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8.5点到直线的距离公式


徐州市中等专业学校

李惠芝

? 学习要求:
熟记点到直线的距离公式,两条平行线间的距离公式,

会求点到直线的距离及平行直线之间的距离.?

学法指导:
(1)学习点到直线的距离公式,做好不理解知识点的记录.? (2)本学时的重点是会用点到直线的距离公式计算点到直线的距离.

(3)点到直线的距离公式要理解后,在实际的计算中背记公式,效 果较好;关键是要把直线方程化成一般式.?

铁路

仓库

l

仓库

点到直线的距离
l
Q
点到直线的距离的定义

.P

过点P作直线l的垂线,垂足为Q点,线段PQ 的长度叫做点P到直线l 的距离.

点到直线的距离
y

l : Ax+By+C=0

. P(x0,y0)
o x

创设情境
已知点P(x0,y0)和直线l Ax+By+C=0, (假设A、B≠ 0) 求点P到直线l 的距离.
y P(x0,y0)

Q O x

l
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探究
第一类:依据定义求距离。
y

第一步:求l 的垂线l 1
P

第二步:求l 与l 1的交点Q
Q

l1 O l x

第三步:求|P Q|的距离

尝试 合作 交流

思考:最容易想到的方法是什么?

思路①. 依据定义求距离,其流程为:

求l 的垂线l 1的方程
解方程组,得交点Q的坐标 求P Q 反思:这种解法的 优缺点是什么?
O y P(x0,y0)

Q

x

l

第二类:构造三角形求距离
第一步:过p作x、y轴平行线
y

第二步:求A、B 第三步:求|PA|、|PB| 、|AB| 第四步:求高
A

P

O
B

x

y
A Q O x P B

y
A P

B

C Q O

x

还有其 它方法 吗?

y
思路② 利用直角三角形的面积 公式的算法
O
R

·
Q

·

d

·
S

P ? x0 , y0 ?

l : Ax ? By ? C ? 0

·

x

点到直线的距离公式
已知点P(x0, y0)和直线l:Ax+By+C=0. 则P点到直线 l 的距离d为:

d?

Ax0 ? By0 ? C A ?B
2 2

辨析反思
反思1:在使用该公式前,须将直线方程化为 一般式. 前面我们是在A,B均不为零的假设下推导 反思2: 出公式的, 若A,B中有一个为零,公式是 否仍然成立?

返回

点到直线距离公式
点 P( x0 , y0 )到直线 Ax ? By ? C ? 0 (其中A、B不同时为0)的距离为

d?

Ax0 ? By0 ? C A2 ? B 2

注: A=0或B=0,此公式也成立,但当A=0或B=0 时一般不用此公式计算距离.

例1:求点P(-1,2)到直线①2x+y-10=0; ②3x=2的距离。 解: ①根据点到直线的距离公式,得

d?
y
P(-1,2) O

2 ? ?? 1? ? 1 ? 2 ? 10 2 ?1
2 2

?2 5

②如图,直线3x=2平行于y轴,

2 5 ? d ? ? ( ?1) ? 3 3 x 用公式验证,结果怎样? l:3x=2

课堂练习一

求下列点到相应直线的距离d:
(1) P(0,0) l: 3x-2y+4=0

(2) P(-1,2) l: 3 x- y =- 3 (3) P(3,-5) l: x = -1

直线 的方 程应 化为 一般 式!

应用理解 1. 点A(a,6)到直线3x-4y=2的距 离等于4,求a的值.

46 a=2 或 a ? 3

2.求两平行直线l1: 2x-7y+8=0 l2: 2x-7y-6=0 间的距离.
y l1:2x-7y+8=0 x l2: 2x-7y-6=0

O

两平行直线间的距离转化为点到直线的距离

补充:两平行线间的距离公式:

d?

| C2 ? C1 | A ?B
2 2

课堂练习二

1、求两条平行线l1:3x+y-4=0 与
l2:3x+y-9=0间的距离. 答案:由平行直线间的距离公式得:
10 d? ? ? 2 2 2 9 ?1 A ?B C1 ? C2 ?4 ? 9

2、 求两条平行线l1:3x+4y-10=0 与l2:6x+8y-7=0间的距离.?
答案: 直线l2:6x+8y-7=0 化为3x+4y 7 =0 ? 2 由平行直线间的距离公式得:
7 ?10 ? C1 ? C2 2 13 d? ? ? 2 2 9 ? 16 10 A ?B

课堂小结

要记牢 哦!很 重要的!

1.点 到 直 线 的 距 离:

d?
d?

Ax0 ? By 0 ? C A ?B | C2 ? C1 |
2 2

2.两平行线间的距离公式:

A ?B
2

2

作 业
必做题:教材P86习题1、2 选做题:《练习册》P66 §8.5练习A1、2

点到直线的距离 欢迎大家提出宝贵意见!






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