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《导数及其应用》单元测试题(详细答案)

时间:2017-07-24


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《导数及其应用》单元测试题(文科) 导数及其应用》单元测试题(文科) 及其应用 测试题
(满分:150 分 时间:120 分钟) 一、选择题(本大题共 10 小题,共 50 分,只有一个答案正确) 1.函数 f ( x ) = (2πx ) 的导数是(
2


2

(A) f ′( x ) = 4πx 2.函数 f ( x) = x ? e (A) [? 1,0]
?x

(B) f ′( x) = 4π x

(C) f ′( x) = 8π x
2

(D) f ′( x) = 16πx

的一个单调递增区间是( (C) [1,2]

) (D) [0,2]

(B) [2,8]

3 . 已 知 对 任 意 实 数 x , 有 f ( ? x) = ? f ( x),g ( ? x) = g ( x) , 且 x > 0 时 ,

f ′( x) > 0,g ′( x) > 0 ,则 x < 0 时(
A. f ′( x ) > 0,g ′( x ) > 0 C. f ′( x ) < 0,g ′( x ) > 0



B. f ′( x ) > 0,g ′( x ) < 0 D. f ′( x ) < 0,g ′( x ) < 0 ) (D) b <

4.若函数 f ( x ) = x 3 ? 3bx + 3b 在 (0,1) 内有极小值,则( (A) 0 < b < 1 (B) b < 1 (C) b > 0

1 2


5.若曲线 y = x 4 的一条切线 l 与直线 x + 4 y ? 8 = 0 垂直,则 l 的方程为( A. 4 x ? y ? 3 = 0 B. x + 4 y ? 5 = 0 C. 4 x ? y + 3 = 0 6.曲线 y = e x 在点 (2,e 2 ) 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为(

D. x + 4 y + 3 = 0 )

A.

9 2 e 4

B. 2e

2

C. e

2

D.

e2 2

7.设 f ′( x ) 是函数 f ( x ) 的导函数,将 y = f ( x) 和 y = f ′( x ) 的图象画在同一个直角坐标系 中,不可能正确的是( )

8.已知二次函数 f ( x) = ax + bx + c 的导数为 f '( x ) , f '(0) > 0 ,对于任意实数 x 都有
2

f ( x) ≥ 0 ,则
A. 3

f (1) 的最小值为( f '(0)
B.



5 2

C. 2

D.

3 2

9.设 p : f ( x ) = e x + ln x + 2 x 2 + mx + 1 在 (0, ∞) 内单调递增, q : m ≥ ?5 ,则 p 是 q 的 + ( ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

A.充分不必要条件 C.充分必要条件

10. 函数 f (x ) 的图像如图所示,下列数值排序正确的是( (A) 0 < f (2) < f (3) < f (3) ? f (2)
/ /

y

(B) 0 < f (3) < f (3) ? f (2) < f (2)
/ /

(C) 0 < f (3) < f (2) < f (3) ? f (2)
/ /

(D) 0 < f (3) ? f (2) < f (2) < f (3)
/ /

O

1 2 3 4

x

二.填空题(本大题共 4 小题,共 20 分) 11.函数 f ( x ) = x ln x ( x > 0) 的单调递增区间是____. 12.已知函数 f ( x ) = x 3 ? 12 x + 8 在区间 [ ?3,3] 上的最大值与最小值分别为 M , m ,则

M ? m = __.
13.点 P 在曲线 y = x ? x +
3

2 上移动,设在点 P 处的切线的倾斜角为为 α ,则 α 的取值 3

范围是 14.已知函数 y = 是

1 3 x + x 2 + ax ? 5 (1)若函数在 (? ∞,+∞ ) 总是单调函数,则 a 的取值范围 3
. (2)若函数在 [1,+∞) 上总是单调函数,则 a 的取值范围 . .

(3)若函数在区间(-3,1)上单调递减,则实数 a 的取值范围是 在区间( , )上单调递减, 在区间

三.解答题(本大题共 4 小题,共 12+12+14+14+14+14=80 分) 15.用长为 18 cm 的钢条围成一个长方体形状的框架,要求长方体的长与宽之比为 2:1, 问该长方体的长、宽、高各为多少时,其体积最大?最大体积是多少?

16.设函数 f ( x) = 2 x + 3ax + 3bx + 8c 在 x = 1 及 x = 2 时取得极值.
3 2

(1)求 a、b 的值; (2)若对于任意的 x ∈ [0, ,都有 f ( x ) < c 成立,求 c 的取值范围. 3]
2

17.设函数 f ( x) = ? x3 + 3 x + 2 分别在 x1、x2 处取得极小值、极大值. xoy 平面上点 A、B 的

uuu uuu r r 坐标分别为 x1 ,f ( x1 )) (x2 ,f ( x2 )) ( 、 ,该平面上动点 P 满足 PA ? PB = 4 ,点 Q 是点 P 关于直
线 y = 2( x ? 4) 的对称点,.求 (Ⅰ)求点 A、B 的坐标; (Ⅱ)求动点 Q 的轨迹方程.

18. 已知函数 f ( x ) = 2 x 3 ? 3 x 2 + 3. (1)求曲线 y = f ( x) 在点 x = 2 处的切线方程; (2)若关于 x 的方程 f ( x ) + m = 0 有三个不同的实根,求实数 m 的取值范围.

ax 3 19.已知 f ( x ) = ? (a + 1) x 2 + 4 x + 1(a ∈ R ) 3
(1)当 a = ?1 时,求函数的单调区间。 (2)当 a ∈ R 时,讨论函数的单调增区间。 (3)是否存在负实数 a ,使 x ∈ [? 1,0] ,函数有最小值-3? ) 负实数

20.已知函数 f ( x ) = x +

(2)若对任意的 x1 , x2 ∈ [1,e] ( e 为自然对数的底数)都有 f ( x1 ) ≥ g ( x2 ) 成立,求 实数 a 的取值范围.

a2 , g ( x ) = x + ln x ,其中 a > 0 . x (1)若 x = 1 是函数 h ( x ) = f ( x ) + g ( x ) 的极值点,求实数 a 的值;

【文科测试解答】 一、选择题
1. f ( x) = (2πx ) = 4π 2 x 2 ,∴ f ′( x) = 2 ? 4π 2 x = f ′( x ) = 8π 2 x ;
2

2. f ( x) = x ? e ? x = 3.(B)数形结合
2

x x x (1 ? x ) ? e x > 0,∴ x < 1 选(A) . ∴ f ′( x) = 1 ? e ? x ? e = , 2 ex ex [e x ]2

[ ]

4.A 由 f ′( x) = 3 x ? 3b = 3 x ? b ,依题意, 首先要求 b>0, 所以 f ′( x ) = 3 x + b x ? b
2

(

)

(

)(

)

由单调性分析, x =

b 有极小值,由 x = b ∈ (0,1) 得.

4 5.解:与直线 x + 4 y ? 8 = 0 垂直的直线 l 为 4 x ? y + m = 0 ,即 y = x 在某一点的导数为

4,而 y′ = 4 x 3 ,所以 y = x 4 在(1,1)处导数为 4,此点的切线为 4 x ? y ? 3 = 0 ,故选 A 6.(D) 7.(D) 8.(C) 9.(B) 10.B 设 x=2,x=3 时曲线上的点为 AB,点 A 处的切线为 AT 点 B 处的切线为 BQ,

T B A

f (3) ? f (2) Q f (3) ? f (2) = = k AB 3?2
Q f ′(3) = k BQ , f ′(2) = k AT ,
如图所示,切线 BQ 的倾斜角小于 直线 AB 的倾斜角小于 切线 AT 的倾斜角

y

Q

∴ k BQ < k AB < k AT
所以选 B 11. ? , +∞ ?

O

1 2

3 4

x

?1 ?e

? ?

12.32 13. ?0, π ? ∪ ? 3π , π ? ? ? ? ?
? 2? ? 4 ?
14. (1) a ≥ 1; ( 2)a ≥ ?3; ( 3) a ≤ ?3.

三、解答题 15. 解:设长方体的宽为 x(m),则长为 2x(m),高为

h=

18 ? 12 x = 4.5 ? 3x(m) 4

3? ? ? 0<x< ? . 2? ?

故长方体的体积为
V ( x) = 2 x 2 (4.5 ? 3x) = 9 x 2 ? 6 x 3 (m 3 ) 3 (0<x< ). 2

从而 V ′( x) = 18 x ? 18 x 2 ( 4.5 ? 3x) = 18 x(1 ? x). 令 V′(x)=0,解得 x=0(舍去)或 x=1,因此 x=1. 当 0<x<1 时,V′(x)>0;当 1<x<
2 时,V′(x)<0, 3

故在 x=1 处 V(x)取得极大值,并且这个极大值就是 V(x)的最大值。 从而最大体积 V=V′(x)=9×12-6×13(m3),此时长方体的长为 2 m,高为 1.5 m. 答:当长方体的长为 2 m 时,宽为 1 m,高为 1.5 m 时,体积最大,最大体积为 3 m3。
16.解:(1) f ′( x ) = 6 x + 6ax + 3b ,
2

因为函数 f ( x ) 在 x = 1 及 x = 2 取得极值,则有 f ′(1) = 0 , f ′(2) = 0 .

即?

?6 + 6a + 3b = 0, ?24 + 12a + 3b = 0.

解得 a = ?3 , b = 4 . (2)由(Ⅰ)可知, f ( x ) = 2 x 3 ? 9 x 2 + 12 x + 8c ,

f ′( x) = 6 x 2 ? 18 x + 12 = 6( x ? 1)( x ? 2) .
当 x ∈ (0, 时, f ′( x ) > 0 ; 1) 当 x ∈ (1, 时, f ′( x ) < 0 ; 2) 当 x ∈ (2, 时, f ′( x ) > 0 . 3) 所以,当 x = 1 时, f ( x ) 取得极大值 f (1) = 5 + 8c ,又 f (0) = 8c , f (3) = 9 + 8c . 则当 x ∈ [ 0, 时, f ( x ) 的最大值为 f (3) = 9 + 8c . 3] 因为对于任意的 x ∈ [ 0, ,有 f ( x ) < c 2 恒成立, 3] 所以 解得

9 + 8c < c 2 , c < ?1 或 c > 9 ,

因此 c 的取值范围为 ( ?∞, 1) U (9, ∞ ) . ? + 17.解: (1)令 f ′( x ) = ( ? x + 3 x + 2) ′ = ?3 x + 3 = 0 解得 x = 1或x = ?1
3 2

当 x < ?1 时, f ′( x ) < 0 , 当 ? 1 < x < 1 时, f ′( x ) > 0 ,当 x > 1 时, f ′( x ) < 0 所 以 , 函 数 在 x = ?1 处 取 得 极 小 值 , 在 x = 1 取 得 极 大 值 , 故

x1 = ?1, x 2 = 1 , f (?1) = 0, f (1) = 4
所以, 点 A、B 的坐标为 A( ?1,0), B (1,4) . (2) 设 p ( m, n) , Q ( x, y ) , PA ? PB = (? 1 ? m,? n ) ? (1 ? m,4 ? n ) = m ? 1 + n ? 4n = 4
2 2

1 y?n 1 y+n ?x+m ? = ? , PQ 的中点在 y = 2( x ? 4) 上, k PQ = ? , 所以 又 所以 = 2? ? 4? 2 x?m 2 2 ? 2 ?
消去 m, n 得 ( x ? 8) + ( y + 2 ) = 9 .
2 2

另法:点 P 的轨迹方程为 m 2 + (n ? 2 ) = 9, 其轨迹为以(0,2)为圆心,半径为 3 的圆;
2

设点(0,2)关于 y=2(x-4)的对称点为(a,b),则点 Q 的轨迹为以(a,b),为圆心,半径为 3 的圆, 由

b?2 1 b+2 ?a+0 ? =? , = 2? ? 4 ? 得 a=8,b=-2 a?0 2 2 ? 2 ?
………………………2 分

18.解(1) f ′( x ) = 6 x 2 ? 6 x, f ′(2) = 12, f (2) = 7,

∴曲线 y = f ( x) 在 x = 2 处的切线方程为 y ? 7 = 12( x ? 2) ,即 12 x ? y ? 17 = 0 ;……4 分 (2)记 g ( x ) = 2 x 3 ? 3 x 2 + m + 3, g ′( x) = 6 x 2 ? 6 x = 6 x( x ? 1) 则 x, g ′( x ), g ( x ) 的变化情况如下表 令 g ′( x ) = 0, x = 0 或 1. …………………………………………………………6 分

x
g ′( x) g ( x)

(?∞, 0)

0 0
极大

+

(0,1) ?

1 0
极小

(1, +∞)

+
………………………10 分

当 x = 0, g ( x ) 有极大值 m + 3; x = 1, g ( x ) 有极小值 m + 2 . 由 g ( x ) 的简图知,当且仅当 ? 即?

? g (0) > 0 , ? g (1) < 0

?m + 3 > 0 , ? 3 < m < ?2 时, ?m + 2 < 0 函数 g ( x ) 有三个不同零点,过点 A 可作三条不同切线. 所以若过点 A 可作曲线 y = f ( x) 的三条不同切线, m 的范围是 ( ?3, ?2) .…………14 分

19.(1) x ∈ (? ∞,?2 ), 或 x ∈ (2,+∞), f (x)递减; x ∈ (? 2,2 ), f (x)递增; (2)1、当 a = 0,
x ∈ (? ∞,?2 ),

f (x) 递 增 ;2 、 当 a < 0, x ∈ ? 2 ,2 ?, f (x) 递 增 ;3 、 当 0 < a < 1, x ∈ (? ∞,2), 或 ? ?
?a ?

?2 ? x ∈ ? ,+∞ ?, f (x) 递增; 当 a = 1, x ∈ (? ∞,+∞ ), ?a ?

f (x) 递增;当 a > 1, x ∈ ? ? ∞, 2 ?, 或 x ∈ (2,+∞ ), f (x) ? ?
? a?

递增; 3) a < 0, 由②分两类 ( 因 (依据: 单调性, 极小值点是否在区间[-1,0]上是分类 “契机” : 3 1、当 2 ≤ ?1, ? a ≥ ?2, x ∈ [? 1,0] ? ? 2 ,2 ?, f (x)递增, f (x)min= f (? ) =? ,解得 a = ? > ?2, 1 3 ? ? 4 a a ? ?

3 2、当 2 > ?1, ? a ≤ ?2, 由单调性知: f (x)min= f ( ) =? ,化简得: 3a 2 + 3a ? 1 = 0 ,解得 a a
a=

2

3 ? 3 ± 21 > ?2, 不合要求;综上, a = ? 为所求。 4 6

20.(1)解法1:∵ h ( x ) = 2 x + 解法1 解法 ∴ h′ ( x ) = 2 ?

a2 + ln x ,其定义域为 ( 0,+ ∞ ) , x

a2 1 + . x2 x 2 ∵ x = 1 是函数 h ( x ) 的极值点,∴ h′ (1) = 0 ,即 3 ? a = 0 .
3. 3 时, x = 1 是函数 h ( x ) 的极值点, a2 + ln x ,其定义域为 ( 0, ∞ ) , + x

∵ a > 0 ,∴ a = 经检验当 a = ∴a =

3.

解法2 解法2:∵ h ( x ) = 2 x + ∴ h′ ( x ) = 2 ?

a2 1 + . x2 x a2 1 2 2 令 h′ ( x ) = 0 ,即 2 ? 2 + = 0 ,整理,得 2 x + x ? a = 0 . x x 2 ∵ ? = 1 + 8a > 0 ,
∴ h′ ( x ) = 0 的两个实根 x1 =

当 x 变化时, h ( x ) , h′ ( x ) 的变化情况如下表:

?1 ? 1 + 8a 2 ?1 + 1 + 8a 2 (舍去), x2 = , 4 4

x h′ ( x ) h ( x)
依题意,

( 0, x2 )


x2
0 极小值

( x2 , +∞ )


?1 + 1 + 8a 2 = 1 ,即 a 2 = 3 , 4

( 2 ) 解 : 对 任 意 的 x1 , x2 ∈ [1,e] 都 有 f ( x1 ) ≥ g ( x2 ) 成 立 等 价 于 对 任 意 的

∵ a > 0 ,∴ a =

3.

x1 , x2 ∈ [1,e] 都有 ? f ( x ) ? min ≥ ? g ( x ) ? max . ? ? ? ? 1 当 x ∈ [1, e ]时, g ′ ( x ) = 1 + > 0 . x ∴函数 g ( x ) = x + ln x 在 [1,e] 上是增函数.
∴ ? g ( x )? ? ?
max

a 2 ( x + a )( x ? a ) = ,且 x ∈ [1, e] , a > 0 . x2 x2 ( x + a )( x ? a ) > 0 , ①当 0 < a < 1 且 x ∈ [1, e ]时, f ′ ( x ) = x2 a2 ∴函数 f ( x ) = x + 在[1, e ]上是增函数, x
∵ f ′( x) = 1? ∴ ? f ( x ) ? = f (1) = 1 + a 2 . ? ? min 由 1 + a ≥ e + 1 ,得 a ≥ e , 又 0 < a < 1 ,∴ a 不合题意.
2

= g (e) = e +1 .

②当1≤ a ≤ e 时, 若1≤ x < a ,则 f ′ ( x ) =

( x + a )( x ? a ) < 0 ,
x2 ( x + a )( x ? a ) x2 >0.

若 a < x ≤ e ,则 f ′ ( x ) = ∴函数 f ( x ) = x + ∴ ? f ( x )? ? ? min

a2 在 [1, a ) 上是减函数,在 ( a,e] 上是增函数. x = f ( a ) = 2a . e +1 , 2

由 2a ≥ e + 1 ,得 a ≥ 又1≤ a ≤ e ,∴

e +1 ≤a ≤e. 2

③当 a > e 且 x ∈ [1, e ]时, f ′ ( x ) = ∴函数 f ( x ) = x + ∴ ? f ( x )? ? ? min 由e+

( x + a )( x ? a ) < 0 ,
x2

a2 在 [1,e] 上是减函数. x a2 = f (e) = e + . e

a2 ≥ e + 1 ,得 a ≥ e , e 又 a > e ,∴ a > e . ? e +1 ? 综上所述, a 的取值范围为 ? , +∞ ? . ? 2 ?

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