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人教A版数学必修4教案:第二章 平面向量 向量数乘运算及其几何意义


《向量数乘运算及其几何意义》教学设计 教材版本 设计思路
向量的数乘运算,其实是加法运算的推广及简化,与加法、减法统称为向量 的三大线性运算。教学时从 110 米跨栏比赛抽象出物理背景,引入数乘运算, 充分展现了向量数乘运算的现实意义。实数与向量的乘积,仍然是一个向量,既 有大小,也有方向。 特别是方向与已知向量是共线向量,进而引出共线向量定理。 共线向量定理是本章节中

重要的内容,应用相当广泛,且容易出错。尤其是定理 ? 的前提条件:向量 a 是非零向量。 共线向量定理的应用主要用于证明点共线或平 行等几何性质,且与后续的知识有着紧密的联系。 人民教育出版社普通高中课程标准实验教科书必修 4

课时分配 教学目标

1 课时

1.向量数乘运算及其几何意义、运算律,共线向量定理。 2.经历向量数乘运算定义及其几何意义的探究过程,体会类比、归纳、由特 殊到一般的数学思想的应用。体会类比、归纳推理方法在本节课中的作用。在用 向量方法研究三点共线教学的过程中渗透数形结合的思想方法。 3.感受平面向量方法在研究平面几何问题中的作用,进一步提高学习向量知 识的积极性。体会类比迁移的推理方法,培养学生的创新能力

教学重点与难点
【教学重点】向量数乘运算及其几何意义、运算律、共线向量定理。 ◆向量数乘定义由学生类比实数乘法得到, 通过学生自主验证运算律与教师 几何画板演示相结合的方法突破教学重点。 【教学难点】共线向量定理及其应用。 ◆通过学生思考、讨论、交流、变式训练、总结等环节突破共线向量定理及 其应用这一教学难点。

教学准备

ppt、几何画板

1

教学过程
教学 环节 教学内容 师生活动 设计意图 从热点话题刘翔退役以及 情境 引入 从刘翔 110 米跨栏比赛中抽 教师介绍、 110 米跨栏比赛抽象出向量

象出位移倍数的问题, 进而引 提问,学生 数乘的背景, 让学生感受向 出课题。 思考回答 量数乘运算的物理背景和 现实意义。 向量数乘运算定义:

? 一般地,实数 ? 与向量 a ? 的积是一个向量,记作 ? a ,
它的长度与方向规定如下: ? ? (1) | ? a |?| ? || a | ;
? ? 在 9a 与 ?3a 实例的基础

探究 新知

教师引导, 学生思考、 归纳总结。

上, 在学生的最近发展区引 导学生归纳出向量数乘的 定义并探究其几何意义。

? (2)当 ? ? 0 时, ? a 的方向 ? 与 a 的方向相同; ? ? 当 ? ? 0 时, ? a 的方向与 a 的
方向相反;

? ? 当 ? ? 0 时, ? a ? 0 。
引入向量数乘运算后, 考察 探究向量数乘运算的运算律: 运算律是一个自然地问题, ? ? 教师引导, (1) ? (? a) ? (?? )a ; 教师引导学生从特殊情形 ? ? ? 学生作图验 (2) (? ? ? )a ? ? a ? ? a ; 入手,类比实数乘法运算 证,教师演 ? ? ? ? 律, 通过合情推理得到向量 (a+b )=? a ? ? b 。 (3) ? 示。 数乘运算律, 同时指出向量 向量线性运算律 ? ? ? ? 的加法、减法、数乘运算为 ? xa ? yb =? xa ? ? yb 向量的线性运算律。

探究 新知

?

?

2

例 1 计算: ? (1)(-3)× 4a ;

通过利用微信背景, 调解课 堂气氛,创设利于学生学习 学生交流、 的氛围。 本例要求学生熟练

? ? ? ? ? (2)3( a ? b )-2( a ? b )- a ;

? ? 讨论,教师 运用向量数乘运算的运算 ? ? ? ? (3)( 2a ? 3b ? c )-( 3a ? 2b ? c )。 点评。 律。通过易错点分析和讲
新知 应用 教师演示 教师利用几何画板动态演示 ? ? ? ? ? 3( a ? b )-2( a ? b )- a 的几何意 义 解, 培养学生良好的向量书 写习惯。教学中,点拨学生 不能将本题看作字母的代

学生观察、 数运算,可以让他们在代数 感知。 运算的同时说出其几何意 义,使学生明确向量数乘运 算的特点。

? ? ? ? 思考:向量 a ( a ? 0 )和 b , ? ? 若存在实数 ? ,使 b ? ? a ,则 ? ? 向量 a 与 b 的方向有什么关
系? 深化 新知 从正反两方面探究向量共 教师提问, 线的条件,引导学生思考,

? ? ? ? 思考:若向量 a ( a ? 0 )与 b

在此基础上归纳总结出向 共线,则一定存在实数 ? ,使 学生思考讨 量共线定理, 并引导学生探 ? 论。 ? b ? ? a 成立吗? ? ? 究定理成立的条件( a ? 0) ? 向量共线定理:向量 a

? ? ? ( a ? 0 )与 b 共线,当且仅
当有唯一一个实数 ? ,使 ? ? b ? ?a 。 例 2 已知任意两个非零向量 ??? ? ? ? ? ? a 、 b ,试作 OA ? a ? b , 教师给出问 本例给出了利用向量共线 判断三点共线的方法,这是 题,学生动 判断三点共线常用的方法。 手作图,观 教学中先引导学生作图,通 过观察图形得到 A,B,C 三 察猜想,然 点共线的猜想,再将平面几
3

新知 应用

??? ? ? ? ? ? ? ??? OB ? a ? 2b , OC ? a ? 3b 。你

能判断 A、B、C 三点之间的 位置关系吗?为什么?

何中判断三点共线的方法 转化为用向量共线证明三 论,给出证 点共线。 本题只要引导学生 理清思路,具体过程可由学 明。 生自己完成。 最后通过几何 教师进行点 ? ? 画板演示,揭示向量 a 、b 变 评完善。 化过程中,A、B、C 三点始 终在同一条直线上的规律。 后交流讨 学生总结, 教师补充完 善。 发挥学生的主体作用, 培养 学生总结归纳问题的能力。

课堂 小结

向量数乘运算及其几何意义、 运算律,共线向量定理

板书设计
§2.2.3 向量数乘运算及其几何意义 一、定义 二、运算律 三、演算区

4


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