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2.1.2 指数函数及其性质 第1课时

时间:2013-04-15


数学必修 1

第二章

基本初等函数(1)

2.1.2

指数函数及其性质

教学目标 1.通过实际问题了解指数函数的实际背景,理解指数函数的概念和意义,根据图象理解和掌握 指数函数的性质,体会具体到一般数学讨论方式及数形结合的思想. 2.让学生了解数学来自生活,数学又服务于生

活的哲理.培养学生观察问题、分析问题的能力, 培养学生严谨的思维和科学正确的计算能力. 3.通过训练点评,让学生更能熟练指数幂运算性质.展示函数图象,让学生通过观察,进而研究 指数函数的性质,让学生体验数学的简洁美和统一美. 重点难点 教学重点:指数函数的概念和性质及其应用. 教学难点:指数函数性质的归纳、概括及其应用. 课时安排 3 课时 教学过程

第 1 课时
导入新课

指数函数及其性质(1)

3 ,写出存留污垢 y 与漂洗次数 x 的关系式,它是 4 1 函数关系式吗?若是,请计算若要使存留的污垢不超过原有的 ,则至少要漂洗几次?教师 64 1 引导学生分析,列出关系式 y=( )x,发现这个关系式是个函数关系且它的自变量在指数的位 4
思路 1.用清水漂洗衣服,若每次能洗去污垢的 置上,这样的函数叫指数函数,引出本节课题.
1 2
? 1 2

思路 2.教师复习提问指数幂的运算性质,并要求学生计算 23,20,2-2,16 4 ,27 3 ,49 画函数的图象,学生思考,分组交流,写出自己的答案 8,1, 描点,最后连线.点出本节课题. 思路 3.在本章的开头,问题(2)中时间 t 和碳 14 含量 P 的对应关系 P=[(
1

.再提问怎样

1 1 ,2,9, ,先建立平面直角坐标系,再 4 7
1 5730 t ) ] ,如果我 2
1

们用 x 表示时间,y 表示碳 14 的含量,则上述关系可表示为 y=[(

1 5730 x ) ] ,这是我们习惯上 2

的函数形式,像这种自变量在指数的位置上的函数,我们称为指数函数,下面我们给出指数函 数的确切概念,从而引出课题. 推进新课 新知探究 提出问题 1.一种放射性物质不断衰减为其他物质,每经过一年剩留量约是原来的 84%,求出这种物质经
1 王灵聪

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第二章

基本初等函数(1)

过 x 年后的剩留量 y 与 x 的关系式是_________.(y=0.84x) 2.某种细胞分裂时,由一个分裂成两个,两个分裂成四个,四个分裂成十六个,依次类推,一个这 样的细胞分裂 x 次后,得到的细胞个数 y 与 x 的关系式是_________.(y=2x) 提出问题 (1)你能说出函数 y=0.84x 与函数 y=2x 的共同特征吗? (2)你是否能根据上面两个函数关系式给出一个一般性的概念? (3)为什么指数函数的概念中明确规定 a>0,a≠1? (4)为什么指数函数的定义域是实数集? (5)如何根据指数函数的定义判断一个函数是否是一个指数函数?请你说出它的步骤. 活动: 先让学生仔细观察,交流讨论,然后回答,教师提示点拨,及时鼓励表扬给出正确结论的学 生,引导学生在不断探索中提高自己的应用知识的能力,教师巡视,个别辅导,针对学生共性的 问题集中解决. 问题(1)看这两个函数的共同特征,主要是看底数和自变量以及函数值. 问题(2)一般性的概念是指用字母表示不变化的量即常量. 问题(3)为了使运算有意义,同时也为了问题研究的必要性. 问题(4)在(3)的规定下,我们可以把 ax 看成一个幂值,一个正数的任何次幂都有意义. 问题(5)使学生回想指数函数的定义,根据指数函数的定义判断一个函数是否是一个指数函数, 紧扣指数函数的形式. 讨论结果:(1)对于两个解析式我们看到每给自变量 x 一个值,y 都有唯一确定的值和它对应, 再就是它们的自变量 x 都在指数的位置上,它们的底数都大于 0,但一个大于 1,一个小于 1.0.84 与 2 虽然不同,但它们是两个函数关系中的常量,因为变量只有 x 和 y. (2)对于两个解析式 y=0.84x 和 y=2x,我们把两个函数关系中的常量用一个字母 a 来表示,这样 我们得到指数函数的定义: 一般地,函数 y=ax(a>0,a≠1)叫做指数函数,其中 x 叫自变量,函数的定义域是实数集 R. (3)a=0 时,x>0 时,ax 总为 0;x≤0 时,ax 没有意义. a<0 时,如 a=-2,x=

1 x ,a =(-2) 2 = - 2 显然是没有意义的. 2

1

a=1 时,ax 恒等于 1,没有研究的必要. 因此规定 a>0,a≠1.此解释只要能说明即可,不要深化. (4)因为 a>0,x 可以取任意的实数,所以指数函数的定义域是实数集 R. (5)判断一个函数是否是一个指数函数,一是看底数是否是一个常数,再就是看自变量是否是 一个 x 且在指数位置上,满足这两个条件的函数才是指数函数. 提出问题 (1)前面我们学习函数的时候,根据什么思路研究函数的性质,对指数函数呢? (2)前面我们学习函数的时候,如何作函数的图象?说明它的步骤. (3)利用上面的步骤,作函数 y=2x 的图象. (4)利用上面的步骤,作函数 y=(

1 x ) 的图象. 2

(5)观察上面两个函数的图象各有什么特点,再画几个类似的函数图象,看是否也有类似的特 点? (6)根据上述几个函数图象的特点,你能归纳出指数函数的性质吗? (7)把 y=2x 和 y=(

1 x ) 的图象,放在同一坐标系中,你能发现这两个图象的关系吗? 2
2

王灵聪

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(8)你能证明上述结论吗? (9)能否用 y=2x 的图象画 y=(

1 x ) 的图象?请说明画法的理由. 2

活动:教师引导学生回顾需要研究的函数的那些性质,共同讨论研究指数函数的性质的方法, 强调数形结合,强调函数图象在研究函数性质中的作用,注意从具体到一般的思想方法的运用, 渗透概括能力的培养,进行课堂巡视,个别辅导,投影展示画得好的部分学生的图象,同时投影 展示课本表 21,22 及图 2.12,2.13 及 2.14,及时评价学生,补充学生回答中的不足.学生独立思考, 提出研究指数函数性质的思路,独立画图,观察图象及表格,表述自己的发现,同学们相互交流, 形成对指数函数性质的认识,推荐代表发表本组的集体的认识. 讨论结果: (1)我们研究函数时,根据图象研究函数的性质,由具体到一般,一般要考虑函数的定 义域、值域、单调性、奇偶性,有时也通过画函数图象,从图象的变化情况来看函数的性质. (2)一般是列表,描点,连线,借助多媒体手段画出图象,用计算机作函数的图象. (3)列表. x y=2x -3.00 -2.50 -2.00 -1.50 -1.00 0.00 1 0.50 1.00 2 1.50 2.00 4

1 ?8

1 4

1 2

作图如图 2-1-2-1

图 2-1-2-1 (4)列表. x -2.50 -2.00 -1.50 -1.00 0.00 1 1.00 1.50 2 2.00 2.50 4

1 y=( )x 2
作图如图 2-1-2-2

1 4

1 2

图 2-1-2-2 (5)通过观察图 2121,可知图象左右延伸,无止境说明定义域是实数.图象自左至右是上升的,说 明是增函数,图象位于 x 轴上方,说明值域大于 0.图象经过点 (0,1) y 值分布有以下特点,x<0 ,且 时 0<y<1,x>0 时 y>1.图象不关于 x 轴对称,也不关于 y 轴对称,说明函数既不是奇函数也不是 偶函数. 通过观察图 2122,可知图象左右延伸,无止境说明定义域是实数.图象自左至右是下降的,说明 是减函数,图象位于 x 轴上方,说明值域大于 0.图象经过点(0,1),x<0 时 y>1,x>0 时 0<y<1. 图象不关于 x 轴对称,也不关于 y 轴对称,说明函数既不是奇函数也不是偶函数. 可以再画下列函数的图象以作比较,y=3x,y=6x,y=( 广到一般的情形.
3 王灵聪

1 x 1 ) ,y=( )x.重新观察函数图象的特点,推 3 6

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(6)一般地,指数函数 y=ax 在 a>1 和 0<a<1 的情况下,它的图象特征和函数性质如下表所示. 图象特征 a>1 向 x 轴正负方向无限延伸 图象关于原点和 y 轴不对称 函数图象都在 x 轴上方 函数图象都过定点(0,1) 自左向右,图象逐渐上升 在第一象限内的图象纵坐 标都大于 1 在第二象限内的图象纵坐 标都小于 1 自左向右,图象逐渐下降 在第一象限内的图象纵坐 标都小于 在第二象限内的图象纵坐 标都大于 1 a>1 增函数 1x>0,ax>1 x<0,ax<1 0<a<1 函数性质 a>1 非奇非偶函数 函数的值域为 R+ a0=1 减函数 x>0,ax<1 x<0,ax>1 0<a<1 函数的定义域为 R

一般地,指数函数 y=ax 在底数 a>1 及 0<a<1 这两种情况下的图象和性质如下表所示: 0<a<1

图象

①定义域:R ②值域: (0,+∞) 性质 ③过点(0,1),即 x=0 时 y=1 ④在 R 上是增函数,当 x<0 时,0<y<1; 当 x>0 时,y>1 (7)在同一坐标系中作出 y=2x 和 y=( 它们的图象关于 y 轴对称. ④在 R 上是减函数,当 x<0 时,y>1; 当 x>0 时,0<y<1

1 x ) 两个函数的图象,如图 2-1-2-3.经过仔细研究发现, 2

图 2-1-2-3 (8)证明:设点 p(x1,y1)是 y=2 上的任意一点,它关于 y 轴的对称点是 p1(-x1,y1),它满足方程
x

y=(

1 x -x 1 1 ) =2 ,即点 p1(-x1,y1)在 y=( )x 的图象上,反之亦然,所以 y=2x 和 y=( )x 两个函数的图 2 2 2 1 x ) 两个函数的图象关于 y 轴对称,所以可以先画其中一个函数的图象,利 2

象关于 y 轴对称. (9)因为 y=2x 和 y=(

用轴对称的性质可以得到另一个函数的图象,同学们一定要掌握这种作图的方法,对以后的学 习非常有好处. 应用示例 思路 1 例 1 判断下列函数是否是一个指数函数?
4 王灵聪

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y=x2,y=8x,y=2·x,y=(2a-1)x(a> 4

1 ,a≠1),y=(-4)x,y=πx,y=6x3+2. 2

活动:学生观察,小组讨论,尝试解决以上题目,学生紧扣指数函数的定义解题,因为 y=x2,y=2·x,y=6x3+2 都不符合 y=ax 的形式,教师强调 y=ax 的形式的重要性,即 a 前面的系数为 4 1,a 是一个正常数(也可是一个表示正常数的代数式),指数必须是 x 的形式或通过转化后能 化为 x 的形式. 解:y=8x,y=(2a-1)x(a> 变式训练

1 ,a≠1),y=(-4)x,y=πx 是指数函数;y=x2,y=2·x,y=6x3+2 不是指数函数. 4 2

2 -2 ) x(a>0,a≠1)中是指数函数的有哪些? a 1 2 2 答案:y=23x=(23)x,y=a-x=( )x,y=( )-2x=[( )-2]x 是指数函数. a a a
函数 y=23x,y=ax+k,y=a-x,y=( 例 2 比较下列各题中的两个值的大小: (1)1.72.5 与 1.73;(2)0.8-0.1 与 0.8-0.2;(3)1.70.3 与 0.93.1. 活动: 学生自己思考或讨论,回忆比较数的大小的方法,结合题目实际,选择合理的,再写出 (最 好用实物投影仪展示写得正确的答案),比较数的大小,一是作差,看两个数差的符号,若为正, 则前面的数大;二是作商,但必须是同号数,看商与 1 的大小,再决定两个数的大小;三是计算出 每个数的值,再比较大小;四是利用图象;五是利用函数的单调性.教师在学生中巡视其他学生 的解答,发现问题及时纠正并及时评价. 解法一:用数形结合的方法,如第(1)小题,用图形计算器或计算机画出 y=1.7x 的图象,如图 2-1-2-4.

图 2-1-2-4 在图象上找出横坐标分别为 2.5、3 的点,显然,图象上横坐标为 3 的点在横坐标为 2.5 的点的 上方,所以 1.72.5<1.73,同理 0.8-0.1<0.8-0.2,1.70.3>0.93.1. 解法二:用计算器直接计算:1.72.5≈3.77,1.73≈4.91, 所以 1.72.5<1.73.同理 0.8-0.1<0.8-0.2,1.70.3>0.93.1. 解法三:利用函数单调性, ①1.72.5 与 1.73 的底数是 1.7,它们可以看成函数 y=1.7x,当 x=2.5 和 3 时的函数值; 因为 1.7>1, x 2.5 3 所以函数 y=1.7 在 R 上是增函数,而 2.5<3,所以 1.7 <1.7 ; ②0.8-0.1 与 0.8-0.2 的底数是 0.8,它们可以看成函数 y=0.8x,当 x=-0.1 和-0.2 时的函数值;因为 0<0.8<1,所以函数 y=0.8x 在 R 上是减函数,而-0.1>-0.2,所以 0.8-0.1<0.8-0.2; ③因为 1.70.3>1,0.93.1<1,所以 1.70.3>0.93.1. 点评:在第(3)小题中,可以用解法一、解法二解决,但解法三不适合.由于 1.70.3 与 0.93.1 不 能直接看成某个函数的两个值,因此,在这两个数值间找到 1,把这两数值分别与 1 比较大小, 进而比较 1.70.3 与 0.93.1 的大小,这里的 1 是中间值. 思考在上面的解法中你认为哪种方法更实用? 活动: 学生对上面的三种解法作比较,解题有法但无定法,我们要采取多种解法,在多种解法中 选择最优解法,这要通过反复练习,强化来实现.
5 王灵聪

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变式训练 1.已知 a=0.80.7,b=0.80.9,c=1.20.8,按大小顺序排列 a,b,c. 答案:b<a<c(a、b 可利用指数函数的性质比较,而 c 是大于 1 的).
1

1

2.比较 a 3 与 a 2 的大小(a>0 且 a≠0).
1

1

1

1

答案:分 a>1 和 0<a<1 两种情况讨论.当 0<a<1 时,a 3 >a 2 ;当 a>1 时,a 3 <a 2 . 例 3 求下列函数的定义域和值域:
1

(1)y=2 x ? 4 ;(2)y=(

2 ) 3

?|x|

;(3)y=10

2x ?1 x ?1

.

活动:学生先思考,再回答,由于指数函数 y=ax,(a>0 且 a≠1)的定义域是 R,所以这类类似指数 函数的函数的定义域要借助指数函数的定义域来求,教师适时点拨和提示,求定义域,只需使 指数有意义即可,转化为解不等式.
1

解:(1)令 x-4≠0,则 x≠4,所以函数 y=2 x ? 4 的定义域是{x∈ x≠4}, R∣

1 又因为 ≠0,所以 2 x ? 4 ≠1,即函数 y=2 x ? 4 的值域是{y|y>0 且 y≠1}. x?4
(2)因为-|x|≥0,所以只有 x=0. 因此函数 y=( 而 y=(

1

1

2 ) 3

?|x|

的定义域是{x∣ x=0}.
?|x|

2 ?|x| 2 0 2 ) =( ) =1,即函数 y=( ) 3 3 3 2x 2x (3)令 ≥0,得 ≥0, x ?1 x ?1 x ?1 即 ≥0,解得 x<-1 或 x≥1, x ?1
因此函数 y=10 由于
2x ?1 x ?1

的值域是{y∣ y=1}.

的定义域是{x∣ x<-1 或 x≥1}.

2x 2x 2x 2x -1≥0,且 ≠2,所以 ? 1 ≥0 且 ? 1 ≠1. x ?1 x ?1 x ?1 x ?1
2x ?1 x ?1

故函数 y=10

的值域是{y∣ y≥1,y≠10}.

点评:求与指数函数有关的定义域和值域时,要注意到充分考虑并利用指数函数本身的要求, 并利用好指数函数的单调性,特别是第(1)题千万不能漏掉 y>0. 变式训练 求下列函数的定义域和值域: (1)y=(

1 2 x? x 2 1 2 x ?1 ? ;(3)y=ax-1(a>0,a≠1). ) ;(2)y= 3 2 9

6 王灵聪

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答案:(1)函数 y=( 是[ ?

1 2 x? x 2 1 1 2 x ?1 ) 的定义域是 R,值域是[ ,+∞);(2)函数 y= 3 ? 的定义域 2 2 9

1 ,+∞),值域是[0,+∞);(3)当 a>1 时,定义域是{x|x≥0},当 0<a<1 时,定义域是{x|x≤0}, 2

值域是[0,+∞). 思路 2 例 1 一种放射性物质不断衰减为其他物质,每经过一年剩留量约是原来的 84%,求出这种物质 的剩留量随时间(年)变化的函数关系式,作出它的图象,并从图象上求出经过多少年剩留量 是原来的一半?(结果保留一个有效数字) 活动:师生共同分析,先求出解析式,列出数值对应表,再描点,画出图象后,利用图象求解,由学 生回答,学生有困难,教师可以提示,仔细审题,利用代数式分别表示出经过 1 年,2 年,3 年…,的 剩留量,归纳出关系式,取几个关键点,作出函数图象,在纵轴上取表示 0.5 的点,作纵轴的垂线 交图象于一点,过这一点作横轴的垂线,横轴与垂线交点的横坐标即为所求的年数. 解:设最初的质量为 1,时间用变量 x 表示,剩留量用 y 表示,则经过 1 年,y=1× 84%=0.841;经 过 2 年,y=1× 0.84× 0.84=0.842;……这样,可归纳出,经过 x 年,y=0.84x,x∈ *. N x y 0 1
x

1 0.84

2 0.71

3 0.59

4 0.50

5 0.42

6 0.35

画出指数函数 y=0.84 的图象,如图 2-1-2-5.从图上可以看出 y=0.5 时,只需 x=4.

图 2-1-2-5 答:约经过 4 年,剩留量是原来的一半. 点评:实际问题中要注意自变量的取值范围. 例 2 比较下列两个数的大小: (1)30.8,30.7;(2)0.75-0.1,0.750.1;(3)1.80.6,0.81.6;(4)(

1 ?3 ?5 ) ,2 . 3

2

3

活动:教师提示学生指数函数的性质,根据学生的解题情况及时评价学生. 解法一:直接用科学计算器计算各数的值,再对两个数进行大小的比较: 对(1)因为 30.8=2.408225,30.7=2.157669,所以 30.8>30.7; 对(2)因为 0.75-0.1=1.029186,0.750.1=0.971642,所以 0.75-0.1>0.750.1; 对(3)因为 1.80.6=1.422864,0.81.6=0.699752,所以 1.80.6>0.81.6; 对(4)因为(
? ? 1 ?3 1 ? ) =2.080084,2 5 =0.659754,所以( ) 3 >2 5 . 3 3 2 3 2 3

解法二:利用指数函数的性质对两个数进行大小的比较: 对(1)因为函数 y=3x 在 R 上是增函数,0.8>0.7,所以 30.8>30.7; 对(2)因为函数 y=0.75x 在 R 上是减函数,0.1>-0.1,所以 0.75-0.1>0.750.1; 对(3)由指数函数的性质知 1.80.6>1.80=1=0.80>0.81.6,所以 1.80.6>0.81.6;
7 王灵聪

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? ? 1 ? 1 1 ? 对(4)由指数函数的性质知( ) 3 >( )0=1=20>2 5 ,所以( ) 3 >2 5 . 3 3 3

2

3

2

3

解法三:利用图象法来解,具体解法略. 点评:在利用指数函数的性质对两个数进行大小比较时,首先把这两个数看作指数函数的两 个函数值,利用指数函数的单调性比较.若两个数不是同一函数的两个函数值,则寻求一个中 间量,两个数都与这个中间量进行比较,这是常用的比较数的大小的方法,然后得两个数的大 小,数学上称这种方法为“中间量法”. 变式训练 比较 n?1 a n 与 n a n?1 (a>0,a≠1,n∈ *,n>2)的大小关系. N 解:因为 所以
n ?1

a =a

n

n n ?1

, a

n

n?1

=a

n n ?1

,而 n∈ *,n>2, N

n n ?1 n n ?1 1 ? ? = >0,即 . n ?1 n n ?1 n n(n ? 1)
n n n n

因此:当 a>1 时 a n ?1 >a n ?1 ,即 n?1 a n > n a n?1 ;当 0<a<1 时 a n ?1 <a n ?1 ,即 n?1 a n < n a n?1 . 知能训练 课本 P58 练习 1、2. 【补充练习】 1.下列关系中正确的是( A.(

) B.(

1 3 1 2 1 3 ) <( ) <( ) 5 1 2 2
1 3 1 3 1 3 ) <( ) <( ) 5 2 2
2
1

2

1

1 3 1 3 1 3 ) <( ) <( ) 5 2 2
2 2
1

1

2

2

2

C.(

D.(

1 3 1 3 1 3 ) <( ) <( ) 5 2 2

答案:D 2.函数 y=ax(a>0,a≠1)对任意的实数 x,y 都有( ) A.f(xy)=f(x)· f(y) B.f(xy)=f(x)+f(y) C.f(x+y)=f(x)· f(y) D.f(x+y)=f(x)+f(y) 答案:C 3.函数 y=ax+5+1(a>0,a≠1)恒过定点________. 答案: (-5,2) 拓展提升 探究一: 在同一坐标系中作出函数 y=2x,y=3x,y=10x 的图象,比较这三个函数增长的快慢. 活动:学生深刻回顾作函数图象的方法,交流作图的体会.列表、描点、连线,作出函数 y=2x,y=3x,y=10x 的图象,如图 2-1-2-6. x y=2 y=3
x x x

-2 0.25 0.11 0.01

-1 0.5 0.33 0.1

0 1 1 1

1 2 3 10

2 4 9 100

3 8 27 1000

10 1024 59049 1010
8

y=10

王灵聪

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第二章

基本初等函数(1)

图 2-1-2-6 从表格或图象可以看出: (1)x<0 时,有 2x>3x>10x; (2)x>0 时,有 2x<3x<10x; (3)当 x 从 0 增长到 10,函数 y=2x 的值从 1 增加到 1 024,而函数 y=3x 的值从 1 增加到 59 049. 这说明 x>0 时 y=3x 比 y=2x 的函数值增长得快.同理 y=10x 比 y=3x 的函数值增长得快. 因此得:一般地,a>b>1 时,(1)x<0 时,有 ax<bx<1; (2)x=0 时,有 ax=bx=1; (3)x>0 时,有 ax>bx>1; (4)指数函数的底数越大,x>0 时其函数值增长就越快. 探究二: 分别画出底数为 0.2、0.3、0.5 的指数函数的图象(图 2-1-2-7),对照底数为 2、3、5 的指数函 数的图象,研究指数函数 y=ax(0<a<1)中 a 对函数的图象变化的影响.

图 2-1-2-7 由此得: 一般地,0<a<b<1 时,(1)x>0 时,有 ax<bx<1;(2)x=0 时,有 ax=bx=1;(3)x<0 时,有 ax>bx>1;(4) 指数函数的底数越小,x>0 时,其函数值减少就越快. 课堂小结 1.指数函数的定义. 2.指数函数的图象和性质. 3.利用函数的图象说出函数的性质,即数形结合的思想(方法),它是一种非常重要的数学思想 和研究方法. 4.利用指数函数的单调性比较几个数的大小,特别是中间变量法. 作业 课本 P59 习题 2.1A 组 5、6、8、10. 设计感想 本节课是在前面研究了函数性质的基础上,研究具体的初等函数,它是重要的初等函数,它有 着丰富的内涵,且和我们的实际生活联系密切,也是以后学习对数函数的基础,在指数函数的 概念讲解过程中,既要向学生说明定义域是什么,又要向学生交代,为什么规定底数 a 是大于
9 王灵聪

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基本初等函数(1)

0 而不等于 1 的,本节内容课堂容量大,要提高课堂的效率和节奏,多运用信息化的教学手段, 顺利完成本堂课的任务.

10 王灵聪


2.1.2《指数函数及其性质》教案(第一课时)

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2.1.2 指数函数及其性质 第1课时

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人教A版《2-1-2-1指数函数及其性质(第1课时)》课时作业...

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精品教案 2.1.2 指数函数及其性质

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2.1.2 指数函数及其性质

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2.1.2(修1)指数函数及其性质 教学设计s

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