 2 ? y2 ? 4 x ? 5 ? 0 的弦 AB 的中点为 Q( 3,1) ,直线 AB 交 x 轴于点 P ,则
| PA | ? | PB |?

A.4

B.5

C.6

D.8

7.设 F1 、 F2 分别为双曲线 C:

x2 y2 ? ? 1 ( a ? 0 , b ? 0) 的左、右焦点,A 为双曲线的左 a 2 b2

顶点,以 F1 F2 为直径的圆交双曲线一条渐近线于 M、N 两点,且满足 ?MAN ? 120? , 则该双曲线的离心率为
21 A. 3 19 B. 3

y
N A
F1

C.

5 3

D. 3

O
M

F2 x

(第 7 题)

?k 2 x ? a 2 ? k ( x ? 0) 8.设 f ( x ) ? ? 2 ,其中 a ? R .若对任意的非零实数 x1 ,存 2 2 ? x ? (a ? 4a ) x ? (3 ? a ) ( x ? 0)
在唯一的非零实数 x 2 ( x1 ? x 2 ) ,使得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立,则 k 的取值范围为 A.R C. [9,33] B. [ ? 4,0] D. [?33,?9]

第Ⅱ卷
二、填空题(本大题共 7 小题,第 9-12 题每题 6 分,第 13-15 题每题 4 分,共 36 分) 9.已知全集 U ? R ,集合 A ? { x ? 1 ? x ? 1} , B ? { x x 2 ? 2 x ? 0} ,则 A ? B ?
A ? ( ? U B) ?







. ▲ , an ? ▲ .

10.在等差数列 { an } 中, a 2 ? 3 , a3 ? a7 ? 14 ,则公差 d ?

11.若向量 a 与 b 满足 | a |? 2 , | b |? 2 , (a ? b) ? a .则向量 a 与 b 的夹角等于





| a ? b |?



. ▲ ;若 f (a ) ? 1 ,则 a ?

?2 x ? 1 ( x ? 0) 12.已知函数 f ( x ) ? ? 2 ,则 f ( 2) ? ?? x ? 2 x ( x ? 0)





13.已知实数 x , y ? 0 且 xy ? 2 ,则

x3 ? 8y3 x2 ? 4y2 ? 8

的最小值是





14.抛物线 y2 ? 4 x 的焦点为 F ,过点 ( 0, 3) 的直线与抛物线交于 A, B 两点,线段 AB 的垂 直平分线交 x 轴于点 D ,若 | AF | ? | BF |? 6 ,则点 D 的横坐标为 ▲ .

y A
O F

C1 D1 B1
C

D x

A1

D

?
B
(第 14 题)

B

A
(第 15 题)

15.正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱长为 1,底面 ABCD 的对角线 BD 在平面 ? 内,则正方体 在平面 ? 内的射影构成的图形面积的取值范围是 ▲ .

三、解答题(本大题共 5 小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16.(本题满分 14 分) 三角形 ABC 中,已知 sin2 A ? sin2 B ? sin A sin B ? sin2 C ,其中,角 A、B、C 所对 的边分别为 a、b、c . (Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)求

a?b 的取值范围. c

17.(本题满分 15 分) 如图,在三棱锥 P ? ABC 中, PA ? 平面 ABC , 2 AC ? PC ? 2 , AC ? BC , D 、 E 、 且有 MN // BC . F 分别为 AC 、AB 、 AP 的中点,M 、N 分别为线段 PC 、PB 上的动点, (Ⅰ)求证: MN ? 面 PAC ; (Ⅱ)探究:是否存在这样的动点 M,使得二面角 E ? MN ? F 为直二面角?若存在, 求 CM 的长度;若不存在,说明理由. P

M F D A C E
(第 17 题)

N

B

18.(本题满分 15 分) 已知椭圆
x 2 y2 1 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0) 的离心率为 ,过点 P(0, 1) 的动直线 l 与椭圆交于 2 a b 2

A, B 两点,当 l // x 轴时, | AB |?

4 6 . 3

l

y B
O

(Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)当 AP ? 2 PB 时,求直线 l 的方程.

P
x

A
(第 18 题)

19.(本题满分 15 分) 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,设 a1 ? 2 ,有一组圆心在 x 轴正半轴上的圆 An ( n ? 1, 2, ? )与 x 轴的交点分别为 A0 (1,0) 和 An?1 ( an?1 ,0) .过圆心 An 作垂直于 x 轴的直线

l n ,在第一象限与圆 An 交于点 Bn ( an , bn ) .

(Ⅰ)试求数列 { an } 的通项公式; ( Ⅱ ) 设 曲 边 形 An?1 Bn Bn?1 ( 阴 影 所 示 ) 的 面 积 为 Sn , 若 对 任 意 n ? N * ,
1 1 1 ? ??? ? m 恒成立,试求实数 m 的取值范围. S1 S 2 Sn

y
B2
B1 S
O
1

B3

S2

A0

A1

A2

A3

x

(第 19 题)

20.(本题满分 15 分) 已知函数 f ( x ) ? x ?

a ? 4 , g( x ) ? kx ? 3 . x

(Ⅰ)当 a ? [3, 4] 时,函数 f ( x ) 在区间 [1, m ] 上的最大值为 f ( m ) ,试求实数 m 的取值 范围; (Ⅱ)当 a ? [1, 2] 时,若不等式 | f ( x1 ) | ? | f ( x2 ) |? g( x1 ) ? g( x2 ) 对任意 x1 , x2 ? [2, 4] ( x1 ? x2 )恒成立,求实数 k 的取值范围.

2015 年高三教学测试(二)
理科数学
1.C; 5.C; 8. 【解析】 设 g( x ) ? k 2 x ? a 2 ? k , h( x ) ? x 2 ? (a 2 ? 4a ) x ? (3 ? a ) 2 ,由条件知二次函数的对称轴不能 2.D; 6.B;

参考答案
4.C; 8.D.

一.选择题(本大题有 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 3.A; 7.A;

在 y 轴的左侧即 a 2 ? 4a ? 0 ,且两个函数的图象在 y 轴上交于同一点,即 g(0) ? h(0) , 所以, k ? 6a ? 9 在 [ ?4,0] 上有解,从而 k ? [?33,?9] .

二、填空题(本大题共 7 小题,第 9-12 题每空 3 分,第 13-15 题每空 4 分,共 36 分) 9. [ ?1,0] , [ ? 1,2) 13.1 15. 【解析】 设矩形 BDD1 B1 与 ? 所成锐二面角为 ? , 面积记为 S 1 ,则正方形 A1 B1 C 1 D1 与 ? 所成锐二面角为 所求阴影面积
A1 C1 D1 B1
C

10.

4 4 1 , n? 3 3 3

11.

?
4

, 10

12.3,1

14.4

15. [1, 3 ]

?
2

? ? ,面积记为 S 2 .

D

?
A
(第 15 题)

B

S ? S1 cos? ? S 2 cos(

?
2

? ? ) ? S1 cos? ? S 2 sin?

? 2 cos? ? sin? ? 3 sin(? ? ? ) ,其中 sin? ?

6 3 , cos ? ? .故 S ? [1, 3 ] . 3 3

三、解答题: (本大题共 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16.(本题满分 14 分) 三角形 ABC 中,已知 sin2 A ? sin2 B ? sin A sin B ? sin2 C ,其中,角 A、B、C 所对 的边分别为 a、b、c . (Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)求

a?b 的取值范围. c

16.【解析】 (Ⅰ)由正弦定理得: a 2 ? b 2 ? c 2 ? ? ab ,

a 2 ? b2 ? c 2 1 2? . …6 分 ? ? ,∴ C ? 2ab 2 3 a?b s i n A? s i n B 2 (Ⅱ)由正弦定理得: ? ? 3( s i A n?s i n B) c sin C 3
∴由余弦定理得: c o C s ? 又?A ? B ?

?
3

,∴ B ?

?
3

? A,

∴ sin A ? sin B ? sin A ? sin( ? A) ? sin( A ? ) , 3 3

?

?

而0? A?

?
3

,∴

?
3

? A?

?
3

?

2? , 3
…14 分

∴ sin A ? sin B ? ( 17.(本题满分 15 分)

3 a?b 2 3 ,1] ,∴ ? (1, ]. 2 c 3

如图,在三棱锥 P ? ABC 中, PA ? 平面 ABC , 2 AC ? PC ? 2 , AC ? BC , D 、 E 、 且有 MN // BC . F 分别为 AC 、AB 、AP 的中点,M 、N 分别为线段 PC 、PB 上的动点, (Ⅰ)求证: MN ? 面 PAC ; (Ⅱ)探究:是否存在这样的动点 M,使得二面角 E ? MN ? F 为直二面角?若存在, 求 CM 的长度;若不存在,说明理由. P

17. 【解析】 (Ⅰ)∵ PA ? 平面 ABC , ∴ PA ? BC , 又 AC ? BC ,∴ BC ? 面 PAC ; 又∵ MN // BC , ∴ MN ? 面 PAC . …6 分 A F

M N D C E
(第 17 题)

B

(Ⅱ) 由条件可得, ?FMD即为二面角 E ? MN ? F 的平面角; 若二面角 E ? MN ? F 为直二面角,则 ? FMD ? 90? . 在直角三角形 PCA 中,设 CM ? t , (0 ? t ? 2) ,则 PM ? 2 ? t , 在 ? MDC 中,由余弦定理可得,

DM 2 ? CM 2 ? CD2 ? 2CM ? CD cos 60? ? t 2 ?

1 1 ? t; 4 2

3 3 ? (2 ? t ) ; 4 2 1 又由 FD 2 ? FM 2 ? MD 2 ,得 2t 2 ? 3t ? 1 ? 0 ,解得 t ? 1 或 t ? . 2
同理可得, FM 2 ? PM 2 ? PF 2 ? 2PM ? PF cos 30? ? (2 ? t )2 ? ∴存在直二面角 E ? MN ? F ,且 CM 的长度为 1 或

1 . 2

…15 分

18.(本题满分 15 分) 设椭圆
x 2 y2 1 ? ? 1 ( a ? b ? 0) 的离心率为 ,过点 P(0, 1) 的动直线 l 与椭圆交于 A, B a2 b2 2

两点,已知当 l // x 轴时, | AB |?

4 6 . 3

(Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)当 AP ? 2 PB 时,求直线 l 的方程.

18. 【解析】 (Ⅰ)由条件: e ?

c 1 ? ,∴ 3a 2 ? 4b 2 , a 2

l

y
B
O

过点 P(0, 1) 且平行于 x 轴的直线截椭圆 所得弦长为:
2a 2 4 6 b ?1 ? , b 3

P
x

A
(第 18 题)

x2 y2 ∴ a 2 ? 4, b2 ? 3 ,∴椭圆的方程为: ? ? 1 .…6 分 4 3
(Ⅱ)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,? AP ? 2 PB ,∴ x1 ? 2 x2 ? 0 ① (1)若直线 l 存在斜率,可设 l: y ? kx ? 1 ,
? x2 y2 ?1 ? ? 则由 ? 4 可得, (3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8kx ? 8 ? 0 3 ? y ? kx ? 1 ?

? 8k ? x ? x2 ? ? 1 ? 1 3 ? 4k 2 ∴? ,与①联立解得, k ? ? ; 2 ?x x ? ? 8 1 2 2 ? 3 ? 4k ?

(2)若直线 l 不存在斜率,则 l: x ? 0 , ∴ | AP |? 3 ? 1,| BP |? 3 ? 1 ,易知 AP ? 2 PB

1 ∴直线 l 的方程为: y ? ? x ? 1 . 2

…15 分

19.(本题满分 15 分) 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,设 a1 ? 2 ,有一组圆心在 x 轴正半轴上的圆 An ( n ? 1, 2, ? )与 x 轴的交点分别为 A0 (1,0) 和 An?1 ( an?1 ,0) .过圆心 An 作垂直于 x 轴的直线
l n ,在第一象限与圆 An 交于点 Bn ( an , bn ) .

(Ⅰ)试求数列 { an } 的通项公式; ( Ⅱ ) 设 曲 边 形 An?1 Bn Bn?1 ( 阴 影 所 示 ) 的 面 积 为 Sn , 若 对 任 意 n ? N * ,

1 1 1 ? ??? ? m 恒成立,试求实数 m 的取值范围. S1 S 2 Sn

y
19.【解析】 (Ⅰ)由条件可得,
B2

B3

a n?1 ? 1 ? 2(a n ? 1) ,又因为 a 1 ? 1 ? 1 ,可得数列 {a n ? 1} 是等比数列.
O

S2

B1 S A0 A1

1

A2

A3

x

故, a n ? 1 ? 2 n?1 ,从而 a n ? 2 n?1 ? 1 .…6 分 (Ⅱ)因为 bn ? a n ? 1 ? 2 n ?1 ,所以 Bn (2 n?1 ? 1,2 n ?1 ) , 所以 Bn?1 (2n ? 1,2n ) ,且 An ( 2n?1 ? 1,0) , An?1 ( 2n ? 1,0)

(第 19 题)

S n ? S 梯 形An Bn Bn?1 An?1 ? S 扇 形An Bn An?1 ?
所以
1 4 1 ? ? ( ) n ? 1 ,所以 Sn 6 ? ? 4

1 1 6?? ? 2 n ?1 ? ( 2 n ?1 ? 2 n ) ? ? ? ( 2 n ?1 ) 2 ? ? 4 n ?1 2 4 4

1 1 1 4 1 1 4 ? ? ?? ? (1 ? ? ? ? ( ) n ?1 ) ? ? S1 S 2 Sn 6 ? ? 4 4 6??
? 16 1 16 . (1 ? ( ) n ) ? 18 ? 3? 4 18 ? 3? 16 . 18 ? 3?

1 1 ? ( )n 4 1 1? 4

故可得实数 m ?

…15 分

20.(本题满分 15 分) 已知函数 f ( x ) ? x ?

a ? 4 , g( x ) ? kx ? 3 . x

(Ⅰ)当 a ? [3, 4] 时,函数 f ( x ) 在区间 [1, m ] 上的最大值为 f ( m ) ,试求实数 m 的取值 范围; (Ⅱ)当 a ? [1, 2] 时,若不等式 | f ( x1 ) | ? | f ( x2 ) |? g( x1 ) ? g( x2 ) 对任意 x1 , x2 ? [2, 4] ( x1 ? x2 )恒成立,求实数 k 的取值范围. 20.【解析】 (Ⅰ)∵ 3 ? a ? 4 ,∴ y ? f ( x ) 在 (1, a ) 上递减,在 ( a, ? ?) 上递增, 又∵ f ( x ) 在区间 [1, m ] 上的最大值为 f ( m ) , ∴ f ( m ) ? f (1) ,得 ( m ? 1)( m ? a ) ? 0 ,∴ m ? amax ,即 m ? 4 ; (Ⅱ)∵ | f ( x1 ) | ? | f ( x2 ) |? g( x1 ) ? g( x2 ) …6 分

∴ | f ( x1 ) | ? g( x1 ) ?| f ( x2 ) | ? g( x2 ) 恒成立

令 F ( x ) ?| f ( x ) | ? g( x ) ,∴ F ( x ) 在 [2,4] 上递增。
a ? ( ?1 ? k ) x ? ? 1 x ? [2,2 ? 4 ? a ] ? ? x 对于 F ( x ) ? ? , , ?(1 ? k ) x ? a ? 7 x ? ( 2 ? 4 ? a ,4] ? x ?

(1)当 x ? [2,2 ? 4 ? a ] 时, F ( x ) ? (?1 ? k ) x ? ①当 k ? ?1 时, F ( x ) ? ?

a ?1 x

a ? 1 在 [2,2 ? 4 ? a ] 上递增,所以 k ? ?1 符合; x a ②当 k ? ?1 时, F ( x ) ? (?1 ? k ) x ? ? 1 在 [2,2 ? 4 ? a ] 上递增,所以 k ? ?1 符合; x
③当 k ? ?1 时,只需
1 2 4 a ?( ? ? 1 )ma x ? 2 ? 3 ? 2 ? 4 ? a ,即 k ?1 k ?1 a a

∴ ? 1 ? k ? 6 ? 4 3 ,∴ k ? 6 ? 4 3 (2)当 x ? (2 ? 4 ? a ,4] 时, F ( x) ? (1 ? k ) x ? ①当 k ? 1 时, F ( x ) ?

a ?7 x

a ? 7 在 (2 ? 4 ? a ,4] 上递减,所以 k ? 1 不合; x a ②当 k ? 1 时, F ( x) ? (1 ? k ) x ? ? 7 在 (2 ? 4 ? a ,4] 上递减,所以 k ? 1 不合; x
③当 k ? 1 时,只需
1 2 4 a ?( ? ? 1 )min ? 1 ? 2 , ? 2? 4?a , 1? k 1? k a a

∴k ? 2 2 ?2 综上可知, k ? 6 ? 4 3 . …15 分


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