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高一数学教案:2.4.1反函数(一).doc




题:2.4.1

反函数(一)

教学目的:掌握反函数的概念和表示法,会求一个函数的反函数 教学重点:反函数的定义和求法 教学难点:反函数的定义和求法 授课类型:新授课 课时安排:1 课时 教 具:多媒体、实物投影仪 教材分析: 反函数是数学中的一个很重要的概念,它是我们以后进一步研究具体函数类即五大 类基本初等函

数的一个不可缺少的重要组成部分 本节是一节概念课,关键在于反函数概念的建立 反函数是函数中的一个特殊现象, 对反函数概念的讨论研究是对函数概念和函数性质在认识上的进一步深化和提高 反函 数概念的建立,关键在于让学生能从两个函数关系的角度去认识它,从而深化对函数概 念的认识 本节是反函数的第一节课围绕如何理解反函数概念这个重难点展开 由于函数是一种对应关系,这个概念本身不好理解,而反函数又是函数中的一种特 殊现象,它是两个函数之间的关系 所以弄清函数与其反函数的关系,是正确理解反函数 概念必不可少的重要环节 教学设计中,通过对具体例子的求解,不但使学生掌握求反函 数的方法步骤,并有意识地阐明函数与反函数的关系 深化了对概念的理解和掌握 教学过程:
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一、复习引入: 我们知道,物体作匀速直线运动的位移 s 是时间 t 的函数,即 s=vt,其中速度 v 是常 量,定义域 t ? 0,值域 s ? 0;反过来,也可以由位移 s 和速度 v(常量)确定物体作匀速 直线运动的时间, 即t ? 值域 t ? 0. 又如, 在函数 y ? 2 x ? 6 中, x 是自变量, y 是 x 的函数, 定义域 x ? R, 值域 y ? R. 我 们从函数 y ? 2 x ? 6 中解出 x,就可以得到式子 x ? 个值,通过式子 x ?

s , 这时, 位移 s 是自变量, 时间 t 是位移 s 的函数,定义域 s ? 0, v

y ? 3 . 这样,对于 y 在 R 中任何一 2

y ? 3 ,x 在 R 中都有唯一的值和它对应. 因此,它也确定了一个函 2 数:y 为自变量,x 为 y 的函数,定义域是 y ? R,值域是 x ? R. s 综合上述,我们由函数 s=vt 得出了函数 t ? ;由函数 y ? 2 x ? 6 得出了函数 v y x ? ? 3 ,不难看出,这两对函数中,每一对中两函数之间都存在着必然的联系:①它 2
们的对应法则是互逆的;②它们的定义域和值域相反:即前者的值域是后者的定义域, 而前者的定义域是后者的值域. 我们称这样的每一对函数是互为反函数. 二、讲解新课: 反函数的定义 一般地,设函数 y ? f ( x)(x ? A) 的值域是 C,根据这个函数中 x,y 的关系,用 y 把 x 表示出,得到 x= ? (y). 若对于 y 在 C 中的任何一个值,通过 x= ? (y),x 在 A 中都有唯一

的值和它对应, 那么, x= ? (y)就表示 y 是自变量, x 是自变量 y 的函数, 这样的函数 x= ? (y) (y ? C)叫做函数 y ? f ( x)(x ? A) 的反函数,记作 x ? f
?1

( y) ,习惯上改写成 y ? f ?1 ( x)
?1

开始的两个例子:s=vt 记为 f (t ) ? vt ,则它的反函数就可以写为 f

(t ) ?

t ,同样 v

y ? 2 x ? 6 记为 f ( x) ? 2 x ? 6 ,则它的反函数为: f ?1 ( x) ?

x ? 3. 2

探讨 1:所有函数都有反函数吗?为什么? 反函数也是函数,因为它符合函数的定义,从反函数的定义可知,对于任意一个函 数 y ? f ( x) 来说,不一定有反函数,如 y ? x 2 ,只有“一一映射”确定的函数才有反函数,

y ? x 2 , x ?[0,??) 有反函数是 y ? x
探讨 2:互为反函数定义域、值域的关系 从映射的定义可知,函数 y ? f ( x) 是定义域 A 到值域 C 的映射,而它的反函数

y ? f ?1 ( x) 是集合 C 到集合 A 的映射,因此,函数 y ? f ( x) 的定义域正好是它的反函数 y ? f ?1 ( x) 的 值 域 ; 函 数 y ? f ( x) 的 值 域 正 好 是 它 的 反 函 数 y ? f ?1 ( x) 的 定 义 域
: f [ f ?1 ( x)] ? x, f ?1[ f ( x)] ? x (如下表) 函数 y ? f ( x) 定义域 值 域 探讨 3: y ? f
?1

反函数 y ? f C A

?1

( x)

A C

( x) 的反函数是?
?1

若函数 y ? f ( x) 有反函数 y ? f 这就是说,函数 y ? f ( x) 与 y ? f 三、讲解例题: 例 1.求下列函数的反函数: ① y ? 3x ? 1( x ? R) ; ③y?
?1

那么函数 y ? f ?1 ( x) 的反函数就是 y ? f ( x) , ( x) ,

( x) 互为反函数

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② y ? x 3 ? 1( x ? R) ; ④y?

x ? 1( x ? 0) ;
y ?1 3

2x ? 3 ( x ? R, 且x ? 1) . x ?1

解:①由 y ? 3x ? 1 解得 x ?

∴函数 y ? 3x ? 1( x ? R) 的反函数是 y ? ②由 y ? x ? 1( x ? R) 解得 x= 3 y ? 1 ,
3

x ?1 ( x ? R) , 3

∴函数 y ? x 3 ? 1( x ? R) 的反函数是 y ? 3 x ? 1( x ? R) ③由 y=

x +1 解得 x= ( y ? 1) 2 ,

∵x ? 0,∴y ? 1. ∴函数 y ? ④由 y ?

x ? 1( x ? 0) 的反函数是 x= ( y ? 1) 2 (x ? 1);

2x ? 3 y?3 解得 x ? x ?1 y?2

∵x?{x ? R|x ? 1},∴y ? {y ? R|y ? 2} ∴函数 y ?

2x ? 3 x?3 ( x ? R, 且x ? 1) 的反函数是 y ? ( x ? R, x ? 2) x ?1 x?2
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小结:⑴求反函数的一般步骤分三步,一解、二换、三注明 ⑵反函数的定义域由原来函数的值域得到,而不能由反函数的解析式得到 ⑶求反函数前先判断一下决定这个函数是否有反函数,即判断映射是否是一一映射

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例 2.求函数 y ? 3x ? 2 ( x ? R )的反函数,并画出原来的函数和它的反函数的 图像
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解:由 y ? 3x ? 2 解得 x ?

y?2 3
4

∴ 函 数 y ? 3x ? 2( x ? R) 的 反 函 数 是y?

x?2 ( x ? R) , 3
-4 -2

y=3x-2
3 2 1

它们的图像为: 例 3 求函数 y ? 1 ? 1 ? x 2 (?1<x<0)的反函数 解:∵ ?1<x<0 ∴ 0 < 1? x2 < 1 由: y ? 1 ? 1 ? x 2
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y=
2

x+2 3
4

6

y=x
∴0<1 ? x
2

-1

-2

-3

∴0< x <1

2

<1

∴0 < y <1
2 解得: x ? ? 2 y ? y

(∵ ?1< x < 0 )

∴ y ? 1 ? 1 ? x 2 (?1<x < 0)的反函数是: y ? ? 2 x ? x 2 (0<x<1 ) 例 4 已知 f ( x) = x -2x(x≥2),求 f
2

?1

( x) .
2 ? 4 ? 4y , 2

解法 1:⑴令 y= x -2x,解此关于 x 的方程得 x ?
2

∵x≥2,∴ x ?

2 ? 4 ? 4y ,即 x=1+ 1 ? y --①, 2

⑵∵x≥2,由①式知 1 ? y ≥1,∴y≥0--②, ⑶由①②得 f
?1

; ( x) =1+ 1 ? x (x≥0,x∈R)
2

解法 2:⑴令 y= x -2x= ( x ? 1) 2 -1,∴ ( x ? 1) 2 =1+y, ∵x≥2,∴x-1≥1,∴x-1= 1 ? y --①,即 x=1+ 1 ? y , ⑵∵x≥2,由①式知 1 ? y ≥1,∴y≥0, ⑶∴函数 f ( x) = x -2x(x≥2)的反函数是 f
2

?1

; ( x) =1+ 1 ? x (x≥0)

说明: 二次函数在指定区间上的反函数可以用求根公式反求 x, 也可以用配方法求 x, 但开方时必须注意原来函数的定义域. 四、课堂练习:课本 P63 练习:已知函数 y ? f ( x) ,求它的反函数 y ? f (1) y ? ?2 x ? 3 (3) y ? x
4
?1

( x)

(x∈R) (2) y ? ? (x≥0) (4) y ?

2 x x 3x ? 5

(x∈R,且 x≠0) (x∈R,且 x≠ ?

5 ) 3

五、小结 本节课学习了以下内容: 反函数的定义及其注意点、求法步骤 六、课后作业:课本第 64 习题 2.4:1 七、板书设计(略) 八、课后记:


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【精品】高一数学 2.4反函数(第一课时) 大纲人教版必修

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