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[1].4生活中的优化问题举例08

时间:2017-08-10


§1.4生活中 的优化问题举 例
高二数学(理)选修2-2

第一章

导数及其应用

一、如何判断函数的单调性?
设函数y=f(x) 在 某个区间 内可导, f(x)为增函数 f(x)为减函数

二、如何求函数的极值与最值?
求函数极值的一般步骤
(1)确定

定义域 (2)求导数f’(x)

(3)求f’(x)=0的根 (4)列表 (5)判断

(1) 求f ?? x ?

求f(x)在闭区间[a,b] 上的最值的步骤:

(3) 求f(x)在区间(a,b)内极值和f(a)、f(b)(端点处)

?2? 令f ?? x ? ? 0 求方程的根

?注意根的取舍?

比较,其中最大的一个为最大值,最小的
一个最小值.

生活中的优化问题 生活中经常遇到求利润最大、 用料最省、效率最高等问题,这 些问题通常称为优化问题.通过前 面的学习,我们知道,导数是求 函数最大(小)值的有力工具, 本节我们将运用导数,解决一些 生活中的 优化问题.

例1:海报版面尺寸的设计
学校或班级举行活动,通常需要张贴海报进行 宣传。现让你设计一张如图3.4-1所示的竖向张贴 的海报,要求版心面积为128dm2,上、下两边各 空2dm,左、右两边各空1dm,如何设计海报的 尺寸,才能使四周空白面积最小?
2 【分析】
128 设版心的高为x dm,则版心的宽为 dm 128

x
1 2

版心
128 dm x

x ? 2 那么海报的高为(x+4) dm,宽为( x )dm 高 ? 128 ? ? 2 ? ? 128 那么 四周空白面积: ? x ? 4?? ? x ?

1

图3.4-1 宽 ( 海报



解 : 设版心的高为xdm, 则版心的宽为

128 S ( x) ? ( x ? 4)( ? 2) ? 128 x 512 ? 2x ? ? 8, x ? 0 x
512 求导数,得S ( x) ? 2 ? 2 x
'

128 dm, 此时四周空白面积为 x

x

令:S ' ( x) ? 2 ?

512 ?0 2 x

解得:x ? 16,x ? ?16 (舍)
你还有其他解法 吗?例如用基本 不等式行不?

128 128 于是宽为: ? ?8 x 16

当x ? ? 0,16?时,s' ? x ? ? 0;

当x ??16, ???时,s' ? x ? ? 0.

因此,x=16是函数S(x)的极小值点,也是最小值点。所 以,当版心高为16dm,宽为8dm时,能使四周空白面 积最小。

解法二:由解法(一)得
512 512 S ( x) ? 2 x ? ? 8 ? 2 2x ? ?8 x x

? 2 ? 32 ? 8 ? 72
512 当且仅当2x ? , 即x ? 16( x ? 0)时S 取最小值 x

128 此时y= ?8 16

答:应使用版心宽为8dm,长为 16dm,四周空白面积最小

由上述例子,我们不难发现,解决优化问题的 基本思路是:
优化问题 用函数表示的数学问题

优化问题的答案

用导数解决数学问题

上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过 程。

练习:在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去
相等的正方形,再把它的边沿虚线折起,做成 一个无盖的方底箱子,箱底边长为多少时,箱 子容积最大?最大容积是多少?
x
x x
60

x

x
60

60 ? x 设底面边长为x cm,则箱子的高_________ 2

【分析】

x
x x
60

x

解:设箱底边长为x,则箱高h=(60-x)/2.箱子容积
3 2 令V ?( x ) ? 60x ? x ? 0 ,解得x=0(舍去),x=40.且V(40)= 2 16000.

60

V(x)=x2h=(60x2-x3)/2 (0<x<60).

由题意可知,当x过小(接近0)或过大(接近60)时,箱子 的容积很小,因此,16000是最大值.

答:当x=40cm时,箱子容积最大,最大容积是16000cm3.


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