3.2.2复数代数形式的乘除运算

口号：
张扬个性，展示自我； 斗志昂扬，奋勇拼搏.

复习回顾：
已知两复数z1=a+bi，z2=c+di (a，b，c，d∈R) 1.加法、减法的运算法则

(a±c)+(b±d)i (a+bi)±(c+di) =________________.
2.加法运算律： 对任意z1，z2，z3∈C

交换律： z1+z2=z2+z1,
结合律： (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)

3.复数加、减的几何意义 设OZ1， OZ2分别与复数z1=a+bi，z2=c+di对应. y y
Z2(c，d)

Z

Z2(c，d)
Z1(a，b)

Z1(a，b)

o 向量OZ1+OZ2

x

o

x z1-z2

z1+z2 向量OZ1-OZ2

4.复数模的几何意义： 已知两复数z1=a+bi，z2=c+di (a，b，c，d∈R) |z1-z2|表示： 复平面中点 _________ y
Z2(c，d)

Z ____________________ 1与点Z2间的距离. 特别地， |z|表示： . 复平面中点 Z与原点间 ___________________ 的距离 . ___________________ .

Z1(a，b)

o

x

新课学习：
1.复数乘法运算： 我们规定，复数乘法法则如下： 设z1=a+bi,z2=c+di 是任意两个复数，那 么它们的乘积为： (a+bi)(c+di )= ac+adi+bci+bdi2 = ac+adi+bci-bd = (ac-bd)+(ad+bc)i 注意：两个复数的积是一个确定的复数

2.乘法运算律 对任意z1 ,z2 ,z3 ∈C. 有

z 1· z2=z2· z1
(z1· z 2) · z3= z1· (z2· z 3) z1(z2+z3)=z1· z2+z1· z3

(交换律)
(结合律) (分配律)

3.共轭复数 定义：实部相等，虚部互为相反数的两 个复数叫做互为共轭复数 记法：复数z=a+bi 的共轭复数记作

z = a-bi

z

口答：说出下列复数的共轭复数
⑴z=2+3i ⑵z= -6i
⑶z= 3 (

z (z ( z

=2-3i )

=6i )
=3 )

注意：⑴当虚部不为0时的共轭复数称为
共轭虚数 ⑵实数的共轭复数是它本身

思考：若z1
解：⑴作图
y

,z2是共轭复数，那么 ⑴在复平面内，它们所对应的点有怎样的位置关系？ ⑵z1·z2是一个怎样的数？
y (a,b) o x (a,-b) y

(0,b) o (0,-b)
x o

(a,o)

x

z1=bi

z1=a+bi 得出结论：在复平面内，共轭复数z1 ,z2所对应的点关 于实轴对称。 ⑵令z1=a+bi,则z2=a-bi，则z1· z2=(a+bi)(a-bi) =a2-abi+abi-bi2=a2+b2 结论：任意两个互为共轭复数的乘积是一个实数.

z1=a

6.共轭复数的相关运算性质:

Z ? Z ? a ? b ?| Z | ?| Z |
2 2 2

2

Z1 ? Z 2 ? Z1 ? Z 2

Z1 ? Z 2 ? Z1 ? Z 2

z?R ? z ? z
z为纯虚数? z ? 0, 且z ? ? z

7.复数的除法法则 a ? bi (a ? bi ) ? (c ? di ) ? c ? di ac ? bd bc ? ad ? ? i (c ? di ? 0) c ?d c ?d a a( b - c)
2 2 2 2

= b + c ( b + c)( b - c) ab - ac = (分母有理化) b-c

说明：在计算时,分子分母都乘以分母的“实数化因式” （共轭复数）从而使分母“实数化”。 a ? bi ? (a ? bi )(c ? di ) 即： (a ? bi ) ? (c ? di ) ? (c ? di )(c ? di ) c ? di

ac ? bd ? (bc ? ad )i ac ? bd bc ? ad ? ? 2 ? 2 i 2 2 2 2 c ?d c ?d c ?d

重点讨论
探究一、探究二、探究三、检测反馈

内容
探究一 探究二 探究三 1 2 3

展示
1组B1 2组B1

点评
2组A1
3组A1 1组A1

要求

3组B1
4组B1 5组B1 6组B1

5组A1
6组A1 4组A1

点评同学：声音 洪亮，言简意赅， 先点评书写，再 评对错，后总结 方法和规律。 非点评同学： 注意倾听、思考， 做好笔记，有补 充或是不明白的 要及时补充，大 胆质疑

课堂小结：

⑴复数乘法的运算法则、运算规律， 共轭复数概念. ⑵复数除法运算法则