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吉林省九校联合体2014届高三第二次摸底考试数学理

时间:2014-05-18


吉林省九校联合体 2014 届高三第二次摸底考试

数学(理)试题
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1. 已知 U ? R, M ? x ? 1 ? x ? 2 , N ? x x ? 3 , 则 ?CU M ? ? N ? ( A. x 2 ? x ? 3

?

?

?

?



?

?

B. x 2 ? x ? 3 C. x x ? ?1或2 ? x ? 3

?

? ?

?

D. x x ? ?1或2 ? x ? 3 ) D.第四象限 ) D. 3

?

?

2.已知复数 z ? A.第一象限

2?i ,则复数 z 在复平面内对应的点在 ( 1? i
B.第二象限 C. 第三象限

3.在等差数列 ?an ?中, a1 ? a5 ? 8, a4 ? 7, 则 a5 ? ( A. 11 B. 10 C. 7

4.抛物线 y 2 ? 2 px? p ? 0? 的准线经过双曲线 x 2 ? y 2 ? 1 的左焦点,则 p ? (



A.

2 2

B. 2

C. 2 2

D. 4 2 )

5.将函数 y ? sin 2 x ? cos 2 x 的图象向左平移 A. y ? cos2 x ? sin 2 x C. y ? sin 2 x ? cos2 x

? 个单位,所得图象的解析式是( 4

B. y ? cos 2 x ? sin 2 x D. y ? sin x cos x

6.先后两次抛掷一枚骰子,在得到点数之和不大于 6 的条件下,先后出现的点数中 有 3 的概率为( ) A.

1 3

B.

2 5

C.

1 5

D.

1 6
( )

7.一个棱锥的三视图如图所示,则它的体积为 A.

1 2

B.

3 2 1 3

C.1

D.

8.执行如图所示的程序框图,则输出的结果为( ) A.20 B.30 C.40 D.50 9.一个空间四边形 ABCD 的四条边及对角线 AC 的长均为 2 ,二 面 角

1 D ? AC ? B 的余弦值为 ,则下列论断正确的是( 3
-1-



A.四边形 ABCD 的四个顶点在同一球面上且此球的表面积为 3? B.四边形 ABCD 的四个顶点在同一球面上且此球的表面积为 4? C.四边形 ABC 的四个顶点在同一球面上且此球的表面积为 3 3? D.不存在这样的球使得四边形 ABCD 的四个顶点在此球面上 10 . 如 图 , 在 四 面 体 OABC 中 ,

AC ? BC, OA ? 3, OB ? 1, 则 OC ? BA ? (
A. 8 B. 6 C. 4

) D. 3

11 .已知函数 y ? f ?x ? 是定义在 R 上的增函数,函数

y ? f ?x ? 1? 的 图 象 关 于 点 ?1,0? 对 称 。 若 对 任 意 的

x, y ? R, f ?x 2 ? 6x ? 21? ? f ?y 2 ? 8 y ? ? 0 恒成立,则当 x ? 3 时, x 2 ? y 2 的取值范围是(
A. ?3,7? B. ?9,25?
a a2



C. ?13,49?

D. ?9,49?

12 . 若 2 0 1 ?4 2 1 ?2
n n

? . .?. 2an , 其 中 a1 , a2 , . . an. ,为 两 两 不 等 的 非 负 整 数 , 令
n

x ? sin ? ai , y ? cos ? ai , z ? tan ? ai , 则 x, y , z 的大小关系是(
i ?1 i ?1 i ?1



A. x ? y ? z

B. z ? x ? y

C. x ? z ? y

D. y ? z ? x

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13.将某班的 60 名学生编号为: 01,02,...,60, 采用系统抽样方法抽取一个容量为 5 的 样本,且随机抽得的一个号码为 04 ,则剩下的四个号码依次是

2 ? ? 14.设 n ? ? 3x ? 2 dx ,则 ? x ? ? 的展开式中含 x 2 项的系数是 1 x ? ?

2

?

2

?

n

15.在 ?ABC 中, C ? 60?, AB ?

4 3, AB 边上的高为 ,则 AC ? BC ? 3

16.若直角坐标平面内 A,B 两点满足条件:①点 A,B 都在函数 f ? x ? 的图象上;②点 A,B 关于原点 对称,则称 ? A, B ? 是函数 f ? x ? 的一个 “ 姊妹点对 ” (

? A, B? 与 ?B, A? 可看作同一点对) 。已知

? x 2 ? 2 x, x ? 0 ? f ?x ? ? ? 2 ,则 f ? x ? 的“姊妹点对”有_____个 ,x ?0 x ? ? e
三.解答题: (本大题共 6 小题,共 60 分) 17. ( 本小题满分 12 分) 已知 ? 为锐角, 且 tan? ? 数列 ?an ? 的首项 a1 ? 1 , an?1 ? f (an ) . (1)求函数 f ( x) 的表达式; (2)求数列 ?an ? 的前 n 项和 S n .
-2-

2 ?1 , 函数 f ( x) ? 2 x tan 2? ? sin( 2? ?

?
4

),

18. ( 本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 A ? BCDE 中, ?ABC 是 正 三 角 形 , 四 边 形 BC DE 是 矩 形 , 且 平 面 ABC ? 平面 BCDE , AB ? 2 , AD ? 4 . (1)若点 G 是 AE 的中点,求证: AC // 平面 BDG (2) 试问点 F 在线段 AB 上什么位置时,二面角 B ? CE ? F 的余弦值为

3 13 . 13

19. ( 本小题满分 12 分) 某批发市场对某种商品的日销售 量(单位: t )进行统计,最近 50 天的统计结果如下: 日销售量 频数 频率 1 10 0.2 1.5 25 2 15 b

a

(1)求表中的 a , b 的值; (2)若以上表频率作为概率,且每天的销售量相互独立.求: ① 5 天中该种商品恰好有 2 天的销售量为 1.5 t 的概率; ② 已知每吨该商品的销售利润为 2 千元, ? 表示该种商品两天销售利润的和(单位:千元)求 ? 的分布 列和期望.

20. ( 本小题满分 12 分) 已知点 F ?0,1? , 直线 l : y ? ?1, P 为平面上的动点, 过点 P 作直线 l 的垂线, 垂足为 Q,且 QP ? QF ? FP ? FQ. (1) 求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2) 已知圆 M 过定点 D?0,2 ? ,圆心 M 在轨迹 C 上运动,且圆 M 与 x 轴交于 A,B 两点,设

DA ? l1 , DB ? l2 , 求

l1 l 2 ? 的最大值。 l 2 l1
mx (m, n ? R) 在 x ? 1 处取得极值 2 . x ?n
2

21.( 本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? (1)求 f ( x) 的表达式;

(2)设 函 数 g ( x) ? ax ? ln x . 若 对 于 任 意 的 x1 ? ? ,2? , 总 存 在 唯 一 的 x2 ? ? 2 , ? , 使 得 2 e e

?1 ? ? ?

? 1 1? ? ?

g ( x2 ) ? f ( x1 ) ,求实数 a 的取值范围.
选考题: (本小题满分 10 分) 请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按 一题记分. 22.已知 A、B、C、D 为圆 O 上的四点,直线 DE 为圆 O 的 AC∥DE,AC 与 BD 相交于 H 点
-3-

所做的第 切 线 ,

(1)求证:BD 平分∠ABC (2)若 AB=4,AD=6,BD=8,求 AH 的长 23. 已知某圆的极坐标方程为 ? 2 ? 4 2 ? cos?? ?

? ?

??

??6?0 4?

(1)将极坐标方程化为普通方程,并选择恰当的参数写出它的参数方程; (2)若点 P ? x, y ?在该圆上,求 x ? y 的最大值和最小值. 24. 已知关于 x 的不等式 ax ? 1 ? ax ? a ? 1?a ? 0? (1)当 a ? 1 时,求此不等式的解集; (2)若此不等式的解集为 R,求实数 a 的取值范围. 吉林省九校联合体 2014 届第二次摸底考试 数学试题(理科)参考答案 一、DDBCB AABAC CB 二、13、16,28,40,52 三、 17、 (Ⅰ)由 tan 2? ? 14、40 15、 11 16、2

2 tan a 2( 2 ? 1) ? ? 1,---------2 分 2 1 ? tan ? 1 ? ( 2 ? 1) 2

?? 是锐角,? 2? ?
? sin( 2? ?

?
4

------------4 分 ----------------6 分

?
4

) ?1

? f ( x) ? 2 x ? 1

(Ⅱ)? a1 ? 1, an?1 ? f (an ) ,? an?1 ? 2an ? 1 ,----------------8 分

?an?1 ? 1 ? 2(an ? 1) ,
列,? an ? 2n ? 1-

an?1 ? 1 ? 2 , ??an ? 1? 是 首 项 为 a1 ? 1 ? 2 , 公 比 q ? 2 的 等 比 数 an ? 1
--------------10 分

Sn ?

2(2n ? 1) ? n ? 2n?1 ? 2 ? n 2 ?1

-------------12 分

18、 ( 1 ) 证 明 : 连 接 C E、 BD, 设 C E ? B D? O , 连 接 OG , 由 三 角 形 的 中 位 线 定 理 可 得 : OG // AC ,-------------2 分 ∵ AC ? 平 面 B D G, OG ? 平 面 B D G, ∴ AC // 平面 BDG . -------------4 分 ( 2) 建 立 如 图 空 间 直 角 坐 标 系 ,

-4-

在 Rt ?ACD 中,斜边 AD ? 4, AC ? 2 ,得 CD ? 2 3 ,所以, B(1,0,0), C(?1,0,0), E(1, 2 3,0) . 设 BF ? ? BA ,得 F (1 ? ?,0, 3? ) . 设平面 CEF 的一个法向量 n ? ( x, y, z) ,由 ? 取 x ? 3 ,得 n ? ( 3, ?1,1 ?

? ? n ? CE ? 0 ? ?n ? CF ? 0

得?

? ?

2x ? 2 3y ? 0

? ?(2 ? ? ) x ? 3? z ? 0



2

?

).

-------------8 分

而平面 BCE 的法向量 n0 ? (0,0,1) ,所以由题意

3 3 n0 ? n ,即 ? 13 ? ? 13 | n0 | ? | n | 13

2

?

?1 2

2

4 ? (1 ? )

?

解得 ? ? ?1 (舍去)或 ? ? 为

1 ,所以,当点 F 在线段 AB 的中点时,二面角 B ? CE ? F 的余弦值 2

3 13 . 13

-------------12 分 -------------2 分

19、 (1)由题意知: a ? 0.5,b ? 0.3

(2)①依题意,随机选取一天,销售量为 1.5 t 的概率 p ? 0.5 ,设 5 天中该种商品有 X 天的销售量
2 2 3 为 1.5 t ,则 X ~ B(5,0.5) , P( X ? 2) ? C5 ? 0.5 ? (1 ? 0.5) ? 0.3125

-------------5 分

② ? 的可能取值为 4,5,6,7,8 ,则:

P(? ? 4) ? 0.22 ? 0.04, P(? ? 5) ? 2 ? 0.2 ? 0.5 ? 0.2 P(? ? 6) ? 0.52 ? 2 ? 0.2 ? 0.3 ? 0.37, P(? ? 7) ? 2 ? 0.3 ? 0.5 ? 0.3 P(? ? 8) ? 0.32 ? 0.09 ,? ? 的分布列为:
?

4

5

6
-5-

7

8

p

0.04

0.2

0.37

0.3

0.09

-------------10 分 所以: E? ? 4 ? 0.04 ? 5 ? 0.2 ? 6 ? 0.37 ? 7 ? 0.3 ? 8 ? 0.09 ? 6.2 -------------12 分 20、设 P?x, y ?, Q?x,?1?, ? FQ ? ?x,?2?, FP ? ?x, y ? 1?, QP ? ?0, y ? 1?, 代入已知可得,轨迹 C 的 轨迹方程为 x 2 ? 4 y. -------------4 分
2

2 (2)设 M ?a, b?, 则 a ? 4b, MD

? r 2 ? a 2 ? ?b ? 2 ? ,
2

2 2 2 ?圆 M 的方程为 ?x ? a ? ? ? y ? b? ? a 2 ? ?b ? 2? . ---------6 分

令 y ? 0, 则 ?x ? a ? ? a 2 ? 4b ? 4 ? 4,? x ? a ? ?2.
2

不妨设

A?a ? 2,0?, B?a ? 2,0?,? l1 ?

?a ? 2?2 ? 4 , l2 ? ?a ? 2?2 ? 4 ,
2

?

2 ?a 2 ? 8? l1 l2 l12 ? l2 2a 2 ? 16 ? ? ? ?2 l2 l1 l1l2 a 4 ? 64 a 4 ? 64

-----------10 分

a ? 0 时,? a ? 0 时,

l1 l2 ? ? 2, l2 l1

l1 l2 16 16 ? ? 2 1? ? 2 1? ? 2 2 , 当 且 仅 当 a ? ?2 2 时 等 号 成 立 。 64 l2 l1 2 ? 8 2 a ? 2 a
-----------12 分 综上,

l1 l 2 ? 的最大值为 2 2 。 l 2 l1

21、 (1) f ?( x) ?

m( x 2 ? n) ? 2m x2 ? m x2 ? m n .------------1 分 ? ( x 2 ? n) 2 ( x 2 ? n) 2

? m n? m ?0 ? ? (1 ? n) 2 由 f ( x) 在 x ? 1 处取得极值 2 ,故 f ?(1) ? 0, f (1) ? 2 ,即 ? , ? m ?2 ? ? 1? n
-------------3 分 解得: ?

?m ? 4 , ? n ?1
-6-

经检验:此时 f ( x) 在 x ? 1 处取得极值,故 f ( x) ? (2)由( 1 )知 f ?( x) ?

4x .--------5 分 x ?1
2

1 4(1 ? x)(1 ? x) ,故 f ( x) 在 ( ,1) 上单调递增,在 (1,2) 上单调递减,由 2 2 2 ( x ? 1)
, 故

f (1) ? 2 ,
-----------7 分

1 8 f (2) ? f ( ) ? 2 5

?8 ? f ( x ) 的 值 域 为 ? , 2? ?5 ?

, 依 题 意 :

g ?( x) ? a ?

1 ? 1 1? ,记 M ? ? 2 , ? ,? x ? M ,? e ? 1 ? e 2 x ?e e? x

? 1 8 ? g( ) ? 5 3 3 ①当 a ? e 时,g ?( x) ? 0 ,g ( x) 单调递减, 依题意有 ? e 得0 ? a ? e, 故此时 0 ? a ? e . 1 5 5 ?g ( 2 ) ? 2 ? e 1 1 1 1 1 1 1 2 ②当 e ? a ? e 时, ? ? 2 ,当 x ? ( 2 , ) 时, g ?( x) ? 0 ; 当 x ? ( , ) 时,g ?( x) ? 0 , 依题意有: a e e a e e a
3 1 8 1 8 5 g ( ) ? ,得 1 ? ln ? , a ? e ,这与 a ? e 矛盾. a 5 a 5

? 1 ? g(e) ? 2 2 ③当 a ? e 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 单调递增,依题意有 ? ,无解. 1 8 ?g ( 2 ) ? 5 ? e
-------------11 分 综上所述: a 的取值范围是 0 ? a ?

3 e. 5

-------------12 分

22、 (1)? DE // AC,? ?CDE ? ?ACD 又? DE 切圆 O 于点 D ,

? ?CDE ? ?CBD ? ?ACD ? ?CBD 而 ?ACD ? ?ABD (同弧) ? ?CBD ? ?ABD
所以,BD 平分∠ABC -------------5 分 (2)由(1)知 ?CBD ? ?ABD ,又? ?CBD ? ?CAD ,? ?ABD ? ?CAD 又? ?ADH 为公共角,所以 ?DBA 与 ?DAH 相似。

?

AH AD ? ,因为 AB=4,AD=6,BD=8,所以 AH=3 ------10 分 AB BD
2 2

23、解(1) x ? y ? 4x ? 4 y ? 6 ? 0 ;

? ? x ? 2 ? 2 cos? ? ? ? y ? 2 ? 2 sin ?

( ? 为参数)

-------------5 分

-7-

?? ? x ? y ? 4 ? 2 sin ?? ? ? 4 ?, ? (2)因为
所以其最大值为 6,最小值为 2 . -------------10 分 1 3 1 x ?1 ? x ? 或x ? 2 x ?1 ? 1 a ? 1 2 2, 2 , 解得 24、 (1)当 时,得 , 即 1 3 (??, ] [ , ??) 2 2 ∴不等式的解集为 . ------------5 分 (2)∵

ax ? 1 ? ax ? a ? a ? 1 ,

∴原不等式解集为 R 等价于

a ? 1 ? 1.

∴ a ? 2, 或a ? 0.

∵ a ? 0 ,∴ a ? 2.

∴实数 a 的取值范围为 [2,??) .

-----------10 分

-8-


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