nbhkdz.com冰点文库

2.4函数的图像


2.4

函数的图像

【考纲要求】 会运用函数图像理解和研究函数的性质。 【基础知识】 1、函数图像的作法有描点法和图像变换法。 2、描点法作函数的图像的一般步骤是:描点→连线 ,描点法一般在知道函数图像的图像和性质的情况下 使用。 3、图象变换包括图像的平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换等。 (1)平移变换(左加右减,上加下减) 把

函数 f ( x ) 的图像向左平移 a(a ? 0) 个 a 单位,得到函数 f ( x ? a) 的图像, 把函数 f ( x ) 的图像向右平移 a(a ? 0) 个 a 单位,得到函数 f ( x ? a) 的图像, 把函数 f ( x ) 的图像向上平移 a(a ? 0) 个 a 单位,得到函数 f ( x) ? a 的图像, 把函数 f ( x ) 的图像向下平移 a(a ? 0) 个 a 单位,得到函数 f ( x) ? a 的图像。 (2)伸缩变换

1 倍得 y ? f (? x) (0< ? <1) w 1 ②把函数 y ? f ( x) 图象的纵坐标不变,横坐标缩短到原来的 倍得 y ? f (? x) ( ? >1) w
①把函数 y ? f ( x) 图象的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的 ③把函数 y ? f ( x) 图象的横坐标不变,纵坐标伸长到原来的 w 倍得 y ? ? f ( x) (

? >1)

④把函数 y ? f ( x) 图象的横坐标不变,纵坐标缩短到原来的 w 倍得 y ? ? f ( x) (0< ? <1) (3)对称变换: ①函数 y ? f ( x) 和函数 y ? ? f ( x) 的图像关于 x 轴对称 函数 y ? f ( x) 和函数 y ? f (? x) 的图像关于 y 轴对称 函数 y ? f ( x) 和函数 y ? ? f (? x) 的图像关于原点对称
?1 函数 y ? f ( x) 和函数 y ? f ( x) 的图像关于直线 y ? x 对称

简单地记为: x 轴对称 y 要变, y 轴对称 x 要变,原点对称都要变。 ②对于函数 y ? f (x) ( x ? R ), f ( x ? a) ? f (b ? x) 恒成立,则函数 f (x) 的对称轴是 x ? (4)翻折变换: ①把函数 y=f(x)图像上方部分保持不变,下方的图像对称翻折到 x 轴上方,得到函数 y ? f ( x) 的图像; ②保留 y 轴右边的图像,擦去左边的图像,再把右边的图像对称翻折到左边,得到函数 y ? f ( x ) 的图像。 4、作函数的图像,一般是首先化简解析式,然后确定用描点法或图像变换法作函数的图像。

a?b 2

【例题精讲】 例 1 写出下列函数作图过程,然后画出下列函数图像的草图. (1) y ?

2 x ? 1 2( x ? 1) ? 1 1 1 1 ? ? 2? 先作出函数 y ? 的图像,再把函数 y ? 的图像向右 x ?1 x ?1 x ?1 x x 1 1 1 平移一个单位得到函数 y ? 的图像, 最后把函数 y ? 的图像向上平移 2 个单位得到函数 y ? 2 ? x ?1 x ?1 x ?1
【解析】 (1) y ? 的图像。

2x ?1 x ?1

(2) y ? ( x ?1) x ? 2

(3) y ?| lg x |

(4) y ? 2| x?1|

?? x 2 ? x ? 2 ( x ? 2) ? (2) y ? ( x ? 1) x ? 2 ? ? 2 ? x ? x ? 2 ( x ? 2) ?

然后作出函数的图像。

(3)首先作出函数 y ? lg x 的图像,再把函数 y ? lg x 的图像 x 轴上方保持不变,把 x 轴下方的图像对称地 翻折到 x 轴上方,即得函数 y ?| lg x | 的图像。 (4)首先作出函数 y ? 2 x 的图像,然后把 y ? 2 x 的图像 y 轴右边的保持不变,去掉 y 轴左边的图像,再把 y 轴右边的图像对称地翻折到 y 轴左边,即得函数 y ? 2| x| 的图像,最后把函数 y ? 2| x| 的图像向左平移一个单位, 得到函数 y ? 2| x?1| 的图像。 例2 直线 y ? x ? b 与函数 y ? 1 ? x 2 的图像有两个不同的交点,求实数 b 的取值范围。

【解析】在同一直角坐标系中作出两个函数的图像,如图所示,当直线介于 AB 和 CD 之间时,直线和函数

y ? 1 ? x2 的图像有两个不同的交点。由于直线 CD 和半圆相切,所以1 ?
因为点 B(0,1) ,所以 1 ? b ? b ? 1 所以实数 b 的取值范围为 [1, 2 )

|b| 2

?b ? 2

2.4 函数的图像强化训练 【基础精练】 1、若 0 ? a ? 1, 函数 y ? loga ( x?5) 不经过( (A)第一象限 (B)第二象限 ) (C)第三象限 (D)第四象限 )

2、要得到函数 y ? sin( 2 x ?

? 个单位 3 ? (C) 向右平移 个单位 3
(A)向左平移

? ) 的图象,只要将函数 y ? sin 2 x 的图象( 3 ? (B) 向左平移 个单位 6 ? (D) 向右平移 个单位 6


3、函数 f ( x) ? sin x ? lg x 与 x 轴交点的个数为( (A)1 个 (B)2 个 (C)3 个 (D)4 个

4 、 将 函 数 y ? f ( x) 的 图 像 向 右 平 移 两 个 单 位 , 再 向 下 平 移 两 个 单 位 , 得 到 函 数 y ? 2x , 则

f ( x) ?

。 平移 个单位得到函数 y ? sin( x ?

5、把函数 y ? sin x 的图象向

? 1 ? y ? sin( x ? ) 图象上各点横坐标 到原来的 倍而得到函数 y ? s i n ( x ? ) 。 3 2 3 1 x 6、函数 f ( x) ? ( ) ? lg x 零点的有 个。 2

? ) 的图象,再把函数 3

7、已知 f ( x ) 是 R 上的增函数, A(0, ?1), B(3,1) 是其图像上的两个点,则不等式 | f ( x ? 1) |? 1 的解集 是 。 8、函数 y ? x ?1 的单调递增区间是 ,单调递减区间是 。

9、写出下列函数作图过程,然后画出下列函数图像的草图. (1) y ?

2x ?1 x ?1

(2) y ? ( x ?1) x ? 2

(3) y ?| lg x |

(4) y ? 2

| x ?1|

10、直线 y ? x ? b 与函数 y ? 1 ? x 2 的图像有两个不同的交点,求实数 b 的取值范围。 【拓展提高】
2 1、 已知函数 f ( x) ? ? x ? 8x, g ( x) ? 6ln x ? m ,是否存在实数 m ,使得 y ? f ( x) 的图象与 y ? g ( x) 的图象

有且只有三个不同的交点?

2、已知函数 f ( x) ? ? x 2 ? 2ex ? m ? 1, g ( x) ? x ?

(1)若 F ( x) ? g ( x) ? m 有零点,求 m 的取值范围; (2)确定 m 的取值范围,使得函数 h( x) ? g ( x) ? f ( x) 有两个不同的零点。

e2 ( x ? 0). x

【基础精练参考答案】

3.C 【解析】令 f ( x) ? sin x ? lg x ? 0 ?sin x ? lg x 在同一坐标系下作出函数 y ? sin x 和 y ? lg x 的图 像,观察得两个函数有 3 个交点,所以函数 f ( x) ? sin x ? lg x 与 x 轴交点的个数为 3 个。

4. 2

x? 2

? 2【解析】 求原函数可以利用逆向思维求解。 先把函数 y ? 2x 向上平移 2 个单位得到函数 y ? 2x ? 2

的图像,再把函数 y ? 2x ? 2 的图像向左平移 2 个单位得到函数 y ? 2x?2 ? 2 的图像。

? ? ? ;伸长;两倍【解析】把函数 y ? sin x 的图象向左平移 个单位得到函数 y ? sin( x ? ) 的图象, 3 3 3 ? 1 ? 再把函数 y ? sin( x ? ) 图象上各点横坐标伸长到原来的 2 倍而得到函数 y ? sin( x ? ) 3 2 3 1 x 1 x 1 x 6.1【解析】令 f ( x) ? ( ) ? lg x ? 0 ? ( ) ? lg x 在同一坐标系下作出两个函数 y ? ( ) 、 y ? lg x 的 2 2 2 1 x 图像,观察得两个函数只有一个交点。所以函数 f ( x) ? ( ) ? lg x 零点的有 1 个。 2
5.左; 7. (?1, 2) 【解析】 | f ( x ? 1) |? 1 ??1 ? f ( x ? 1) ? 1 ? f (0) ? f (x ? 1) ? f (3)

?0 ? x ?1 ? 3

? ?1 ? x ? 2
8. (1,??) (??,1) 【解析】作出函数 y ? x ?1 的图像观察即得函数的单调区间。

2 x ? 1 2( x ? 1) ? 1 1 1 1 ? ? 2? 先作出函数 y ? 的图像,再把函数 y ? 的图像 x ?1 x ?1 x ?1 x x 1 1 向右平移一个单位得到函数 y ? 的图像,最后把函数 y ? 的图像向上平移 2 个单位得到函数 x ?1 x ?1 1 y ? 2? 的图像。 x ?1
9.【解析】 (1) y ?

?? x 2 ? x ? 2 ( x ? 2) ? (2) y ? ( x ? 1) x ? 2 ? ? 2 ? x ? x ? 2 ( x ? 2) ?

然后作出函数的图像。

(3)首先作出函数 y ? lg x 的图像,再把函数 y ? lg x 的图像 x 轴上方保持不变,把 x 轴下方的图像对称地 翻折到 x 轴上方,即得函数 y ?| lg x | 的图像。 (4)首先作出函数 y ? 2 的图像,然后把 y ? 2 的图像 y 轴右边的保持不变,去掉 y 轴左边的图像,再把 y
x x

轴右边的图像对称地翻折到 y 轴左边,即得函数 y ? 2| x| 的图像,最后把函数 y ? 2| x| 的图像向左平移一个单位, 得到函数 y ? 2| x?1| 的图像。 10.【解析】在同一直角坐标系中作出两个函数的图像,如图所示,当直线介于 AB 和 CD 之间时,直线和函 数 y ? 1 ? x 2 的图像有两个不同的交点。由于直线 CD 和半圆相切,所以 1 ? 因为点 B(0,1) ,所以 1 ? b ? b ? 1

|b| 2

?b ? 2

所以实数 b 的取值范围为 [1, 2 )

【拓展提高参考答案】 1.【解析】函数 y ? f ( x) 的图象与 y ? g ( x) 的图象有且只有三个不同的交点,即函数

? ( x) ? g ( x) ? f ( x) 的图象与 x 轴的正半轴有且只有三个不同的交点。
?? ( x) ? x 2 ? 8 x ? 6ln x ? m, ?? '( x) ? 2 x ? 8 ? 6 2 x 2 ? 8 x ? 6 2( x ? 1)( x ? 3) ? ? ( x ? 0), x x x

当 x ? (0,1) 时, ? '( x) ? 0, ? ( x) 是增函数; 当 x ? (0,3) 时, ? '( x) ? 0, ? ( x) 是减函数; 当 x ? (3, ??) 时, ? '( x) ? 0, ? ( x) 是增函数; 当 x ? 1, 或 x ? 3 时, ? '( x) ? 0.

?? ( x)最大值 ? ? (1) ? m ? 7,? ( x)最小值 ? ? (3) ? m ? 6ln3 ?15.

? 当 x 充分接近 0 时, ? ( x) ? 0, 当 x 充分大时, ? ( x) ? 0. ? 要使 ? ( x) 的图象与 x 轴正半轴有三个不同的交点,必须且只须
?? ( x)最大值 ? m ? 7 ? 0, ? ? ?? ( x)最小值 ? m ? 6 ln 3 ? 15 ? 0, ?
即 7 ? m ? 15 ? 6 ln 3.

所以存在实数 m ,使得函数 y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 的图象有且只有三个不同的交点, m 的取值范围为

(7,15 ? 6ln 3).

e2 2.【解析】 (1)方法一 ∵g(x)=x+ x ≥2 e2=2e, 。 等号成立的条件是 x=e. 故 g(x)的值域是[2e,+∞),因而只需 m≥2e,则 g(x)=m 就有实根. e 方法二 作出 g(x)=x+ 的图象如图: x 可知若使 g(x)=m 有实根,则只需 m≥2e. 方法三 解方程由 g(x)=m,得 x -mx+e =0.
2 2 2

?m>0 ? 此方程有大于零的根,故?2 ?Δ =m2-4e2≥0 ?

?m>0 ? 等价于? ? ?m≥2e或m≤-2e

,故 m≥2e.

(2)若 g(x)-f(x)=0 有两个相异的实根,即 g(x)=f(x)中函数 g(x)与 f(x)的图象有两个不同的交点,作 e 出 g(x)=x+ (x>0)的图象. x ∵f(x)=-x +2ex+m-1 =-(x-e) +m-1+e . 其对称轴为 x=e,开口向下,最大值为 m-1+e . 故当 m-1+e >2e,即 m>-e +2e+1 时, g(x)与 f(x)有两个交点, 即 g(x)-f(x)=0 有两个相异实根. ∴ 的取值范围是(-e +2e+1,+∞). m
2 2 2 2 2 2 2 2


2.4函数的图像

11.4(2)函数与图像 2页 2财富值如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心;如要提出功能问题或意见建议,请点击此处进行反馈。 2.4函数的图像 隐藏>> 2.4 函数的...

2.4函数的图像

7.5一次函数的简单应用(1) 15页 免费如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心;如要提出功能问题或意见建议,请点击此处进行反馈。 2.4函数的图像 隐藏>> 2.4 函数的...

2.4 函数的图象(师版)

2.4函数的图象 暂无评价 7页 2财富值如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心;如要提出功能问题或意见建议,请点击此处进行反馈。 2.4 函数的图象(师版) 隐藏>> ...

2.4正弦型函数的图像及应用2

2.4正弦型函数的图像及应用2_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 2.4正弦型函数的图像及应用2_数学_高中教育_教育专区。南通工贸技师学院...

2.4函数的图像

4页 免费 2.8对数函数 4页 免费如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心;如要提出功能问题或意见建议,请点击此处进行反馈。 2.4函数的图像 四星级高中高三数学第一...

2.4 一次函数的图象

2.4 一次函数的图象_数学_初中教育_教育专区。2.4 一次函数的图象【知识精华点击】 课标要求 1.会画一次函数的图象,理解并掌握一次函数的图象与系数的符号的关系;...

2.4(2)二次函数图像

2.4(2)二次函数的图像 7页 1财富值如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心;如要提出功能问题或意见建议,请点击此处进行反馈。 2.4(2)二次函数图像 隐藏>> 九...

2.4二次函数的图像(1)

2.4二次函数的图像(1)_初三数学_数学_初中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档2.4二次函数的图像(1)_初三数学_数学_初中教育_教育专区。高石崖...

2.4二次函数的图像1

2.4二次函数的图像1_数学_初中教育_教育专区。第二章 二次函数 九年级数学(上)教学设计 课课学习目标:1、能够作出 二次函数图象的影响. 2、能正确说出 型 新...