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直线与圆的位置关系①


潜山县三环中学高三数学(理)一轮复习学案

编号:2012 年—导 33-34

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《直线与圆的位置关系①》复习学案
【考纲要求】

1、能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系 2、能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系

切线斜率为 k,则圆 x2+y2=r2 的切线方程为 y=kx±r 1 ? k 2 . 4、过圆外一点 P(x0,y0)引圆(标准方程,一般方程)的切线长度

d?

2 2 x0 ? y0 ? Dx 0 ? Ey 0 ? F (一般方程)

【知识梳理】
1、直线与圆的位置关系 (1)直线与圆的位置关系有三种:相离、相交和相切. (2)直线 l : Ax ? By ? C ? 0 与圆 ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 (r ? 0) 的位置关系的判定方法有两种: ①几何方法

? ( x0 ? a) 2 ? ( y 0 ? b) 2 r 2 (标准方程).

【自主训练】 1、设 m ? 0 ,则直线 2 ( x ? y) ? 1 ? m ? 0 与圆 x 2 ? y 2 ? m 的位置关系为(
A、相切
2 2



B、相交

C、相切或相离

D、相交或相切 )

?相离 | aA ? bB ? C | ? 直线 l 与圆 ?相切 ? d = A2 ? B 2 ?相交 ?
②代数方法

?? r , ? ? ? r , 其中 d 是圆心到直线的距离. ?? r , ?

2、圆 x ? y ? 4x ? 4 y ? 6 ? 0 截直线 x ? y ? 5 ? 0 所得的弦长等于( A、 6 B、

5 2 2

C、1

D、5 )

3、圆 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 0 在点 P(1, 3 )处的切线方程为(

? Ax ? By ? C ? 0, 由? 消去 y (或消去 x ),可得形如 x 2 ? px ? q ? 0 的方程, 2 2 2 ( x ? a ) ? ( y ? b ) ? r , ? ?? 0, ?相离 ? 2 ? 设 ? ? p ? 4q ,则直线 l 与圆 ?相切 ? ? ?? 0, ? ? 0. ?相交 ? ?
(3)计算直线被圆截得的弦长的常用方法: ①几何方法: ②代数方法: 运用韦达定理及弦长公式

A、x+ 3 y-2=0 B、x+ 3 y-4=0 C、x- 3 y+4=0 D、x- 3 y+2=0 4、圆心为(1,2)且与直线 5 x ? 12 y ? 7 ? 0 相切的圆的方程为_________________. 5、设直线 2 x ? 3 y ? 1 ? 0 和圆 x 2 ? y 2 ? 2x ? 3 ? 0 相交于点 A、B,则弦 AB 的垂直平分线方程 是____________

【典型例题分析与讲解】 题型一 直线与圆的位置关系问题 2 2 例题 1、已知圆 C : x ? ( y ? 1) ? 5 ,直线 l : mx ? y ? 1 ? m ? 0 . (1)求证:对 m ? R ,直线 l 与圆 C 总有两个不同的交点 (2)设 l 与圆 C 交于 A, B 两点,若 AB = 17 ,求直线 l 的倾斜角
(3)求弦 AB 的中点 M 的轨迹方程
?

AB = (1 ? k ) [( x A ? x B ) ? 4 x A x B ] .
2 2

2、圆与圆的位置关系的判定 设⊙C1:(x-a1)2+(y-b1)2=r12(r1>0),⊙C2:(x-a2)2+(y-b2)2=r22(r2>0),则有 |C1C2|>r1+r2 ? ⊙C1 与⊙C2 相离; |C1C2|=r1+r2 ? ⊙C1 与⊙C2 相切; |r1-r2|<|C1C2|<r1+r2 ? ⊙C1 与⊙C2 相交; |C1C2|=|r1-r2| ? ⊙C1 与⊙C2 内切; C1C2|<|r1-r2| ? ⊙C1 与⊙C2 内含. 3、圆的切线方程 (1)过定点 P(x0,y0)的圆的切线: ①点 P(x0,y0)在圆上:则圆 x2+y2=r2 的切线方程为 x0x+y0y=r2,圆 x2+y2+Dx+Ey+F=0 的切线方程为 x0x+y0y+D

AP 1 (4)若定点 P(1,1) 为 ? = ,求此时直线 l 的方程 2 PB

x ? x0 y ?y +E· 0 +F=0. 2 2

②定点 P(x0,y0)在圆外:采用求轨迹方程的方法将切线方程求出来. 注意:斜率不存在的切线方程不要遗漏掉. (2)斜率已知的切线方程:
1

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例题 2、求经过两圆 ( x ? 3) 2 ? y 2 ? 13 和 x 2 ? ( y ? 3) 2 ? 37 的交点,且圆心在直线 x ? y ? 4 ? 0 上的圆的方程.

【当堂检测】 1、若直线 ax ? by ? 1 与圆 x 2 ? y 2 ? 1 相交,则 P (a, b) 与圆的位置关系为

.

2、若直线 4 x ? 3 y ? 2 ? 0 与圆 C : x 2 ? y 2 ? 2ax ? 4 y ? a 2 ? 12 ? 0 总有两个不同交点,则 a 的 取值范围是 . 3、直线 y ? kx ? 3 与圆 ( x ? 3) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 4 相交于 M , N 两点,若 MN ? 2 3 ,则 k 的取值范 围是 4、 (10 湖北) 若直线 y ? x ? b 与曲线 y ? 3 ? 4 x ? x 2 有公共点,则 b 的取值范围是 .

(同类题)若直线 y ? k ( x ? 2) ? 4 与曲线 y ? 1 ? 4 x ? x 2 有两个不同的交点,则 k 的取值范围 是 . 5 、(08 重庆 ) 直线 l 与圆 C : x 2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? a ? 0(a ? 3) 相交于两点 A, B , 弦 AB 的中点为 (0,1),则直线 l 的方程为 . 6 、 设 O 为 坐 标 原 点 , 曲 线 C : x 2 ? y 2 ? 2 x ? 6 y ? 1 ? 0 上 有 两 点 P, Q , 满 足 关 于 直 线
2 2 例题 3、已知圆 C : x ? y ? 2x ? 4 y ? 4 ? 0 ,问是否存在斜率 k ? 1 的直线 l ,使 l 被圆 C 截得的

弦 AB ,以 AB 为直径的圆经过原点,若存在,写出直线 l 的方程;若不存在,说明理由.

x ? my ? 4 ? 0 对称,又满足 OP · OQ =0. (1)求 m 的值 (2)求直线 PQ 的方程

.

2


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