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3.2.2复数代数形式的乘除运算


口号:
张扬个性,展示自我; 斗志昂扬,奋勇拼搏.

复习回顾:
已知两复数z1=a+bi,z2=c+di (a,b,c,d∈R) 1.加法、减法的运算法则

(a±c)+(b±d)i (a+bi)±(c+di) =________________.
2.加法运算律: 对任意z1,z2,z3∈C
<

br />交换律: z1+z2=z2+z1,
结合律: (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)

3.复数加、减的几何意义 设OZ1, OZ2分别与复数z1=a+bi,z2=c+di对应. y y
Z2(c,d)

Z

Z2(c,d)
Z1(a,b)

Z1(a,b)

o 向量OZ1+OZ2

x

o

x z1-z2

z1+z2 向量OZ1-OZ2

4.复数模的几何意义: 已知两复数z1=a+bi,z2=c+di (a,b,c,d∈R) |z1-z2|表示: 复平面中点 _________ y
Z2(c,d)

Z ____________________ 1与点Z2间的距离. 特别地, |z|表示: . 复平面中点 Z与原点间 ___________________ 的距离 . ___________________ .

Z1(a,b)

o

x

新课学习:
1.复数乘法运算: 我们规定,复数乘法法则如下: 设z1=a+bi,z2=c+di 是任意两个复数,那 么它们的乘积为: (a+bi)(c+di )= ac+adi+bci+bdi2 = ac+adi+bci-bd = (ac-bd)+(ad+bc)i 注意:两个复数的积是一个确定的复数

2.乘法运算律 对任意z1 ,z2 ,z3 ∈C. 有

z 1· z2=z2· z1
(z1· z 2) · z3= z1· (z2· z 3) z1(z2+z3)=z1· z2+z1· z3

(交换律)
(结合律) (分配律)

3.共轭复数 定义:实部相等,虚部互为相反数的两 个复数叫做互为共轭复数 记法:复数z=a+bi 的共轭复数记作

z = a-bi

z

口答:说出下列复数的共轭复数
⑴z=2+3i ⑵z= -6i
⑶z= 3 (

z (z ( z

=2-3i )

=6i )
=3 )

注意:⑴当虚部不为0时的共轭复数称为
共轭虚数 ⑵实数的共轭复数是它本身

思考:若z1
解:⑴作图
y

,z2是共轭复数,那么 ⑴在复平面内,它们所对应的点有怎样的位置关系? ⑵z1·z2是一个怎样的数?
y (a,b) o x (a,-b) y

(0,b) o (0,-b)
x o

(a,o)

x

z1=bi

z1=a+bi 得出结论:在复平面内,共轭复数z1 ,z2所对应的点关 于实轴对称。 ⑵令z1=a+bi,则z2=a-bi,则z1· z2=(a+bi)(a-bi) =a2-abi+abi-bi2=a2+b2 结论:任意两个互为共轭复数的乘积是一个实数.

z1=a

6.共轭复数的相关运算性质:

Z ? Z ? a ? b ?| Z | ?| Z |
2 2 2

2

Z1 ? Z 2 ? Z1 ? Z 2

Z1 ? Z 2 ? Z1 ? Z 2

z?R ? z ? z
z为纯虚数? z ? 0, 且z ? ? z

7.复数的除法法则 a ? bi (a ? bi ) ? (c ? di ) ? c ? di ac ? bd bc ? ad ? ? i (c ? di ? 0) c ?d c ?d a a( b - c)
2 2 2 2

= b + c ( b + c)( b - c) ab - ac = (分母有理化) b-c

说明:在计算时,分子分母都乘以分母的“实数化因式” (共轭复数)从而使分母“实数化”。 a ? bi ? (a ? bi )(c ? di ) 即: (a ? bi ) ? (c ? di ) ? (c ? di )(c ? di ) c ? di

ac ? bd ? (bc ? ad )i ac ? bd bc ? ad ? ? 2 ? 2 i 2 2 2 2 c ?d c ?d c ?d

重点讨论
探究一、探究二、探究三、检测反馈

内容
探究一 探究二 探究三 1 2 3

展示
1组B1 2组B1

点评
2组A1
3组A1 1组A1

要求

3组B1
4组B1 5组B1 6组B1

5组A1
6组A1 4组A1

点评同学:声音 洪亮,言简意赅, 先点评书写,再 评对错,后总结 方法和规律。 非点评同学: 注意倾听、思考, 做好笔记,有补 充或是不明白的 要及时补充,大 胆质疑

课堂小结:

⑴复数乘法的运算法则、运算规律, 共轭复数概念. ⑵复数除法运算法则


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第三章3.2.2复数代数形式的乘除运算

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