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高一数学必修1 复合函数的单调性 ppt


复合函数的单调性

已经学过的判断函数单调性的方法有哪些?

1.定义法

2.图像法

一.函数单调性的定义:
一般地,设函数 f ( x)的定义域为 A,区间I ? A.

?1?增函数:如果对于区间 I内的任意两个值 x1 , x2 ,
当x1 ? x

2时,都有f ( x1 ) ? f ( x2 ), 那么就说y ? f ( x) 在区间I上是单调增函数。

?2?减函数:如果对于区间 I内某个的任意两个值 x1 , x2 ,
当x1 ? x2时,都有f ( x1 ) ? f ( x2 ), 那么就说y ? f ( x) 在区间I上是单调减函数。

函数的单调性是函数的局部性质。

二.常用函数的单调性
y ? kx ? b(k ? 0)

y

y ? kx ? b(k ? 0)

O

x

图象的函数解析式是 : y ? kx ? b(k ? 0), 此函数是一次函数, 当k ? 0时,此函数为增函数,函数的单调递增区间为? ??, ?? ? , 当k ? 0时,此函数为减函数,函数的单调递减区间为? ??, ?? ?。

y?

k (k ? 0) x

y

y?

k ?k ? 0? x

O

x

图象的函数解析式是: y?

k ?k ? 0?。此函数是反比例函数 。 x ?0,???上也是减函数; 当k ? 0时,函数在?? ?,0?上是减函数,在

?0,???上也是增函数。 当k ? 0时,函数在?? ?,0?上是增函数,在

y

y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0)

O

x??

b 2a

x

y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0)

图象的函数解析式是:y ? ax 2 ? bx ? c(a ? 0) 。此函数是二次函数。 b ? ? ? b ? 当a ? 0时,函数在 ? ??, ? ? 上是减函数,在 ? ? , ?? ? 上是增函数; 2a ? ? ? 2a ? b ? ? ? b ? 当a ? 0时,函数在 ? ??, ? ? 上是增函数,在 ? ? , ?? ? 上是减函数。 2a ? ? ? 2a ?

y ? a (0 ? a ? 1)
x

y

y ? a x (a ? 1)

O

x

图象的解析式是: y ? a x (a ? 0且a ? 0)。此函数是指数函数。 当a ? 1时,函数在?? ?,?? ?上是增函数; 当0 ? a ? 1时,函数在?? ?,?? ?上是减函数。

y

y? x

O

x

y ? x 在定义域 ?0, ??? 上是增函数。

三.复合函数单调性
对于复合函数 y ? f [ g ( x)] 的单调性,必须考虑 y ? f (u)与 u ? g ( x)的单调性,从而得出 y ? f [ g ( x)] 的单调性。
y ? f ( x)

u ? g ( x)
增函数
减函数 增函数 减函数

y ? f [ g ( x)]

增函数
增函数 减函数 减函数

增函数
减函数 减函数 增函数

小结:同增异减。研究函数的单调性,首先考虑函数的定 义域,要注意函数的单调区间是函数定义域内的某个区间。

例1.求函数 y ?3

x 2 ?2 x?6

的单调递减区间 。

解:函数f ( x)的定义域是 R。

令u ? x ? 2x ? 6 ? ?x ?1? ? 7, 则y ? 3
2 2

u

? y ? 3u 在定义域内是增函数。

?1,???上是增函数。 又u ? ?x ?1? ? 7在?? ?,1?上是减函数,在
2

? y ? 3x

2

?2 x?6

?1,???上是增函数。 在?? ?,1?上是减函数,在
x 2 ?2 x ?6

?y ? 3

?? ?, 的单调递减区间为 1?

例2.求函数 y ? ? x 2 ? 4的单调递减区间 。
解: ? ? x 2 ? 4 ? 0,即x 2 ? 4,

?? 2,2?。 ? ?2 ? x ? 2,即函数的定义域为
令u ? ? x2 ? 4,故y ? u,
? y ? u是定义域内是的单调递 增函数。

又u ? ? x 2 ? 4在?0, 2?上是减函数,

? y ? ? x 2 ? 4在?0, 2?上是减函数

?0, 故函数y ? ? x 2 ? 4的单调递减区间是 2?
(问:函数y ? ? x 2 ? 4的单调递增区间是什么 ?)

注意:在求函数单调区间时必须先求定义域。

复合函数y=f[g(x)]的单调性可按下列步骤判断: (1) 将复合函数分解成两个简单函数:y=f(u)与u=g(x)。 其中y=f(u)又称为外层函数, u=g(x)称为内层函数; (2) 确定函数的定义域; (3) 分别确定分解成的两个函数的单调性;

(4) 若两个函数在对应的区间上的单调性相同(即都是 增函数,或都是减函数),则复合后的函数y=f[g(x)] 为增函数;
(5) 若两个函数在对应的区间上的单调性相异(即一个是增 函数,而另一个是减函数),则复合后的函数y=f[g(x)] 为减函数。

复合函数的单调性可概括为一句话:“同增异减”。

四.有关函数单调性的常用结论
? ?

?

?

f(x)、g(x)的单调性相同时, f(x)+g(x)的单调性不变; f(x)、g(x)的单调性相反时, f(x)-g(x)的单调性与f(x) 的单调性相同; 若a>0,则a f(x)的单调性与f(x)的单调性相同, a/ f(x) 的单调性与f(x)的单调性相反; 若a<0,则a f(x)的单调性与f(x)的单调性相反, a/ f(x) 的单调性与f(x)的单调性相同。

2 例3.试判断函数f( x)? 1 ? x 的单调性。 2 ?1

变式1: 变式2:

2x ? 1 试判断函数f(x) ? x 的单调性。 2 ?1
x

a ?1 试判断函数f(x) ? x (a ? 0且a ? 1)的单调性。 a ?1

小结:
(1)求复合函数的单调区间;
原则:同增异减

注意:首先要求函数的定义域。

(2)运用常用结论判断函数单调性。


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