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第16讲 相似三角形的存在性


中考复习讲义(2015)









第十六讲:相似三角形的存在性(讲义) 一、 知识点睛 相似三角形存在性的处理思路
1. 分析特征:分析背景图形中的定点、定线及不变特征,结合图

形间的对应关系及不变特征考虑分类. 一般地,确定或特征

明显的三角形被称作目标三角形.
2. 画图求解:

①目标三角形确定时,根据对应关系分类,借助比例列方程; ②目标三角形不确定时,先从对应关系入手,再结合背景中 的不变特征分析,综合考虑对应关系和不变特征后列方程求 解.
3. 结果验证:回归点的运动范围,画图或推理,验证结果.

二、精讲精练
1. 如图 1,矩形 OBCD 的边 OD,OB 分别在 x 轴正半轴和 y 轴负半

轴上,且 OD=10,OB=8.将矩形的边 BC 绕点 B 逆时针旋转, 使点 C 恰好与 x 轴上的点 A 重合. (1)若抛物线 y ? ? x 2 ? bx ? c 经过 A,B 两点,则该抛物线的解 析式为______________________. (2)若点 M 是直线 AB 上方抛物线上的一个动点,作 MN⊥x 轴 于点 N.是否存在点 M,使△AMN 与△ACD 相似?若存在,求出 点 M 的坐标;若不存在,说明理由.
y A O D x
B O y A D x

1 3

C

B

C



1





1



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2. 如图,已知抛物线 y ?

3 2 x ? bx ? c 与坐标轴交于 A,B,C 三点, 4

点 A 的坐标为(

1,0),过点 C 的直线 y ?

3 x ?3与 4t

x 轴交于

点 Q, 点 P 是线段 BC 上的一个动点, 过 P 作 PH⊥OB 于点 H. 若

PB

5t,且 0 ? t ? 1 . _______,c ______.

(1)点 C 的坐标是____________,b

(2)求线段 QH 的长(用含 t 的代数式表示). (3)依点 P 的变化,是否存在 t 的值,使以 P,H,Q 为顶 点的三角形与△COQ 相似?若存在, 求出所有符合条件的 t 值; 若不存在,说明理由.
y
y Q H B P

A O

B

x

A O

x

C

C



2





2



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3. 如图,已知△ABC 中,∠ACB=90°,以

AB 所在直线为 x 轴, 过点 C 的直线为 y 轴建立平面直角坐标系,此时,A 点坐标为 (-1,0),B 点坐标为(4,0). (1)试求点 C 的坐标. (2)若抛物线 y ? ax2 ? bx ? c 过△ABC 的三个顶点,求抛物线的
解析式. (3)点 D(1,m)在(2)中的抛物线上,过点 A 的直线 y ? ? x ? 1 交该抛物线于点 E,那么在 x 轴上点 B 的左侧是否存在点 P, 使以 P,B,D 为顶点的三角形与△ABE 相似?若存在,求出 点 P 的坐标;若不存在,请说明理由.

y C A O B x

E

y C A O B x

y C A O B x A

y C O B x

E

E

E



3





3



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5 4. 如图,已知抛物线过点 A(0,6),B(2,0),C(7, ). 2

(1)求抛物线的解析式. (2)若 D 是抛物线的顶点,E 是抛物线的对称轴与直线 AC 的 交点,F 与 E 关于 D 对称.求证:∠CFE=∠AFE. (3)在 y 轴上是否存在这样的点 P,使△AFP 与△FDC 相似? 若存在,请求出所有符合条件的点 P 的坐标;若不存在,请 说明理由.
y

y

A E C O B D x

A E C O B D x

F

F

y

y

A E C O B D x

A E C O B D x

F

F



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【参考答案】 1.
2 ? ) ,M 2 ( , ) (1) y ? ? 3 x ? 3 x ? 8 (2) M 1 ( 2 , 4 2 4 2.

1

10

5

7

11 1

1 ? 4 ? 8t (0 ? t ? ) ? 9 2 (1) (0 , ?3) , ? , ?3 (2) QH ? ? ? 4 ?8t ? 4( 1 ? t ? 1) ? ? 2

(3)存在, 3.
2) (1) (0,

7 25 或 或 2 ?1 32 32 1 3 13 22

2 0) ,P2 (? , 0) (2) y ? ? 2 x ? 2 x ? 2 (3) P1 ( 7 , 5

4. (1) y ? x 2 ? 4 x ? 6 (2)证明略
? (3) P1 ( 0, 41 ) ,P2 (0, ? 2) 2
1 2



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学生做题前请先回答以下问题 问题 1:相似三角形的判定有哪些? 问题 2:在相似三角形存在性问题中,什么样的三角形是目标三 角形? 相似三角形的存在性(一) 1. 如 图 1 , 已 知 二 次 函 数 三点,直线 的图象经过 与 x 轴交于点 D,

与抛物线交于点 E.连接 AC,BE,若△BDE 与△AOC 相似,则点 E 的坐标为( A. D. 2.如图 2,直线 与 x 轴交于点 A,与 y 轴交于点 B,把△ 过 A,B B. ) C.
图1

AOB 沿 y 轴翻折,点 A 落到点 C 处,抛物线

两点. M 为第一象限内的抛物线上一点, 过点 M 作 MN 垂直于 x 轴, 垂足为点 N.若以 M,O,N 为顶点的三角形与△BOC 相似,则点 M 的坐标为( A. C. D. ) B.
图2



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3.如图 3,在平面直角坐标系 xOy 中,Rt△AOB 的顶点 A,B 分别 在 x 轴、y 轴的正半轴上,且 OA=1,tan∠BAO=3,将此三角形绕 原点 O 逆时针旋转 90°, 得到△DOC, 抛物线经过 A, B, C 三点. 若 P 是第二象限内的抛物线上一点, 抛物线的对称轴 与 x 轴交于点 E,连接 PE,交 CD 于点 F.若△CEF 与△COD 相似,则点 P 的坐标 为( A. C. ) B. D.
图3

4.如图 4,在平面直角坐标系中,四边形 ABCD 是等腰梯形,AD∥ BC,AB=DC,BC 在 x 轴上,点 A 在 y 轴的正半轴上,且点 A,D 的 坐标分别为 D 三点, , ,连接 AC.抛物线过 A,C,

为抛物线上一点, 过点 P 作 PM 垂直于 x 轴,
图4

垂足为点 M,连接 PC,若以 C,P,M 三点为顶点的三角形与 Rt△ AOC 相似,则点 P 的坐标为( A. C. D. B. )



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学生做题后建议通过以下问题总结反思 问题 1:相似三角形的判定有哪些? 问题 2:在相似三角形存在性问题中,什么样的三角形是目标三 角形? 问题 3:结合第 1 题考虑,目标三角形是________,不变特征是 ________. 问题 4:结合第 1 题考虑,对于相似三角形的存在性问题,一般 根据什么进行分类? 问题 5:结合第 1 题考虑,若△BDE 与△AOC 相似,画图找点求解 的依据是什么? 问题 6:结合第 1 题考虑,相似三角形的存在性问题的处理思路 是什么?



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学生做题前请先回答以下问题 问题 1:相似三角形的判定有哪些? 问题 2:在相似三角形存在性问题中,什么样的三角形是目标三 角形? 相似三角形的存在性(二) 1.如图 1,已知二次函数 的图象经过 A(-4,3),

B(4,4)两点,与 x 轴交于 C,D 两点(点 C 在点 D 的左侧).P 为第二象限内的抛物线上一动点,过点 P 作 PH⊥x 轴于点 H, 若△PHD 与△ABC 相似,则点 P 的坐标为( A. C. D. 2.如图 2, 抛物线 与 x 轴交于点 A, B, 与 y 轴交于点 C. 连 B. )
图1

接 AC,过点 B 作 BD∥AC 交抛物线于点 D,连接 BC,AD,若 P 是 x 轴上方抛物线上一点,过点 P 作 PE 垂直于 x 轴,垂足为点 E,若
图2

△BPE 与△CBD 相似,则点 P 的坐标为( A. B. C.

) D.



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3.如图 3,抛物线

与 x 轴交于 A,B 两点(点 A 在点

B 的右侧),与 y 轴交于点 C,D 为抛物线的顶点.若 P 为坐标轴 上一点,且△PAC 与△BCD 相似,则点 P 的坐标为( A. C. , B. D. 学生做题后建议通过以下问题总结反思 问题 1:相似三角形的判定有哪些? 问题 2:在相似三角形存在性问题中,什么样的三角形是目标三 角形? 问题 3:结合第 1 题考虑,目标三角形是________,不变特征是 ________. 问题 4:结合试题 1 考虑,△PHD 与△ABC 相似用到相似三角形的 哪一个判定?如何确定分类标准? 问题 5:结合试题 1 分析,相似三角形的存在性问题的处理思路 是什么? )
图3

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学生做题前请先回答以下问题 问题 1 :研究二次函数时需要关注哪些信息?如何研究函数背 景? 问题 2:相似三角形存在性问题的处理思路是什么? 问题 3:分析定点、动点,找不变特征的目的是什么? 相似三角形的存在性(三) 1.如图 1,直线 两点的抛物线 与 x 轴、y 轴分别交于点 A,C,经过 A,C 与 x 轴负半轴的另一交点为 B,tan∠

CBO=3,D 为抛物线的顶点.若 P 为射线 BD 上一点,且以 P,A,B 为顶点的三角形与△ABC 相似,则点 P 的坐标为( A. C. 2.如图 2,直线 C 两点的抛物线 B. D. 与 x 轴、y 轴分别交于点 B,C,经过 B, 与 x 轴的另一个交点为 A, 顶点为 P. 若 )
图1

Q 为 x 轴上一点,且以 B,P,Q 为顶点的三角形与△ABC 相似,则 点 Q 的坐标为( A. ) B. C. D.
图2

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3. 如图 3 ,在平面直角坐标系 xOy 中,顶点为 M 的抛物线 经过点 A 和 x 轴正半轴上的点 B,且 OA=OB=2,∠ AOB=120°. (1)连接 OM,则∠AOM 的度数为( A.160° B.120° C.135° ) D.150°
图3

(2)如图 4 如果点 C 在 x 轴上,且△ABC 与△AOM 相似,则点 C 的坐标为( A. C. ) B. D. 学生做题后建议通过以下问题总结反思 问题 1 :研究二次函数时需要关注哪些信息?如何研究函数背 景? 问题 2:相似三角形存在性问题的处理思路是什么? 问题 3:分析定点、动点,找不变特征的目的是什么? 问题 4:结合第 4 题考虑,为什么点 C 在点 B 右侧的 x 轴上? 问题 5:结合第 4 题考虑,相似三角形的存在性问题的分类标准 是什么?
如图 4

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学生做题前请先回答以下问题 问题 1:具有什么特征的三角形在表达面积时会使用铅垂法?铅 垂法的具体做法是什么? 问题 2:如何利用铅垂法表达三角形的面积? 问题 3:分析定点、动点,找不变特征的目的是什么? 相似三角形的存在性(四) 1.如图 1,在平面直角坐标系 xOy 中,点 A 的坐标为(-2,2), 点 B 的坐标为(6,6),抛物线经过 A,O,B 三点,M 为线段 OB 下方的抛物线上一动点(不与点 O,B 重合). (1)如图 1 设△BOM 的面积为 S,则 S 的最大值为( A. B. C. D. )
图1

(2).(上接第 1 题)如图 2,当△BOM 的面积最大时,过点 A 作 x 轴的平行线, 过点 M 作 y 轴的平行线交于点 H, 则 值为( A.4 )
图2



B. C. D.

(3)图 3 当△BOM 的面积最大时,若 P 为射线 OM 上一点,且△ BOP 与△OAM 相似,则点 P 的坐标为( A. C. B.
图3

)

D.

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4.如图 4,抛物线

(k 为常数,且

)与 x 轴从

左至右依次交于点 A,B,与 y 轴交于点 C.若在第一象限内的抛 物线上存在点 P,使得以 A,B,P 为顶点的三角形与△ABC 相似, 则 k 的值为( A. B. C. ) D.
图4

学生做题后建议通过以下问题总结反思 问题 1:具有什么特征的三角形在表达面积时会使用铅垂法?铅 垂法的具体做法是什么? 问题 2:如何利用铅垂法表达三角形的面积? 问题 3:分析定点、动点,找不变特征的目的是什么? 问题 4: 结合试题 3 分析, △BOP 与△OAM 相似的分类标准是什么? 问题 5:结合试题 4 分析,以 A,B,P 为顶点的三角形与△ABC 相似的分类标准是什么?

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相似三角形的存在性(五) 1.如图 1,直线 OA 与反比例函数的图象交于点 直线 OA,与反比例函数的图象交于点 ,向下平移

,与 y 轴交于点 C. )
图1

(1)经过 A,B,C 三点的抛物线的解析式为( A. C. B. D.

(2)如图 2 设(1)中抛物线的顶点为 D,对称轴与 x 轴的交点 为 E.P 是抛物线对称轴上一点,若△POE 与△BCD 相似,则点 P 的坐标为( A. C. D. 3.如图 3,在平面直角坐标系中,抛物线 与 x 轴交 ) B.

图2

于 A,D 两点,与 y 轴交于点 B,四边形 OBCD 是矩形,点 A 的坐 标为 , 点 B 的坐标为 , 已知点 是线段 DO 上的动
图3

点,过点 E 作 PE⊥x 轴交抛物线于点 P,交 BC 于点 G,交 BD 于点 H. 若以 P, B, G 为顶点的三角形与△DEH 相似, 则 m 的值为( A. B. C. D. )

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4.如图 4,在平面直角坐标系 xOy 中,点 B 在 y 轴正半轴上,点 C 在 x 轴负半轴上,四边形 ABCO 是平行四边形,且 AB=4,OB=2, 抛物线过 A,B,C 三点,与 x 轴交于另一点 D.动点 P 以每秒 1 个单位长度的速度从点 B 出发,沿 BA 向终点 A 运动,同时动点 Q 从点 D 出发, 以每秒 3 个单位长度的速度沿 DC 向点 C 运动, 当点 P 到达点 A 时, 点 Q 同时停止运动. 设点 P 运动的时间为 t 秒. 若 以 P,B,O 为顶点的三角形与以 Q,B,O 为顶点的三角形相似, 则 t 的值为( )

A.

B.

C.

D.

学生做题后建议通过以下问题总结反思 问题 1:结合第 3 题考虑相似三角形存在性问题的处理思路是什 么? 问题 2:分析定点、动点,找不变特征的目的是什么? 问题 3:结合第 2 题考虑为什么会出现双重分类(动点问题的分 类以及相似三角形存在性问题的分类)?分类标准是什么? 问题 4:相似三角形的存在性问题,既要考虑_______,又要考虑 _______,二者缺一不可。

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学生做题前请先回答以下问题 问题 1:如何研究二次函数背景? 问题 2:相似三角形的判定有哪些? 问题 3:相似三角形的存在性问题,既要考虑________,又要考 虑_________,二者缺一不可. 问题 4:结合试题 4 以 C,B,D 为顶点的三角形与△CMN 相似用到 相似三角形的哪一个判定?如何确定分类标准? 相似三角形的存在性(六) 1.如图 1,已知抛物线 于点 A,顶点 B 的坐标为 经过坐标原点 O,交 x 轴 .Q 是 x 轴上方抛物线上的一动 )
图1

点,当△AOQ 与△AOB 相似时,点 Q 的坐标为( A. C. D. B.

2.如图 2,在平面直角坐标系中,正方形 ABCD 的顶点 A,B 均在 x 轴正半轴上,连接 OD,BD,△BOD 的外心 I 在中线 BF 上,BF 与 AD 交于点 E. 连接 OE, 点 P 在直线 BF 上, 若△BPD 与△OED 相似,
图2

则满足条件的点 P 共有( A.1 B.2 C.3 D.4

)个.

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3.如图, 已知抛物线

的图象与 x 轴的一个交点为 B (5,

0).另一个交点为 A,且与 y 轴交于点 C(0,5). (1)如图 1 直线 BC 与抛物线的解析式为( A. C. B.
图1

)

D.

(2)图 2 取 BC 的中点为点 N,过点 N 作 MN∥y 轴交抛物线于一 点 M.若点 P 是坐标轴上一点,则以 C,B,P 为顶点的三角形与 △CMN 相似的点 P 的坐标为( A. C. B. D.
图2

)

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