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第8章-第8节曲线与方程

时间:2016-12-24


高三一轮总复习
理 知 识 三 层 固 基

第八节

曲线与方程

攻 考 向 三 级 提 能

课 时 强 化 练 五 十 六

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[考纲传真]

1.了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系.

/>2.了解解析几

何的基本思想和利用坐标法研究几何问题的基本方法. 选择适当的方法求曲线的轨迹方程.

3.能够根据所给条件

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理知识·三层固基

知识点1 曲线与方程的定义 一般地,在直角坐标系中,如果某曲线C(看作满足某种条件的点的集合或 轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立如下的对应关系:

那么,这个方程叫作 曲线 的方程,这条曲线叫作 方程 的曲线.

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知识点 2 求动点的轨迹方程的基本步骤

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1.必会结论 (1)“曲线 C 是方程 f(x,y)=0 的曲线”是“曲线 C 上的点的坐标都是方程 f(x,y)=0 的解”的充分不必要条件. (2)曲线的交点与方程组的关系 ①两条曲线交点的坐标是两个曲线方程的公共解,即两个曲线方程组成的 方程组的实数解; ②方程组有几组解,两条曲线就有几个交点;方程组无解,两条曲线就没 有交点.

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2.必清误区 (1)求轨迹方程时,要注意曲线上的点与方程的解是一一对应关系.检验可 从以下两个方面进行:一是方程的化简是否是同解变形;二是是否符合题目的 实际意义. (2)求点的轨迹与轨迹方程是不同的要求,求轨迹时,应先求轨迹方程,然 后根据方程说明轨迹的形状、位置、大小等.

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1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)f(x0,y0)=0 是点 P(x0,y0)在曲线 f(x,y)=0 上的充要条件.( (2)方程 x2+xy=x 的曲线是一个点和一条直线.( ) ) )

(3)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是 x2=y2.( (4)方程 y= x与 x=y2 表示同一曲线.( )

【解析】 由曲线与方程的定义,知(2)、(3)、(4)不正确,只有(1)正确. 【答案】 (1)√ (2)× (3)× (4)×

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?1 ? F?4,0?,直线 ? ?

2.(教材改编)已知点

1 l:x=-4,点 B 是 l 上的动点.若过点 )

B 垂直于 y 轴的直线与线段 BF 的垂直平分线交于点 M,则点 M 的轨迹是( A.双曲线 C.圆 B.椭圆 D.抛物线

【解析】 由已知|MF|=|MB|,根据抛物线的定义知, 点 M 的轨迹是以点 F 为焦点,直线 l 为准线的抛物线.

【答案】 D

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3.(2016· 南昌模拟)已知 A(-2,0),B(1,0)两点,动点 P 不在 x 轴上,且满足 ∠APO=∠BPO,其中 O 为原点,则 P 点的轨迹方程是( A.(x+2)2+y2=4(y≠0) B.(x+1)2+y2=1(y≠0) C.(x-2)2+y2=4(y≠0) D.(x-1)2+y2=1(y≠0)
【解析】 由角的平分线性质定理得|PA|=2|PB|, 设 P(x,y),则 ?x+2?2+y2=2 ?x-1?2+y2, 整理得(x-2)2+y2=4(y≠0),故选 C.
【答案】 C

)

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x2 y2 4.过椭圆a2+b2=1(a>b>0)上任意一点 M 作 x 轴的垂线,垂足为 N,则线 段 MN 中点的轨迹方程是________.
【解析】 设 MN 的中点 P(x,y),则点 M(x,2y)在椭圆上, x2 ?2y?2 x2 4y2 ∴a2+ b2 =1,即a2+ b2 =1.

x2 4y2 【答案】 a2+ b2 =1

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攻考向·三级提能

直接法求轨迹方程
1.(2016· 广州模拟)已知点 F(0,1),直线 l:y=-1,P 为平面上的动点,过 → → → → 点 P 作直线 l 的垂线,垂足为 Q,且QP· QF=FP· FQ,则动点 P 的轨迹 C 的方程 为( ) A.x2=4y C.x2=2y B.y2=3x D.y2=4x

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【解析】 设点 P(x,y),则 Q(x,-1). → → → → ∵QP· QF=FP· FQ, ∴(0,y+1)· (-x,2)=(x,y-1)· (x,-2), 即 2(y+1)=x2-2(y-1),整理得 x2=4y, ∴动点 P 的轨迹 C 的方程为 x2=4y.故选 A.
【答案】 A

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2.(2016· 宝鸡模拟)已知动圆过定点 A(4,0),且在 y 轴上截得弦 MN 的长为 8.求动圆圆心的轨迹 C 的方程.
【解】 如图,设动圆圆心为 O1(x,y),由题意,得|O1A|=|O1M|. 当 O1 不在 y 轴上时, 过 O1 作 O1H⊥MN 交 MN 于 H,则 H 是 MN 的中点, ∴|O1M|= x2+42, 又|O1A|= ?x-4?2+y2,

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∴ ?x-4?2+y2= x2+42. 化简得 y2=8x(x≠0). 当 O1 在 y 轴上时,O1 与 O 重合,点 O1 的坐标为(0,0)也满足方程 y2=8x, ∴动圆圆心的轨迹 C 的方程为 y2=8x.

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利用直接法求轨迹方程的关键和注意点 1.利用直接法求解轨迹方程的关键是根据条件准确列出方程,然后进行化 简. 2.运用直接法应注意的问题 (1)在用直接法求轨迹方程时,在化简的过程中,有时破坏了方程的同解性, 此时就要补上遗漏的点或删除多余的点,这是不能忽视的. (2)若方程的化简过程是恒等变形,则最后的验证可以省略.

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定义法求轨迹方程
(1)(2016· 北京模拟)△ABC 的顶点 A(-5,0),B(5,0),△ABC 的内切 圆圆心在直线 x=3 上,则顶点 C 的轨迹方程是________. (2)已知圆 C 与两圆 x2+(y+4)2=1,x2+(y-2)2=1 外切,圆 C 的圆心轨迹 为 L,设 L 上的点与点 M(x,y)的距离的最小值为 m,点 F(0,1)与点 M(x,y)的距 离为 n. ①求圆 C 的圆心轨迹 L 的方程; ②求满足条件 m=n 的点 M 的轨迹 Q 的方程.

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【解析】 (1)由题意知|CA|-|CB|=6<10,则顶点 C 的轨迹是以点 A,B 为 焦点的双曲线的右支.
2 2 x y 又 2a=6, c=5, 则 b2=c2-a2=16, 从而顶点 C 的轨迹方程为 9 -16=1(x>3).

x2 y2 【答案】 9 -16=1(x>3)

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(2) ①设圆 x2 + (y + 4)2 = 1 的圆心 O(0 ,- 4) ,圆 x2 + (y - 2)2 = 1 的圆心 O′(0,2),圆 C 的半径为 r,由题意知,|CO|=r+1,|CO′|=r+1, 从而|CO|=|CO′|,所以 l 为线段 OO′的垂直平分线,l 的方程为 y=-1. ②由 m=n 知, 动点 M 到定点 F 和定直线 l 的距离相等. 由抛物线的定义知, 动点 M 的轨迹 Q 是以点 F(0,1)为焦点,以直线 y=-1 为准线的抛物线,且 p= 2,从而轨迹 Q 的方程为 x2=4y.

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定义法求轨迹方程的适用条件及关键 1.适用条件 动点与定点、定直线之间的某些关系满足直线、圆、椭圆、双曲线、抛物 线的定义. 2.关键 定义法求轨迹方程的关键是理解平面几何图形的定义. 提醒:弄清各种常见曲线的定义是用定义法求轨迹方程的关键.

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[变式训练]
如图 881 所示,已知 C 为圆(x+ 2)2+y2=4 的圆心,点 A( 2,0),P 是 → → → → 圆上的动点,点 Q 在圆的半径 CP 所在的直线上,且MQ· AP=0,AP=2AM.当点 P 在圆上运动时,求点 Q 的轨迹方程.

图 881

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【解】 圆(x+ 2)2+y2=4 的圆心为 C(- 2,0),半径 r=2,

→ → → → ∵MQ· AP=0,AP=2AM, ∴MQ⊥AP,点 M 为 AP 的中点,即 QM 垂直平分 AP. 连结 AQ,则|AQ|=|QP|, ∴||QC|-|QA||=||QC|-|QP||=|CP|=r=2. 又|AC|=2 2>2,根据双曲线的定义,点 Q 的轨迹是以 C(- 2,0),A( 2, 0)为焦点,实轴长为 2 的双曲线, 由 c= 2,a=1,得 b2=1, 因此点 Q 的轨迹方程为 x2-y2=1.

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相关点(代入)法求轨迹方程

(1)已知长为 1+ 2的线段 AB 的两个端点 A,B 分别在 x 轴、y 轴 2→ → 上滑动,P 是 AB 上一点,且AP= 2 PB,则点 P 的轨迹方程为________. (2)设直线 x-y=4a 与抛物线 y2=4ax 交于两点 A,B(a 为定值),C 为抛物 线上任意一点,求△ABC 的重心的轨迹方程.

【解析】

高三一轮总复习 (1)设 A(a,0),B(0,b),P(x,y),则

2→ → → → AP=(x-a,y),PB=(-x,b-y),由AP= 2 PB得 2 ? x-a= 2 ?-x?, ? 2 (x-a,y)= 2 (-x,b-y),即? ?y= 2?b-y?, 2 ? 2+ 2 ? ?a= x, 2 所以? ? ?b=? 2+1?y,
2 x 又 a2+b2=3+2 2,所以 2 +y2=1.

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x2 2 【答案】 2 +y =1
(2)设△ABC 的重心为 G(x,y), 点 C 的坐标为(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2).
? ?x-y=4a, 由方程组? 2 ? ?y =4ax,

消去 y 并整理得 x2-12ax+16a2=0. ∴x1+x2=12a, y1+y2=(x1-4a)+(x2-4a)=(x1+x2)-8a=4a.

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∵G(x,y)为△ABC 的重心, ? ?x=x0+x1+x2=x0+12a, 3 3 ? ∴? ? y0+y1+y2 y0+4a y= = 3 , ? 3 ?
? ?x0=3x-12a, ∴? ? ?y0=3y-4a.

又点 C(x0,y0)在抛物线上, ∴将点 C 的坐标代入抛物线的方程得

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(3y-4a)2=4a(3x-12a),
? 4a?2 4a 即?y- 3 ? = 3 (x-4a). ? ?

又点 C 与 A,B 不重合,∴x≠(6± 2 5)a, ∴△ABC 的重心的轨迹方程为
? 4a?2 4a ?y- ? = (x-4a)(x≠(6± 2 3? 3 ?

5)a).

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相关点(代入)法的基本步骤 1.设点:设被动点坐标为(x,y),主动点坐标为(x1,y1).
? ?x1=f?x,y?, 2.求关系式:求出两个动点坐标之间的关系式? ? ?y1=g?x,y?.

3.代换:将上述关系式代入已知曲线方程,便可得到所求动点的轨迹方程.

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[变式训练] x2 y2 (2016· 武汉模拟)P 是椭圆a2+b2=1(a>b>0)上的任意一点,F1,F2 是它的两 → → → 个焦点,O 为坐标原点,有一动点 Q 满足OQ=PF1+PF2,则动点 Q 的轨迹方程 是________.

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【解析】 由题意知 F1(-c,0),F2(c,0),设 P(x0,y0),Q(x,y), → → → 由OQ=PF1+PF2得(x,y)=(-c-x0,-y0)+(c-x0,-y0),
? ?x=?-c-x0?+?c-x0?, 即? ? ?y=-y0+?-y0?,

1 ? ?x0=-2x, 所以? ?y0=-1y, 2 ?
2 2 2 x2 y x y 0 0 又a2+b2=1,所以4a2+4b2=1. x2 y2 【答案】 4a2+4b2=1

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课时强化练(五十六)
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